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本研究提出残差驱动自适应细化分布物理信息神经网络（RAR-D PINN），结合生物热传导模型，通过自适应残差采样优化采样点分布，提升乳腺癌前向建模与逆向参数估计精度。实验表明RAR-D PINN在L1和L2误差上优于传统PINN、有限元和有限差分方法，验证了其高效性与泛化能力，为生物医学领域提供可扩展的解决方案。
Somnath Das|Scindhiya Laxmi
印度理工学院（印度矿业学院）数学与计算系，丹巴德，826004，贾坎德邦，印度
摘要
物理信息神经网络通过将方程残差纳入损失函数，并在时空域内的配置点上强制执行这些残差，为将控制物理定律整合到网络训练中提供了有效的计算框架。在乳腺肿瘤检测中，物理信息学习的有效性受到乳腺组织内配置点空间分布的强烈影响，然而，现有方法依赖于传统的残差采样策略。本研究引入了一种基于残差的自适应细化方法——分布物理信息神经网络（RAR-D PINN），通过生物热建模实现乳腺肿瘤的精确检测。通过正向建模乳腺组织内的代谢和灌注驱动的热传递产生的温度分布，可以准确识别肿瘤区域。所提出的方法在乳腺癌检测方面的准确性已通过与基线物理信息神经网络、有限元和有限差分方法进行了严格验证。我们还展示了RAR-D PINN在热系数识别和基准偏微分方程（PDE）反向建模方面的潜力。仿真结果证实了该方法的一致性，并强调了在允许的自由参数范围内，所提出框架在估计乳腺模型内温度分布方面的性能提升。数值结果证明了其同时推断未知参数和准确近似解的能力，从而减少了相对误差。
引言
乳腺癌仍然是女性死亡的主要原因之一，过去二十年里，常规的乳腺X光筛查显著降低了死亡率（Ganesan等人，2012年）。然而，乳腺X光检查存在局限性，包括由于乳房压迫导致患者不适，以及在检测被密集组织遮挡的肿瘤时准确性降低（Chikarmane等人，2023年）。可疑发现通常会导致额外的筛查和高召回率（Gutierrez等人，2024年），这既增加了癌症检测的频率，也增加了假阳性的数量。这反过来又导致了不必要的活检（Siravegna等人，2017年），这些活检既昂贵又痛苦，对哺乳期母亲尤其具有破坏性。
寻找安全、无创且假阳性率低的辅助乳腺癌检测技术（Harada-Shoji等人，2021年）仍然是研究的重点。由于肿瘤具有较高的代谢和灌注率（Gonzalez-Hernandez等人，2020年），它们改变了从胸壁到乳房表面的自然热传递。将肿瘤视为热源的热传递建模，可以通过在多个配置点求解热传递方程来预测肿瘤。尽管之前的研究（Hlali等人，2021年；Mashekova等人，2022年；Soltani等人，2019年）通过使用感兴趣区域提高了效率，但它们需要大量的数据点来进行有效训练。这促使人们需要基于物理的热传递建模方法，而物理信息神经网络（PINNs）（Raissi等人，2019年）有效地解决了这一问题。
PINNs（Raissi等人，2019年；Cuomo等人，2022年；Jo等人，2024年）通过将控制物理定律直接嵌入学习过程，为求解正向和反向微分方程问题提供了强大的计算框架。此外，Jagtap和Karniadakis（2020年）将PINNs的时空域分解框架推广到任意复杂几何形状的域上，以求解非线性PDE。Fang（2021年）开发了一种混合PINN，该方法使用局部拟合方法近似微分算子来求解PDE，而不是自动微分（Baydin等人，2018年）。最近，PINNs被应用于生物医学问题，例如Mukhmetov等人（2023年）使用PINN框架预测乳腺组织中的温度分布并识别潜在的肿瘤区域。Perez-Raya等人（2024年）提出了一种利用生物热传递建模作为控制物理方程的变革性方法，并使用红外温度进行反向热传递建模以预测肿瘤热源的存在。
在生物医学工程应用中，PINNs将控制偏微分方程直接纳入损失函数，并在分散的时空配置（残差）点上进行评估。这些点在乳腺模型中的空间布置和分布对PINNs的准确性和性能起着关键作用（Zhang等人，2022年）。然而，利用PINNs的现有生物医学研究主要依赖于传统的残差采样技术，限制了它们的适应性和精度。相关研究包括Jiao等人（2024年）的高斯混合模型，该方法将自适应采样视为风险最大化问题。Gao等人（2025年）提出了一种全局-局部自适应重采样策略，即通过在整个域上均匀采样以及关注残差值高的区域来进行点选择。这种组合方法提高了PINNs的解决方案准确性。
本研究介绍了一种先进的基于残差的自适应细化方法——分布物理信息神经网络（RAR-D PINN）框架，用于生物热模拟，旨在乳腺癌检测。所提出的方法将基于残差的自适应空间域细化和分布纳入基线PINN中，能够准确定位乳腺组织中由肿瘤引起的热异常。通过嵌入Penne生物热传递模型（Gonzalez-Hernandez等人，2020年）的信息，并利用复杂的初始和边界条件，本文提出的方法增强了网络的有效学习和泛化能力。空间域上的未知热分布作为软约束纳入模型，而控制Penne生物热传递方程（Gonzalez-Hernandez等人，2020年）的参数作为硬约束来强制执行潜在的生物热物理规律。采用自动微分（Baydin等人，2018年），该方法确保了热行为的更准确表示，从而提高了诊断潜力并提高了肿瘤检测的可靠性。最后，通过与其他成熟方法的对比验证了实验结果，包括基线PINN（Raissi等人，2019年）、有限元方法（FEM）（Szabó和Babu?ka，2021年）和有限差分方法（FDM）（Ozisik等人，2017年）。数值评估结果强调了所提出方法在乳腺癌检测潜力和泛化能力方面的表现，优于基线PINN模型（Raissi等人，2019年）。
所提出的框架进一步扩展到反向问题，包括在生物热传递模型中识别未知的热系数和发现未知的标准PDE参数。这些反向问题本质上更具挑战性，因为控制方程或参数必须直接从数据中推断出来。为了评估RAR-D PINN的鲁棒性和泛化能力，研究了五个广泛研究的基准方程：Allen–Cahn方程、Burger方程、波动方程、反应-扩散方程和Helmholtz方程。结果表明，RAR-D PINN在准确估计参数的同时有效捕捉了非线性动态。这种解决正向和反向生物热问题以及进行数据驱动的PDE参数发现的双重能力，突显了RAR-D PINN在生物医学和物理系统预测建模中的更广泛应用和科学意义。本研究的主要贡献如下：
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自适应生物热正向建模：
开发了一种自适应残差驱动的物理信息神经网络框架（RAR-D PINN），用于生物热正向建模，通过有针对性的配置细化提高了肿瘤引起的热特征的分辨率。
反向热参数估计：
所提出的框架系统地扩展到反向生物热建模，允许从稀疏的表面温度测量中准确估计未知的热导率参数。•鲁棒性和泛化能力评估：
通过五个代表性基准PDE的反向建模，展示了RAR-D PINN的鲁棒性和泛化能力，涵盖了广泛的非线性和物理行为。统一的PDE发现框架：
建立了用于正向模拟、反向参数估计和数据驱动PDE发现的统一方法，突显了RAR-D PINN在生物医学和物理系统中的可扩展性和预测能力。本文的其余部分组织如下。第2节描述了采样策略、基线PINN架构和优化技术。第3节介绍了用于增强肿瘤检测的自适应域细化策略。第4节详细介绍了生物热传递正向建模设置以及相应的仿真结果和比较分析。第5节对使用RAR-D PINN进行的数据驱动热系数估计和基准PDE发现进行了深入研究。最后，第6节总结了本文并指出了未来研究的方向。
相关工作
相关工作
在本节中，我们讨论了配置点的采样策略和全连接物理信息神经网络（PINN）（Raissi等人，2019年），用于求解带有初始和边界条件的偏微分方程。
用于乳腺肿瘤生物热建模的残差驱动物理信息神经网络
本节介绍了基于残差的自适应细化方法——分布物理信息神经网络（RAR-D PINN）在乳腺热动力学中的应用和系统扩展，用于正向和反向生物热分析。基于Penne生物热传递公式（Gonzalez-Hernandez等人，2020年），所提出的框架旨在通过准确解析肿瘤引起的热特征来提高早期乳腺癌检测的准确性。
正向生物热传递模拟与分析
本节研究了所提出的RAR-D PINN在四种生物场景下的三维乳腺模型中的生物热正向模拟效果，并进行了详细的二维横截面分析。所有模拟都是使用PyTorch（Paszke等人，2019年）实现的，并在配备了Intel(R) Xeon(R) w7-3545处理器（2.71 GHz，24核心）和256 GB RAM的高性能计算系统上执行。
评估指标：数值结果进行了比较
反向模拟
本节检验了所提出的RAR-D PINN在反向生物热模拟中的预测潜力。此外，本研究还关注数据驱动的基准偏微分方程（PDEs）的发现，以评估所提出的RAR-D PINN框架的鲁棒性、泛化和可扩展性。
结论与未来研究方向
本研究介绍了一种基于残差的自适应细化方法——分布物理信息神经网络（RAR-D PINN）框架，用于正向和反向生物热建模，旨在实现非侵入性乳腺肿瘤检测。通过将自适应残差驱动的配置细化嵌入到物理信息学习过程中，所提出的方法有效地将计算资源集中在热梯度高的区域，从而准确解析肿瘤引起的温度
CRediT作者贡献声明
Somnath Das：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，方法论，研究。Scindhiya Laxmi：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，监督，方法论，研究，概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。
致谢
第一作者感谢印度人力资源开发部提供的财政支持，以完成这项工作。作者衷心感谢审稿人的建议、宝贵意见和有趣的建议，这些都极大地改善了论文的呈现
