可数序数在一般扩张中的反射性质：从L出发的力迫模型研究

《Annals of Pure and Applied Logic》：Reflection Properties of Ordinals in Generic Extensions

这篇研究论文深入探讨了在既不满足PD（Projective Determinacy）也不是可构造宇宙L的模型中，可数序数α何时是Σn1或Πn1反射的。文章聚焦于L的通用扩张，证明了添加Cohen或随机实数、使用Sacks力迫等特定“可定义的”力迫概念不会改变这些反射性质。然而，有趣的是，坍塌力迫则会增加最小反射序数的值，但依然小于L中的ω1L。该工作为在非典范集合论模型中理解反射序数的结构提供了新的工具和见解。

　　

主要定理 1.1

对于所有n < ω，在通过力迫P对L进行的任何一般扩张中，我们有σ_n¹= (σ_n¹)^L且 π_n¹= (π_n¹)^L，其中P是以下任何力迫概念：

• •
  (1) 添加任意数量的Cohen实数
• •
  (2) 添加任意数量的随机实数
• •
  (3) 任何细体绝对ccc弱齐次Borel力迫概念
• •
  (4) Sacks力迫
• •
  (5) Miller力迫
• •
  (6) Laver力迫

这些力迫概念的精确定义将在证明定理相应部分的章节中给出。

定理1.1确立了σ_n¹和 π_n¹的值不会被许多实数集合论中常见且熟悉的力迫概念所改变。特别地，它表明陈述σ₃¹< π₃¹与连续统假设的否定是一致的。因此，人们可能想知道，L上的任何力迫概念是否能够修改序数σ_n¹和 π_n¹的值。我们的另一个主要结果给出了一个非常违反直觉的答案：当用力迫偏序来坍塌基数时，对于n ≥ 3，σ_n¹和 π_n¹的值确实会增加。然而，它们仍然小于L中ω₁^L的大小。

主要定理 1.2

假设V = L。设P是用于将ω₁坍塌为可数的标准力迫。如果G ? P是L上的一般滤子，那么在L[G]中，对于每个2 < n, m < ω，我们有 (σ_n¹)^L< (π_n¹)^L< σ_m¹< π_m¹< (ω₁)^L< ω₁。

一些基本事实和预备知识

在本节中，我们记录一些在整个文章中使用的关于反射序数的基本事实。大部分结果是众所周知的，但我们会尽可能给出参考文献。首先我们注意到，对于任何n < ω，最小的Σ_n¹（分别是Π_n¹）反射序数是可数的。事实上，Σ_n¹反射序数的集合和Π_n¹反射序数的集合在ω₁中都包含一个闭无界集。

命题 2.1

对于所有n < ω，序数σ_n¹和 π_n¹都是可数的。实际上，Σ_n¹反射序数的集合和Π_n¹反射序数的集合在ω₁中都包含一个闭无界集。

证明：

固定n < ω 和 Γ ∈ {Σ, Π} 并假设...

Cohen力迫

在本节中，我们研究在添加任意数量的Cohen实数后序数反射性质的保持性。对于一个集合X，用C_X表示添加|X|个以X为索引的Cohen实数的力迫概念，即C_X中的条件是有限的偏函数p: X × ω → 2，以包含关系逆序。众所周知，对于具有相同基数的X和Y，C_X和 C_Y是力迫等价的。还要注意，任何可数的、非平凡的力迫概念都等价于添加一个Cohen实数。

Borel ccc力迫

定理3.1在κ = 1（或X实际上是波兰空间的Borel子集）的情况下有一个更大的推广。回想一下，如果一个力迫概念P的底层集合以及序关系和不相容关系是某个适当波兰空间中的Borel集，则称其为Borel的。在这种情况下，相容关系也是Borel的。就本节而言，让我们称一个力迫概念是Borel+的，如果它是Borel的并且具有以下两个附加属性。首先，...

Sacks力迫及其相关概念

研究了ccc力迫概念之后，我们现在转向非ccc的proper力迫概念。特别是本节我们研究Sacks力迫以及一些相关概念，并为它们证明了定理3.1的一个版本。回想一下，Sacks力迫S是完美树p ? 2^<ω的集合，以包含关系为序。这里的“完美”意味着对于每个t ∈ p，存在一个t′ ? t 使得 t′ ∈ p 且 t′?0, t′?1 ∈ p，其中?表示字符串的连接。本节的主要定理如下。

定理 5.1

设α是一个可数的...

坍塌

根据目前给出的结果，读者可能会怀疑任何偏序P能否增加σ_n¹或 π_n¹的值。本节的目的是给出一个肯定的回答。本质上，例子将是用于坍塌ω₁的Lévy偏序。σ_n¹或 π_n¹等序数在这个偏序对L的扩张中表现得非常奇怪：我们将看到它们严格大于L中相应的序数，但仍然小于ω₁^L。

为简单起见，让我们记P = P^L为用于将ω₁坍塌为可数的力迫概念...

结论

我们已经对反射序数在非典范集合论模型中的结构进行了首次探索。然而，一些问题仍然悬而未决。我们提两个。第一个是推论6.4的强化：

问题 7.1

假设ω₁^L< ω₁。我们是否一定有 (σ₃¹)^L< σ₃¹和 (π₃¹)^L< π₃¹？

第二个问题涉及相反方向，有点类似于对§6结果的逆转。

问题 7.2

假设 (σ₃¹)^L< σ₃¹。我们是否一定有 ω₁^L< ω₁？

我们还推测，定理5.1和定理5.7的结论对于...