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二维平衡-分散色谱模型研究及其在HPLC优化中的应用，采用拉普拉斯和汉克尔变换求解可逆反应体系的浓度分布，分析流速、轴向弥散、边界条件等参数影响，验证模型准确性并揭示高效液相色谱分离机制。
Muhammad Tamoor|Farman Ullah Khan
数学系，HITEC大学，塔克西拉47080，拉瓦尔品第，巴基斯坦
摘要
本研究对一个二维平衡-扩散（2D-EDM）色谱模型进行了全面的分析和数值研究，该模型描述了两种溶质之间的可逆反应。该系统采用圆柱形几何结构，代表了高效液相色谱（HPLC）的典型特征，由内相和外相两个同心区域组成。轴向域从进样口延伸到出样口，同时明确考虑了内相注射产生的径向效应。为了处理几何复杂性和瞬态传输行为，采用了拉普拉斯变换和汉克尔变换来求解控制方程。该模型能够系统地评估流速、轴向扩散、径向位置、佩克莱数以及边界条件（狄利克雷边界和诺伊曼边界）对溶质浓度分布的影响。通过数值拉普拉斯反演技术验证了分析解的准确性，证明了其强一致性和数值稳健性。研究结果揭示了洗脱动态对流体动力学和边界参数的显著敏感性：狄利克雷边界条件促进更快的洗脱速度，而诺伊曼边界条件则增强保留效果。总体而言，所提出的框架为理解同心色谱系统中的质量传输和反应动力学提供了机制上的洞察，并为优化先进HPLC应用的分离效率和操作性能提供了严谨的工具。
引言
液相色谱是一种将混合物分离成各组分的方法，以便进一步进行定量分析和纯化处理（1）。液相色谱已使用了一个多世纪，并发展成当今强大的技术（2）。俄罗斯植物学家和化学家Mikhail Tsvet首次提出了色谱的概念。他通过将不同颜色的植物色素、类胡萝卜素和叶绿素通过填充有碳酸钙的通道进行实验，因此将这种技术命名为“色谱”，这个词由两个希腊词组成：“chroma”意为颜色，“graphein”意为书写，因为在实验过程中会出现色带。他的发明在20世纪中叶之前一直存在不确定性。在那个时代，科学家们使用色谱技术分离植物色素和其他化合物（3）。在英国科学家Synge和Martin的工作之后，色谱领域得到了进一步的发展，他们在20世纪40年代提出了分配色谱法，并因此获得了1952年的诺贝尔化学奖（4）。实际上，他们在实验中使用了液-液色谱法分离氨基酸（4）。由于柱技术和流动相传输以及检测器设计的改进，液相色谱在20世纪60年代末迅速发展，这使得高压操作成为可能，并在20世纪80年代广泛采用了高效液相色谱（HPLC）这一术语（5, 6）。HPLC具有高灵敏度和分辨率以及更短的分析时间，这主要归功于其使用的小尺寸固定相颗粒和精心控制的柱子硬件（7, 8, 9）。它的应用范围涵盖了蛋白质组学、制药、环境监测和代谢组学等领域。通过几何和流体动力学优化可以进一步提高柱子的性能。例如，建议采用径向出样流分割来提高效率，而在渐近扩散条件下，壁效应会增加长而窄的柱子的板高。因此，通常需要提高填充质量、减小床层长宽比并增加横向扩散来降低板高（10）。这些策略对于需要高产品纯度的复杂分离尤其有价值，从而激发了对固定床和逆流（移动床）配置的研究（11）。
与此同时，生物制药行业面临着降低开发成本和时间的压力，这加速了预测建模的应用。基于等温线的模拟框架的比较评估表明，混合模型可以显著减少预测误差，表明适当定制的混合模型能够捕捉到关键机制，如吸附平衡和质量传递动力学（12）。快速柱筛选、计算机辅助方法开发、方法转移以及可靠的化合物鉴定需求也推动了精确保留时间预测的研究。在这种背景下，越来越重视固液吸附的基本原理，分子级方法（如蒙特卡洛模拟和分子动力学模拟）对于解释那些无法通过经验或纯统计模型很好描述的复杂保留行为非常有前景（13）。因此，机制建模对于过程优化和表征至关重要，特别是在治疗性蛋白质纯化中，色谱常常是一个关键瓶颈（14）。最近在二维液相色谱（2D LC）方面的进展使得复杂天然产物的分离达到了极高的分辨率，最近的综述强调了先进的检测器组合和现代化学计量工具如何增强2D LC工作流程中的定性和定量分析（15）。
几十年来，线性平衡-扩散模型和通用速率模型一直为色谱柱提供理论描述。现代研究采用高阶数值方案来求解对流-扩散反应方程，并考虑轴向扩散、径向扩散、吸附动力学和热效应（16）。Javeed等人（2013年）分析了具有狄利克雷边界和罗宾边界的平衡-扩散模型和集总动力学模型，并展示了使用拉普拉斯变换获得分析解的方法（17）。后续的数值研究应用了有限体积和不连续伽辽金方案，在粗网格上实现高精度并避免数值扩散。本研究考虑了线性等温线，并专注于具有两种组分之间可逆反应的2D-EDM色谱模型的分析解。该研究的几何结构如图1所示。将柱截面划分为内芯和外环的合理性在于反映了实验实践，即通过柱截面的部分区域（无论是中心还是环形边缘）注射样品，以创建有意的径向浓度梯度。由于径向扩散有限，仅通过部分截面注射会产生沿柱子持续的非均匀溶质分布，从而影响分离性能。因此，我们的模型允许注射半径从零（纯环形注射）变化到整个柱半径，当使用整个截面时则恢复为一维EDM（10）。
在存在精确（分析）解的情况下，分析解通过数值方法进行验证；否则，采用数值拉普拉斯反演进行验证。分析过程中使用了两种变换：拉普拉斯变换和汉克尔变换。汉克尔变换处理了几何结构中的流动径向效应，而拉普拉斯变换将时间域转换为频率域。在本研究中，拉普拉斯域（频率域）解是必不可少的，因为只有在拉普拉斯域解可用时才能进行模型的矩分析。时间和中心矩可以从半分析解中获得；参见例如18, 19。在无法进行分析拉普拉斯反演的情况下，我们进行数值拉普拉斯反演以恢复实际域（时间）中的解（参见例如20）。高分辨率有限体积方案（HR-FVS）用于数值求解模型；参见11, 21。本研究的结果有望加深对反应性色谱过程内在动态行为的理解，并为改进更高效的分离技术提供有价值的见解。
材料与方法
本研究考虑了一种在径向柱几何结构中的二维反应传输模型，重点关注等温、不可压缩情况和恒定间隙速度。组分1表示为，组分2表示为。在此过程中，以恒定反应速率与反应，其反应速率常数为。源项和汇项在模型中分别如下所示。在方向扩散之前，流体在中的迁移
结果与讨论
使用数值方法提取HPLC柱中保留时间和质量传递动力学的关键见解非常有效。本节展示了在无法获得分析解的情况下，模型解决方案的实用性和相关性。下面展示的结果展示了各种参数的影响，并对每种情况的物理解释进行了讨论。尽管实验数据超出了本研究的范围
结论
本研究详细探讨了二维反应色谱模型的动态特性，重点关注HPLC中的可逆平衡-扩散过程。通过应用拉普拉斯变换和汉克尔变换，该研究推导出了在各种边界条件和反应速率下两种组分和的浓度分布的分析解。分析方法通过数值拉普拉斯反演技术得到了验证，并讨论了不同反应条件下的影响
CRediT作者贡献声明
Muhammad Tamoor：撰写 – 审稿与编辑、原始草稿撰写、可视化、验证、资源准备、方法论制定、调查、形式分析、数据整理、概念构建。Farman Ullah Khan：可视化、监督、方法论制定、形式分析、概念构建
资金来源
本研究未获得公共部门、商业部门或非营利部门的任何特定资助。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。
致谢
Muhammad Tamoor：概念构建、原始草稿撰写、方法论制定、调查、数据整理以及审稿与编辑。
