面向脑电图交叉双谱分析的低秩张量分解框架：一种基于脑电信号生成物理学的可解释源空间建模方法

《Journal of Neuroscience Methods》：Low-rank tensor decomposition for cross-bispectral analysis of EEG data

这篇研究介绍了一种专为分析脑电图(EEG)交叉双谱数据而设计的低秩张量分解新方法。不同于传统的矩阵或张量技术(如Tucker、PARAFAC)，该方法明确基于EEG信号生成的生物物理模型。它将观测到的高维交叉双谱张量分解为一个空间混合矩阵和一个紧凑的源-交互张量，从而提供了一个结构清晰、物理意义明确且可直接在源空间解释的模型，并为后续使用MOCA进行空间解混、重建源图谱奠定了基础。

　　

亮点

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  我们提出了一种新颖的低秩张量分解框架，专门用于分析脑电图(EEG)的交叉双谱数据。与标准的分解方法不同，我们的模型明确植根于EEG信号生成的生物物理学原理，从而确保结果的物理可解释性。
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  该方法将交叉双谱张量结构化为一个单一的、可解释的空间混合矩阵与一个紧凑的源-交互张量，从而在实现大规模数据降维的同时，保留了关键的源空间耦合信息。
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  通过广泛的模拟验证，我们证明了该方法能够稳健地从不同条件（如变化的信噪比SNR、偶极子方向、振幅平衡和源复杂性）下捕获占主导地位的双谱结构。
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  将所提出的方法应用于静息态脑电图数据，成功地识别出了与显著α频段双谱相互作用相关的、在解剖学上合理的顶叶神经源。

1. 引言

近年来，脑科学研究日益认识到神经活动的复杂性。分析脑部数据的传统方法，如脑电图(EEG)和脑磁图(MEG)记录，主要关注频域和时域，常常忽略了空间维度。一种更复杂的方法是将神经信号构建为由空间、频率和时间成分索引的多维阵列，从而提供更全面、更细致的脑活动图像。这种方法对于探索大脑活动不同组成部分之间的相互作用以及增进我们对神经动力学的理解至关重要。EEG/MEG的振荡活动是复杂的，不能简单地被视为噪声。相反，它涉及到需要复杂分析方法才能揭示的非线性相互作用。传统的方法，如频谱分析，常常会遗漏这些相互作用的某些重要方面。

跨频率耦合是指不同频率的神经振荡之间的相互作用，它促进了在不同时间尺度上运作的神经区域之间的协调。跨频率耦合已成为大脑协调的基本机制，促进了跨空间和时间尺度的信息整合，并在神经通信中发挥着关键作用。此外，为了弥补传统技术（仅关注相同频带内的同步）留下的空白，已经开发出了能够捕获跨频率同步的新方法。像双谱和双相干性这样的高阶谱分析等先进技术，更适合量化稳定的相位关系，揭示更深层的神经动力学，检测经典方法所忽略的非线性现象。在EEG和MEG信号中，已在多种脑状态下观察到了此类非线性相互作用。这种向更复杂计算方法的进步凸显了更好地理解大脑活动复杂本质的必要性。数据处理和解释方面的进展，为识别关键神经相互作用揭示了新的前景，并为开发神经和精神疾病的诊断工具带来了巨大希望。

然而，随着所分析数据属性的复杂性增加，测量和识别模式之间的统计关系变得日益困难。这种现象被称为“维度灾难”。随着观测维度（在此理解为所有传感器多元组的高阶统计矩）的增加，寻找变量之间有意义的关联呈指数级困难。因此，必须降低维度以使统计模型在实践中可行，使研究人员能够专注于数据最具信息性的方面。为应对这一挑战，一种常见的方法是减少描述模式所需的变量数量，这个过程称为“降维”。在过去二十年中，这个领域取得了长足发展，已成为数据分析中的一项基本技术。降维技术将高维数据集转换到低维空间，同时尽可能保留数据的几何结构，这有助于改进数据的分类、可视化和理解。这些技术在高维设置中至关重要，因为它们能在保留数据基本结构的同时提高计算效率。通过关注关键特征，它们能够揭示那些原本被噪声和高维变异性所掩盖的模式，有助于构建更易于解释的模型，并最终带来更准确、更鲁棒的分析。

最近的研究表明，张量分解方法在应对这种多维性方面特别有效，能在神经信号分析中产生稳健且可解释的结果。张量因式分解技术能够捕获跨多个模式（如时间、频率和空间）的模式，从而更深入地洞察神经过程的潜在动力学。传统上，降维是通过主成分分析(PCA)和因子分析等技术实现的，这些技术是为处理矩阵（二维）数据而设计的。然而，为了处理更复杂的多维数据，诸如并行因子分析(PARAFAC)等方法将因子分析推广到将张量分解为秩一成分，保留所有模式之间的相互作用。同样，张量因子分解方法将PCA推广到多路数据，其中必须保留跨模式的多线性结构。这些基于张量的技术能够更准确地表示和分析复杂的多路数据，捕获那些在传统二维方法中可能会丢失的相互作用。低秩张量表示最近已在神经科学之外的多种高维环境中得到探索，包括图像和视频分析。例如，Xue等人(2024)提出了一种卷积式低秩字典学习框架，用于高维图像数据的紧凑表示。虽然他们的重点是视觉信号的空间字典学习，但利用低秩张量结构来实现简约且鲁棒表示的基本动机，与本文采用的交叉双谱神经数据处理方法是密切相关的。

这项工作的目的并非对原始数据本身进行降维，而是对从数据中计算出的量（即频域中的三阶统计矩）进行降维。如果为所有可能的索引三元组进行计算，即使对于单个频率组合，矩的数量也是巨大的。虽然分解三阶张量的方法并不新颖，但我们观察到的一个关键是，这些方法在数学上适用，但在物理意义上对我们的情况来说是不合理的，下文将进行解释。与这些方法不同，我们的出发点是一个物理模型，即相对大量传感器中的统计矩是由少量源生成的，这些源具有实数前向映射和复数源空间耦合。我们将看到，这导致了不同的降维模型，不仅在相同数量的成分下参数大幅减少，而且允许这些参数用于标准的源重构方法。

从这个意义上说，本文的贡献不在于引入了一种通用的张量分解方法，而在于提出了一种针对EEG交叉双谱结构的、物理可解释的低秩模型。通过将前向映射和源级耦合明确纳入模型公式，由此产生的降维反映了底层的生成过程，而非纯粹的代数约束。这种方法使得高阶交互结构能够以紧凑的形式表示，同时保持了与成熟的源重构方法的兼容性。

2. 交叉双谱及其低维模型

对于一组N个传感器，交叉双谱张量定义为：

B_ijk(f₁, f₂) = 〈x_i(f₁)x_j(f₂)x_k^*(f₁+f₂)〉,

其中 x_i(f) 是传感器i处信号的傅里叶变换，〈·〉 表示期望值，f₁和 f₂是感兴趣的频率。此期望值通过跨试验或分段的平均来估计。

我们假设传感器处观测到的信号是由少数M个潜源生成的。令 s_m(f) 表示频率f下第m个潜源的信号。

3. 模拟脑电图数据

为了在可控且可解释的条件下评估所提出的分解框架的性能，我们开发了一个模拟流程，该流程使用皮质源生成逼真的多通道脑电图数据。脑电图前向模型是使用Nolte和Dassios提出的方法计算的，该方法为分布在真实头部模型中的一组偶极子源计算导联场矩阵。皮质源空间由5003个候选位置组成。

4. 讨论与结论

我们介绍了一种专为脑电图数据设计的低秩分解框架，使得提取非线性神经相互作用的、具有空间和光谱分辨能力的源级表示成为可能。该方法直接将观测到的三阶双谱张量分解为一个结构化的生成模型，该模型由一个空间混合矩阵和一个源级交互张量组成。这与标准的张量分解方法（如Tucker模型及其特例PARAFAC）形成对比。