《Applications in Engineering Science》：A thermodynamically consistent Johnson–Segalman–Giesekus model: Numerical simulation of the rod climbing effect
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本研究旨在解决一类标准的黏弹性速率型流体模型（如Oldroyd-B、Giesekus模型及其衍生模型）在描述杆爬升（Weissenberg）效应方面的性能问题。通过结合严谨的热力学框架和先进的数值模拟，研究构建了一个热力学相容的Johnson–Segalman–Giesekus (JSG) 模型。研究表明，这个新模型在严格遵守热力学第二定律的同时，能够极其出色地拟合实验数据，优于在工程中广泛应用但不满足热力学一致性的经典JSG模型。研究人员还将基于任意拉格朗日-欧拉 (ALE) 公式的稳健、高效的高阶有限元实现作为开源软件发布。该工作为理解和精确模拟黏弹性流体中的经典非牛顿现象提供了更可靠的理论与数值工具。
在日常生活和工业应用中，我们经常与黏性液体打交道，比如水、蜂蜜或者洗发水。这些液体在受到搅动、倾倒时，会展现出有趣的流动特性。然而，有一类更为奇特的流体，它们“记住”了过去被拉伸的经历，既能像黏稠的液体一样流动，又能像柔软的固体一样储存和释放能量，这就是黏弹性流体。想象一下，用一根快速旋转的棒子搅动一杯牛顿流体（如糖浆），液面通常会因离心力而凹陷。但如果你搅动的是一种黏弹性流体（比如某些高分子溶液或熔体），神奇的一幕发生了：液体会沿着旋转的棒子向上“爬升”，仿佛被一股无形的力量向上推挤。这个被称为“杆爬升”或“Weissenberg效应”的现象，是流体非牛顿行为的经典例证，无法用描述水和空气等牛顿流体的经典Navier-Stokes方程来解释。
那么，为什么液体会“爬杆”呢？其物理根源在于简单剪切流中，流体内部存在法向应力差——即流体内部在不同方向上的压力并不相等。这种“压力不平衡”会产生一个指向旋转轴心的力，从而将流体向上推。杆爬升效应不仅是实验室里的奇观，它在聚合物加工、食品工业和生物流体力学等领域有重要应用。为了理解和预测这类现象，科学家们发展了一系列黏弹性速率型流体模型，其中最著名的包括Oldroyd-B模型和Giesekus模型。这些模型通过在流体力学方程中引入一个描述高分子链微观构象演化的构象张量 或其相关的弹性应力，来刻画流体的记忆和弹性效应。
然而，一个长期存在的问题是：在众多模型中，哪一个能最准确地捕捉像杆爬升这样的复杂自由面流动？许多广泛使用的工程模型，例如经典的Johnson–Segalman模型，虽然在实践中被用于拟合实验数据，但其理论根基存在瑕疵。一个关键疑问是：这些模型是否与热力学基本定律（特别是热力学第二定律，即熵增原理）自洽？一个不符合热力学的模型可能在数学上看似合理，但其物理预测可能在极端或复杂条件下失去可靠性，甚至产生非物理的结果。
为了回答这些问题，来自捷克查理大学数学与物理学院的Jakub Cach、Patrick E. Farrell、Josef Málek和Karel T?ma在《Applications in Engineering Science》上发表了一项研究。他们致力于评估一类包含Gordon–Schowalter对流导数的标准一阶黏弹性速率型流体模型（包括Oldroyd-B和Giesekus类型）描述杆爬升现象的能力。为此，他们不仅进行了先进的数值模拟，更将研究建立在Rajagopal–Srinivasa提出的一个透明而简洁的热力学框架之上。这个框架基于两个核心概念：演化的自然构型和熵产率最大化原理，从而为推导出的模型提供了清晰的物理解释，并自动保证了与热力学第二定律的相容性。
研究团队特别关注了Johnson–Segalman–Giesekus (JSG)模型。他们比较了两个变体：
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模型I：基于热力学框架推导出的、具有热力学相容性的JSG模型。
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模型II：工程中常用的经典JSG模型。
通过严格的热力学分析，他们证明了一个关键结论：模型I对于所有参数都满足熵产率为非负的条件，因而是热力学相容的；而模型II在一般情况下（除非退化为特殊的Oldroyd-B模型）则可能违反热力学第二定律。这意味着模型II在物理上是不可靠的。
为了定量比较这两个模型在描述真实物理现象上的能力，研究人员将目光投向了杆爬升这一标准 benchmark 问题。由于杆爬升涉及自由液面的移动和变形，需要使用能够处理动边界的数值方法。为此，他们采用了任意拉格朗日-欧拉 (ALE) 公式来描述控制方程，并基于Firedrake库开发了一套稳健、计算高效的高阶有限元求解器，并将其作为开源软件发布在GitHub上，促进了该领域研究工具的可及性和可重复性。
主要研究技术与方法
本研究结合了理论分析、数值模拟与实验对比。核心是Rajagopal–Srinivasa热力学框架，基于自然构型乘性分解和熵产率最大化原理，从Helmholtz自由能和耗散率两个标量本构关系出发，推导出本构方程。数值模拟方面，采用任意拉格朗日-欧拉 (ALE) 公式处理自由面（杆爬升）导致的动边界问题，控制方程（质量、动量守恒及构象张量演化方程）的弱形式通过高阶有限元法在Firedrake自动化有限元系统上实现。模型验证与性能评估通过杆爬升效应的数值模拟完成，并将结果与历史实验数据（Beavers and Joseph, 1975; Debbaut and Hocq, 1992）及先前基于标准工程JSG和Giesekus模型的数值研究进行定量对比。
研究结果
1. 两个Johnson–Segalman–Giesekus模型及其热力学性质
本部分清晰地给出了模型I和模型II的数学表述。两者都采用了相同的运动学、相同的由参数a刻画的Gordon–Schowalter客观导数，并对构象张量B赋予了相同的物理解释（作为高分子网络宏观弹性变形的度量）。它们的关键区别在于柯西应力张量的结构以及构象张量B演化方程的右侧项。
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模型I的应力表达式为 T = -pI + 2μsD + G(Bd)，其演化方程包含了Giesekus型的非线性弛豫项。分析表明，其耗散率ξ可表达为几项非负项之和，因此对所有模型参数a和α，模型I都是热力学相容的。
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模型II是经典的工程JSG模型，其应力表达式为 T = -pI + 2μsD + τp。通过引入构象张量B进行改写后，其耗散率表达式中包含一个符号不定的交叉项。研究表明，除非a=0（即退化为Oldroyd-B模型），否则模型II无法保证耗散率非负，因此与热力学第二定律不相容。
2. 杆爬升效应的数值结果与模型比较
研究人员对杆爬升构型进行了系统的数值模拟，并将模型I和模型II的预测结果与已有的实验测量数据以及之前的建模尝试进行了详细比较。
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与实验数据的拟合：结果显示，热力学相容的模型I能够非常出色地拟合实验数据。其预测的液面爬升高度与形状与实验观测吻合度极高。
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与经典模型的对比：相比之下，工程上常用的模型II以及先前文献中报道的基于标准JSG和Giesekus模型的数值结果，在预测杆爬升高度的绝对值或变化趋势上，与实验数据存在显著偏差。
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参数敏感性：研究还探讨了模型参数（如Gordon–Schowalter参数a、Giesekus非线性参数α）对杆爬升预测的影响，展示了模型I在合理参数范围内捕捉物理现象的能力。
结论与意义
本研究通过严谨的热力学分析和先进的数值模拟，明确地回答了开篇提出的问题。主要结论如下：
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模型优选：在所有研究的JSG类模型中，基于Rajagopal–Srinivasa热力学框架推导出的模型I（热力学相容的JSG模型）是描述杆爬升现象的最佳模型。它不仅从理论上保证了与热力学基本定律的自洽性，而且在实践中对实验数据的拟合精度显著优于广泛使用的工程变体（模型II）。
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理论澄清：研究揭示了经典工程Johnson–Segalman模型（模型II）在热力学上的缺陷。除非其退化为特殊的Oldroyd-B模型（a=0），否则该模型无法保证耗散率非负，可能产生非物理的预测。这一发现对依赖此类模型进行工程设计和分析的研究人员具有重要的警示意义。
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方法与工具贡献：研究团队发展并开源了一套基于任意拉格朗日-欧拉 (ALE) 公式和高阶有限元法的、针对黏弹性流体自由面流动问题的强大数值工具。这套工具稳健、高效，为复杂非牛顿流体流动的模拟提供了新的可能性。
这项工作的意义深远。首先，它为黏弹性流体力学的建模提供了一个典范，强调了将本构模型的推导建立在坚实的热力学基础上的重要性。一个热力学相容的模型不仅在数学上更优美，在物理上更可靠，而且在实际预测复杂流动现象时也可能更准确。其次，该研究通过解决杆爬升这一经典难题，增进了我们对非牛顿流体中法向应力效应所致复杂流动的理解。最后，所发布的开源软件降低了该领域高水平数值模拟的技术门槛，将促进更广泛的学术交流与合作，推动黏弹性流体力学及相关应用领域的发展。
