涡轮机械通常设计有多排叶片，转子和定子以交替的方式排列。在对多排涡轮机械进行稳态空气动力学分析时，混合平面方法是一种常见的用于在相邻排之间传递流动信息的方法。在过去的几十年中，已经提出了这种方法的几种变体[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。一个有效的混合平面方法应确保质量、动量、能量和湍流量通量在界面上的守恒，并且在逆流存在的情况下仍能保持鲁棒性。此外，由于排与排之间的间隙通常很小，混合平面方法应是非反射的，以防止人为反射污染解。
Wang[4]提出了一种特别实用且鲁棒的混合平面方法变体。这种方法被称为基于物理的混合平面方法，因为它基于半离散的流动控制方程和虚拟控制体积概念。界面上的周向平均流量差被解释为虚拟控制体积的残差，这些残差通过半离散控制方程转换为守恒的变量增量。虚拟控制体积概念与传统有限体积离散化观点一致，并提高了鲁棒性。此外，这种方法可以自然地处理逆流，而无需任何特殊处理。
本文扩展了我们在内部求解器中实现的基于物理的混合平面方法的工作，该求解器使用了五阶混合龙格-库塔时间推进方案。为了提高多排涡轮机械空气动力学分析的鲁棒性，我们将混合平面算法集成到牛顿-克里洛夫（NK）框架中。由于NK方法具有优越的收敛特性和鲁棒性[7]、[8]、[9]、[10]、[11]，它们非常适合解决诸如在非设计工况下实现深度收敛等具有挑战性的问题。
尽管有这些优点，实现NK方法仍然存在实际挑战。构建精确的雅可比矩阵可能很繁琐。在多排涡轮机械中，相邻排之间的耦合进一步复杂化了依赖关系。Xu[12]通过将系统雅可比矩阵分为两部分来解决这个问题：对于内部区域，使用图着色技术计算雅可比矩阵；而由于混合平面引起的贡献则通过链式法则解析获得。另一个问题是存储完整雅可比矩阵可能需要大量的内存，特别是当使用高阶空间离散化时。幸运的是，NK求解器只需要雅可比向量积，而不需要显式的雅可比矩阵。这就产生了无雅可比牛顿-克里洛夫（JFNK）方法，避免了显式生成和存储完整雅可比矩阵的需要。
开发JFNK求解器的关键方面之一是雅可比向量积的评估。现有文献表明，大多数JFNK实现使用了一阶有限差分近似[7]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]。有限差分近似实现简单，但会引入对扰动步长高度敏感的数值误差。确定扰动步长是在截断误差和舍入误差之间的权衡。此外，当向量内元素的幅度变化显著时，确定适当的扰动步长变得更加具有挑战性[15]、[18]。另一种不太常见的方法是二阶有限差分近似，它可以减少截断误差。然而，它需要每个雅可比向量积进行两次残差评估，因此计算成本大约是一阶方法的两倍[8]、[19]。Et al. [19]表明，二阶近似导致的非线性迭代次数与一阶方案相似，但成本大约是两倍。此外，二阶方案仍然受到相同的扰动步长选择问题的影响。尽管不断有努力改进这些近似方法，但尚未出现一种普遍适用的鲁棒方法。
自动微分（AD）提供了一种规避有限差分雅可比向量近似所需精细选择扰动步长的方法。AD可以生成精确的雅可比向量积，而无需有限差分扰动。尽管AD现在在诸如伴随求解器等需要大量导数的应用中得到广泛应用，但在JFNK求解器中的使用仍然相对有限。Hovland和McInnes[20]的早期工作应用了AD（通过源到源工具ADIFOR[21]）在JFNK求解器中计算欧拉方程的雅可比向量积，并将其收敛行为与基于有限差分的结果进行了比较。他们证明了不适当的扰动大小可能会减慢收敛速度或导致停滞。Bramkamp等人[22]在层流纳维-斯托克斯求解器中展示了AD的实用性，他们为用混合编程语言开发的求解器实现了一个半自动微分框架。基于Fortran的数值内核由AD工具ADIFOR处理，而基于C的接口则进行了手动调整以适应微分代码。Kenway等人[23]使用逆模式AD生成伴随求解器所需的导数，并用JFNK方法求解伴随系统。在本研究中，我们采用前向模式AD在JFNK求解器中评估三维Favre平均纳维-斯托克斯方程的雅可比向量积。
开发实用的JFNK求解器需要有效的预处理。JFNK求解器不一定完全无矩阵。这取决于所选预处理器是否需要显式生成雅可比矩阵。如果预处理器避免了雅可比矩阵的生成，则JFNK求解器可以被视为完全无矩阵的。Luo等人[24]使用下-上对称高斯-赛德尔（LU-SGS）预处理的JFNK求解器处理层流粘性流动，该求解器基于谱半径构建了一个隐式算子，并且无需显式矩阵即可高效求解系统。Qin等人[25]提出了一种基于近似因式分解的几乎无矩阵的预处理器，这种预处理器所需的内存非常少。然而，Qin等人也表明，与基于显式生成矩阵的预处理器相比，无矩阵预处理通常会减慢收敛速度。另一种常见的策略是从近似雅可比矩阵构建预处理器，这比获取精确雅可比矩阵更便宜。Yildirim等人[17]通过着色方案加速的有限差分计算了近似雅可比矩阵。一旦获得近似雅可比矩阵，就可以构建有效的预处理器。几种ILU类型的预处理器变体已被广泛用于JFNK求解器[15]、[22]、[26]、[27]，这些预处理器需要组装的矩阵进行因式分解。近似雅可比矩阵也可用于多网格类型的预处理器[28]、[29]、[30]。对于求解二维纳维-斯托克斯方程，多网格预处理器可以实现比不完全LU分解（ILU(0)）预处理器更快的收敛速度[29]。
本文提出了一种用于多排涡轮机械中可压缩湍流的JFNK求解器。雅可比向量积是使用自动微分工具Tapenade[31]生成的微分代码进行评估的。我们提出了三种预处理策略：（1）针对圆柱坐标系中的控制方程定制的LU-SGS预处理器，使JFNK求解器完全无矩阵；（2）一种在整个网格层次结构中避免构建任何矩阵的无矩阵多网格预处理器；（3）使用显式组装的近似雅可比矩阵的基于矩阵的多网格预处理器。使用两个多排测试案例来验证所开发的JFNK求解器的有效性。隐式龙格-库塔（IRK）流动求解器的结果作为基准。
