用于混合模式岩石断裂的广义插值相场物质点方法

岩石真三轴压缩下压缩-剪切混合断裂模拟方法研究。提出PF-GIMP方法，嵌入三维非线性强度准则到相场框架，结合广义插值材料点法提升数值稳定性，准确模拟裂纹萌生、扩展及交互过程。

　　

周晓平|吕奇|谢良福

新疆大学土木工程学院，乌鲁木齐，830046，中国

摘要

岩石在真实三轴压缩下的断裂受到复杂的压缩-剪切相互作用和中间主应力效应的控制，这对主要针对拉伸主导失效开发的传统相场公式来说仍然是一个挑战。为了克服这一限制，提出了一种显式的广义插值相场物质点方法（PF-GIMP）来模拟压缩-剪切混合断裂过程。将三维非线性强度准则以能量形式嵌入相场框架中，从而能够显式考虑中间主应力，并提供更一致的多轴岩石失效表示。广义插值物质点方法（GIMP）用于减轻物质点穿越网格边界时产生的数值噪声，从而提高计算稳定性和准确性。数值示例表明，所提出的方法能够准确再现压缩-剪切载荷下的裂纹起始和扩展。因此，PF-GIMP框架为模拟复杂应力条件下地质材料的断裂演化提供了一个高效且力学上一致的工具。

引言

许多工程实践表明，由于内在结构特征、自然风化和工程扰动，岩体通常包含各种类型的缺陷。这些预先存在的缺陷显著降低了岩体的整体强度，并增加了灾难性不稳定的可能性。^1,2 这类不稳定性过程通常涉及在外部载荷作用下裂纹的起始、扩展和聚合，伴随着拉伸、拉伸-剪切和压缩-剪切失效模式。因此，理解岩体的断裂演化过程对于岩石工程的稳定性评估和保护设计具有重要的理论和实际意义。随着计算力学和计算机图形的快速发展，数值模拟逐渐成为研究岩石断裂的主要工具。与经验方法相比，数值模型可以更准确地表示裂纹演化及其对岩体力学响应的影响，为研究固体材料中的渐进性断裂机制提供了强大的平台。

目前，模拟裂纹扩展的数值方法大致可以分为两类：基于连续体的方法和基于不连续体的方法。基于不连续体的方法——如离散元方法（DEM）^3,4、不连续变形分析（DDA）5, 6, 7——能够显式跟踪裂纹几何形状，从而准确表示沿裂纹的块体运动。然而，这些方法通常计算效率较低，且需要复杂的参数调试。基于连续体的方法——如有限元方法（FEM）8, 9, 10、扩展有限元方法（XFEM）11, 12, 13和场增强有限元方法14, 15, 16——在连续框架内对断裂进行建模。特别是XFEM引入了额外的自由度来捕捉位移不连续性，而无需重新网格划分。尽管这些方法精度很高，但在模拟多个3D裂纹的起始、扩展和相互作用时可能会遇到挑战。¹⁷

从概念上讲，断裂模型可以根据裂纹是表示为离散不连续体还是扩散损伤区来进行分类。离散裂纹方法通过显式描述裂纹表面，可以准确表征裂纹几何形状及其演化。裂纹粒子方法（CPM）18, 19, 20是一种代表性方法，它能够在不显式表示裂纹表面或跟踪裂纹路径的情况下有效表征位移不连续性，并已成功扩展到三维断裂问题，显示出在模拟复杂裂纹扩展和相互作用方面的良好鲁棒性。与XFEM相比，CPM在处理裂纹拓扑演化时通常具有更高的数值稳定性。然而，这些方法虽然提供了清晰的裂纹几何描述和较高的局部精度，但算法复杂性和计算成本通常较高，尤其是在大规模三维问题中。

在本研究中，采用了基于连续介质假设的扩散裂纹表示方法，以相场模型（PFM）作为核心框架。PFM引入了一个连续标量场来表征材料损伤演化^21,22，将几何上尖锐的裂纹转化为具有有限宽度的扩散损伤区域，从而避免了显式裂纹跟踪、额外的断裂准则和重新网格划分等复杂操作。在统一的能量变分框架下，裂纹起始、扩展、分叉和聚合过程都可以自然实现，显著提高了数值模拟的鲁棒性和实现难度。在此基础上，任等人23, 24, 25通过引入非局部算子构建了一个统一的相场断裂问题变分框架，实现了多种物理模型在非局部形式下的一致表达。此外，他们通过显式时间积分、局部阻尼和质量缩放等策略显著提高了相场模型的计算效率。这些工作为相场方法在大型和复杂断裂问题中的应用奠定了重要基础。近年来，PFM与神经网络26, 27, 28和其他数据驱动技术的结合显示出巨大的发展潜力，并已逐渐应用于岩石断裂行为的分析和预测29, 30, 31。然而，应该注意的是，大多数当前的基于PFM的数值方法仍然主要是为拉伸主导的断裂过程设计的，其中断裂驱动力通常来源于拉伸应变能或其分解形式。因此，在准确模拟压缩-剪切失效机制、摩擦滑动行为和复杂应力状态下的断裂演化方面仍存在局限性。

为了解决这个问题，提出了各种混合和增强的相场公式。例如，周等人³²、贾等人³³和Navidtehrani等人³⁴分别基于Mohr-Coulomb、Hoek-Brown和Drucker-Prager强度准则开发了压缩-剪切裂纹驱动力，使得在复杂应力状态下能够进行失效预测。基于B-K准则³⁵，刘等人³⁶建立了一个改进的PFM，结合了拉伸、拉伸-剪切和压缩-剪切断裂模式，有效捕捉了岩石在压缩下的混合模式失效。除了上述基于强度的驱动力公式外，最近的进展强调了将强度准则纳入相场框架中的变分一致性的重要性。李等人³⁷在严格的能量变分设定下开发了粘聚-摩擦相场模型，能够在准脆性材料中进行混合断裂建模，同时保持热力学一致性。例如，提出了一个结合强度准则的粘聚-摩擦相场模型，以在统一的变分框架中捕捉混合断裂机制。此外，Bourdin等人³⁸建立了一种广义变分方法，将任意凸强度准则纳入相场公式，提供了一种系统的方法来构建具有可调强度表面的断裂模型。最近，Vicentini等人³⁹开发了具有灵活可调强度包络的变分相场模型，用于描述复杂应力状态下的粘聚断裂。这些工作显著提高了基于强度的相场公式的理论严谨性，并为模拟摩擦和混合模式断裂过程提供了一致的能量基础。

随后，Choo等人⁴⁰引入了一个耦合的PFM-塑性框架，描述了地质材料中从拉伸断裂到剪切断裂，最终到塑性流动的渐进转变。尽管有这些进展，传统的强度准则仍然难以考虑微裂纹对脆性岩石失效的影响，限制了它们在真实三轴压缩条件下准确预测岩石强度行为的能力。为了克服这一限制，Fei等人^41,42创新性地提出了一种应力投影分解方法，该方法采用局部坐标系有效捕捉断层摩擦和裂纹扩展之间的相互作用。Fei等人的后续研究^43,44和Feng等人的研究⁴⁵扩展了这一框架，以模拟更复杂的混合模式断裂行为，并成功再现了不同加载条件下的裂纹起始、粘附和滑动。然而，这些模型通常需要评估垂直和切向于裂纹表面的应力分量，这使得它们的数值实现相对复杂。

基于上述研究进展，本研究提出了一种基于非线性强度准则的广义插值相场物质点方法（PF-GIMP），该方法基于更新的拉格朗日框架。PF-GIMP捕捉了真实三轴压缩条件下中间主应力对岩石强度的影响。通过将强度准则以能量形式嵌入相场控制方程中，所提出的方法可以更准确地表示压缩-剪切载荷下的复杂断裂机制。此外，GIMP插值策略的引入进一步提高了数值精度和计算稳定性46, 47, 48。本研究首先通过使用一维材料柱来展示GIMP方法在计算精度上的显著改进，与传统的物质点方法相比。随后，通过模拟含有单裂纹和双裂纹的试样的压缩-剪切失效来验证所提出方法的有效性。此外，提出了一个三维基准问题，通过系统考虑不同大小的中间主应力的影响来进一步证明所提出方法的有效性。

本文的其余部分组织如下：第2节推导基于非线性强度准则的相场断裂模型。第3节描述了耦合控制方程的空间和时间离散化。第4节详细介绍了所提出的PF-GIMP框架的数值实现。第5节通过几个数值示例验证了所提出方法的准确性。第6节总结了本文。

部分摘录

相场模型的控制方程

在本研究中，采用了显式的相场公式²¹来模拟裂纹扩展。与隐式矩阵基求解器相比，显式方案消除了求解全局系统方程的需要，从而避免了隐式方法中常见的收敛问题⁴⁹。这种方法显著提高了计算效率和算法简洁性。

如图1所示，相场模型表示嵌入宏观域中的扩散裂纹$\Gamma$

PF-GIMP方法中的插值函数

在传统的MPM中，使用基于元素的线性形状函数会导致当物质点穿越背景网格边界时精度显著损失。如图2(b)所示，这些形状函数的梯度在元素接口处发生突变。因为物理量——如质量、动量和损伤——通过形状函数在物质点和网格节点之间连续投影，这种梯度不连续性在

PF-GIMP计算过程

PF-GIMP的整体解决方案流程如图3所示。在每个时间步的开始，首先将材料属性分配给初始物质点，这些点包含基本物理量，如质量、速度、应力状态和断裂相场。然后，根据形状函数将物质点处的物理量映射到背景网格节点（图3(a)），从而构建求解动量和相场所需的离散变量

数值示例

本节通过几个典型的数值示例系统验证了所提出的PF-GIMP方法在混合断裂模拟中的有效性和适用性。首先，使用一维材料柱在重力作用下的响应来展示GIMP方法与传统的物质点方法相比在计算精度上的显著改进。第二和第三个示例分析了具有单

结论

本研究提出了一种广义插值相场物质点方法（PF-GIMP），用于模拟岩石的混合失效过程。所提出的框架结合了一个基于微观力学的非线性强度准则，该准则显式考虑了中间主应力对应力强度的影响，使得在复杂加载条件下岩石材料的失效机制表示更加真实。在数值实现中，采用了显式

CRediT作者贡献声明

周晓平：写作 – 审稿与编辑、方法论、资金获取、形式分析。吕奇：写作 – 审稿与编辑、原始草稿编写、可视化、验证、软件、方法论、形式分析。谢良福：写作 – 审稿与编辑、形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

作者感谢中国自然科学基金（编号：CSTB2023NSCQ-LZX0025）和中国自然科学基金（编号：W2511036的支持。