岩浆从深处侵入地壳较浅层时所产生的压力可能会导致原本完整的围岩发生断裂（Anderson, 1939, 1951; Spence and Turcotte 1985; Lister and Kerr 1991）。这种由岩浆驱动的断裂形成了称为岩脉的平面岩浆体，它们是填充有岩浆的伸展裂缝。岩脉及其他由岩浆驱动形成的片状侵入体的几何形状对其形成机制提供了关键约束，同时记录了它们形成过程中的古应力状态以及局部和区域应力场的变化（Delaney et al., 1986; Glazner et al., 1999; Martinez-Poza et al., 2014; Stephens et al., 2018）。因此，它们的二维（2D）几何形状被用来理解远场应力，而它们的方向则通过三维（3D）莫尔圆（Mohr-circle）分析被广泛用于推断主应力的相对大小和方向（Jolly & Sanderson, 1997; Yamaji and Sato, 2011; Martinez-Poza & Druguet, 2016; Pascal, 2021）。因此，岩脉的几何形状在其基于实地的定量研究中起着重要作用。
当岩浆使原本完整的围岩发生断裂时，断裂形成的壁面会相互远离，沿着最小主应力轴移动。这导致岩脉以I型断裂的形式打开（Gudmundsson 2020; Pollard and Martel, 2020）。根据I型断裂形成的典型模型（Parker, 1981; Gudmundsson, 1983a, 1983b），以下假设成立：（i）围岩是均匀的、各向同性的且具有弹性；（ii）在断裂形成过程中最小主应力保持不变；（iii）最小主应力实际上是拉应力，并且垂直于断裂面。在岩浆驱动的断裂条件下，这些假设表明岩脉以椭圆形的I型断裂打开（见补充图表-1），其长宽比定义为沿走向方向的最大厚度与总长度的比值，该比值远小于1。这种椭圆形几何结构在大致垂直于岩脉体的剖面中观察最为明显。本研究中所有关于I型岩脉的几何描述和测量均基于此类剖面的观察结果。这种椭圆形几何结构的长宽比是进行关键定量分析的基础，包括估算岩浆过压和岩脉起源深度，前提是已知围岩的杨氏模量、泊松比和密度，以及侵入岩浆的密度（Gudmundsson, 1983a, 1983b; Kusumoto et al., 2013; Becerril et al., 2013; Biswas et al., 2023）。
岩脉研究中一个持续存在的实际挑战是部分野外暴露现象，即只有岩脉的一个尖端或根本没有尖端暴露出来。这限制了对其实际几何形状的准确重建。为了解决这一挑战，比斯瓦斯等人（Biswas et al. 2023）提出了一种几何方法，用于在仅暴露出一个尖端的情况下估算岩脉的完整尺寸。
该方法假设暴露的岩脉尖端与二维笛卡尔坐标系的原点重合，其中横坐标和纵坐标分别对应于椭圆岩脉露头的主轴和次轴（见补充图表-2）。然后根据沿岩脉暴露长度的系统厚度测量，在岩脉周边标出点。接着通过所有可能的点对构建椭圆。必须确保每个椭圆的主轴与岩脉的主轴平行，并且其中一个尖端与暴露的岩脉尖端重合。通过平均所有新生成的椭圆对应的参数，可以获得部分暴露岩脉的完整尺寸。这种方法此后被称为“单尖端椭圆法”，对于理想的椭圆形岩脉（I型）能够提供稳健的结果。然而，对于几何形状偏离这种理想形式的岩脉，其适用性仍需进一步研究。
野外研究表明，由于多种因素，岩脉的形状和几何结构往往与理论上的椭圆形有显著偏差，包括围岩的异质性（Gudmundsson, 2020; Pollard & Martel, 2020）、岩浆固化过程中岩脉尖端的楔形变形以及围岩的非弹性变形（Daniels et al., 2012）、主应力轴方向的变化（Pollard & Martel, 2020; Biswas & Mondal, 2024）、由于弹性自由表面（地球表面）的存在导致岩脉上端的前伸膨胀（Pollard et al., 1983; Rivalta & Dahm, 2006），以及存在层理或预先存在的断裂等结构各向异性（Jolly & Sanderson, 1995; Delaney et al., 1986）。Rivalta等人（2015）和Townsend等人（2017）的综述详细总结了在不同因素作用下岩脉传播的力学模型。虽然多种因素影响岩脉的最终几何形状，但本研究重点考察了由主应力轴重新定向形成的几何结构。
在岩脉侵入初始完整的围岩时，形成的断裂壁面会相互远离，沿着最小主应力轴移动。这导致岩脉以I型断裂的形式打开（Gudmundsson 2020; Pollard and Martel, 2020）。根据I型断裂形成的典型模型（Parker, 1981; Gudmundsson, 1983a, 1983b），以下假设成立：（i）围岩是均匀的、各向同性的且具有弹性；（ii）在断裂形成过程中最小主应力保持不变；（iii）最小主应力实际上是拉应力，并且垂直于断裂面。在岩浆驱动的断裂条件下，这些假设表明岩脉以椭圆形的I型断裂打开（见补充图表-1），其长宽比定义为沿走向方向的最大厚度与总长度的比值，该比值远小于1。这种椭圆形几何结构在大致垂直于岩脉体的剖面中观察最为明显。本研究中所有关于I型岩脉的几何描述和测量均基于此类剖面的观察结果。这种椭圆形几何结构的长宽比是进行关键定量分析的基础，包括估算岩浆过压和岩脉起源深度，前提是已知围岩的杨氏模量、泊松比和密度，以及侵入岩浆的密度（Gudmundsson, 1983a, 1983b; Kusumoto et al., 2013; Becerril et al., 2013; Biswas et al., 2023）。
岩脉研究中的一个持续实际挑战是部分野外暴露现象，即只有给定椭圆露头的一个尖端或没有尖端暴露出来。这限制了对实际几何形状的准确重建。为了解决这一挑战，比斯瓦斯等人（Biswas et al. 2023）提出了一种几何方法，用于在仅暴露出一个尖端的情况下估算岩脉的完整尺寸。
该方法假设暴露的岩脉尖端与二维笛卡尔坐标系的原点重合，其中横坐标和纵坐标分别对应于椭圆岩脉露头的主轴和次轴（见补充图表-2）。然后根据沿岩脉暴露长度的系统厚度测量，在岩脉周边标出点。接着通过所有可能的点对构建椭圆。必须确保每个椭圆的主轴与岩脉的主轴平行，并且其中一个尖端与暴露的岩脉尖端重合。通过平均所有新生成的椭圆对应的参数，可以获得部分暴露岩脉的完整尺寸。这种方法此后被称为“单尖端椭圆法”，对于理想的椭圆形岩脉（I型）能够提供稳健的结果。然而，对于几何形状偏离这种理想形式的岩脉，其适用性仍需进一步研究。
野外研究表明，由于多种因素，岩脉的形状和几何结构往往与理论上的椭圆形有显著偏差，包括围岩的异质性（Gudmundsson, 2020; Pollard & Martel, 2020）、岩浆固化过程中岩脉尖端的楔形变形以及围岩的非弹性变形（Daniels et al., 2012）、主应力轴方向的变化（Pollard & Martel, 2020; Biswas & Mondal, 2024）、由于存在弹性自由表面（地球表面）导致岩脉上端的前伸膨胀（Pollard et al., 1983; Rivalta & Dahm, 2006），以及存在层理或预先存在的断裂等结构各向异性（Jolly & Sanderson, 1995; Delaney et al., 1986）。Rivalta等人（2015）和Townsend等人（2017）的综述详细总结了在不同因素作用下岩脉传播的力学模型。虽然多种因素影响岩脉的最终几何形状，但本研究重点考察了由主应力轴重新定向形成的几何结构。
在岩脉传播过程中，局部应力场会发生变化，主应力轴的方向也会改变。这导致混合模式加载，包括初次打开（I型）和平面内剪切（II型）以及平面外剪切（III型）的组合（图1（a）（Delaney & Pollard, 1981; Nicholson & Pollard, 1985; Pollard & Martel, 2020）。本研究考察了由混合模式I-III加载形成的岩脉几何结构，这是由于III型加载叠加在最初以I型断裂打开的岩脉上所致。这些岩脉表现出分段的几何形状，各个段落以系统性的阶梯状排列，反映了剪切的方向。由于岩脉最初以I型断裂打开，因此与初次I型开口相关的残余椭圆性很可能在混合模式I-III岩脉中得到保留，正如本研究中从尖端到尖端的暴露测量结果所示。因此，我们首先使用单尖端椭圆法来测试从（i）新墨西哥州Ship Rock的东北岩脉（Delaney and Pollard 1981）；（ii）印度卡纳塔克邦Pavagada的长英质脉状体（Biswas and Mondal 2024）；（iii）使用基于有限元方法的软件生成的类似阶梯状裂缝的两种不同几何结构获得的混合模式I-III几何结构，以确定该方法对混合模式I-III岩脉单端暴露的适用性。在此过程中，我们开发了一种基于单端暴露的混合模式I-III岩脉几何尺寸量化的协议。最后，该方法应用于印度达尔瓦尔克拉通Closepet花岗岩中部分暴露的基性岩脉，以估算它们的岩浆过压和起源深度。在深入研究之前，有必要讨论混合模式I-III岩脉的渐进演化过程以及纯I型几何结构的残余椭圆性的保留情况，这将在以下部分详细阐述。
