自正交子空间码和LCD子空间码的构造

《Discrete Mathematics》：Constructions of self-orthogonal and LCD subspace codes

自正交和LCD子空间码的统一构造方法，基于相互准无偏加权矩阵、对称设计系统、Deza图等工具，扩展了网络编码中的子空间码应用。

　　

迪恩·克兰科维奇（Dean Crnkovi?）| 石塚圭太（Keita Ishizuka）| 哈迪·卡拉加尼（Hadi Kharaghani）| 铃田翔（Sho Suda）| 安德烈亚·什沃布（Andrea ?vob）

里耶卡大学数学系，Radmile Matej?i? 2号，51000 里耶卡，克罗地亚

摘要

最近，自正交子空间码和线性互补对偶（LCD）子空间码的概念被提出，并研究了从互不影响偏差的权重矩阵获得的LCD子空间码。在本文中，我们提供了一种在特定条件下从一组矩阵构造自正交和LCD子空间码的方法。特别是，我们给出了从互准不影响偏差的权重矩阵、对称设计的关联系统、对称群可除设计的关联系统、Deza图及其公平划分中构造自正交和LCD子空间码的方法。

引言

2000年，Ahlswede、Cai、Li和Yeung（参见[1]）引入了网络编码的概念。网络是一个由不同类型顶点组成的有向多重图。源顶点通过中间顶点的通道向汇顶点传输消息。网络编码的思想允许在这些中间网络顶点处混合数据。当数据包被解释为来自有限域的符号向量，并且混合函数是线性变换时，会出现一种特殊情况。

2008年，K?tter和Kschischang考虑了不是通过传输的向量，而是通过它们所张成的向量空间来进行信息传输（参见[25]）。这类码被称为子空间码。K?tter和Kschischang证明了子空间码在网络传输中的有效性，它们在随机网络编码的纠错应用中引起了广泛关注。例如，参见[5]、[16]、[26]、[30]。

自正交子空间码在[9]中通过关联方案被引入。此外，LCD子空间码在[10]中被提出，并且研究表明在某些条件下，关联方案的公平划分可以产生LCD子空间码。从互不影响偏差的权重矩阵构造LCD子空间码的方法也在[10]中给出。

本文的结构如下：下一节我们将提供相关的背景信息。第3节中，我们将给出从互准不影响偏差的权重矩阵、对称设计的关联系统、对称群可除设计的关联系统以及这些设计的公平划分中构造自正交和LCD子空间码的方法。此外，我们还将给出从Deza图和II型Deza有向图中构造子空间码的方法。

章节摘录

预备知识

我们假设读者熟悉编码理论的基本事实（参见[18]）。关于子空间码的最新结果，我们建议读者参考[12]、[15]。在整个文中，$F_q$表示阶为q的有限域，其中q是某个素数幂。我们使用$I_m$表示单位矩阵，$J_m表示全1矩阵。$

一个长度为n、维数为k的q进制线性码C是$F_q^{}$k维子空间，其中q是一个素数幂。长度为n、维数为

自正交和LCD子空间码的构造

在本节中，我们提供了一种使用互准不影响偏差的权重矩阵、对称设计的关联系统、对称群可除设计的关联系统、II型Deza有向图和Deza图来构造自正交和LCD子空间码的统一方法。

定理1

设 $S=\{M_1,M_2,\; \dots ,M_m\}$ 是一组阶为n的整数方阵，设p是一个能整除$M_i{M}_j^{}$的矩阵的元素的所有素数。设$F_q$是阶为q的有限域，其特征为p。

致谢

作者感谢匿名审稿人的宝贵意见，这些意见显著改进了本文的表述。