基于改进的Washburn方程的乳粉润湿过程的数学建模

乳制品粉末湿润过程中，基于改进的Washburn方程建立了考虑颗粒膨胀、吸湿和局部粘度的数学模型。通过显微观测和实验验证发现温度显著影响膨胀速率，高溶解度粉末在室温下即呈现快速膨胀和溶解现象，导致孔隙缩小和局部粘度增加，从而限制后续吸湿。模型预测与实验数据吻合度达82%的R2值，揭示了颗粒膨胀与孔隙阻隔的动态关系，为优化乳粉复水工艺提供理论支撑。

　　

Gonzalo A. Martinez-Hermosilla | Derek Knighton | Iman Hashemizadeh | Zitong Huang

福尔顿塔研发中心（Fonterra Research and Development Centre），Dairy Farm Road，Palmerston North 4472，新西兰

摘要

确保乳粉充分复水对于保证产品质量和消费者满意度至关重要，同时还能优化加工过程和经济效益。润湿作为复水的初始步骤，涉及用液体覆盖粉粒，对于实现有效溶解至关重要。为了更深入地了解这一过程，我们开发了一个数学模型，通过调整Washburn方程来预测乳粉的润湿情况，其中考虑了颗粒膨胀、吸水性和局部粘度等关键因素。该模型通过对两种不同膨胀速率和颗粒大小的乳蛋白浓缩物（MPC）粉末进行实验验证。使用光学显微镜在室温和40°C下研究了颗粒膨胀情况。结果表明，温度显著影响了膨胀速率，尤其是高溶解度粉末，在室温下就表现出快速膨胀和一定程度的溶解。Washburn实验用于测量液体通过粉末层的吸收情况，发现膨胀速率通过改变颗粒间空间从而增加了质量传递的阻力。如果膨胀迅速且颗粒发生溶解，缩小的毛细管和增加的局部粘度可能会在短时间内减少液体吸收。模型对液体吸收量的预测与实验数据吻合度较高，两种MPC的R2值约为0.82。模型表明，与较小颗粒或较高表面张力的影响相比，快速溶解会显著限制润湿过程。确保颗粒间有足够的间距可能有助于在毛细管堵塞前改善润湿效果。该模型为乳粉的润湿性能提供了宝贵见解，可用于复水过程，并能在实验前评估颗粒大小、膨胀速率和颗粒-水相互作用。

引言

润湿是乳粉复水过程中的第一步，也许也是最重要的一步。润湿过程包括粉粒最初吸收水分，随后颗粒浸入液体中并最终从液体表面消失（Crowley等人，2016年）。大多数情况下，润湿被认为是乳粉复水过程中的限速步骤（Crowley等人，2016年；Kim等人，2002年）。粉末性质和组成、溶剂性质、温度或加工条件等因素都会对润湿性能产生影响。

乳粉与水的相互作用方式各不相同。例如，乳清蛋白分离物由于颗粒表面脂质形成的疏水屏障，可能导致润湿过程较长，复水过程中容易结块且颗粒不膨胀（Ji等人，2016a；Gaiani等人，2009年）。另一方面，乳粉中的乳糖具有亲水性，能够吸引水分，同时有助于酪蛋白胶束的空间分离，这对初始润湿阶段特别有益（Ji等人，2016a；McSweeney等人，2021年）。例如，富含乳糖的脱脂奶粉更容易吸水，从而促进复水（Roy和Amamcharla，2025年；Ji等人，2016b）。然而，其他类型的粉末（如颗粒表面蛋白质浓度较高的粉末）由于其表面活性特性可能会影响润湿性。例如，以酪蛋白为主的粉末由于胶束结构之间的强烈相互作用而分散效果较差（Ji等人，2016a）。

在润湿过程中，由于液体被吸收到颗粒结构中以及水与成分之间的相互作用，粉末可能会发生变形。含有乳糖的粉末通常会出现收缩现象，这归因于乳糖的溶解（Selomulya等人，2024年）。相反，一些粉末会因吸收液体而膨胀，这在高蛋白粉末中尤为明显（Crowley等人，2016年；Gaiani等人，2006a）。温度（Crowley等人，2016年；Gaiani等人，2006a）或组成（Gaiani等人，2006b；Wu等人，2019年）等因素可能会影响膨胀的速率和程度。

液体进入颗粒层的速率取决于两种相互对立的力量，这些力量与颗粒间通道的大小有关。液体进入毛细管的吸引力由毛细管压力驱动，直径较小的毛细管具有更高的毛细管压力。液体通过毛细管的流动受到流动阻力的阻碍，粘度较高或毛细管较细时阻力更大。对于具有毛细管的固体材料，这两种力量之间的实际平衡被称为Washburn关系（Washburn，1921年）。该关系假设材料可以建模为一系列捆绑在一起的毛细管。这一概念是开发颗粒润湿数学描述的关键要素：

$\backslash frac\{dh\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sigma\; \backslash cdot\; r\; \backslash cdot\; c\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash theta\}\{4\; \backslash cdot\; \backslash mu\; \backslash cdot\; h\}\; 其中$h(t) 表示随时间变化的液 front 位置，t 表示时间，σ 表示表面张力，r_c 表示毛细管半径，θ 表示液体与颗粒之间的接触角，μ 表示液体的粘度。

多项研究应用了Washburn模型。Forny等人用Washburn关系描述了氯化钠晶体与植物油的润湿过程（Forny等人，2011年）。Wangler和Kohlus利用方程1估算了黄原胶、瓜尔胶和海藻酸的复水情况（Wangler和Kohlus，2017年）。Kammerhofer等人结合Washburn模型和差分质量传递方程，研究了液体在异质模型系统中的渗透速率（Kammerhofer等人，2018年）。Masoodi等人提出了一种改进的Washburn模型，用于描述类似纸张结构的润湿过程，其中考虑了纤维膨胀随时间的线性变化（Masoodi和Pillai，2010年）。Markl等人也提出了类似的模型来描述药片的润湿过程（Markl等人，2017年）。Cai等人综述了过去100年的毛细流动研究，详细讨论了不同毛细管几何形状的影响（Cai等人，2022年）。

润湿过程中颗粒大小的变化可能会影响液体在颗粒间和通过颗粒的传递。例如，由于膨胀导致颗粒尺寸增大，可能会减少液体传递的通道空间，从而增加阻力。润湿颗粒的溶解可能会进一步提高局部粘度，进一步减缓液体进入的速度。据我们所知，尚未有数学模型描述润湿过程中膨胀的乳粉的润湿现象。因此，我们提出了一个改进的Washburn模型，将颗粒膨胀、液体吸收和局部粘度作为模型的主要组成部分。该模型通过与实验结果对比来评估其预测准确性。

部分内容

乳蛋白浓缩物粉末描述

选择了两种具有不同膨胀速率的乳蛋白浓缩物（MPC）原型（NZMP，Fonterra合作社集团有限公司）来验证模型。选择它们是因为它们的膨胀速率不同，且膨胀过程足够缓慢，可以记录下来。这两种原型在制造工艺上有所不同，表现出不同的复水行为。本研究考虑的MPC的关键性质总结在表1中。

MPC的膨胀速率测量

MPC的膨胀速率是通过观察来确定的

概念模型

该模型的目标是预测由于润湿作用在粉层中随时间积累的液体质量（图3）。一旦颗粒与液体接触，液体就开始在粉层中上升。随着液体通过颗粒间的空隙移动，部分液体被颗粒吸收，导致颗粒膨胀并减小孔隙大小。因此，接触水的时间越长，孔隙大小就越小。这一效应还受到位置的影响

MPC的膨胀速率

图8展示了用于确定膨胀速率的图像示例。膨胀速率受到MPC类型和温度的影响。在20°C下，MPC 1的膨胀程度低于MPC 2。在实验结束时，观察到MPC 2有轻微的溶解现象。在40°C下，两种MPC都表现出快速膨胀和显著的溶解现象。

结论

改进后的Washburn模型通过考虑颗粒膨胀和液体吸收有效地预测了乳粉的润湿过程。在调整粘度后，模型的预测结果与实验数据吻合良好。与传统Washburn模型不同，该模型成功识别了由于快速膨胀和局部粘度增加而在模拟时间内液体吸收的停止现象。这代表了显著的改进

CRediT作者贡献声明

Zitong Huang： 方法论、研究、数据整理。 Iman Hashemizadeh： 验证、方法论、研究、概念化。 Derek Knighton： 编写——审阅与编辑、验证、方法论、研究、数据分析、概念化。 Martinez-Hermosilla Gonzalo Andres： 编写——审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、方法论、研究、数据分析、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文的研究结果。