一种用于非对称动态系统的偏移预测方法

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：An offset prediction method for asymmetric dynamical systems

非线性振动系统的动态偏移预测与整体响应分析，提出加权势能平衡法（WPEBM）和解耦三步法（DTSS），通过时间加权函数实现偏移高效计算，对比传统方法精度提升29%，适用于振动隔离、能量收集和精密仪器设计。

　　

史文军|刘伟群|储福航|苗炳荣|布马尔·弗兰克·兰德里|董大伟

中国西南交通大学机械工程学院，成都，610031

摘要

非线性振动系统中的静态不对称性经常会在稳态响应中引入动态偏移，这对整体动态行为有着不可忽视的影响。本文提出了一种加权势能平衡方法（WPEBM）和分离的三步求解法（DTSS），以准确高效地描述这种偏移和整体响应。WPEBM在弹性势能平衡方程中引入了一个灵活的时间加权函数，从而建立了用于偏移估计的通用控制方程，便于在计算精度和效率之间进行可调的权衡。对三个不对称系统的分析表明，与谐波平衡方法（HBM）相比，WPEBM不仅有助于推导出解析解，而且在分段线性不对称系统（PLAS）中还将共振偏移的预测精度提高了29.0%。此外，WPEBM与振幅求解方法的分离使得DTSS能够简化计算过程，从而以高精度和低复杂度重建整个不对称系统的响应。通过设计PLAS原型并监测其振动响应，对偏移预测进行了实验验证。测量得到的偏移与数学模型预测的结果基本一致。WPEBM及其衍生的DTSS为高保真动态分析提供了一个系统框架，可应用于非线性振动隔离系统、能量收集器和精密仪器中。

引言

非线性振动系统在工程结构[[1], [2], [3]]、能量收集器[[4], [5], [6]]、振动隔离装置[[7], [8], [9], [10]]以及生物结构[[11], [12], [13]]中普遍存在，它们的动态特性往往决定了这些系统的性能和稳定性[14,15]。已经提出了多种数值、解析和半解析方法来高效预测非线性系统的稳态响应[[16], [17], [18]]。其中，龙格-库塔方法（RKM）、平均法（AM）和谐波平衡方法（HBM）及其变体常用于从互补的角度表征周期性运动[[19], [20], [21], [22]]。

RKM是一种研究非线性振动系统的基本数值工具[23]。RKM直接在时域中对运动方程进行积分，能够有效处理涉及强非线性[24,25]、间隙[26,27]或摩擦的复杂动态行为[28,29]，同时也能捕捉混沌和分岔等复杂现象[[30], [31], [32]]。然而，RKM提供的解析洞察有限，并且对于具有非唯一解的问题效率较低[[33], [34], [35]]。因此，解析方法对于理解振动系统的机制和支持设计仍然至关重要。

AM通过引入缓慢变化的变量来平均振动周期内的非线性方程，从而得到稳态振幅和相位[[36], [37], [38], [39], [40]]。它具有计算简单性和物理直观性，但在强非线性条件下精度会下降，因为这种方法依赖于弱非线性和近似谐波的假设[[41], [42], [43], [44]]。HBM假设稳态响应可以用有限的傅里叶级数表示，并通过平衡谐波系数来确定频率-振幅关系[45,46]。这种方法避免了长时间域积分，直接得到稳态解，具有令人满意的精度[[47], [48], [49]]。尽管对于强非线性系统，HBM可能比AM更准确，但它往往具有较差的鲁棒性，包括收敛失败和难以跟踪不稳定解的问题[[50], [51], [52]]。为了解决这些问题，开发了增量谐波平衡方法（IHBM）。IHBM利用增量延续和线性化来提高鲁棒性，并使用弧长方法跟踪完整的解分支[[53], [54], [55]]。相关的扩展包括基于缓慢变化振幅概念的多频HBM用于准周期分析[56]，以及用于非线性稳态响应的变分增强频域公式[57]。

上述方法为不同复杂度的振动问题提供了多角度的分析工具。然而，它们主要关注平均振幅，经常忽略由不对称性或恒定载荷引起的稳态偏移[[58], [59], [60]]。在这种不对称性或载荷存在的情况下，动态特性不仅表现出振幅-频率的变化，还表现出振动中心的稳态漂移，即偏移，这是由于能量不平衡引起的[[61], [62], [63], [64], [65], [66]]。偏移会改变振动中心的位置，影响隔离器的工作范围[[62],[67], [68], [69]]，以及双稳态收集器的功率输出[[70], [71], [72]]。因此，在动态分析中准确预测偏移对于阐明转换机制、理解对称性破缺现象和指导非对称非线性系统的最优设计至关重要。

考虑偏移的动态分析方法大致分为两类，如上述传统的振幅-频率分析方法：数值模拟[[61],[70], [71], [72]]和解析分析[[65], [66], [67]]。数值模拟方法可以直接获得偏移和振幅的精确结果，但它们在解释两者之间的关系方面缺乏明确的物理意义[[70], [71], [72], [73]]。因此，它们通常被用作验证解析方法有效性的基准工具[[65], [66], [67]]。现有文献中对稳态偏移的分析主要基于AM[74]、HBM[67]及其扩展公式[75]。AM通过在响应表达式中引入一个缓慢变化的常数项来表征偏移，通常在弱非线性假设下保持精度[[76], [77], [78]]。然而，其解由于相位、振幅和偏移之间的内在耦合而变得复杂。

在考虑偏移的动态分析中，HBM通常仅使用基本谐波分量来近似稳态响应[52,[79], [80], [81]]。这种方法保持了偏移和振幅的分离处理，从而保持了计算的可行性。这种简化策略对于确定具有低阶连续非线性的系统的偏移非常有效[[82], [83], [84]]。然而，这种简化模型无法准确捕捉具有高阶非线性或分段特性的系统的动态偏移特性，特别是在低频多谐波叠加阶段[[85,86]]。要准确捕捉这些效应，需要在HBM框架内加入额外的谐波项或采用时域分割[87]。这种增加更多谐波的要求显著增加了系统的计算维度[[88], [89], [90], [91], [92], [93]]。这种增加不仅使求解过程复杂化，而且通常无法获得封闭形式的解析解，从而需要依赖数值技术来获得实际结果。

为了实现对不对称系统的准确高效动态分析，提出了加权势能平衡方法（WPEBM）。该方法基于弹性势能平衡原理，并结合了一个灵活的时间加权函数，从而在解析框架内实现准确高效的偏移解。基于WPEBM，进一步制定了分离的三步求解法（DTSS），以便对不对称系统进行全面的动态分析。为了严格验证WPEBM和DTSS的有效性和通用性，选择了三个代表性的非线性系统进行测试。通过分析，WPEBM得出了偏移与位移响应之间的显式关系。然后DTSS将这个偏移解与任何传统的振幅求解方法结合，以重建包括计算出的偏移在内的整体动态响应。与传统的偏移求解方法相比，所提出的框架提供了更高的精度和效率、更广泛的模型适用性以及与多种求解方案的更好兼容性。制作了一个PLAS原型模型，并建立了一个实验平台来验证基准模拟模型的正确性。表1

本文的其余部分组织如下。第2节介绍WPEBM和DTSS。第3节评估三个代表性的不对称系统，以验证偏移预测和完整响应的重建。第4节对数值模型进行实验验证。第5节总结本文并概述未来的工作。

章节片段

理论与数学建模

本节重点讨论不对称振动系统的动态求解方法。首先总结了传统的求解程序，然后推导了本研究提出的偏移解公式，并描述了DTSS。

案例研究分析与仿真验证

现有的不对称系统可以分为图2中展示的三种类型：连续非线性不对称系统（CNAS）[[90], [91], [92]]、分段线性不对称系统（PLAS）[76,78]和分段非线性不对称系统（PNAS）[89,94]。CNAS在工程实践中广泛存在，其动态特性比对称系统更复杂和具有代表性。通过组合简单的线性组件，可以构建一个PLAS作为经典

数值模拟模型的实验验证

为了验证第3节中用作基准的数值模拟模型的准确性，制作了一个PLAS原型，并根据参考文献[94]中的规格构建了一个振动测试平台。随后，在2–10 Hz范围内对样品进行了频率扫描激励测试。

结论

本研究提出了一种用于偏移预测的WPEBM，并开发了一种DTSS来分析不对称系统的整体稳态响应。所提出的框架通过三个代表性案例得到了验证。

WPEBM是从控制方程的直流平衡中推导出来的，并在基本谐波映射下重新表述为Abel型积分。一个关键的创新是矩匹配多项式加权，它规范了奇异核并得到了显式或低阶的

CRediT作者贡献声明

史文军：撰写原始草稿、审稿与编辑、验证、方法论、调查、数据管理、可视化、软件。

刘伟群：监督、项目管理、资金获取、形式分析。

储福航：撰写原始草稿、审稿与编辑、可视化、软件。

苗炳荣：资源管理、方法论、形式分析、审稿与编辑、数据管理、概念化。

布马尔·弗兰克·兰德里：审稿与编辑、软件。

董大伟

数据可用性

数据可根据请求提供。

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苗炳荣：撰写-审稿与编辑、资源管理、方法论、形式分析、数据管理、概念化。布马尔·弗兰克·兰德里：审稿与编辑