主动学习克里金方法结合球形低差异采样和梯度优化技术，用于高效地进行岩土系统的可靠性分析

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Active learning Kriging with spherical low-discrepancy sampling and gradient refinement for efficient reliability analysis of geotechnical systems

针对地质工程系统可靠性分析的高维和非线性问题，提出AK-SLDS方法，结合球状低离散度采样和梯度优化策略，提升背景样本的全局代表性及局部精度，通过五个数值例子验证其高效性和准确性，显著减少真实LSF评估次数。

　　

孙一飞|廖文旺|纪健

太原理工大学土木工程学院，中国山西省太原市迎泽西路79号，030024

摘要

岩土系统的可靠性分析通常需要大量高保真模拟来评估复杂的极限状态函数（LSF），这导致计算成本非常高。传统的基于替代模型的方法，如结合蒙特卡洛模拟的主动学习克里金（AK-MCS），常常存在背景样本的局部聚集问题，并且在高维问题中无法有效探索失效域。为了解决这些问题，提出了一种改进的主动学习克里金框架，称为AK-SLDS。该方法将球形低差异采样（SLDS）方案与梯度细化学习策略相结合，以提高背景样本的全局代表性以及替代模型更新的局部精度。通过五个数值示例验证了AK-SLDS的性能，包括两个基准问题和三个工程应用。这两个基准问题展示了该方法在低至中等维度可靠性分析中的准确性和效率。工程应用涉及浅基础承载能力和两个边坡稳定性问题，证实了其在强非线性和高维岩土系统中的鲁棒性。结果表明，与传统的主动学习方法相比，AK-SLDS产生的失效概率估计与MCS的结果非常接近，同时所需的真实LSF评估次数大大减少。因此，该方法为岩土系统的可靠性分析提供了一个高效可靠的框架。

引言

基于可靠性的分析已成为现代岩土工程的重要组成部分，它通过明确考虑土壤特性、外部荷载和模型参数的固有不确定性，能够对安全裕度和失效风险进行概率评估[1]、[2]、[3]、[4]。然而，传统的方法（如MCS或一阶和二阶可靠性方法（FORM/SORM）在处理复杂边坡系统时可能会面临高计算成本或精度有限的问题[5]、[6]、[7]、[8]。为了提高计算效率和预测精度，人们开发了替代模型来近似输入参数（例如粘聚力、摩擦角、饱和水力传导率）与输出响应（例如安全系数FoS）之间的非线性关系。代表性的方法包括响应面法[6]、[9]、[10]、支持向量机[11]、[12]、[13]、多项式混沌展开[14]、[15]、神经网络[16]、[17]和克里金[18]、[19]。在用于可靠性分析的替代模型中，基于克里金的模型由于其灵活性、高预测精度以及提供真实LSF的响应估计和梯度信息的能力而受到越来越多的关注[20]、[21]。

克里金因其不仅能提供点预测，还能提供局部预测不确定性的明确度量而广泛应用于可靠性分析[22]、[23]。这一特性使得克里金特别适合可靠性问题，因为相关的方差信息可以直接用于指导在极限状态表面附近的自适应采样和主动学习策略[24]。近年来，基于克里金的替代模型已成为岩土可靠性分析中一种流行且有效的工具，用于近似由有限元或极限平衡计算得出的非线性LSF。克里金元模型在岩土可靠性分析中的早期应用可以追溯到Zhang等人[25]的工作，他们探讨了其在岩土系统中的可行性。此后，越来越多的研究致力于应用和改进基于克里金的元模型进行岩土可靠性分析[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。例如，Zhang等人[26]使用拉丁超立方采样（LHS）生成的数百个样本来构建克里金替代模型，并将其与MCS结合，用于估计分层土坡的失效概率（P_f）。然而，固定的采样策略不可避免地限制了替代模型的计算效率和精度，尤其是在高维问题中。为了克服这一限制，Echard等人[31]提出了AK-MCS，该方法通过选择和评估估计的极限状态表面（LSS）附近最具信息量的点来迭代细化替代模型。这种自适应学习机制使克里金模型能够将计算资源集中在关键区域，显著提高了可靠性估计的效率，同时保持了可接受的精度。基于AK-MCS的原则，并考虑岩土工程的系统失效机制，Al-Bittar和Soubra[32]将AK-MCS方法应用于空间变化土壤上的条形基础的可靠性评估，展示了其在捕获空间变异性方面的有效性，同时保持了与完整蒙特卡洛模拟相当的精度。Liu和Cheng[33]采用准蒙特卡洛采样策略来提高设计空间中样本分布的均匀性，从而提高了AK-MCS方法的计算效率。Ding等人[29]应用了一种基于Lasso的变量选择方法，通过降低问题维度提高了高维随机场中AK-MCS的效率。然而，当与截断级数展开（如Karhunen-Loève（K-L）或扩展最优线性估计方法）结合使用时，这种简化不可避免地导致信息丢失，因为省略了一些虽然不那么重要但仍有影响力的变量。Huang等人[30]开发了一种基于主动学习的多重克里金方法，为代表性滑移面构建了多个替代模型以提高模型精度。尽管该方法对极限平衡分析有效，但由于识别代表性失效面的高计算成本，其在基于有限元的边坡可靠性分析中的应用仍然有限。

总体而言，现有的基于克里金的可靠性方法在平衡精度和效率方面仍面临挑战，特别是在涉及高维随机变量和空间变化土壤特性的基于有限元的边坡系统中。为了解决这些挑战，本研究提出了一种基于球形低差异采样的自适应克里金方法。所提出的方法将准均匀背景采样策略与梯度细化主动学习方案相结合。梯度细化使得能够识别离散背景样本之外的最具信息量的点，有效提高了替代模型更新的精度。结合全局探索和局部利用，所提出的AK-SLDS框架在岩土可靠性分析中实现了高计算效率，同时保持了数值稳定性和鲁棒性。

通过一系列复杂程度逐渐增加的基准和工程示例，证明了所提出的AK-SLDS方法的有效性和实用性。在第2节中简要回顾了AK-MCS方法，第3节介绍了梯度细化AK-SLDS方法的构建过程。第4节分析了五个复杂程度逐渐增加的数值示例，以评估该方法的性能。前两个基准问题检验了其准确性、收敛性和计算效率，而最后三个工程示例（包括一个浅基础和两个边坡稳定性模型）展示了其在非线性和高维岩土可靠性问题中的适用性。这些示例共同证实，所提出的AK-SLDS方法在不同复杂程度下都能提供高效准确的可靠性估计，凸显了其在岩土工程中的强大应用潜力及其扩展到其他基于可靠性的设计问题的能力。最后，第5节提供了结论性意见，并讨论了未来研究的潜在方向。

部分摘录

AK-MCS简介

为了为所提出的AK-SLDS框架奠定基础，本节简要回顾了AK-MCS方法。在各种基于替代模型的可靠性方法中，AK-MCS已成为结构和岩土可靠性分析中最广泛采用的框架之一。它的目标是在保持估计小失效概率的精度的同时，克服传统MCS的高计算成本。AK-MCS的关键思想是构建一个初始的克里金替代模型

结合SLDS样本的梯度细化主动学习

为了提高替代模型的全局代表性并减轻传统AK-MCS框架中细化点的局部聚集问题，提出了一种SLDS采样策略来生成背景样本。此外，还结合了一种局部梯度细化算法来识别最具信息量的候选点，从而进一步提高了所提出的AK-SLDS框架的效率和收敛性。值得注意的是，如图1所示，所提出的

数值示例

本节通过几个基准示例评估了所提出的AK-SLDS方法，并将其与代表性的最先进可靠性分析方法进行了比较。在每个示例中，首先在标准正态空间生成样本，然后通过Nataf变换结合Cholesky分解[45]将其映射到物理空间，以评估LSF。所有数值实现均使用Python完成，克里金替代模型也是据此构建的

结论

本研究开发了一种改进的主动学习克里金框架AK-SLDS，用于高效和稳健的可靠性分析。该方法结合了球形低差异采样策略来生成均匀分布的背景样本，并采用梯度细化学习机制来自适应地定位极限状态边界附近最具信息量的点。这种组合提高了样本的全局代表性和局部精度

CRediT作者贡献声明

孙一飞：撰写 – 审稿与编辑，验证。廖文旺：撰写 – 原始草稿，可视化，软件，方法论，调查，概念化。纪健：撰写 – 审稿与编辑，可视化，方法论，资金获取。

利益冲突声明

作者声明没有利益冲突。