多值结构的同态保持定理

有限模型论中同态保持定理的扩展与代数结构分析，将Rossman的有限证明推广到多元谓词逻辑，并建立适用于可变代数结构的有限同态保持定理，揭示经典逻辑的核心特征对扩展的支撑作用，为约束满足问题提供新理论基础。

　　

摘要

摘要

模型论中的一个经典结果是同态保持定理（homomorphism preservation theorem，简称h.p.t.），该定理指出：一个一阶公式在所有结构上的同态作用下保持不变当且仅当它等价于一个存在性正公式（existential-positive formula）。这一结论通常通过紧凑性论证（compactness argument）得到证明。Rossman（2008年）证明了该定理在有限结构上也同样成立，这是有限模型论领域的一个重要成果。这与通过紧凑性证明的其他保持定理形成对比——因为后者不成立时，前者也会随之失效[2、[27]。此外，传统模型论中几乎所有在有限结构上仍然成立的结论，其证明方法在有限结构下也同样适用。Rossman的成果具有代表性，因为它表明有些结论在有限结构下仍然成立，但其证明方法完全不同。由于存在性正公式与合取查询的并集之间存在等价关系[7，这一成果对约束满足（constraint satisfaction）领域也具有重要意义。另外，Dellunde和Vidal（2019年）证明了该定理在某些一阶多值逻辑（first-order many-valued logics）中也成立，这些逻辑的结构（无论是有限的还是无限的）都是基于固定的有限MTL-chain定义的。

在本文中，我们将这两个研究方向结合起来。我们展示了如何将Rossman关于有限结构下的h.p.t.的证明扩展到广泛的多值谓词逻辑（many-valued predicate logics）中。通过这一研究，我们提出了Dellunde和Vidal结果的有限版本，该版本不仅适用于基于比MTL-chain更一般的代数结构，还允许这些代数在不同模型之间变化。我们从模型论的角度出发，确定了经典逻辑中使Rossman的证明成立的关键特征，并证明了任何满足这些特征的非经典逻辑也具备相应的有限h.p.t.。这项研究为多值逻辑的有限模型论发展提供了一个起点；正如经典的有限h.p.t.对约束满足问题有影响一样，多值的有限h.p.t.也对值约束满足问题（valued constraint satisfaction problems）具有启示意义。

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