基于动态事件触发控制（ETC）的、具有脉冲干扰链路和马尔可夫切换的随机脉冲耦合系统稳定性研究

《Neural Networks》：Stability of stochastic impulsive coupled systems with impulse-disturbed links and Markov switching via dynamic event-triggered control

本文创新性地研究了随机脉冲耦合系统（ICSs）在脉冲干扰链路下的稳定性问题，首次构建了同时考虑节点瞬时脉冲与链路持续脉冲效应的模型，并引入“平均持续效应”概念。通过结合动态事件触发控制（ETC）与Lyapunov方法，提出了保证系统稳定的充分条件，所提机制可依据脉冲强度动态调整触发参数，有效提升了控制策略的敏感性与灵活性。

　　

要点

本文针对具有脉冲干扰链路和马尔可夫切换的随机脉冲耦合系统（Stochastic Impulsive Coupled Systems, ICSs），提出了新颖的稳定性研究成果。与现有研究不同，本文考虑的脉冲不仅会在脉冲时刻影响节点的状态，还会对耦合链路产生干扰，这一特性更贴合实际应用场景。此外，通过引入马尔可夫切换，使系统模型能更准确地模拟现实情况。为了应对脉冲对耦合链路影响带来的挑战，我们提出了“平均持续效应”的概念。随后，通过应用动态事件触发控制（Dynamic Event-Triggered Control, ETC）和Lyapunov方法，给出了一些保证具有脉冲干扰链路的随机ICSs稳定的充分条件。与常规ETC相比，本文的动态事件触发机制与脉冲强度相关，从而进一步提升了ETC对ICSs的敏感性与动态性能。最后，将所得理论结果应用于具有脉冲干扰链路的随机脉冲耦合振子（Stochastic Impulsive Coupled Oscillators, SICOs），并通过数值模拟验证了结果的有效性。

引言

脉冲耦合系统（ICSs）已被广泛应用于神经网络、通信领域、材料科学等多种实际场景。迄今为止，已有大量关于ICSs稳定性的研究报告。需注意的是，在以往研究中，脉冲通常被视为瞬时效应，其引起的快速变化持续时间可忽略不计。然而在实践中，脉冲造成的影响往往具有持续性，这意味着脉冲扰动会在脉冲时刻之后的持续时间内持续存在。例如，药物注射后，其进入血液并被身体吸收的过程是逐步且连续的。在这种情况下，人体血流动力学的平衡无法用简单的瞬时脉冲系统来描述。因此，研究脉冲的持续效应具有重要意义。

在先前研究中，Hernández和O'Regan开创性地引入了一类在短时间间隔内持续存在的非瞬时脉冲抽象微分方程。迄今为止，已积累了与非瞬时脉冲系统相关的大量研究成果。然而，值得注意的是，以往关于非瞬时脉冲系统的研究中，脉冲仅影响脉冲时刻节点的状态，这不足以描述包含大量交互节点的ICSs。一方面，ICSs的整体性能由每个节点的状态及节点间的交互决定。除了节点状态外，节点间的交互在脉冲扰动发生后也可能受到影响，这在通信、工程和化学领域是常见现象。因此，考虑具有脉冲干扰链路的ICSs具有重要意义。

一般而言，根据脉冲强度，脉冲可分为稳定脉冲和不稳定脉冲。然而，脉冲干扰链路的影响不仅与脉冲强度有关，还与脉冲扰动的持续时间有关。例如，在通信网络中，节点间的数据传输量在带宽受限的时间间隔内会受到影响。事实上，电力线通信中由脉冲噪声引起的数据包接收错误和传输性能下降问题已被考虑。由于脉冲随机发生，每次的脉冲强度和脉冲间隔长度可能不同，这给分析具有脉冲干扰链路的ICSs的稳定性带来了困难。另一方面，脉冲干扰链路的强度可以通过给定的上界或在有限耦合强度之间切换来处理。然而，少数高强度脉冲会导致上界过大，这对整体系统行为来说过于保守。此外，在复杂的实际情况中，获取所有耦合强度的概率具有挑战性。为了获得更精确的结果并处理更复杂的实际情况，探索研究具有脉冲干扰链路的ICSs稳定性的新方法至关重要。此外，由于许多实际系统（如易故障制造系统和经济系统）可能经历参数突变或组件故障，具有马尔可夫切换的系统已引起广泛关注，并提出了许多重要成果。因此，有必要将马尔可夫切换纳入系统以增强模型的适应性。

为了稳定具有脉冲干扰链路的ICSs，必须采用适当的控制策略，如间歇控制、采样控制、事件触发控制等。事件触发控制（ETC）仅在预定义事件被触发时生成控制信号，可显著减少不必要的数据采样，并提高有限资源的利用率。因此，在过去几年中，ETC已广泛应用于多智能体系统、无人机等诸多领域。相应地，ETC已成为近年来的一个重要研究焦点。此外，Girard提出了动态事件触发机制，以进一步减少触发事件的频率。ETC必须考虑的一个问题是如何避免Zeno现象。一种有效方法是在两个相邻触发时刻之间设置最小等待时间，这已在实践中成功应用。可以注意到，这些研究中动态事件触发机制的参数是固定的，这对于参数受脉冲影响的系统而言不够灵活。在事件触发参数固定的条件下，当脉冲强度变得非常大时，触发频率可能会显著上升；而当脉冲强度变得非常小时，预设的触发条件可能缺乏足够的敏感性。因此，根据脉冲强度动态更新触发条件，可以提高ICSs中ETC的敏感性与动态性能。

基于上述讨论，本文首次研究了具有脉冲干扰链路的随机ICSs的稳定性。与现有的ICSs研究相比，本文提出了一个既考虑脉冲时刻对节点的脉冲效应，又考虑脉冲干扰链路引起的持续脉冲效应的脉冲模型。为了克服脉冲干扰链路带来的困难，在该模型中提出了“平均持续效应”的概念。此外，采用无Zeno现象的ETC来稳定具有脉冲干扰链路的随机ICSs。与常规ETC不同，本文事件触发机制的参数与脉冲强度相关，可进一步增强控制策略的敏感性与动态性能。本文的主要贡献可总结如下：

(1) 不同于仅关注节点瞬时脉冲效应的传统ICSs，本文将脉冲对耦合链路的干扰效应纳入系统，更具实践性和全面性，并首次提出了具有脉冲干扰链路的ICSs的稳定性判据。

(2) 由于脉冲干扰链路的影响与脉冲强度和脉冲间隔均相关，传统方法不太适合处理这一复杂特性。为应对脉冲干扰链路带来的挑战，本文提出了一种新颖的“平均持续效应”分析方法，用于量化脉冲对耦合链路的长期累积影响，使结果更具普适性。

(3) 与常规动态ETC相比，本文的事件触发机制与脉冲强度相关，能够根据脉冲强度的变化动态调整触发阈值。这不仅避免了固定参数ETC在强脉冲下触发频率过高、在弱脉冲下敏感性不足的问题，还显著提高了控制策略的动态性与灵活性。

符号说明

令 N = {1,2,…,N} 和 N = {0,1,…}。|·|表示欧几里得范数。完全概率空间定义为 (Ω,F,F,P)，其中 F = {F_t}_t≥0是递增且右连续的流，F₀包含所有 P-零测集。令 B(t) 为一维布朗运动。将n维欧几里得空间记为 Rⁿ和 R₀⁺= [0,+∞)。E(·) 表示数学期望，上标“T”表示向量或矩阵的转置。

主要结果

本节重点关注具有脉冲干扰链路的随机ICSs的稳定性。为获得主要结果，首先给出一个必要的引理。

引理 1

假设有向图 (G,(?_ij)_N×N) 是强连通的，其中 ?_ij= max{l_ijc_ij, (l_ijc_ij)²}，假设1成立，且存在计时器 τ_k> 0 使得 t_k,m+1- t_k,m≥ τ_k，则对于任意 t ∈ (t_k,m, t_k,m+τ_k]，以下不等式成立：

E(∑_i=1^Nr_i|e_i(t)|²) ≤ φ₁(τ_k)E(∑_i=1^Nr_i|v_i(t_k,m)|²),

E(∑_i=1^Nr_i|v_i(t)|²) ≥ φ₂(τ_k)E(∑_i=1^Nr_i|v_i(t_k,m)|²),

其中 φ₁(τ_k) = χ₂^kexp{χ₁^kτ_k}，φ₂(τ_k) = [具体表达式文档未完整给出]。

应用于具有脉冲干扰链路的随机脉冲耦合振子

本节研究了具有脉冲干扰链路的随机脉冲耦合振子（SICOs）的稳定性，二阶SICOs可由下式表示：

μ_i¨(t) + δ_i(?(t)) μ_i˙(t) + μ_i(t) + g_i(μ_i(t)) = 0.

令 o_i(t) = μ_i˙(t) + ε_iμ_i(t)，其中 ε_i为常数。考虑脉冲、耦合和随机扰动的影响，系统描述如下：

{ dμ_i(t) = (o_i(t) - ε_iμ_i(t))dt + q_i1(μ_i(t),?(t),t)dB(t),

do_i(t) = ((-δ_i(?(t)) + ε_i)o_i(t) + (δ_i(?(t))ε_i- ε_i²- 1)μ_i(t) - g_i(μ_i(t)) + ∑_n=1^Na_ij^kh_i[文档此处不完整]。

数值模拟

示例 1

本节将为系统（22）提供一个数值示例，以验证理论结果的有效性。首先，令 N = 21，耦合矩阵 (a_ij)_21×21中的非零元素选取如下：[此处列出了具体的矩阵元素赋值，数值包括0.05, 0.15, 0.2, 0.1等]。该有向图是强连通的。

结论

本文首次研究了具有脉冲干扰链路的随机ICSs的稳定性。本文建立的脉冲模型不仅考虑了脉冲时刻对节点的脉冲效应，还考虑了脉冲对耦合链路的效应，并提出了“平均持续效应”的概念来研究脉冲干扰链路带来的难题。与常规动态ETC不同，本文事件触发机制中的参数...[文档此处结束，未提供完整结论部分]。