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本文在Solow模型中引入生产延迟，探讨人口负增长对经济周期和稳定性的影响，利用Lambert W函数解析延迟微分方程，发现不同延迟方式产生异质动态，验证了人口负增长加剧模型不稳定的结论。
安娜·波莱奇 | 松本昭夫
雅盖隆大学社会科学博士学院，主广场34号，克拉科夫，31-010，波兰
摘要
本文探讨了在简单的索洛资本积累模型中如何出现周期性行为，即使人口增长率不一定为正。为此，本文引入了生产延迟（即建设时间），由此产生的资本积累方程是一个具有延迟依赖系数的延迟微分方程。通过使用Lambert函数，本文构建了一个条件，在该条件下，延迟与人口增长率的相互作用可能导致经济中出现周期性行为，并可能在稳态附近改变稳定性，从而产生持续的波动和增长周期。本文大量借鉴了Lambert函数的性质，而这一函数迄今为止更多应用于精确科学领域，而非社会科学。此外，本文还证明了：（i）如果人口减少，模型更可能不稳定；（ii）将延迟直接引入积累方程的强度形式会产生质量上相似或不同的动态。
引言
本研究是松本昭夫和Szaridovszky [1] 的延续，他们通过引入两个延迟（生产延迟和折旧延迟）扩展了索洛 [2] 的连续时间增长模型。因此，一个延迟微分方程描述了资本积累过程，其中确认了三个主要结果：（i）单独的生产延迟是无害的；（ii）较大的折旧延迟可能会使原本稳定的索洛模型变得不稳定；（iii）当这两个延迟相等或不等时，可以构建出稳定性转换曲线。本研究增加了两项最新发展：一个是数学发展，另一个是经济发展。前者应用Lambert W函数（此后简称为W函数）来提高延迟动态分析的数学复杂性。后者通过明确处理负人口增长率来重新考虑经济增长问题，而负人口增长率近年来已成为许多发达国家长期经济增长的“难题”。
延迟微分方程具有超越性特征，这使得寻找解析方法变得困难。为了避免这种困难，现有文献中的标准方法将分析限制在延迟方程的特征根纯为虚数的情况，然后进行数值分析来考虑不稳定稳态的动态，但这样会牺牲解的准确性。本研究使用Lambert函数来解析求解延迟微分方程，其优势在于能够找到延迟微分方程的精确解，并消除数值解的不准确性。尽管Lambert函数的概念可以追溯到两个多世纪前的数学文献，但使用该函数的经济动态分析直到最近才出现。特别是，Jankauskien?和Miliūnas [3] 考虑了适用于分析农业市场价格动态（具有延迟供应）和Kalekian商业周期模型的延迟微分方程。Ruzgas等人 [4] 扩展了他们的模型，并使用Lambert函数求解线性和非线性延迟微分方程。
自20世纪50年代以来，人口结构发生了重大变化，人们对人口老龄化和减少的担忧日益增加。越来越多的国家生育率多年来一直保持在非常低的水平。因此，这些国家的人口已经达到了峰值，并且持续减少。人口增长率是支持一个国家经济增长的重要因素。图1绘制了经合组织国家总人口的对数与人口增长率的关系。3纵轴表示人口总数在550万至10亿之间，横轴表示增长率在-1.5%至2%之间。每个国家用三位数的国家代码表示。同一地区的国家用相同的颜色标记（例如，欧洲国家用蓝色表示）。整个平面分为两个子区域：一个为负增长率的浅绿色区域，另一个为正增长率的浅红色区域。我们看到，像日本（1.23亿）、德国（8400万）、意大利（6000万）和波兰（3900万）这样的人口大国已经出现了负人口增长率。预计法国（0.2%，6900万）、韩国（0.21%，5200万）和西班牙（0.12%，4700万）等人口增长率接近零的国家不久也会出现负增长，因为这些国家的生育率近年来一直低于2%。在标准增长理论中，人口增长率通常假设为正。然而，图1中浅绿色区域的人口统计证据表明，理论应该考虑负人口增长率。有几项研究关注人口增长下降的问题。Sasaki [7] 研究了当人口增长率为负时，具有CD和CES生产函数的索洛模型的长期增长。一个有争议的结果是，即使人口增长率为负，人均产出增长率也可能为正。Daitoh [8] 指出，Sasaki的结果在很大程度上依赖于经验上无关的负人口增长率。我们从延迟动态的角度考虑了负人口增长造成的影响。
本文的结构如下：第2节简要回顾了索洛模型，然后引入了时间延迟。第3节讨论了延迟对经济增长的影响。第4节比较了由两种不同延迟资本积累方程生成的动态。第5节提出了结论性意见并概述了进一步的研究方向。
章节摘录
索洛模型
本节有两个小节：第一节简要回顾了传统的索洛模型，第二节将其引入生产延迟。需要注意的是，通过线性齐次生产函数，密集型资本积累与扩展型资本积累相关联。
延迟索洛模型的动态分析
本节考虑了由方程（7）生成的延迟动态。为此，以下
