在飞机设计过程中，构建完整的空气动力学数据库是整体空气动力学性能评估的核心步骤。然而，空气动力学特性受到多维非线性因素的影响，如马赫数、雷诺数、攻角、侧滑角、方向舵偏转角以及高焓流下的热化学参数，导致飞行状态空间的维度很高。传统的测试和仿真方法往往需要高昂的成本来全面覆盖飞行包线内的所有操作条件。因此，充分利用历史飞机配置的空气动力学数据，并使用新配置的稀疏空气动力学样本来构建空气动力学数据库，对于降低成本和提高飞机空气动力学建模的效率至关重要。
为了高效构建高维、非线性的空气动力学数据库，数据驱动方法已在空气动力学建模领域得到广泛应用。Kutz等人[1]深入回顾了卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN）和生成对抗网络（GAN）在流场预测、湍流重建和超分辨率增强中的作用。Brunton等人[2]系统总结了深度神经网络、降阶模型和强化学习在流体力学中的应用，指出数据驱动与物理约束的结合是实现高效预测和控制的关键方向。Kramer等人[3]回顾了非侵入式降阶模型方法在流体力学建模和非线性动态预测中的应用。Tang等人[4]回顾了智能流体力学方法在空气动力学建模、流场预测和湍流建模中的应用。Zhang等人[5]回顾了人工智能方法在空气动力学数据融合与重建、多物理场和多学科耦合建模以及机器学习湍流建模中的应用。Júnior等人[6]基于深度神经网络替代模型和元启发式优化算法获得了阻力系数更小的形状。Raul等人[7]使用克里金模型进行基于代理的空气动力学优化，以延迟和缓解机翼的深度动态失速特性。Zhang等人[8]结合克里金方法和降阶模型方法，利用分布式载荷信息作为建模约束，在跨音速和可变形状条件下实现了机翼的集中力预测。Wang等人[9]使用数据增强和迁移学习，在小样本条件下实现了不同形状空气动力学热风洞测试结果的高精度预测。Shan等人[10,11]使用数据驱动方法改进了分离流的经典湍流闭合模型。Ji等人[12]结合深度神经网络和迁移学习，实现了双旋转投体的非稳态空气动力学特性的准确预测。上述数据驱动的黑盒空气动力学建模方法能够在训练数据状态范围内实现空气动力学力的高精度预测，并具有一定的泛化能力。
尽管数据驱动的黑盒模型在多个领域取得了显著进展，但前述研究指出了它们的瓶颈：在分布外输入条件下的泛化能力仍然较弱，且模型容易发生空气动力学预测发散。因此，黑盒模型在空气动力学数据外推方面的可靠性面临挑战。然而，在实际工程中，遍历飞行包线内所有空气动力学样本的成本非常高，且空气动力学数据往往不完整，这需要通过外推来进行空气动力学预测。
与黑盒数据驱动方法相比，以符号回归为代表的白盒数据驱动方法可以从空气动力学数据中提取物理表达知识，具有很强的可解释性，并为空气动力学模型的外推提供物理基础。符号回归主要采用进化算法，通过选择、交叉和变异表达式种群来构建最符合数据集的表达式[[13], [14], [15], [16]]。利用符号回归，可以进行白盒空气动力学建模和空气动力学知识发现。Guo等人[17]使用符号回归对波形翼压力增量进行建模，并将其纳入遗传算法框架中以优化波形翼的钝度。Wu等人[18]使用符号回归算法同化SST湍流模型，获得了模型校正因子的符号表达式。Ma等人[19]结合尺寸均匀性约束和符号回归，发现了两种典型非平衡流动的未知本构关系。Ding等人[20]使用符号回归从地面测试到飞行测试中挖掘空气动力学偏差规律，实现了后续飞行任务的空气动力学特性的准确预测。
此外，使用符号回归提取空气动力学力的缩放参数而不是完整的空气动力学表达式，可以在保持白盒方法的可解释性和物理直觉的同时，更简洁地描述空气动力学特性及其物理本质。缩放参数是一个无量纲参数，它是缩放量的核函数。以缩放函数作为自变量，可以将不同流动条件下的空气动力学特性对齐到同一函数曲线上，从而实现不同空气动力学条件下的有效外推[[21], [22], [23]]。与完整表达式相比，缩放参数的核心优势在于其可迁移性和强大的泛化能力：它抓住了空气动力学现象的“骨架”，并使用关键的无量纲量进行非线性降维和空气动力学参数的外推。缩放参数已广泛应用于空气动力学领域，如雷诺数外推[24,25]、高超音速粘性扰动效应的缩放[26]、空气动力学力[24,25,27]和空气动力学热[28,29]预测。近年来，许多学者使用白盒方法进行了缩放参数提取的研究。Luo等人[21]提出了自适应空间变换（AST）方法来提取尖锐锥体轴向力系数的缩放参数并进行外推预测。Xie等人[30]结合传统尺寸分析和机器学习发现了物理数据中的物理功率缩放规律。Jiang等人[31]提出了多空间相关性理论以实现高超音速热流的缩放。基于此，Lin等人[32]使用符号回归结合多项式拟合提取了空气动力学力的缩放参数表达式，并将轴向力缩放参数扩展为具有可变参数的缩放函数，成功实现了其他形状的轴向力通用建模。这些工作激发了我们从白盒数据中提取空气动力学缩放函数的研究。
然而，上述通过符号回归提取空气动力学缩放参数的研究没有考虑模型在训练过程中的跨形状迁移能力，因此无法保证模型在新配置上能够实现正向迁移。因此，我们将迁移学习的概念纳入缩放函数学习中。通过在模型训练期间保留一个微调接口（缩放函数表达式中的可调参数），我们使用来自多种形状的空气动力学数据预训练一个具有形状泛化能力的缩放函数框架，从而使提取的空气动力学缩放函数自然具备多任务处理能力。
在这项研究中，我们开发了一个可迁移的缩放函数学习框架。在使用符号回归为多种形状提取统一的缩放函数框架时，表达式中的常数项被用作未确定系数。然后针对训练集中的不同形状优化该框架，以预训练一个能够泛化到该形状的缩放函数框架。最后，使用新配置的稀疏空气动力学样本来对其进行微调，从而高效地为新配置构建空气动力学模型。
本文的结构如下：第2节提出了一种可迁移的缩放函数学习（T-SFL）方法，该方法可以使用源域中多种形状的空气动力学数据共同提取适用于各种形状的缩放函数骨架。此外，可以使用目标域中新配置的缩放函数和稀疏空气动力学数据对新配置的空气动力学模型进行微调。第3节提供了高速飞机的计算示例，使用T-SFL方法提取HB-2和尖锐锥体的空气动力学缩放函数，并使用三种新配置验证了缩放函数的形状泛化和状态外推能力。第4节进一步通过跨音速机翼案例验证了T-SFL方法的能力。第5节是对本文的总结。
