利用基于物理的Kolmogorov-Arnold网络发现可解释的结构动态响应

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Discovering interpretable structural dynamic response using physics-informed Kolmogorov-Arnold network

结构动力学智能预测模型SDR-PIKAN通过引入可解释的Kolmogorov–Arnold网络架构，有效解决了传统PINNs的频谱偏差、可解释性差和收敛效率低等问题，在地震激励等多模态振动响应预测中展现出更优的物理一致性和计算效率。

　　

杜可|李泽鹏|王星星|罗欢|王子帆|文瑞志

中国地震局工程力学研究所地震工程与工程振动重点实验室，哈尔滨，150080，中国

摘要

随着土木工程的智能化和数字化转型，物理信息神经网络（PINNs）已成为在有限或无传感器数据情况下快速预测结构动态响应的强大工具，为结构全生命周期健康监测和地震后应急决策提供了关键的技术支持，同时降低了成本。为了解决传统PINNs在结构动态分析中的局限性（例如，可解释性差、频谱偏差和收敛效率低），本研究提出了一种新的神经网络架构，即基于物理信息的Kolmogorov–Arnold网络的结构动态响应模型（SDR-PIKAN），它用Kolmogorov–Arnold网络（KAN）替代了标准PINNs中的多层感知器（MLP）。SDR-PIKAN采用基于物理信息的无监督训练范式，无需使用标记的观测数据，实现了三个核心贡献：1）通过KAN中可符号学习的单变量函数提取结构动态响应的显式解析表达式（例如多项式和三角函数组合），从而提高了可解释性；2）在捕捉高频振动成分和复杂多自由度（MDOF）结构响应方面具有更优的预测性能，克服了传统PINNs的频谱偏差；3）与传统的PINNs相比，具有更高的计算精度、更快的收敛速度和更紧凑的网络架构。在谐波载荷和地震激励下的数值案例研究表明，SDR-PIKAN在各方面均优于传统PINNs，验证了其在可靠和可解释的结构动态响应分析中的潜力。

引言

随着土木工程进入智能化和数字化转型的时代，人工智能（AI）技术越来越多地应用于材料设计、结构分析和结构健康监测。近年来，基于概率学习和软计算的智能模型在预测钢纤维增强混凝土（SFRC）的性能和优化混合设计方面取得了显著成功。这些方法能够在机械性能、经济成本和碳排放等约束条件下实现精确的多目标优化（Yu等人，2025a，2025b）。这些进展展示了AI在处理复杂非线性映射和受限优化问题方面的强大能力，为智能和可持续的土木工程提供了新的技术途径。然而，与材料性能预测相比，结构动态响应分析面临更大的挑战。结构动力学涉及求解受地震等宽带激励作用的多自由度耦合系统的高阶微分方程，通常会导致多模态振动响应。在实际工程中，由于成本和技术限制，高层建筑和长跨度桥梁通常只配备了有限数量的传感器，导致监测数据稀疏且不完整。这种强烈的物理约束和薄弱的数据支持使得问题对传统数值求解器和纯数据驱动模型都特别具有挑战性。为了解决这一挑战，本研究提出了一种混合PINN–KAN框架SDR-PIKAN，用于在数据稀缺条件下进行高精度动态响应预测，采用紧凑的神经架构。这为结构全生命周期监测和地震后评估提供了一种高效、可靠且成本效益高的工具。结构动力学旨在表征受地震等动态载荷作用下的土木结构的振动响应。运动控制方程通常需要通过数值方法求解（Li，1996），经典方法（Alexander，2006；Liu，2007）——包括Newmark-β方法（Newmark，1959）、Wilson-θ方法（Bathe和Wilson，1972）和中心差分方法（Chopra，1995）——仍然被广泛使用。然而，即使对于Newmark-β这样的稳定方案，时间步长的选择对精度和稳定性有重要影响，这限制了它们对高度非线性或宽带动态激励的适用性。随着计算和数据科学的快速发展，数据驱动的机器学习方法为结构响应预测提供了新的机会，但它们通常依赖于大型配对数据集，并且缺乏物理可解释性。PINNs（Raissi等人，2018）通过将控制方程残差嵌入损失函数来缓解这些限制，减少了数据需求并提高了物理一致性。尽管如此，传统的基于MLP的PINN框架仍然存在对超参数的敏感性、可解释性有限（Li和Chen，2022）以及难以捕捉包含低频和高频成分的响应的问题。最近，KANs（Liu等人，2024a，Liu等人，2024b）通过用可学习的单变量样条函数替换固定的激活函数，展示了强大的频谱适应性和增强的可解释性。受这些优势的启发，我们将KAN集成到PINN框架中，开发了SDR-PIKAN，以解决涉及低频和高阶结构模式组合的多模态振动问题。通过用KAN（McCulloch和Pitts，1943；Rosenblatt，1958）替换PINNs中的传统MLP（Rumelhart等人，1986；Braun和Griebel，2009；Polar和Poluektov，2021），所提出的模型在数据有限甚至为零的情况下实现了高精度动态响应预测，提供了部分解析的可解释性，并显著提高了模型捕捉高频振动成分的能力——尤其是在地震激励下，传统PINNs往往无法做到这一点。

现有的基于神经网络的模型——无论是数据驱动的还是基于物理信息的——通常都存在频谱偏差，限制了它们捕捉高频或瞬态结构响应的能力。为了解决这一挑战，我们开发了SDR-PIKAN，这是一种新的架构，它结合了Kolmogorov–Arnold网络来增强频谱适应性和非线性函数表示。本研究的主要创新和贡献总结如下：（1）提出了一种新的神经架构SDR-PIKAN，用于结构动态响应预测，显示出处理多尺度问题的优越能力：SDR-PIKAN减轻了PINNs固有的频谱偏差，并准确预测了包含低频和高频成分的多自由度结构的地震响应。与传统需要深度和宽网络且仍难以收敛的PINNs不同，SDR-PIKAN同时捕捉了低阶全局模式和高阶局部振动。（2）可解释性：虽然传统PINNs作为黑箱MLP运行，但KAN通过其结构公式增强了透明度。预测的动态响应可以以多项式或三角函数等解析形式明确表达，提供了直接的物理洞察。例如，在本研究中，结构位移以完全解析的表达式恢复。（3）更高的精度和更快的收敛速度以及更紧凑的架构：由于KAN的强大非线性表达能力，SDR-PIKAN使用显著更少的层和神经元实现了更高的精度和更快的收敛速度。可学习的样条函数能够更有效地提取物理场信息，减轻梯度消失问题，并加速优化，从而在可比的训练条件下优于传统PINNs。

本研究的其余部分组织如下。第2节回顾了从经典数值方法到PINNs，再到PIKAN的发展历程。第3节介绍了所提出的SDR-PIKAN框架。第4节使用三个数值示例验证了该方法。第5节讨论了超参数效应和调整策略。第6节指出了局限性和挑战。最后，第7节总结了研究并概述了未来的工作。

节选

数据驱动的神经网络用于结构动态响应：应用与挑战

早期对结构动态响应的预测主要依赖于从大量输入-输出对中学习端到端映射的数据驱动模型。这些方法提供了强大的非线性拟合能力，而无需显式的物理建模。Zhang等人（2018）使用地面加速度、速度和位移作为输入来训练深度网络，在他们的响应/损伤模式框架中实现了高精度预测，准确率为91%/88%

PINN

PINNs通常使用MLP作为其基本的神经网络架构。MLP是一种前馈神经网络，由输入层、隐藏层和输出层组成，隐藏层的数量可以根据需要进行调整。每层使用激活函数（如ReLU或Sigmoid）来执行非线性变换。隐藏层的数量和神经元数量可以根据问题的复杂性进行调整。PINNs的损失函数通常

案例研究分析

所提出的SDR-PIKAN框架是一种典型的物理驱动的深度学习架构，其训练过程严格受到结构动力学控制方程以及相应结构初始条件的约束。该模型采用无监督的物理信息训练范式，在整个训练阶段消除了对外部标记的结构响应数据的依赖。从经典方法获得的数值解

损失函数的权重策略

损失函数的权重策略在确定模型的整体性能方面起着关键作用，包括训练稳定性、收敛行为和预测准确性。鉴于此，需要系统地比较和评估不同的权重方案，以确定最符合SDR-PIKAN方法特性的策略，从而进一步提高其整体性能。

Feng和Liang（2023）提出了一种基于预训练的

讨论

本研究首先关注涉及低阶和高阶模式耦合的多模态振动问题。在第三个数值示例中，使用真实的地震记录代替谐波载荷来预测受地震激励的多自由度结构的动态响应。数值结果表明，SDR-PIKAN可以同时准确地捕捉以低频为主的全局响应和以高频为主的局部响应

结论

本研究提出了一种新的基于物理信息的神经网络方法，称为SDR-PIKAN，其核心思想是将KAN集成到传统的PINN框架中以解决结构动态响应问题。通过三个代表性的数值示例，系统评估了所提出方法在准确性、稳定性、收敛速度、可解释性和计算效率方面的表现。

三个数值案例证实了SDR-PIKAN的优势：（1）它准确解决了

CRediT作者贡献声明

杜可：项目管理、概念化。李泽鹏：撰写——原始草稿、验证、形式分析。王星星：验证、监督。罗欢：验证、监督。王子帆：验证、监督。文瑞志：验证、监督。

代码可用性

本研究的复制代码以及论文中包含的所有示例代码均可在GitHub上公开获取：https://github.com/duke-iem/Interpretable-SDR-PIKAN

语言编辑披露

本研究仅在手稿准备的语言编辑阶段使用了基于人工智能的大型语言模型（例如ChatGPT）来协助语法检查和书面表达的改进。该AI工具仅用于语言目的，未参与研究设计、方法实施、数据处理、结果生成或任何科学结论的制定。所有研究内容均由

利益冲突声明

作者声明他们与本工作没有利益冲突。

我们声明我们与提交的工作没有任何商业或关联利益冲突。

致谢

本研究得到了中国地震局工程力学研究所（资助编号：2026C02）和国家关键研发计划（资助编号：2024YFC3012802）的资助。