基于动量增强的随机梯度马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，用于非线性耦合水力-力学问题的复合替代模型反演

本文提出了一种简化的接触检测理论和基于凸性分析的接触不确定性识别方法，适用于三维任意形状区块的连续变形分析。该方法通过参考点和入口区块的接触转换，避免了封闭边界构建和接触覆盖修剪，提高了计算效率。结合三维DDA代码，验证了该方法在复杂接触条件下的有效性和鲁棒性。

　　

林少忠|何军|徐东东

中国武汉长江科学研究研究院，430010

摘要

在非连续变形计算中，接触检测和接触不确定性是难以处理的问题。最近提出的一种接触理论通过将两个块之间的接触转化为参考点与入口块之间的接触来简化接触检测过程，该入口块的边界由接触覆盖区域组成。两个多面体的入口块边界在接触覆盖区域连接处是不连续的，即所谓的接触不确定性，这需要在处理之前被识别出来。本文详细介绍了基于该接触理论的通用多面体接触检测公式和程序，并提出了一种接触不确定性识别方法。在接触检测过程中，会搜索实际接触计算所需的局部接触覆盖区域和位置。接触不确定性识别过程仅使用局部接触覆盖区域的边缘向量和法向量，因此无需形成入口块的封闭边界或修剪接触覆盖区域，从而更加方便高效。

引言

非连续变形分析（DDA）（Shi，1988）是一种用于模拟岩石力学和岩石工程中非连续变形问题的著名且广泛使用的方法。该方法已从二维发展到三维（Beyabanaki等人，2008年；He等人，2014年；Huang等人，2016年；Jiang和Yeung，2004年；Shi，2001年；Yeung等人，2007年；Zhang等人，2015年；Zheng等人，2018b年）。接触检测是块体系统非连续变形计算中的一个难点。

在过去35年中，提出了许多用于检测相邻多边形/多面体接触的方法，包括间接共面法（Cundall，1988年）、直接搜索法（Zhang等人，2015年；Wang等人，2022年）和基于能量的接触框架（Feng等人，2012年）等。直接搜索法被应用于最初的DDA中。这些方法已在文献中进行了广泛讨论（Feng等人，2012年；Wang等人，2022年），因此在此不再赘述。两个相邻多边形或多面体的接触条件包括用于确定接触平面（二维接触边或三维接触面）的角度条件（即无重叠条件）和用于确定接触位置的距离条件。在最初的二维DDA（Shi，1988年）中，使用角度方法检查角度条件，这种方法对于三维块体来说难以实现。Shi在2008年开发的三维DDA代码中通过向量代数运算简化了角度条件。最近，Shi提出了一种通用接触理论（Shi，2021年；Shi，2015年），进一步简化了接触检测过程。在这种接触理论中，两个块体之间的接触被转化为参考点与入口块之间的接触。入口块的边界由接触覆盖区域组成，即这些接触覆盖区域相互连接形成入口块的边界。每个接触覆盖区域对应一个接触平面，并定义了一个可能的接触。入口块的边界定义了两个块体之间的所有可能接触。在接触计算中，实际上只需要局部（有限的）接触覆盖区域。这种接触理论精确且适用于各种尺寸的通用块体。

自接触理论提出以来，大量研究集中在其实际应用、性能改进和工程应用上，不断丰富和完善了相应的理论和方法框架。在二维应用方面，Cheng等人（2021年）将任意形状块的接触覆盖区域搜索算法集成到了二维DDA代码中。Zhuang等人（2021年）将接触理论应用于二维DDA，并开发了一种基于接触覆盖区域的策略，用于检测边缘较短或角度较小的不规则凸多边形的接触。对于三维凸块体的接触检测，Zheng等人（2017年）提出了一种改进的接触检测算法，采用了序列初始和更新接触检测技术。Feng和Tan（2019年）综合采用了Gilbert–Johnson–Keerthi（GJK）算法和扩展多面体算法（EPA），有效地实现了凸多边形和多面体的接触检测。Ni等人（2020年）提出了一种基于接触覆盖区域概念的鲁棒接触检测算法，通过涉及关键和复杂接触条件以及滑动和倾倒斜坡破坏的多个示例验证了其有效性和鲁棒性。Wang等人（2022年）提出了一种全局直接搜索方法，用于准确检测三维凸多面体的接触。对于三维凹块体的接触检测，Lin等人（2019年）提出了一种接触覆盖区域搜索算法，用于识别两个三维任意形状块体之间的所有接触覆盖区域，并提供了一种构建三维入口块的切割算法。总之，原始接触理论的数学表达简洁，大多数现有研究仅涉及凸块体和二维块体。似乎需要更深入地理解接触理论并实现有效的计算方法。

对于非连续变形计算，另一个问题是接触平面的不确定性（即接触不确定性）。接触不确定性可能发生在二维多边形的顶点对顶点接触中，以及三维多面体的顶点对顶点和顶点对边接触中。在这些接触位置，存在多个具有不连续法向量的连接接触平面，从而导致接触不确定性。这些多个接触平面对应于多个接触覆盖区域。因此，入口块的边界在接触覆盖区域连接处是不连续的。为了在选择适当的接触平面和相关接触位置时处理非连续变形计算中的接触不确定性，提出了一些方法，如最短路径法（Shi，1988年）、基于最小努力原理的方法（Fan等人，2020年）、第一个入口法（Bao和Zhao，2009年；Zhang等人，2018年）、基于角度的方法（Fan和He，2014年）以及最后一个入口平面法（Wang等人，2020年）。其中，后三种方法可以考虑块体的运动趋势。在处理之前，应识别接触不确定性。对于二维多边形，接触不确定性识别很简单，因为接触不确定性仅发生在凸顶点对凸顶点的接触中。然而，对于一般多面体，由于块体顶点形状的多样性和边对边接触的存在，接触不确定性识别更为复杂，而这方面的问题尚未得到解决。实际上，可以根据入口块的几何元素的凸性分析来识别接触不确定性。尽管如此，由于需要修剪相交的接触覆盖区域，凹多面体的入口块的形成过程较为复杂。因此，需要找到简单的方法来识别三维接触不确定性。

基于接触理论，本文旨在详细说明接触检测公式和相关程序，并提出一种适用于一般多面体的简单接触不确定性识别方法。本文的其余部分组织如下：第2节分析了块体几何元素的凸性。第3节介绍了接触理论及其详细公式和我们的理解。还考虑了一般多边形的接触理论，以提供良好的理解。第4节提出了用于寻找实际接触计算中所需的局部接触覆盖区域（平面）和位置的接触检测程序，以及适合计算机编程的相应计算公式，这里使用块体的几何元素而不是入口块来方便操作。第5节基于接触覆盖区域连接的凸性分析，仅使用接触覆盖区域的边缘向量和法向量来识别接触不确定性。第6节使用我们基于接触检测程序、接触不确定性识别方法和DDA（Shi，1988年；Shi，2001年）的3DDA代码，展示了非连续变形计算的三维示例。最后，第7节总结了主要结论。

节选内容

块体几何元素的凸性

通常，块体系统的接触检测任务可以简化为检测两个相邻块体之间的几何元素之间的接触。可能的接触与元素的凸性有关。因此，有必要分析块体元素的凸性。

用V、E和F分别表示顶点、边和面。对于块体A和B，使用以下符号：

接触类型和基本接触类型

如图5所示，两个多边形块的接触类型包括顶点对顶点（V-V）接触、顶点对边（V-E）接触和平行边对边（E-E）接触，其中V-E接触是基本接触类型。

如图6所示，两个多面体块的接触类型包括V-V、V-E、顶点对面（V-F）、交叉边对边（交叉E?E）、平行E?E、边对面（E-F）和面对面（F-F）接触，其中V-F和交叉E-E（以下简称E-E）是

接触检测程序

封闭的?E(A, B)定义了两个块体之间所有可能的接触位置。由于实际接触位置的局限性和块体在运动过程中的姿态变化，没有必要构建封闭的?E(A, B)。因此，在本文中对非连续变形计算进行了以下简化。

(1) 搜索代表当前潜在接触的局部接触覆盖区域和位置。

(2) 无需进行切割或修剪

接触不确定性识别

接触不确定性识别基于接触覆盖区域连接的凸性分析，因为接触不确定性与接触覆盖区域连接的凸性之间存在对应关系。

在多个接触位置，任意两个接触覆盖区域之间的连接可能是凸的或凹的。如果所有连接都是非凸的，则接触是确定的；如果所有连接都是凸的（例如，如图14所示），则接触是不确定的；否则（例如，如图17所示）

示例

基于DDA和上述提出的方法，我们用Fortran开发了2DDA和3DDA计算机代码，分别用于一般多边形和多面体块体的非连续变形计算。在代码中，使用了第一入口法（Bao和Zhao，2009年；Zhang等人，2018年）来处理接触不确定性。第3.4小节中展示了入口块和接触覆盖区域的示例，以及接触覆盖区域的可见性和连接凸性

结论

接触理论由于基于向量代数运算的简化角度条件，极大地促进了多面体的接触检测。它还由于接触不确定性与接触覆盖区域连接的凸性之间的对应关系，有助于接触不确定性的识别。本文详细阐述并实现了通用多面体的接触理论，从而在理论与实际应用之间建立了桥梁

CRediT作者贡献声明

林少忠：撰写——原始草案、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。何军：撰写——审阅与编辑、调查、资金获取、数据管理。徐东东：撰写——审阅与编辑、调查。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了中国国家重点研发计划（项目编号：2024YFC3211200）、国家自然科学基金（项目编号：U2340229）以及中央公共福利研究机构基本研究基金（项目编号：CKSF2025732 + YT, CKSF2026276/YT, CKSF20241015）的支持。作者衷心感谢Shi Genhua在2002年提供的2D DDA代码和2008年提供的3D DDA代码，这些代码对本工作起到了重要的参考作用。