基于离散玻尔兹曼方法的通量求解器及其在可压缩流场中的应用

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A flux solver based on discrete Boltzmann method and its application to compressible flows

离散玻尔兹曼方法通量求解器开发及其在可压缩非平衡流中的应用研究。通过多时间尺度Chapman-Enskog展开分析，构建了适用于含流体力学和热力学非平衡效应的可压缩流数值求解器，在保持高计算效率与数值稳定性的同时，显著减少动力学方程数量。该求解器通过直接采用离散平衡分布函数消除界面插值需求，并利用简化控制方程有效捕捉非平衡效应，通过五个典型基准案例验证了其精度和适用性。

　　

林传东|舒长

中山大学中法核工程与技术研究所，珠海，519082，中国

摘要

通过多次尺度的Chapman–Enskog展开分析，开发了一种基于离散Boltzmann方法（DBM）的通量求解器，用于同时具有流体动力学和非平衡热力学效应的可压缩流动。与依赖于离散Boltzmann方程的传统DBM方法不同，所提出的通量求解器采用了一种改进的框架，显著减少了动力学方程的数量，同时保持了高计算效率和稳健的数值稳定性，这一点通过冯·诺伊曼稳定性分析得到了证明。与基于格子Boltzmann的通量求解器相比，基于DBM的通量求解器具有明显的优势：它消除了在单元界面计算物理量时需要插值的需求，并避免了在每个时间步之前和之后重新计算离散平衡分布函数的需要。此外，与基于Navier–Stokes方程的传统宏观计算流体动力学方法相比，该求解器利用简化的控制方程有效地捕捉了流体动力学和非平衡热力学效应。通过五个基准案例（冲击波、Sod激波管、声波、热Couette流动和Taylor–Green涡旋）验证了该求解器的准确性和性能，展示了其在高效解决复杂流体问题方面的潜力。

引言

随着计算机科学和技术的进步，数值模拟在科学研究和工程应用中变得越来越重要[1]。目前，用于模拟流体流动的数值方法大致可以分为三类：宏观方法、介观方法和微观方法。微观方法（如分子动力学[2]）可以详细描述分子相互作用，但由于计算成本的限制，难以有效模拟复杂的物理场，通常仅适用于相对较小的时空尺度。宏观方法（通常基于Euler方程、Navier–Stokes（NS）或Burnett方程）在平衡和近平衡流动的计算流体动力学中占主导地位[3]。传统的流体动力学模型具有高计算效率，所需资源较少，非常适合大规模模拟。然而，它们的主要局限性在于对于具有显著非平衡或离散效应的流动（如高度稀薄气体、边界层或具有急剧梯度的流动）的物理精度不足。此外，NS和Burnett方程本质上是非线性的，特别是由于对流项的存在，需要复杂的技术来获得有效的数值解。介观动力学方法作为微观和宏观方法之间的桥梁，提供了一种有效描述具有非平衡效应和多尺度相互作用的复杂流体流动的方法，从而克服了宏观和微观方法的局限性。

在过去三十年中，格子Boltzmann方法（LBM）作为一种通用且高效的介观方法出现，被广泛用于各种流体动力学问题的求解[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。传统的LBM公式主要适用于不可压缩或弱可压缩流动，因为它们在Taylor或Chapman–Enskog（CE）展开过程中依赖于低马赫数假设。此外，由于空间离散化、时间分辨率和离散速度集之间的内在耦合，它们常常存在数值不稳定性问题，这限制了控制稳定性和精度的灵活性。为了克服这些限制并扩展LBM在高速和可压缩流动领域的适用性，已经开发了多种改进或泛化的LBM模型——通常称为可压缩LBMs[9]、[10]、[11]、[12]。这些模型通常通过采用更高阶的离散速度集、纳入热效应或修改碰撞和平衡方案来放宽低马赫数约束。实际上，LBMs现在不仅被用作不可压缩和可压缩NS方程的高效求解器，还被用作探索多尺度传输现象的灵活框架。然而，大多数现有的LBM模型仍然仅限于在NS框架内恢复宏观流体动力学，无法捕捉NS水平之外的详细热力学非平衡（TNE）效应。在许多实际应用中，特别是在涉及冲击波、相变和界面不稳定性的可压缩流动中，TNE效应在决定系统演化中起着关键作用。捕捉这些效应需要超越传统的NS基建模，从而推动了更先进动力学方法的发展。

在过去十年中，离散Boltzmann方法（DBM）作为LBM的物理建模方面的改进扩展而被开发出来[13]、[14]、[15]、[16]。DBM适用于可压缩系统，包括多相[17]、[18]、爆震[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、流体不稳定性[24]、[25]、[26]、[27]、[28]和等离子体[29]、[30]，因为离散平衡分布函数不受低流速的限制。更重要的是，DBM作为一种强大而灵活的工具，能够自然捕捉传统宏观模型（如NS方程[31]、[32]、[33]）无法捕捉的流体动力学和非平衡热力学行为。与标准LBM不同，标准LBM的空间和时间步长与离散速度集紧密耦合，而DBM框架允许独立选择这些数值参数，从而在模拟中提供更高的灵活性和稳定性。例如，2016年，林等人提出了一种适用于亚音速和超音速可压缩燃烧的二维DBM，使用两组不同的分布函数来模拟化学反应物和产物[19]。2019年，林等人进一步开发了一种用于可压缩热反应流动的多松弛时间DBM，使用矩图方法有效评估碰撞、反应和力项[20]。后来，纪等人引入了用于具有非平衡效应的稳态和非稳态爆震的单松弛时间和多松弛时间DBM，基于柏拉图固体的特征点使用三维离散速度[21]、[34]。最近，针对具有强非线性、显著非平衡性和多尺度特征的高速可压缩流动，开发了二维和三维的Burnett级DBM[35]、[36]、[37]。总之，DBM作为一种非平衡统计物理建模框架和分析复杂物理场的强大工具[16]、[38]。尽管DBM具有优势，但由于涉及的变量数量较多，其在计算上比宏观方法要求更高。此外，对于显式的介观方案，时间步长通常受到松弛时间的限制，这可能进一步限制计算效率。

开发一种利用介观和宏观方法的优势同时减轻它们各自缺点的先进方法是本研究的主要动机。实现这一目标的关键策略是通过CE展开分析建立两种框架之间的联系，从而可以从底层离散分布函数推导出流体动力学方程中的宏观变量和通量。这一想法已由舒及其合作者[39]、[40]、[41]、[42]、[43]、[44]有效实现，他们提出了一种直接从LBM中的局部离散分布函数计算界面通量的求解器。在早期工作中[39]，舒等人提出了一种基于LBM的不可压缩粘性和无粘性流动的通量求解器。在这种方法中，NS方程使用有限体积方法离散化，通过基于单元中心宏观流动变量的LBM解的局部重建来评估单元界面处的通量。该求解器成功克服了传统LBM公式的几个限制，如对均匀网格的限制、网格间距和时间步长的耦合以及对粘性流动的限制。随后，基于LBM的通量求解器被系统地扩展到不可压缩和亚音速流动[45]、[46]、[47]，以涵盖具有强可压缩效应、冲击波和高速传输现象的更广泛流体动力学问题。

受舒的工作[39]启发，我们在2025年提出了一个基于DBM的通量求解器框架，其中使用离散分布函数评估守恒方程的通量[53]。多次尺度的CE分析表明，离散分布函数可以表示为泰勒级数，DBM在连续极限下恢复了流体动力学方程[53]。这种介观动力学方法无缝整合了DBM和流体动力学求解器的优势，有效缓解了它们各自的局限性[53]。特别是，这种方法结合了介观DBM的高物理精度和流体动力学求解器的计算效率[53]。与之前开发的基于LBM的通量求解器[39]类似，基于DBM的通量求解器在计算物理量和在每个时间步之前和之后重新计算离散平衡分布函数时需要插值[53]。

基于DBM的通量求解器与基于LBM的通量求解器之间的比较进一步明确了它们的关系和区别。这两种方法都源自离散Boltzmann方程，需要速度离散化，属于更广泛的动力学方法类别。它们还具有内在的线性和局部性，这极大地促进了并行实现，并能够在大型超级计算机上实现高效、稳定的性能。然而，也存在根本性的差异。标准LBM（通量求解器）主要作为NS或相关连续方程的数值工具，再现了底层模型规定的宏观行为。相比之下，DBM（通量求解器）可以被视为一个改进的流体动力学框架，其中包含了热力学非平衡和离散效应的粗粒度描述，这些在稀薄气体、急剧梯度流动和近壁动力学等情况下是不可或缺的。此外，虽然LBM（通量求解器）经常使用多个分布函数来表示不同的物理量，有时是以物理上间接的方式，但DBM（通量求解器）严格遵循统计力学，通过对离散分布的求和来严格近似它们的连续对应物。最后，与保留格子气体模型物理图像的LBM不同，DBM完全放弃了这种类比，直接基于动力学理论进行构建。

在本文中，我们进一步开发了一种新型的基于DBM的通量求解器，它在每个时间步之前直接使用离散平衡分布函数，时间导数以空间导数的形式表示。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了基于DBM的通量求解器。第3节介绍了冯·诺伊曼稳定性分析。第4节通过五个基准案例（冲击波、Sod激波管、声波、热Couette流动和Taylor–Green涡旋）进行了数值验证。最后得出了结论。

部分摘录

基于DBM的通量求解器

本节首先介绍了离散Boltzmann方程，然后详细推导了基于DBM的通量求解器所基于的控制方程。随后，流程图说明了所提出求解器的实现过程。在整篇文章中，采用了爱因斯坦求和约定，其中重复的希腊字母表示求和。此外，所有物理量都以无量纲形式表示，以提高数值稳定性和通用性

冯·诺伊曼稳定性分析

值得注意的是，离散Boltzmann方程（1）和通量求解器方程（35）都以统一的线性形式表示。这一特性使得可以对DBM和通量求解器方便且一致地进行冯·诺伊曼稳定性分析。在数值分析中，冯·诺伊曼稳定性分析（也称为傅里叶稳定性分析）是一种用于使用有限差分方案评估数值方法稳定性的经典技术[53]、[55]

验证和确认

为了验证基于DBM的通量求解器，考虑了五个代表性的基准案例。首先，模拟冲击波传播以展示其处理具有不连续性的可压缩流动的能力。还评估了数值精度、效率和稳健性。其次，使用Sod激波管来评估同时捕捉冲击波、接触不连续性和稀疏波的能力。

结论

在这项研究中，开发了一种用于可压缩流动的基于DBM的通量求解器，能够捕捉流体动力学和非平衡热力学效应。使用了两种离散速度集D2V16和D2V20。D2V16集合最初在参考文献[20]中提出，包含十六个离散速度，并由离散平衡分布函数满足十六个动力学矩关系。第二种集合D2V20是在本工作中新构建的，旨在考虑空间

CRediT作者贡献声明

林传东：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，验证，软件，资源，项目管理，方法论，研究，资金获取，形式分析，概念化。舒长：撰写 – 审稿与编辑，监督，资源，项目管理。

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作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争财务利益或个人关系。