基于严格t-模(余模)的毕达哥拉斯模糊三支决策模型

《Exploratory Research in Clinical and Social Pharmacy》：A strict t-(co)norms-based three-way decision model under Pythagorean fuzzy environments

本文提出了一种基于严格t-模（t-norms）和t-余模（t-conorms）的毕达哥拉斯模糊三支决策（3WD）新模型。它构建了一种新颖的毕达哥拉斯模糊数（PFN）排序方法，并据此推导了条件概率阈值，从而形成了系统的3WD规则。该模型增强了处理复杂不确定性的能力，为在毕达哥拉斯模糊环境下解决多属性决策（MADM）问题提供了更灵活、更有效的方法，优于传统的t-模方法。

　　

^亮点

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  指出了文献[引用]中PFN排序方法存在的一些不足。
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  基于严格t-（余）模定义了一种新的排序度量，并通过验证其公理化性质证明了该方法的有效性。
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  在毕达哥拉斯模糊环境下，利用严格t-（余）模计算三支决策的期望损失。通过提出的PFN排序方法推导条件概率阈值，从而发展出3WD规则。研究发现，所提出的模型等价于毕达哥拉斯模糊环境下基于优化的3WD模型。
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  所发展的3WD规则被应用于多属性决策（MADM）。通过比较，展示了所提模型在处理不确定性和为实际应用选择特定严格t-（余）模方面的优势。

^{3. 毕达哥拉斯模糊数的排序}

正如在三支决策框架中所阐述的，在模糊环境下需要确定期望损失的偏序关系。在建立毕达哥拉斯模糊环境下的3WD规则时，期望损失被计算并表达为毕达哥拉斯模糊数。因此，必须为PFN定义一个合理的偏序。这引导我们考察PFN的排序方法。常用的PFN排序方法依赖于毕达哥拉斯模糊数A = <μ, ν>的得分函数和精确度函数。然而，文献[引用]提出的方法并未充分考虑PFN的不确定性，其排序结果可能无法满足决策理论中的一些基本性质（例如，反对称性和传递性）。

为了解决这些局限性，我们引入严格t-模T_S和严格t-余模S_S来定义PFN的一种新排序方法。对于一个PFN A = < />_A, ν_A>，我们定义其“确定性度量”D(A)如下：D(A) = T_S(μ_A, 1 - ν_A) 。直观上，D(A)通过聚合其隶属度μ_A和对非隶属度的补（1 - ν_A）来综合评估该PFN所代表信息的确定程度。使用严格t-（余）模族（例如，乘积t-模、爱因斯坦t-模等）为此度量提供了灵活性。基于此度量，我们定义PFN的偏序“?”：对于两个PFN A和B，当且仅当D(A) ≤ D(B)时，我们说A?B。我们随后证明了该排序方法满足一系列合理的公理性质，如反对称性、传递性、对序关系的保序性等，从而验证了其作为PFN可靠排序工具的稳健性。

^{4. 毕达哥拉斯模糊环境下的三支决策规则}

本节中，我们根据定义6中的PFN排序方法，发展毕达哥拉斯模糊环境下的3WD规则。假设3WD的损失函数如表4所示，以PFN的形式表达，用于量化不确定性。

考虑到决策风险，应满足以下关系：

μ_λ?PP≤ μ_λ?BP< μ_λ?NP, ν_λ?NP< ν_λ?BP≤ ν_λ?PP,

μ_λ?NN≤ μ_λ?BN< μ_λ?PN, ν_λ?PN< ν_λ?BN≤ ν_λ?NN.

在定理2和条件(8)-(9)的基础上，可以推导出以下关系：λ?_PP? λ?_BP? λ?_NP且 λ?_NN? λ?_BN? λ?_PN。这意味着，在将对象分类为状态X（例如，患病）时，采取“接受”（如立即治疗）行动的损失不大于“延迟”决定的损失，而“延迟”决定的损失又不大于“拒绝”行动的损失；对于状态?X（例如，健康）的分类，关系类似。

接着，我们通过严格t-（余）模计算每个可能行动（接受a_P、延迟a_B、拒绝a_N）的期望损失R(a_•| [x])。这些期望损失本身就是PFN。根据上一节开发的PFN排序方法，我们可以比较这些期望损失。最终的三支决策规则通过比较期望损失R(a_P| [x]), R(a_B| [x]), 和 R(a_N| [x]) 的大小来确定。具体规则如下：

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  如果R(a_P| [x]) 是三个期望损失中最小的（即 R(a_P| [x]) ? R(a_B| [x]) 且 R(a_P| [x]) ? R(a_N| [x])），则将对象x划分到正域POS(X)，采取接受行动。
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  如果R(a_B| [x]) 是最小的，则将x划分到边界域BND(X)，采取延迟行动。
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  如果R(a_N| [x]) 是最小的，则将x划分到负域NEG(X)，采取拒绝行动。
  进一步，我们推导了实现这些规则所需的条件概率阈值(α, β)。通过严谨的数学证明，我们展示了基于严格t-（余）模和PFN排序的3WD模型，在数学上等价于一个旨在最小化“总体决策不确定性”（以PFN的确定性度量D(·)的某种期望形式表示）的优化问题。这为我们的模型提供了坚实的理论依据。

^{5. 在毕达哥拉斯模糊多属性决策中的应用}

在毕达哥拉斯模糊环境下，我们已利用严格t-（余）模发展出3WD规则。接下来，我们将所提出的3WD规则应用于解决多属性决策（MADM）问题，其中决策者的判断以PFN表达。在MADM中，设X = {x₁, x₂, …, x_m}为一个包含m个备选方案的有限集。属性的非空集表示为A = {a₁, a₂, …, a_n}。通常，集合A可被划分为效益型属性和成本型属性的子集。随后采用归一化程序处理不同量纲和类型的属性值，构建归一化的毕达哥拉斯模糊决策矩阵。

我们的目标是将这m个备选方案分类到三个区域：可接受方案（正域）、需进一步评估方案（边界域）和应拒绝方案（负域）。为此，我们将每个备选方案x_i视为一个“对象”，其在不同属性下的PFN评估值聚合后，可以映射为属于“理想状态”的条件概率Pr(X | [x_i])的一种模糊度量。通过预设或从领域知识推导出损失函数表（以PFN表示），我们可以利用第4节提出的规则计算每个方案x_i的期望损失R(a_P| [x_i]), R(a_B| [x_i]), R(a_N| [x_i])，并根据PFN排序方法进行比较，从而将每个方案划分到相应的决策区域。

我们为此设计了一个系统的3WD-MADM算法，并通过一个医疗资源分配或新产品投资筛选的详细案例研究（文中5.2节）演示了该算法的步骤。案例展示了如何从原始PFN评估矩阵出发，经过属性权重确定、信息聚合、损失函数设定、期望损失计算与比较，最终得到所有备选方案的三支分类结果。该过程凸显了模型处理评估中固有模糊性和不确定性的能力。

^{6. 讨论与比较}

下文将基于所提出的3WD规则，考察使用严格t-（余）模相较于传统t-模所带来的性能提升。然后，我们将讨论不同严格t-（余）模对3WD结果的敏感性。此外，通过与毕达哥拉斯模糊环境中现有的3WD规则进行对比分析。为简洁起见，以下计算仍考虑5.2节中的案例研究。

我们首先比较了使用严格t-模（如乘积t-模、爱因斯坦t-模）与使用非严格t-模（如最小t-模）时，模型决策结果的差异。结果表明，严格t-模由于具有更强的函数性质（如严格单调性），能对PFN的隶属度与非隶属度进行更细腻的交互运算，从而在排序期望损失时能更好地区分相近的备选方案，减少了决策结果的模糊区域（即边界域中的方案数量），使得分类结果更具区分度和决策信心。

其次，我们探讨了在严格t-（余）模族内部选择不同具体函数（如乘积型、爱因斯坦型、哈马切尔型）对最终决策的影响。通过参数敏感性分析发现，虽然不同严格t-（余）模会导致条件概率阈值(α, β)的数值发生变化，但它们所导出的三支决策规则结构保持一致，且对大部分备选方案的分类结果是稳健的。这表明我们的模型框架具有一般性，决策者可以根据特定问题的偏好或数据特征选择合适的严格t-（余）模，而无需担心规则基础的颠覆性改变。

最后，我们将所提模型与现有的几种毕达哥拉斯模糊3WD模型进行了比较。比较侧重于几个方面：(1) 处理不确定性的机制：我们的模型通过严格t-（余）模和新的PFN排序方法，更有机地整合了PFN中的隶属与非隶属信息，而非将两者分开处理；(2) 灵活性：我们的模型允许嵌入一簇严格t-（余）模，为实际应用提供了参数化调整的空间；(3) 理论一致性：我们证明了模型与一个优化问题的等价性，这为其提供了不同于直接计算阈值或博弈论方法的另一种理论基础。案例结果显示，我们的模型在应对高度不确定、存在矛盾评估信息的复杂决策场景时，能产生更合理、更易于解释的分类结果。

^{7. 结论与未来工作}

在日常生活中，我们经常需要在决策问题中对一个备选方案做出接受、延迟或拒绝的决定。三支决策试图找到将备选方案分类到正域、边界域和负域的规则。本文中，我们基于严格t-（余）模，提出了毕达哥拉斯模糊环境下的新3WD规则。并考虑了其在多属性决策中的应用。总结出以下一些结论：

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  提出了一种基于严格t-（余）模的PFN新排序方法，该方法满足一系列合理的公理化性质，为比较毕达哥拉斯模糊信息提供了更可靠的工具。
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  建立了基于严格t-（余）模的毕达哥拉斯模糊3WD模型，推导了相应的决策规则，并证明了其与一种优化模型的等价性，增强了模型的理论基础。
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  通过MADM案例研究和对比分析表明，所提模型在利用严格t-（余）模处理不确定性方面优于传统t-模方法，并允许决策者根据实际情况选择最合适的聚合算子，从而提高了决策的适应性和准确性。
  未来的研究工作可以沿着几个方向展开：首先，可以将模型扩展到更复杂的模糊环境，如q-阶正交模糊集或概率语言术语集。其次，可以探索将所提出的3WD规则与深度学习等方法结合，用于处理大规模、高维的决策数据。再者，研究非严格t-模（如阿基米德t-模）在类似框架下的表现也是一个有趣的方向。最后，在更广泛的实际应用领域（如金融风险评估、环境管理、医疗诊断支持系统）中验证和完善该模型，将具有重要的实践价值。