将药物封装在纳米容器中并实现靶向释放是现代药理学领域研究最为活跃的课题之一[1]、[2]。此外，多孔纳米容器还被用于表面处理，以实现防腐蚀和修复微缺陷[3]。在农业中，纳米载体也被用于控制肥料和农药向土壤中的释放[4]。具有多孔壳层的纳米体在催化领域也有应用[5]。在食品工业中，纳米容器可用于包裹微量营养素；在废水处理技术中则可用于包裹试剂；甚至气体储存也同样适用[6]。
这些技术面临的主要挑战在于提高纳米容器的容量以及实现目标化合物（TC）的控释。第一个问题已通过例如溶胶-凝胶法合成二氧化硅介孔颗粒和目标物质等方法成功解决[7]。然而，第二个问题尚未得到妥善解决。根据具体技术的不同，纳米容器的类型及其封装的药剂种类不同，释放机制也各不相同。对于药物而言，已知有四种基本的释放机制[6]：1）由于浓度梯度，物质通过纳米容器的孔道扩散；2）由于环境化学作用导致容器壁破裂；3）水洗法；4）物理刺激，如温度、pH值、超声波、外部电场或磁场的变化。防腐蚀剂通常通过在目标区域机械或物理破碎纳米容器来实现释放。在农业和食品工业中，通常使用可生物降解或天然的封装材料；对于催化试剂的封装，则采用软木塞和开瓶材料[6]。
即时释放是通过机械破碎容器壁或其溶解来实现的。对于缓释过程，则结合多种扩散机制，这里无法一一列举所有机制。
实验研究包括对多种活性物质的封装，例如抗肿瘤药物、抗菌剂、膳食补充剂、着色剂、防腐剂等[7]、[8]。例如，在[9]中，采用模板溶胶-凝胶法将常用的抗菌剂苯基二甲[3-(肉豆蔻酰氨基)丙基]氯化铵（商品名米拉米星）封装到介孔二氧化硅纳米容器中。随后，进一步研究了米拉米星在水环境中的释放行为[10]。在[11]中，报道了一种利用聚合物阴离子交换树脂D08颗粒吸附葛根素酸的技术，并将其应用于水盐酸溶液中的解吸实验[12]。Basak和Bandyopadhyay[13]报道了将疏水性药物封装在胶束中的技术。在[14]中，研究扩展到了其他载体，并研究了紫杉醇从多种蛋白质和大分子纳米载体中的释放动力学。目前，对纳米尺度对象的研究非常活跃，因此针对这些过程的新模型和理论需求很高。
已经开发出了一整套数学模型，用于描述活性成分从载体中的释放过程，尤其是在药物释放领域。这些理论分为机理扩散模型和经验或半经验方法[15]。前者通常基于线性、圆柱形或球形几何体的单Fick扩散方程，并考虑了反映问题域间质量平衡或边界因溶解或侵蚀而移动的边界条件。后者中最著名的是Peppas模型[16]及其改进版本。现代研究还引入了神经网络技术[17]。根据现象的复杂性和所用方程的不同，可以获得解析解或数值解。
最早的实验模型之一是由Higuchi提出的[18]。该模型描述了药膏中药物的扩散速率，基于以下几个关键假设：高药物浓度、一维扩散、恒定的扩散系数、基质系统的溶解和膨胀可以忽略不计。基质系统的厚度必须远大于活性物质分子的大小。Ritger-Peppas[19]和Korsmeyer-Peppas[20]的半经验模型将聚合物系统中释放的药物量描述为时间的幂律函数。这一结果也可以通过将时间t时的释放量除以平衡状态下的释放量来获得。根据Brezel和Peppas模型[21]，聚合物中的药物释放可以通过两个参数来描述：界面膨胀指数和聚合物松弛时间与溶剂扩散时间的比值。这些参数对聚合物结构和药物的性质非常敏感。所提出的方程主要基于物质的化学性质（如膨胀和溶解），其准确性通过实验数据得到了验证。
吸附/吸收是指一种物质在另一种物质的表面或内部积累的过程。解吸则被视为相反的过程。尽管这些现象被解释为物理过程，但在现有的物理模型中，其动力学理论描述往往被忽略[22]。在扩散-反应模型中，有时会在扩散方程中加入与化学反应相关的项[23]、[24]。在线性吸附等温线的情况下，这一项可以与Fick定律中的浓度时间导数结合，从而得到具有修正扩散系数的均匀Fick定律。Grathwohl的著作[25]中对更复杂的情况和细节进行了阐述。许多其他模型及其讨论可以在相关综述[6]、[15]、[22]、[26]及其中的参考文献中找到。此外，还需要区分宏观尺度和微观尺度的药物释放模型。最近关于纳米容器和纳米尺度释放系统的综述[27]、[28]展示了当前的研究进展。
从我们的角度来看，由于对微观和纳米尺度上各种物质释放机制的理解不足，这个问题仍然具有重要意义。目前关于活性成分从多孔基质中脱离过程的理论研究仍然不多。例如[14]、[29]中的实验是在现有宏观模型框架下进行的。
本工作的目标是建立一个数学模型，用于描述多孔纳米容器中的目标化合物（TC）向液体环境中的释放过程，同时考虑纳米容器内部的时间依赖性过程。借鉴[30]的研究方法，我们考虑了由界面过渡连接的固相和液相扩散阶段。该问题属于非稳态问题，通过拉普拉斯变换进行了求解。因此，所提出的模型可以归类为基于扩散方法的机理模型。
