用于增材制造中具有移动热源的热传导问题的时间步进可迁移神经网络

针对增材制造中移动热源的高效瞬态温度场预测难题，提出基于时间步进域分解的可转移神经网络框架TDD-TransNet，通过固定隐藏层的随机特征空间实现复用，结合线性最小二乘法避免梯度训练，并采用峰适应域分解和时空张量基优化，在保持谱级收敛精度的同时显著降低计算量。

　　

严林环|胡博雅|关晓菲|杨子豪|马亮

同济大学数学科学学院，智能计算与应用重点实验室（教育部），中国上海200092

摘要

在增材制造（AM）中，准确预测瞬态温度场对于理解和控制制造过程至关重要。然而，由于剧烈的温度梯度会随时间变化，高分辨率模拟移动热源在计算上非常昂贵。我们提出了一种基于时间步进的域分解的可迁移神经网络（TDD-TransNet）框架，用于处理具有局部移动热源的热传导问题。TDD-TransNet构建了一个具有固定隐藏层特征的通用浅层网络（即可迁移的神经特征空间），并通过线性最小二乘法仅更新输出系数，从而避免了基于梯度的训练。我们提出了两种时间步进策略：一种是基于向后欧拉法的离散时间推进方法（DTM），它将每个时间步进简化为静态残差最小化；另一种是时空方法（STM），该方法使用短时间片上的张量积基。为了高效处理移动峰值，我们引入了具有局部基和精细采样的峰值自适应域分解，并通过惩罚项确保子域之间的温度/通量连续性。我们进一步通过在空间和时间平移下重用基和导数评估来加速训练。针对具有移动峰值的泊松方程和热方程以及受AM启发的移动热源的数值实验表明，该框架在神经元数量方面具有类似谱的收敛性，并且相对于PINNs和基于失效信息的PINNs具有更好的性能，相对误差达到了$10^{?3}$

引言

增材制造（AM）已成为生产具有高几何自由度和材料效率的复杂零件的关键技术[1]、[2]、[3]。虽然早期的AM应用主要与聚合物原型制作相关[4]，但金属增材制造现在已广泛应用于航空航天、生物医学和汽车行业[5]。在典型的金属AM过程中，高能激光或电子束按照预定路径扫描，并选择性地熔化金属原料（粉末或线材），以分层方式形成组件[6]。由此产生的移动热峰会导致剧烈的空间梯度和快速的加热-冷却循环，进而影响微观结构演变[7]、残余应力以及零件性能[8]。从工程信息学的角度来看，快速可靠的温度预测是AM数字线程中的核心模块——它支持过程规划、参数筛选和闭环监控/控制[9]、[10]。

AM中的热建模传统上依赖于实验[11]、[12]、[13]和基于物理的模拟[14]、[15]。红外热成像[16]和嵌入式热电偶[17]可以提供高保真度的测量[18]、[19]，但它们成本高昂、侵入性强且难以覆盖整个零件的空间范围。高保真度的数值求解器，如有限元方法（FEM）[20]、[21]和计算流体动力学（CFD）[22]、[23]，能够捕捉控制物理现象并提供详细的场分布[24]。然而，长的扫描路径、精细的时间分辨率以及重复的假设评估往往使得这些模拟在计算上要求很高，这促使人们开发出既准确又轻量级的替代模型。

机器学习（ML）已成为加速AM建模的有效工具[25]、[26]、[27]、[28]。纯数据驱动的替代模型可以从工艺设置学习到热特征、熔池指标和缺陷指标的映射[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]，但它们通常需要大型的高质量数据集[35]、[36]，并且在训练分布之外可能泛化能力较差[37]、[38]。物理信息神经网络（PINNs）[39]通过将控制方程和边界条件嵌入训练目标来缓解这一问题，并已被用于AM相关的热建模和优化[40]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]、[46]、[47]。然而，对于移动热源问题，PINNs的训练仍然可能较慢，并且对超参数敏感，在靠近剧烈移动的峰值和长时间范围内其准确性可能会下降。

最近，可迁移神经网络（TransNet）[48]、[49]、[50]和随机特征方法（RFM）[51]、[52]、[53]、[54]提供了一种替代的求解范式。其核心思想是构建一个具有固定隐藏层的浅层网络，该隐藏层充当可重用的神经特征空间；解表示为这些固定特征的线性组合，仅通过求解由偏微分方程（PDE）残差导出的线性最小二乘系统来计算输出系数。这种设计实现了（i）鲁棒且凸的系数拟合，避免了基于梯度的训练中的许多不稳定性；（ii）可以离线生成并在相关问题实例中重用的特征库；以及（iii）通过近似理论实现原理性的超参数选择。然而，原始的TransNet方法主要集中在静态环境中。具有移动峰值的时变热传导引入了额外的算法要求：需要非均匀的分辨率来跟踪局部峰值，子域之间需要异构的特征尺度，以及需要控制误差积累的长时间步进模拟。

受这些观察结果的启发，我们提出了一种用于AM中移动热源热传导的时间步进域分解可迁移神经网络（TDD-TransNet）。TDD-TransNet完全基于物理原理，不需要标记数据。它将时间分解为短时间片，在移动峰值周围自适应地分配局部神经特征，并仅更新每个时间片上的线性系数，从而自然兼容沿扫描路径的重复评估。在整篇论文中，我们使用特征一词指代固定的隐藏层基函数（即随机特征），而用系数指代学习到的输出权重。

主要贡献如下：

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  时间步进TransNet求解器。我们通过两种互补策略将TransNet扩展到瞬态PDE：（i）基于向后欧拉法的离散时间推进方法（DTM），它将每个步骤简化为静态残差最小化；以及（ii）使用短时间片上的张量积时空特征的时空方法（STM）。
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  峰值自适应域分解。我们引入了一种移动窗口分解方法，将受峰值影响的区域与平滑背景区域分开，为每个子域分配局部特征尺度和采样密度，并通过惩罚温度和通量跳变来确保界面一致性。
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  可重用的评估和工作流程加速。我们设计了一种考虑平移的损失评估策略，在空间/时间变换下重用特征和导数评估，从而减少时间片间的冗余计算同时保持准确性。

总体而言，所提出的TDD-TransNet旨在实现高效重复模拟和在不同扫描路径和工艺设置下的参数研究，补充（而非替代）适用于单次运行、高精度分析的高保真度基于网格的求解器（例如自适应FEM）[55]。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了具有移动热源的热传导模型，并指定了边界和初始条件。第3节介绍了TDD-TransNet方法，包括可迁移特征构建、DTM/STM时间步进方案、峰值自适应分解以及高效损失评估框架。第4节报告了具有峰值的泊松方程和热方程基准测试以及受AM启发的移动热源问题的数值实验。第5节总结了本文并概述了未来的研究方向。

章节片段

增材制造中的移动热源热传导

我们考虑在定向能量沉积型AM过程中，相同材料的基底上的单层沉积。图1展示了这种配置。金属粉末被注入聚焦的激光束中，激光束扫描基底表面，形成一个小熔池，粉末颗粒在激光移动过程中熔化并固化。

我们关注导热过程，忽略了熔池流体流动和蒸发热损失。在这个假设下，瞬态热

时间步进可迁移神经网络方法

在本节中，我们介绍了TDD-TransNet框架。首先回顾了用于静态PDE的可迁移神经网络的构建方法。然后，我们通过两种时间步进策略将TransNet扩展到时变问题。接下来，我们介绍了针对移动峰值的峰值自适应域分解。最后，我们描述了一个高效的损失评估框架。TDD-TransNet方法的整个工作流程在图2中进行了总结，该图展示了峰值自适应域分解

数值结果

在本节中，我们通过一系列数值实验展示了所提出的TDD-TransNet框架的有效性。示例包括具有静态峰值的二维泊松问题、具有移动峰值的二维热方程以及代表AM过程的二维移动热源问题。除非另有说明，否则每个子域中的配置点均匀采样。所有TransNet都使用$tanh$函数作为激活函数。

为了

结论

我们提出了一种用于具有剧烈移动热源的热传导的时间步进域分解可迁移神经网络（TDD-TransNet）框架，适用于需要针对不同扫描路径和工艺设置重复类似热分析的增材制造应用。TDD-TransNet通过固定一个浅层隐藏层构建了一个可重用的随机特征表示，并通过物理信息最小二乘法确定输出系数，使得每个新的时间步进

CRediT作者贡献声明

严林环：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、资源、研究。胡博雅：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、资源、研究。关晓菲：验证、监督、方法论、研究、概念化。杨子豪：撰写——原始草稿、验证、监督、方法论、研究、概念化。马亮：可视化、方法论、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们与其他个人或组织没有可能不当影响我们工作的财务和个人关系，他们对任何产品、服务和/或公司的专业或其他个人利益均无影响，这些利益可能被解释为影响本文的观点或手稿的评审。

提交本手稿时不存在利益冲突，所有作者均同意发表该手稿。

致谢

本研究得到了广东省基础与应用基础研究基金会（2024A1515011597）、国家自然科学基金（12271409、12571468、12371439）、河南省科学院高层次人才研究启动项目资助（232019024）、国家计算物理重点实验室基金会以及中央高校基本科研业务费的支持。