本研究提出了一种用于确定具有单一标的资产的路径依赖型美式期权公允价值的定价模型。路径依赖型美式期权是一种同时具备路径依赖性和美式行权特征的衍生品。实际应用中常见的金融工具包括美式回望期权、美式亚洲期权、美式障碍期权、强制性可转换优先股以及带有向下调整条款的可转换债券。
由于需要同时考虑路径依赖性和美式行权特性，路径依赖型美式期权的估值通常具有挑战性。具有路径依赖性的欧式期权可以通过蒙特卡洛等方法进行定价，这些方法采用向前归纳的方式。相比之下，不含路径依赖性的普通美式期权可以通过格子法或有限差分法等采用向后归纳的方法进行定价。然而，路径依赖型美式期权通常无法通过解析方法定价，需要复杂的数值定价技术。据我们所知，目前尚不存在适用于路径依赖型美式期权的通用定价框架。
在评估路径依赖型美式期权时，常见的方法是扩展向后归纳或向前归纳技术来构建定价模型。然而，如二叉树模型这样的向后归纳方法存在一个主要问题：格子结构无法适应路径依赖变量。因此，在扩展这些方法时，如何处理路径依赖变量是一个关键问题。相比之下，如蒙特卡洛方法这样的向前归纳方法则面临由于模拟的顺序性而难以评估继续价值条件期望的挑战。因此，在扩展这些方法时，确定最优行权边界（即继续价值）成为主要关注点。
许多研究探讨了路径依赖型美式期权的定价模型。作为我们提出模型的基础，二叉树模型通常适用于美式期权的估值，该模型由Cox等人（1979年）[1]开发。Hull和White（1993年）[2]将插值近似应用于二叉格子上的每个节点的路径依赖变量，从而减少了计算中需要考虑的路径数量。这种方法使得随着时间步长的增加，能够高效计算出不断增加的路径依赖变量值。Babbs（2000年）[3]进一步扩展了Hull和White（1993年）[2]的模型，并将其应用于美式回望期权的估值。与Hull和White（1993年）[2]将股票价格和执行价格视为独立变量的做法不同，Babbs（2000年）[3]将股票价格与执行价格之比的对数视为一个单一变量。这种方法通过使用单一变量创建了一个可重组的格子结构，显著提高了计算效率。这些模型仅适用于特定的金融产品。我们采用了Babbs（2000年）[3]的方法作为美式回望看跌期权定价的对比模型。
Longstaff和Schwartz（2001年）[4]开发了最小二乘蒙特卡洛方法（LSMC），这是一种用于近似美式期权估值的方法。具体而言，该方法通过最小二乘回归估计每个路径的最优行权策略（即最优行权时间）。这种方法将美式期权的估值问题转化为求解最优停止问题或估计最优行权边界的问题。在使用蒙特卡洛模拟定价路径依赖型美式期权时，最终归结为估计继续价值的问题。尽管LSMC已经存在二十多年，但它仍然受到广泛研究，并常被称为美式蒙特卡洛方法。许多研究致力于通过准确近似继续价值并解决由此产生的误差来高效解决最优停止问题。因此，提高计算效率仍然是一个核心挑战。
LSMC的一个主要缺点是其计算精度高度依赖于回归函数的选择，而这必须预先确定。为了解决这个问题，Schoutens（2000年）[5]引入了Hermite多项式和Legendre多项式等正交多项式作为单项式的替代基函数。Egloff（2005年）[6]和Egloff等人（2007年）[7]将线性回归技术扩展到非线性和非参数回归中。后续还有进一步的改进，例如Tompaidis和Yang（2014年）[8]、Mu等人（2018年）[9]以及Goudenège等人（2020年）[10]用二叉格子模型或解析积分替换了蒙特卡洛方法以提高继续价值的估计精度。Broadie和Glasserman（2004年）[11]以及Glasserman（2004年）[12]提出了随机网格方法，该方法适用于标的资产的转移概率密度函数已知的情况。Andersen等人（2016年）[13]开发了一种快速计算美式期权最优行权边界的算法，他们结合高斯-勒让德积分和雅可比-牛顿迭代方法解决了每个时间网格点上最优行权边界满足的积分方程。然后，通过切比雪夫多项式插值在时间网格点上确定整个期权期间的最优行权边界。
近年来，机器学习和深度学习在马尔可夫决策过程（MDP）中的最优停止问题求解方面被广泛应用于美式期权定价。一些机器学习方法即使在小数据集下也能捕捉变量之间的复杂关系，并且对异常值具有鲁棒性。Antos等人（2007年）[14]和Li等人（2009年）[15]提出使用强化学习来解决MDP问题。Lin和Almeida（2021年）[16]提出了一种使用机器学习定价美式期权的方法，他们用支持向量回归或分类回归树替换了LSMC中的普通最小二乘回归。他们证明了这些方法可以减少模型过拟合和基函数选择误差等问题。Becker等人（2019年）[17]和Han等人（2018年）[18]利用神经网络在高维环境中提高了计算效率。
上述研究主要集中在开发能够准确高效计算路径依赖型美式期权价格的模型上，从而显著提高了计算效率。因此，这些方法侧重于实现这一目标，而没有关注模型的通用性或全面性，尽管这看起来可能是一种间接的方法。然而，很少有研究明确说明路径依赖变量的结构。此外，据我们所知，目前还没有从微观的路径层面出发开发出通用模型。即使是一些能够揭示路径依赖变量结构的模型，也往往依赖于特定的近似方法，这使得它们的准确性依赖于这些近似的准确性。此外，许多模型都是为特定产品量身定制的。
受这些问题的启发，我们提出了一种通过将路径依赖性（导致估值复杂化的关键因素）作为张量表示的综合性定价模型。在我们提出的基于张量的路径依赖型美式期权定价模型中（以下简称“我们的模型”），我们在二叉格子的每个时间步骤分配一个张量，将每个张量元素与到达该时间步骤的每条路径关联起来，从而构建路径依赖变量。然后，利用二叉格子的性质对每个张量元素进行向后归纳，最终确定路径依赖型美式期权的价格。
我们模型的目的是通过明确使用张量表示路径依赖变量的结构来推广路径依赖型美式期权的定价框架。我们的模型提供了一种适用于所有具有单一标的资产的路径依赖型美式期权的通用定价方法，而不需要针对特定产品进行定制。具体来说，它以统一的方式系统地表示路径依赖变量的结构。原则上，只需根据产品特性指定函数形式，就可以对任何具有单一标的资产的路径依赖型美式期权进行估值。有关我们模型的更多细节，请参见Kato（2008年）[19]。
作为我们模型的数值示例，我们对典型的路径依赖型美式期权（包括回望型、障碍型和亚洲型期权）进行了定价。虽然该模型的主要目的并非直接提高计算效率，但我们从产品特性的角度考察了计算性能，这与定价框架的结构设计不同。此外，我们还全面讨论了所提出的基于张量的定价框架的通用性、相对于现有替代方法的数值性能、计算挑战、在不同参数设置下的鲁棒性以及向随机利率和局部波动率模型的扩展潜力。此外，我们还分析了美式回望看跌期权的最优行权边界的特性。路径依赖变量的结构和最优行权边界可能因产品条件而异。然而，跟踪结构表示中的时间变化并理解特定条件下的行权边界对于解释产品特性至关重要。在这方面，所提出的模型也证明了其价值。
本文的其余部分安排如下：第2节介绍了基于张量的路径依赖型美式期权定价模型；第3节提供了针对典型期权的数值示例，重点关注从产品角度出发的计算效率；第4节总结了研究内容。附录A包含了引理和定理的证明以及模型的C++源代码；附录B提供了路径依赖变量计算的示例；附录C包含了基于张量的定价模型的C++实现。
