《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：A geometry-adaptive physics-informed operator framework generalized for arbitrary geometries
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物理信息神经网络通过整合几何信息提升复杂几何场景下的建模能力，在流体动力学问题中实现90%的L2相对误差降低。
Jongmok Lee|Chaeyun Won|Anna Lee|Bumsoo Park|Sooyoung Lee|Seungchul Lee
韩国浦项科技大学（POSTECH）机械工程系，浦项，37673
摘要
物理信息神经算子是一种有前景的框架，通过将物理定律集成到神经网络架构中来求解偏微分方程（PDEs）。然而，现有的方法（如物理信息DeepONet（PI-DeepONet））在面对复杂的几何变化时难以泛化，因为它们独立于几何形状编码空间坐标。在这项研究中，我们提出了一种几何自适应的物理信息DeepONet（GAPI-DeepONet），该方法通过将广义几何表示集成到分支网络中，并通过几何自适应条件网络调节主干网络，有效地捕捉依赖于几何形状的非线性行为。与简单的PI-DeepONet或现有的嵌入方法不同，所提出的方法通过可训练的几何自适应参数直接调节主干网络的几何敏感特征，从而更高效地捕捉依赖于几何形状的非线性行为。通过对主干特征进行分层调节，该架构能够在保持训练效率的同时处理更广泛的几何配置。我们在三个代表性问题上评估了所提模型的性能，包括圆柱体周围的流动、NACA（国家航空航天咨询委员会）翼型流动和三维散热器问题，并将其与传统的PI-DeepONet、傅里叶神经算子（FNO）和基于ResUNet的DeepONet进行了比较。所提出的GAPI-DeepONet在准确性和鲁棒性方面始终优于对比模型，L2相对误差减少了高达90%，并展示了其在不同几何条件下解决细尺度变化的能力。
引言
模拟物理系统对于推进广泛的科学和工程领域至关重要，包括结构分析、热传递和流体动力学。这些模拟通过预测物理现象对物理参数或几何形状变化的响应，实现了设计优化和性能提升（Nguyen等人，2014年），例如分析由组件几何形状引起的应力和变形（Eberlein和Wriggers，1999年），评估产热结构中的过热问题（Geppert等人，2015年；Ziolkowski等人，2010年），以及预测飞机配置周围的流动和压力分布（Saltari等人，2017年）。随着对准确高效模拟的需求在各个应用领域不断增加，解决传统数值方法在可扩展性和计算成本方面的局限性受到了广泛关注。
尽管已经提出了许多模拟物理系统的方法，但大多数方法基于解析和数值方法，如有限元方法（FEM）和边界元方法（BEM）（Cheng和Cheng，2005年；Dhatt等人，2012年；Hughes，2003年）。虽然这些方法能够高精度地求解控制偏微分方程，但传统的基于FEM的方法通常需要较高的计算成本。特别是当在变化条件下重复进行模拟时，计算成本会显著增加（Lu等人，2021年；Quarteroni等人，2015年；Wang等人，2021年）。当几何条件发生变化时，这一限制更加明显，因为每次新配置都需要重新划分计算域。由于这些限制，传统方法通常不适用于需要快速和重复模拟的实时应用和大规模设计优化问题。
为了克服这些限制，基于深度神经网络（DL）的方法受到了广泛关注，以促进科学和工程模拟。作为代表性的DL方法，物理信息神经网络（PINNs）（Cai等人，2021a，2021b；Cuomo等人，2022年；Raissi等人，2019年）旨在通过将控制方程直接纳入训练损失函数来强制物理一致性，而无需计算网格。尽管具有优势，但当物理参数或几何条件发生变化时，PINNs必须重新训练，这限制了它们在实时和迭代分析中的适用性（Kovachki等人，2023年）。为了解决这一限制，引入了算子学习框架（Li等人，2020年；Lu等人，2021年，2022年；Wang等人，2021年），以训练将一组条件映射到相应响应的神经算子。一旦神经算子被训练好，它们就可以预测未见条件的偏微分方程（PDEs）的多个解。两个著名的神经算子研究包括傅里叶神经算子（FNO）（Li等人，2020年）和Deep Operator Network（DeepONet）（Wang等人，2021年）。首先，FNO使用傅里叶变换在频谱域中对映射进行建模，以捕捉全局依赖性。其次，DeepONet由两个神经网络组成：一个分支网络将输入条件函数（例如边界/初始条件和物理参数）编码为有限维表示，以及一个主干网络，用于编码空间或时间坐标。这些神经算子在变化的条件下不需要重新训练，非常适合实时和参数化应用。然而，它们仍然难以准确捕捉详细和非线性的变化，特别是在涉及复杂几何修改的问题中。这一限制需要改进的算子架构，能够在保持泛化和计算效率的同时处理几何变化。
最近，提出了许多方法来增强神经算子在处理几何变化方面的能力。例如，Li等人（2023年）和Burbulla等人（Burbulla，2023年）通过将非均匀物理域映射或转换为均匀潜在空间来表示复杂的几何变化。然而，这增加了计算成本，因为需要进行域划分和坐标转换。Liu等人（2024年）提出了一种基于特征函数的域边界信息嵌入到网络架构中的方法，使模型能够适应非结构化域和拓扑变化。然而，它仍然难以捕捉几何尺度或拓扑的显著变化。另一方面，He等人（2023年，2024年）引入了Geom-DeepONet和基于ResUNet的DeepONet，这两种方法都采用基于嵌入的架构，将分支网络特征集成到主干网络中以编码几何变化。尽管具有高预测性能，但该方法依赖于基于图像的几何表示，这使得它难以扩展到更高维度的问题，并且对图像分辨率和训练数据数量非常敏感。最后，Gladstone等人（2024年）和Li等人（2025年）采用了基于图神经网络的框架，有效地处理了不规则网格和复杂边界条件；尽管如此，其性能仍然高度依赖于网格离散化，并且与大量的计算开销相关。虽然上述研究在处理几何变异性方面取得了重要进展，但在算子学习框架内仍存在相当大的挑战，因为基于FNO的方法依赖于复杂的几何映射，而基于DeepONet的方法对输入几何表示的保真度和分辨率非常敏感。
在这项研究中，我们提出了一种几何自适应的物理信息DeepONet（GAPI-DeepONet）框架，它扩展了物理信息DeepONet（PI-DeepONet），以有效处理任意的几何变化。所提出的GAPI-DeepONet能够在不依赖于输入几何的分辨率或网格质量的情况下泛化到不同的几何配置。此外，通过额外的条件网络实现的几何自适应嵌入方法提高了训练效率，并确保了实时推理，而不会引入额外的架构复杂性。最后，我们在代表性的流体动力学问题上评估了所提模型的有效性和鲁棒性，包括圆柱体周围的流动、NACA翼型上的流动和三维散热器问题。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍背景和问题陈述。第3节概述了提出的GAPI-DeepONet框架。第4节提供了关于代表性问题的结果和讨论。最后，第5节总结了本文并提出了未来研究的潜在方向。
部分摘录
物理信息DeepONet概述
DeepONet是一种神经算子框架，它学习物理现象与不同物理参数或几何条件之间的映射，从而能够模拟未见过的条件。该架构由两个主要组件组成：分支网络和主干网络（图1）。分支网络将输入条件（如初始值和边界值、物理参数和几何信息）编码为高维表示
提出的方法
本研究提出了一种几何自适应的物理信息DeepONet（GAPI-DeepONet），旨在有效捕捉几何条件的任意变化。所提出的模型使用了一种广义几何表示方法，能够在多种几何配置下实现稳健的泛化。此外，为了解决传统主干网络的局限性，GAPI-DeepONet结合了一种新的嵌入方法，将几何信息集成到主干网络中
结果与讨论
为了评估模型在不同几何条件下的泛化能力，我们考虑了流体动力学中的代表性问题，包括圆柱体周围的流动、NACA翼型流动和三维散热器问题。每个问题都涉及系统的几何变化，以严格评估模型在训练分布之外的适用性和预测性能。
结论
本研究提出了几何自适应的物理信息DeepONet（GAPI-DeepONet），旨在在不同几何条件下保持高预测准确性和泛化性能。具体来说，我们提出了一种模型，通过来自条件网络的几何自适应参数显式调节主干表示，以有效捕捉复杂几何变化的非线性。我们证明了所提出的模型始终优于所有
CRediT作者贡献声明
Jongmok Lee：撰写——原始草稿、方法论、数据管理、概念化。Chaeyun Won：验证、方法论、数据管理。Anna Lee：监督、调查、形式分析。Bumsoo Park：撰写——审阅与编辑、验证、形式分析。Sooyoung Lee：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理。Seungchul Lee：监督、项目管理、资金获取。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。
致谢
这项工作部分得到了韩国国家研究基金会（资助编号：RS-2024-00342929）的支持，该基金会由科学和信息通信技术部资助；部分得到了纳米与材料技术发展计划的支持，该计划由韩国国家研究基金会（NRF）资助，由科学和信息通信技术部提供资金（RS-2024-00451579）。在准备这项工作期间，作者使用了ChatGPT 4.0来改进语言并去除冗余部分（如有必要）。使用该工具后，
