具有裂纹的任意多相混合应力有限元方法中，多相复合材料的界面裂纹起始与扩展过程

《COMPOSITE STRUCTURES》：Interface crack initiation and propagation in multiphase composites with a cracked arbitrary multiphase hybrid stress finite element

裂纹扩展 多相复合材料 高阶应力场 有限元法 无局部网格细化

　　

张文彦|郭冉|徐伟|张鹏

昆明理工大学土木工程与力学学院，中国昆明650500

摘要

多相复合材料的性能受到其内部界面的严重影响，制造缺陷在这些界面下可能在机械或环境载荷的作用下引发裂纹。然而，有限元方法（FEM）受到网格依赖性的挑战，在模拟多相复合材料中的众多界面裂纹时需要连续的局部网格细化。

本研究提出了一种裂纹任意多相混合应力有限元（CAMHSFE），它能够自动模拟含有大量夹杂物的多相复合材料中界面裂纹的完整形成和扩展过程，而无需进行局部网格细化，这得益于其高阶应力场。为此，建立了一种用于CAMHSFE中众多界面裂纹形成和扩展的重新网格化算法，该算法采用了正应力准则。

通过对颗粒增强复合材料（PRCs）中界面裂纹形成和扩展的模拟，验证了所提出的CAMHSFE的有效性和准确性。仅使用3个CAMHSFE元素就能达到与77,824个FEM元素相当的精度，显示出卓越的计算效率。

通过模拟含有大量随机分布夹杂物的PRCs中界面裂纹的形成和扩展，展示了CAMHSFE简单均匀网格化和最小网格依赖性的优势。这突显了其在分析实际多相复合材料中大量夹杂物界面裂纹时的便捷性和高效性。

引言

多相复合材料的各个相具有不同的性质，将它们结合在一起使材料整体具有优异的性能特征，如高强度、轻质和耐腐蚀性以及其他特殊性质。这些材料在现代工业中得到广泛应用，特别是在航空航天技术和精密仪器领域。多相复合材料中不同相之间的界面作为关键的连接部分，使各相之间能够相互作用。然而，由于多相复合材料生产过程中的因素，这些界面可能存在缺陷。在外部载荷作用下，这些缺陷容易引发并扩展裂纹，对结构安全构成威胁。界面裂纹扩展是多相复合材料中最常见的失效模式之一，因此对此现象的研究尤为重要。

有几种数值方法用于研究界面裂纹，包括有限元方法（FEM）、边界元方法（BEM）、扩展有限元方法（XFEM）、相场方法（PFM）和Voronoi单元有限元方法（VCFEM）。FEM发展成熟且应用广泛；许多商业软件包能够处理复合材料的裂纹问题。同时，最近的研究致力于探索新的计算框架以克服传统网格的限制[3]，提出了一种基于FEM的不连续详细微观模型（DDMM）来模拟平面载荷下砌体结构的非线性失效行为[4]。在现有方法中提出了增量裂纹扩展策略的优化[5]。还提出了一种高效的数值方法，该方法将移动网格技术与交互积分方法结合在FE框架内，用于模拟一般载荷条件下单向碳纳米管增强复合材料（CNT-reinforced composites）中的裂纹扩展[6]。然而，FEM中的裂纹扩展需要频繁重新网格化，特别是在裂纹尖端进行局部细化，导致计算成本较高。BEM[7]仅离散化边界和裂纹表面，在裂纹尖端附近保持高精度应力场分析[8]、[9]，但在处理材料和界面非线性方面存在困难，对异质复合材料的耦合效率较低。Belytschko[10]、[11]提出的XFEM通过丰富传统FEM的形状函数来独立于网格表示裂纹，消除了重新网格化的需要并避免了网格依赖性。该方法已广泛用于预测三维裂纹扩展路径[12]以及模拟多个裂纹的成核、扩展和相互作用[13]。然而，为多材料界面定义合适的丰富函数（尤其是对于弱界面裂纹扩展）仍然具有挑战性，经常导致数值失败。PFM[14]、[15]使用连续的相场变量来隐式描述离散裂纹，包括其扩展路径和分支/合并行为。在模拟复合材料的断裂过程（如恒定/变刚度层压板中的裂纹扩展[16]和双材料及夹层结构中的界面裂纹扩展[17]、[15]）时取得了有希望的结果。然而，PFM方法需要极其细密的网格来解析扩散裂纹界面，导致计算成本较高。

VCFEM[18]、[21]将高阶应力引入函数中，使得可以使用相对粗糙的网格准确表征复合材料界面。Guo[20]、[21]开发了一种专门用于模拟颗粒增强复合材料（PRCs）中界面裂纹扩展的VCFEM。为了解决更复杂的裂纹问题，传统的VCFEM得到了进一步扩展。Li[22]等人提出了一种扩展的Voronoi单元有限元模型（X-VCFEM），能够模拟含有多个裂纹的脆性材料中的黏聚裂纹扩展。在此方法中，应力函数通过分支函数进行丰富，并在裂纹尖端附近使用小波函数来更准确地捕捉应力集中[23]。对于含有界面材料的PRCs[24]以及复杂载荷条件下的多孔材料[25]、[26]、[27]，VCFEM在模拟裂纹形成和扩展方面表现出强大的能力。改进的X-VCFEM将描述裂纹尖端奇异性的额外应力函数纳入函数中，有效分析了含有界面的PRCs以及各向异性复合结构中的多裂纹扩展[28]、[29]、[30]、[31]。此外，通过与传统FEM结合并采用多尺度分析方法，基于VCFEM的双尺度建模方法在分析PRCs中的裂纹形成和扩展方面表现出卓越的有效性[32]。尽管VCFEM在模拟PRCs中的裂纹扩展方面高效且准确，但依赖于Voronoi图的网格在处理含有大量夹杂物或夹杂物体积分数较高的复合材料时存在困难。

本研究提出了一种裂纹任意多相混合应力有限元（CAMHSFE），它能够自动模拟含有大量夹杂物的多相复合材料中界面裂纹的完整形成和扩展过程，该算法基于之前提出的任意多相混合应力有限元（AMHSFE）[33]，后者采用了简单均匀网格化和高阶应力。此外，AMHSFE[34]还用于模拟多相材料中不同形态的现有界面裂纹及其手动扩展。该方法具有最小网格依赖性的关键优势，且不需要局部网格细化。这一能力得益于其高阶应力公式，能够准确捕捉裂纹尖端的应力集中。因此，即使使用相对粗糙的网格，CAMHSFE也能自动准确模拟多相复合材料中众多界面裂纹的完整形成和扩展过程。这使其成为一种新的、便捷且可靠的数值工具，用于分析这类材料中的界面裂纹。

本研究包括以下内容：（1）建立了一种用于CAMHSFE中众多界面裂纹形成和扩展的重新网格化算法，采用了最大正应力准则。（2）通过将CAMHSFE对界面裂纹完整形成和扩展的模拟结果与FEM软件在相同PRCs示例上的结果进行比较，验证了CAMHSFE方法的有效性和准确性。（3）在一个含有大量随机分布夹杂物的PRCs示例上与FEM软件进行了比较分析，研究了不同临界正应力值对界面裂纹形成和扩展的影响。这进一步证明了CAMHSFE方法在分析多相复合材料中界面裂纹形成和扩展方面的显著优势，体现在其简单均匀网格化、最小网格依赖性以及处理大量界面裂纹的能力和潜力上。

本文的其余部分结构如下。第2节介绍了CAMHSFE的基本理论。第3节规定了CAMHSFE中界面裂纹的形成和扩展准则及重新网格化算法。第4节提供了两个PRCs示例，用于模拟界面裂纹的完整形成和扩展过程，以验证所提出的CAMHSFE方法的有效性、准确性和优势。最后，第5节总结了本研究并提出了未来工作的方向。

节选内容

改进的互补能量函数和单元公式

在本研究之前的工作中提出的AMHSFE中，如图1(a)所示的多相复合材料模型使用简单均匀网格划分方法，得到了图1(b)所示的AMHSFE，该方法能够方便且准确地处理含有大量夹杂物的多相复合材料问题。其理论基础是由Pian[35]、[36]基于Hellinger-Reissner（H-R）变分原理提出的混合应力单元方法。

界面裂纹形成和扩展准则

本研究的重点是实现CAMHSFE的完整模拟过程，因此我们采用了相对简单的最大正应力准则来模拟界面裂纹的形成和扩展。对于涉及实际材料和其他更复杂实际问题的未来应用，可以选择更具体的断裂准则。

在本研究中，使用方程（17）所示的最大正应力准则进行界面裂纹形成的弹性分析。

对称双粒子分布示例

本节通过模拟含有多个材料相界面的PRCs中的界面裂纹，并与FEM在不同阶段的裂纹扩展结果进行比较分析，验证了本研究提出的CAMHSFE方法在模拟多相复合材料中界面裂纹完整形成和扩展过程中的有效性和准确性。

要分析的示例是一个仅含有两个对称分布夹杂物的PRCs。

结论

本研究提出了一种裂纹任意多相混合应力有限元（CAMHSFE），它能够自动模拟含有大量夹杂物的多相复合材料中众多界面裂纹的完整形成和扩展过程，而无需进行局部细化，且仅使用粗糙网格。这一能力源于其高阶应力场，能够准确捕捉裂纹尖端的应力集中。该方法还具有其他优势：

未引用的参考文献

[19]。

CRediT作者贡献声明

张文彦：写作——审稿与编辑、撰写原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、数据管理、概念化。郭冉：监督、软件、资源管理、项目管理、方法论、资金获取、形式分析、概念化。徐伟：监督、资源管理、项目管理、资金获取。张鹏：可视化、软件。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（资助编号：12227801）的支持。