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我们开发了基于谱元素的Lattice Boltzmann方法（LBM），结合通量反弹边界条件（FBB）处理复杂几何边界，采用强稳定性保持Runge-Kutta三级格式（SSPRK3）进行时间积分，并引入显式滤波消除双剪切层区域的涡流噪声。通过无稳态Couette流动、平面Poiseuille流动及Taylor-Green涡旋等基准测试验证了方法在非结构化网格中的高精度与收敛性，并成功预测了湍流管道内的边界层分布特征。
赵春恒|萨米尔·S·帕特尔|林海璐|闵美顺|李泰勋
纽约市立学院机械工程系，纽约州纽约市，10031，美国
摘要
我们开发了一种基于谱元格子玻尔兹曼方法，并采用了通量反弹（FBB）方案，以实现非结构化网格中单相流体动力学的精确模拟。我们采用欧拉描述来代替标准LBM中的完美平移流方法。谱元方法用于对流项的空间离散化，而强稳定性保持的龙格-库塔（SSPRK）方法用于时间积分。为了提高稳定性，我们研究了显式滤波器的使用，特别是在敏感的双剪切层问题中。结果表明，通过使用高阶多项式，我们可以有效消除颈部区域的小涡旋。我们引入了通量反弹方案，以使当前方案能够处理复杂边界。所提出的方案和通量边界方法通过基准测试得到了验证，包括非稳态库埃特流动和平面泊肃叶流动。进一步的验证通过泰勒-格林涡旋问题完成，证明了该方案对于各向同性湍流的准确性和收敛性。最后，我们考虑了圆柱管内的完全发展的湍流流动，并正确预测了湍流边界层轮廓。
引言
格子玻尔兹曼方法（LBM）是用于单相和多相流动流体动力学的广泛使用的数值求解器[1]。LBM不是直接求解宏观控制方程（即纳维-斯托克斯方程），而是求解粒子分布函数的演化，并通过粒子分布函数的矩来恢复密度和动量[2]。由于局部碰撞函数和完美平移流函数[3]，[4]，LBM在计算上非常高效。这些特性使得LBM特别适合现代高性能计算架构[5]。LBM中流步的完美平移方法确保分布函数沿特征方向以恒定速度传播，有效消除了平流步骤中的数值误差。因此，LBM中的主要误差来源是碰撞步骤，它保持了二阶空间精度。通过查普曼-恩斯科格分析，可以从LBM直接推导出纳维-斯托克斯方程[6]，[7]，[8]。尽管LBM提供了直接求解纳维-斯托克斯方程的相对直接的方法，但仍需仔细考虑几个关键方面。通常，LBM是在结构化网格[9]或格子网格上实现的，其中空间间隔δx和时间间隔δt被设置为一个格子单元，库朗-弗里德里希斯-卢维（CFL）数固定为1，这意味着网格间距是均匀的。在某些情况下，非结构化网格是不可或缺的。例如，需要边界层网格来准确捕捉湍流边界层轮廓[10]。在这种情况下使用标准LBM方案将需要过多的网格细化，导致计算资源的显著浪费。其他例子出现在涉及复杂几何形状的模拟中，如多孔介质或卵石床反应器中的流体流动[11]，[12]。
在非结构化网格上的LBM可以大致分为有限体积（FV）LBM[13]，[14]，[15]，[16]和有限元（FE）LBM[9]，[17]，[18]，[19]。在非结构化网格中，壁法线通常在相邻边界表面之间变化，这使得明确定义进出方向变得特别具有挑战性[20]，[21]，[22]，[23]。此外，结构化网格上使用的完美平移流方法不能直接应用于非结构化网格，这可能会引入额外的稳定性和准确性问题。已经为标准LBM在非结构化域上开发了多种反弹型边界方案，其中几何错位和曲线边界限制了标准笛卡尔公式的准确性。Khirevich等人[24]提出了一种用于随机球堆积流的高阶反弹方案，证明了在粗糙和不规则离散化上的边界精度改进。Silva等人[25]分析了与双松弛时间（TRT）碰撞模型耦合的低阶和高阶反弹方案，并通过与有限元解的比较表明，高阶重构显著减少了非结构化网格上的边界误差。Marson[26]引入了一种针对曲线边界的增强型单节点反弹方案，结合了局部几何校正以实现二阶精度，同时保持完全局部的模板。赵和Yong[27]，[28]开发了一种基于麦克斯韦迭代的单节点狄利克雷边界条件，其中未知分布函数被重构以满足宏观壁约束，为离格和曲线几何形状提供了改进的精度。在有限体积LBM中，提出了改进的反弹方案[16]和基于距离的反弹方法[29]来处理复杂边界。然而，大多数有限体积公式直接离散化离散的玻尔兹曼方程[30]，这可能在高雷诺数下引起稳定性问题。有限元LBM为构建高阶流操作符提供了更自然的框架，例如基于谱元的操作符。对于不连续伽辽金（DG）LBM，在边界元素接口处应用基于通量的边界条件[17]，[31]。对于连续伽辽金LBM[9]，可以施加结合反弹方案的通量边界条件。然而，需要进一步的研究来为Lax-Wendroff型边界[9]，[18]提供物理解释，这些边界涉及高阶流线扩散。DG-LBM已经证明使用通量反弹（FBB）方案可以产生稳定解。然而，这种方法有一个权衡：DG方法本质上在元素接口引入了额外的耗散，以在高雷诺数下增强稳定性。在以往研究的基础上，我们开发了一种基于连续伽辽金公式的谱元格子玻尔兹曼方法。与Lax-Wendroff流方法不同，我们的方法采用了强稳定性保持（SSP）龙格-库塔方案来最小化数值耗散。此外，还对分布函数应用了非耗散滤波器，有效地保持了密度和动量守恒以及数值稳定性。
以下部分介绍了所提出的方案及其通过基准测试的验证。第2节描述了方案的方法论和公式。第3节通过一系列基准测试提供了验证结果，包括稳定性测试、双剪切层、边界条件验证、非稳态库埃特流动和平面泊肃叶流动。还对使用泰勒-格林涡旋和泊肃叶管流动的湍流流动进行了额外验证。
部分摘录
格子玻尔兹曼方法
我们从α方向的密度分布函数fα的离散玻尔兹曼方程开始，外加一个外部驱动力Fα：
