航空发动机的运行条件以高转速和复杂的非线性载荷为特征，这给其设计带来了巨大困难，通常导致设计周期较长。为了缩短开发周期并提高设计过程的可靠性，仿真技术已成为关键手段，并在发动机设计中得到广泛应用[1]。传统的直接积分方法（如新马克、威尔逊和龙格-库塔方法）被广泛用于求解时域响应[[2], [3], [4]]。此外，这些方法也被用于求解和分析转子系统及其故障条件下的响应[[5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]]。
然而，在高运行转速、支持系统复杂以及发生摩擦等故障的情况下，航空发动机的响应具有非线性和高频率的特点。因此，计算需要更高的采样频率，这意味着计算时间步长必须减小。传统的直接积分方法（如二阶有限新马克方法和收敛性较差的龙格-库塔方法）往往需要减小时间步长以获得可靠的结果，从而导致过高的计算负荷和收敛困难[13,14]。因此，需要寻找能够在保持高精度的同时实现高计算效率的替代积分策略。
精确积分方法（PIM）是一种高精度的时间积分技术，通过指数矩阵计算在均匀解中几乎可以达到理论精度，并已在多个领域得到广泛应用[15,16]。然而，对于非均匀和非线性问题的求解，原始的线性处理方法难以获得可靠结果，需要进一步研究。因此，人们投入了大量精力来评估杜阿梅尔积分项，这可以大致分为以下几个方面：（i）增量维数方法，（ii）载荷项展开，以及（iii）杜阿梅尔项的数值积分拟合。
增量维数方法通过引入额外变量将非均匀方程转换为均匀形式，以处理非均匀问题。然后利用指数矩阵求解动态方程。Guan等人[17]对动态方程进行了均匀化处理，将状态矩阵与一个常数矩阵相等，并结合了克里洛夫子空间技术来实现降维。尽管这种方法计算效率相对较高，但将状态矩阵与常数矩阵相等的方法导致精度较低。Zhang等人[18]采用分段三次样条拟合载荷项，并引入额外变量将非均匀方程转换为均匀方程，提高了精度，但由于迭代指数矩阵计算导致计算效率降低。Yao等人和Chen将克里洛夫子空间方法与精确时间积分相结合，显著提高了线性响应的计算效率。然而，他们没有为非线性问题提出相应的解决策略[19,20]。使用指数矩阵迭代的增量维数方法虽然计算精度高，但由于每个时间步内需要频繁更新指数矩阵，导致计算开销较大。
为了避免因更新指数矩阵而产生的过高计算成本，一些学者采用泰勒级数和插值公式来展开载荷项以解决非线性问题。Shi[21]也使用泰勒级数展开载荷项，但将积分内的指数矩阵分解为级数，从而避免了矩阵求逆的需要。Fang等人和Zhang等人[22,23]使用龙格-库塔公式展开载荷项，计算精度较高，但计算过程涉及大量的矩阵-向量乘法，导致计算负荷较大，对步长要求严格。Ding等人[24]使用拉格朗日插值公式展开载荷项，并利用拉格朗日和Hermite插值公式预测下一时刻的未知信息，计算效率良好，但计算精度受计算步长的影响较大，且其假设不适用于所有动态问题（如转子动态问题）。
为了平衡计算精度和效率，采用了数值积分拟合方法。该方法通过数值积分拟合杜阿梅尔积分项，并结合适当的非线性预测策略。Liu[25]和Ding等人[26]使用高斯积分拟合积分项，但没有为非线性问题提供解决策略。Abbasi等人[27]提出了一种基于新的状态空间公式的勒让德-高斯积分公式，用于分析粘弹性系统，表现出良好的稳定性和精度。Wu等人[28]对直接精确积分方法进行了分析，使用三次拉格朗日插值公式展开载荷项，并用泰勒公式预测未知信息，然后将其与精确-库塔方法进行比较。结果表明前者具有更高的精度和稳定性，而后者对步长控制的要求更严格。Liu等人[29]通过单步块方法推导出了一种新的数值积分四点公式，在精度上超过了同阶牛顿-科特斯公式，并使用四阶龙格-库塔方法预测积分点。该方法的精度在数值测试中优于各种单步精确技术，但由于大量的矩阵-向量计算增加了计算需求。当杜阿梅尔积分项的数值积分拟合与适当的积分公式结合使用时，可以有效解决非线性问题。然而，使用泰勒或龙格-库塔公式预测未知时间信息无法同时保证精度和效率。这导致缺乏既高精度又高效的转子动态响应计算精确积分方法。
尽管付出了这些努力，现有的基于PIM的非线性转子动力学方案仍缺乏高精度的杜阿梅尔项拟合方法。同时，虽然预测未知时刻的状态计算成本较低，但精度较差，难以在整体计算精度和效率之间取得平衡。因此，适用于具有明显非线性的高速转子的、高精度、稳定且高效的精确积分框架仍然缺失。
为了解决这些不足，提出了一种基于径向基函数的微分-积分精确积分方法（RBDQ-PIM）。主要贡献如下：（i）开发了一种具有自适应形状参数选择策略的径向基函数估计方法，以准确高效地预测未知时间信息；（ii）使用三点非均匀微分积分公式拟合杜阿梅尔积分项；（iii）通过实际飞机发动机转子建模来比较响应并验证所提算法的高精度和高效率性能。
