用于线性系统首次通过动态可靠性敏感性分析的表面分解方法

提出一种新型表面分解方法用于线性系统在高斯随机激励下的首次通过动态可靠性灵敏度分析，将复杂积分分解为多个简单表面积分并引入重要性采样策略提升计算效率，适用于多参数情况。数值实验验证了方法的有效性。

　　

钱建华|张赛宏|苏成

香港大学土木工程系，中国香港

摘要

本文提出了一种新的表面分解方法，用于分析线性系统在高斯随机激励作用下的首次通过动态可靠性。该方法将首次通过失效概率的敏感性分解为在受限构件极限状态超曲面上的表面积分之和。由于线性系统的构件极限状态函数及其敏感性都有封闭形式的线性表达式，因此可以计算这些表面积分。引入了一种重要性采样策略来进一步提高计算这些表面积分之和的效率。可靠性敏感性分析所需的函数评估次数通常在10^2到10^3次之间。当考虑大量设计参数时，该方法特别有利，因为函数评估的结果可以在不同参数之间重复使用。通过三个数值示例来验证所提出方法的有效性。

引言

由于结构参数（如材料属性和阻尼比）以及外部载荷（如风、波浪和地震引起的地面激励）中普遍存在的不确定性，可靠性分析对于评估工程结构的安全性至关重要[1]、[2]。在结构动力学应用中，所谓的首次通过动态可靠性问题已被广泛研究，其中系统失效被定义为在任何随机载荷过程中任何关键性能指标超过其规定阈值的情况[3]。首次通过动态可靠性问题可以通过基于水平穿越过程的传统方法来解决，但这些方法通常仅限于涉及单一响应过程的情况[4]、[5]。为了克服这些限制，已经开发了各种可靠性方法，如基于替代模型的方法[6]、[7]、[8]、基于概率密度演化的方法[9]、[10]、[11]、[12]以及基于采样的方法[13]、[14]、[15]。

对于受到高斯随机激励的线性系统的首次通过动态可靠性问题，已经开发了几种先进的采样技术，以实现极其高效和高度精确的失效概率估计[16]、[17]、[18]、[19]。这些采样技术的共同特点是它们充分利用了系统的线性和激励的高斯性。高效的重要性采样[16]将其重要性密度构建为与构件极限状态函数相关的理论最优重要性密度的加权和，其中权重系数与构件失效概率成正比。这一想法在方向采样中得到了进一步扩展，形成了方向重要性采样[17]。域分解方法[18]将首次通过失效概率分解为可以通过直接蒙特卡洛模拟计算的域积分之和，然后引入重要性采样方案来估计它们的总贡献。多域线采样[19]也利用了域分解的思想，其中得到的域积分通过线采样来解决，并采用类似的重要性采样策略来估计它们的总和。

可靠性敏感性分析旨在量化和理解系统参数的微小扰动对系统失效概率的影响[20]、[21]、[22]，这在基于风险的决策[23]、[24]和基于可靠性的设计优化[25]、[26]中至关重要。已经开发了几种基于采样和基于替代模型的方法来解决可靠性敏感性问题。在前一类方法中，卢等人[27]和宋等人[28]分别扩展了线采样和子集采样，用于分析基本随机变量的分布参数的可靠性敏感性。Iason等人[29]开发了顺序重要性采样，用于估计指标函数中出现的设计参数的可靠性敏感性，其中使用了指标函数的平滑近似。在后一类方法中，Rahman[30]利用通过维度分解构建的替代性能函数研究了概率分布参数的矩和可靠性敏感性。Dubourg和Sudret[31]结合了基于克里金的重要性采样和评分函数方法来研究设计参数对结构失效概率的影响。Yun等人[32]开发了一种结合自适应子域采样和自适应克里金构建的方法来计算失效概率敏感性。值得注意的是，与它们在可靠性分析中的应用类似，基于替代模型的可靠性敏感性方法通常仅限于具有低维不确定输入的问题。

首次通过动态可靠性的敏感性分析是可靠性敏感性分析的一个具有挑战性的分支，近年来受到了越来越多的关注[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]。在基于采样的方法的背景下，Au[34]提出了一种高效的模拟方法，用于涉及一个或两个参数的基于动态可靠性的敏感性分析，通过人为构建一个扩展的可靠性问题。Jensen等人[35]研究了一种基于子集仿真的方法，用于计算不确定设计变量的分布参数对首次穿越失效概率的敏感性。此外，Chun等人[36]开发了一种用于一般系统问题的参数敏感性分析的顺序复合方法，并将该方法应用于线性系统的首次通过动态可靠性问题。Yang等人[37]扩展了概率密度演化方法，用于评估非线性结构的首次通过动态可靠性敏感性。Li等人[38]也扩展了直接概率积分方法，用于分析非线性结构的首次通过失效概率敏感性。Xian和Su[39]开发了一种高效的方法，用于分析分数阻尼结构的首次穿越动态可靠性，结合了显式时域方法、伴随变量方法和泊松过程方法。值得注意的是，与它们在可靠性分析中的应用类似，基于替代模型的可靠性敏感性方法通常仅限于具有低维不确定输入的问题。

首次通过动态可靠性的敏感性分析代表了可靠性敏感性分析的一个具有挑战性的分支，近年来受到了越来越多的关注[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]。在基于采样的方法的背景下，Au[34]提出了一种高效的模拟方法，用于涉及一个或两个参数的基于动态可靠性的敏感性分析，通过人为构建一个扩展的可靠性问题。Jensen等人[35]研究了一种基于子集仿真的方法，用于计算不确定设计变量的分布参数对首次穿越失效概率的敏感性。此外，Chun等人[36]开发了一种用于一般系统问题的参数敏感性分析的顺序复合方法，并将该方法应用于线性系统的首次通过动态可靠性问题。Yang等人[37]扩展了概率密度演化方法，用于评估非线性结构的首次通过动态可靠性敏感性。Li等人[38]也扩展了直接概率积分方法，用于分析非线性结构的首次通过失效概率敏感性。Xian和Su[39]开发了一种高效的方法，用于分析分数阻尼结构的首次穿越动态可靠性，结合了显式时域方法、伴随变量方法和泊松过程方法。此外，在基于高斯随机激励的线性系统的发展基础上，方向重要性采样和域分解方法已分别扩展到[40]和[41]中的可靠性敏感性分析。

本质上，可靠性敏感性分析涉及在极限状态超曲面上评估高维积分，这通常计算起来具有挑战性[29]，特别是对于具有高度非光滑和非线性极限状态超曲面的首次通过动态可靠性问题。幸运的是，在受到高斯激励的线性系统的情况下，上述复杂的表面积分可以非常高效地计算。本文提出了一种新的表面分解方法来实现这一目的。该方法的核心概念是将复杂的表面积分分解为在受限构件极限状态超曲面上的简单表面积分之和。所谓的受限构件超曲面正好对应于对系统极限状态超曲面有贡献的相应构件超曲面的活动部分。这种策略的有效性在于计算这些构件表面积分的简便性，因为构件极限状态函数及其敏感性的封闭形式线性表达式是可用的。进一步引入了一种重要性采样方案来估计这些构件表面积分的总贡献。通过对振荡器、剪切型结构和建筑框架结构的首次通过动态可靠性问题进行敏感性分析，证明了所提出方法的可行性。

部分摘录

动态响应的显式表达式

线性系统的运动方程可以表示为