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轴对称谱方法用于分析多层横观各向同性介质的不完美界面热力耦合接触问题，结合Fourier-Bessel展开与双变量状态空间递推，通过同心圆环离散化实现接触压力与热流密度的全场重构，验证了Hertz解并揭示了涂层结构中应力集中与von Mises局部化的机理。
A. Vattré | A. Marano | V. Chiaruttini | E. Pan
DMAS, ONERA, 巴黎萨克雷大学, 92320 Chatillon, 法国
摘要
本文开发了一种用于轴对称热弹性压痕分析的谱方法，适用于具有不完美机械和热界面的多层各向同性半空间。该公式结合了傅里叶-贝塞尔展开与双变量状态空间表示法，其中每个径向模式通过多层结构递归传播，并使用稳定状态空间算子进行计算。不完美的机械传递通过有限的法向和切向界面刚度来模拟，而不完美的热传递则通过卡皮察型热导率来描述，从而在保持牵引力和热流连续性的同时允许位移和温度的突变。未知的接触区域通过同心环状离散化来处理，其环状载荷幅度在无摩擦的单边约束下通过数值方法确定，随后用于重建全场位移、应力、温度和热流。与预定表面温度相关的热环权重通过配置系统的直接反演获得，而机械环权重则通过对接触不匹配度的加权最小化得到，同时考虑全局载荷约束。验证基准测试恢复了均匀各向同性半空间的赫兹解，并量化了在预定温度升高下均匀各向同性介质的力-半径和力-深度响应的热弹性变化。对基于超合金的涂层结构的应用表明，层状结构、梯度过渡、热弹性不匹配以及界面柔顺性主要重新分配了剪切应力和面内应力，并显著放大了压痕下的冯·米塞斯局部化效应。因此，该框架为高温压痕分析提供了计算基础，并支持扩展到温度依赖的本构和界面属性，以实现定量识别。
引言
仪器化压痕技术已成为探测微观和纳米尺度下异质材料局部机械响应的关键方法（Chollacoop等人，2003年；Giannakopoulos和Suresh，1999年；Idrissi等人，2024年；Kiener等人，2023年；Luo等人，2024年；Magazzeni等人，2021年；Oliver和Pharr，1992年；Orozco-Caballero等人，2021年；P?hl，2019年；Rossi等人，2023年；Texier等人，2024年；Wheeler等人，2015年；Zhu等人，2015年）。除了载荷-位移曲线、接触刚度和耗散能量等全局可观测量外，压痕技术还能提供控制接触下损伤起始的局部位移和应力场。对于涂层、多层堆叠和梯度系统而言，这一能力尤为重要，因为它们的机械性能取决于属性不匹配、有限厚度效应和界面完整性（Bumgardner和Li，2015年；Elizalde等人，2003年；Li等人，2024年；Luo等人，2022年；Qu等人，2017年；Wang等人，2012年；Zotov等人，2009年）。
赫兹理论为均匀各向同性半空间的球形压痕提供了封闭形式的解（Hertz，1881年；Hertz，1882年；Johnson，1985年）。然而，在涉及弹性各向异性、分层和耦合物理场的配置中，这些假设经常被违反（Dong等人，2020年；Fu等人，2022年；Güler等人，2017年；He等人，2025年；Jiang等人，2025年；Jin等人，2025年；Jin等人，2024年；Kulchytsky-Zhyhailo和Bajkowski，2016年；Pan等人，2025年；Qi等人，2022年；Vasiliev，2019年；Yang等人，2024年；Yang等人，2022年；Yang和Ke，2008年；Zisis等人，2015年）。热障涂层系统是一个典型的例子，因为陶瓷顶层、金属粘合层和超合金基底在刚度、热膨胀和热导率方面存在显著差异（Kwon等人，2008年；Racek和Berndt，2007年）。在压痕过程中，应力约束会放大不连续性，并促进由面内应力和剪切传递驱动的失效机制（Li等人，2024年；Qu等人，2018年）。
界面行为控制多相系统中的载荷传递和场局部化，尽管完美键合的界面仍然是常见的基本假设（Choi和Paulino，2008年；Fu等人，2024年；Tang等人，2022年；Zhang等人，2018年）。有限的法向和切向柔顺性改变了位移连续性（Benveniste和Chen，2001年；Chen和Hutchinson，2004年；Jin等人，2025年；Pei等人，2024年；Wang等人，2017年；Zhang和Wang，2020年），而有限的热导率引入了温度突变，这些突变通常通过卡皮察型热阻来理想化（Jiang等人，2025年；Kapitza，1941年；Tian等人，2020年；Vattré，2024年；Vattré和Pan，2021年；Zhao和Shen，2021年）。这些界面效应可能会微弱改变全局压痕曲线，但显著重塑应力梯度、应力局部化以及驱动裂纹和分层形成的等效量。
由于高温压痕、加热尖端实验和热机械加载接触等需求，热弹性耦合在压痕和微接触研究中的重要性日益增加（He等人，2017年；Li等人，2016年；Qu等人，2018年）。热膨胀引入了特征应变，并将机械平衡与热传导耦合起来，因此预定的热激励会同时改变压痕曲线和亚表面应力状态。在各向同性介质中，这种效应被放大，因为弹性响应、热膨胀和热传导在径向和轴向方向上有所不同，且层状不匹配增加了额外的约束。
对于多层各向同性半空间的预测性热弹性压痕建模仍然具有挑战性，因为接触压力分布未知，并且必须满足无摩擦压痕条件下的非负性和无牵引力条件（Fischer-Cripps，2007年；Lawn，1993年；Yastrebov，2013年）。基于傅里叶-贝塞尔展开的谱轴对称公式通过将控制方程转换为以径向变换变量参数化的模态子问题，并使用稳定的状态空间算子在多层结构中传播每个模式来克服这些困难（Jin等人，2025年；Jin等人，2024年；Liu等人，2018年；Pan，1989年；Pan，2019年；Pan等人，2025年；Pan等人，2021年；Vattré和Chiaruttini，2022年；Vattré和Pan，2019年；Vattré和Pan，2022年；Vattré和Pan，2025年；Vattré等人，2026年；Zhang和Pan，2019年）。机械和热变量可以组装成一个统一的状态向量，从而实现双变量公式，在变换域中计算机械和热激励的典型单位响应，并高效叠加（Vattré，2024年；Vattré和Pan，2021年）。接触的实现可以依赖于将接触盘离散化为与傅里叶-贝塞尔盘因子匹配的同心环状载荷（Jin等人，2025年；Jin等人，2024年；Zhang和Pan，2019年），从而稳定地获取积分量和局部场。
本研究开发了一种轴对称傅里叶-贝塞尔和环状载荷公式，用于具有不完美界面的多层各向同性半空间的耦合热弹性球形压痕分析。该框架能够提供全深度范围内的全局压痕曲线和全场量，包括法向和剪切应力、面内应力分量以及冯·米塞斯等效应力，支持与涂层完整性和界面可靠性相关的机理解释。具有固定系数的预定热激励提供了一个基准，可以隔离结构和界面机制，并为在高温和极高温度下的仪器化压痕分析中包含温度依赖的本构和界面属性提供了途径，以实现定量解释和参数识别。
本文的结构如下：第2节介绍耦合热弹性边界值问题；第3节详细阐述了傅里叶-贝塞尔谱公式和多层传播器的构建；第4节介绍了环状载荷接触算法和场重建；第5节报告了验证和应用示例。
节选内容
边界值问题描述
本节定义了多层半空间轴对称压痕的耦合热弹性边界值问题。几何结构包括一个刚性球形压头压在分层介质的平面表面上，场在圆柱坐标系中表示，并在内部界面处施加连续性条件。给出了机械平衡和稳态热传导的控制方程，以及将应力与弹性应变耦合的本构关系。
谱公式和格林函数
本节介绍了一种基于傅里叶-贝塞尔展开的谱轴对称公式，该公式将耦合热弹性场方程转换为以径向变换变量参数化的模态问题。对于每个模式，深度依赖性在每层内进行解析处理，并通过状态空间表示和传递框架在多层结构中传播，同时满足预定的界面边界条件。
数值方法
本节描述了热接触问题的耦合谱公式的数值实现。接触区域被离散化为同心环状元素，使得未知的压力和热载荷分布能够表示为与傅里叶-贝塞尔盘因子兼容的环状叠加。所得的代数系统由预计算的变换域响应组成，并在施加非穿透约束的接触条件下求解。
应用示例
这里使用球形压痕作为控制探针，研究均匀和分层半空间中的耦合热弹性场，重点关注影响涂层和界面完整性的量。该部分从验证到工程应用进行了组织：第一个计算验证了机械接触求解器对于均匀各向同性半空间的赫兹参考解，而第二个示例将验证扩展到均匀各向同性介质。
结论
建立了用于多层各向同性半空间球形压痕的耦合热弹性接触公式，这些半空间的界面不完美。该方法结合了傅里叶-贝塞尔谱表示和双变量、逐层传播策略，能够在厚堆叠和对比强烈的结构中产生稳定的场解。接触的实现依赖于将未知的接触区域离散化为同心环状环，其
CRediT作者贡献声明
A. Vattré：撰写 - 原始草稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。A. Marano：验证、调查。V. Chiaruttini：验证、调查。E. Pan：撰写 - 审稿与编辑、验证、调查、形式分析、概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。
