一种可切换指数的预定义时间稳定性理论以及适用于非线性系统的自适应滑模控制

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A switchable exponent predefined time stability theory and adaptive sliding mode control for nonlinear systems

混沌系统同步控制中提出新型灵活预定时稳定定理，设计自适应快速滑模控制律，实现受外扰和参数不确定影响的混沌系统在任意设定时间内同步，并验证其收敛优势。

　　

李瑞琦|El Abed Assali|洪俊

湖南工业大学电气与信息工程学院，衡阳421002，中国

摘要

本文提出了一种新的灵活预定义时间稳定性定理，并基于该定理设计了一种自适应快速滑模面和控制律，以实现具有外部干扰和内部不确定参数的混沌系统的同步控制。具体来说，首先构建了一个新的预定义时间不等式，其幂项的指数不再局限于传统的（0,1）和（1, +∞）范围。基于这个不等式，提出了一种预定义时间稳定性理论，显著扩展了现有的研究成果。所设计的自适应快速预定义时间滑模面和控制律不仅确保系统在预定义时间内收敛，还可以根据系统状态与收敛点之间的距离自适应调整收敛速率。这种基于灵活指数的设计在参数配置方面比传统方法具有更高的灵活性。最后，数值仿真结果验证了所提出方法的有效性和先进性。

引言

在数学和物理学中，混沌理论是一种研究对初始条件敏感的确定性动态系统行为的科学理论。因此，直到1990年Pecora和Carroll引入混沌同步理论之前，混沌在科学界一直被认为是有害的[1]。从那时起，许多研究人员致力于混沌控制理论的发展和混沌同步的研究[2,3]。

为了实现混沌系统更快的收敛，近年来有限时间稳定性和同步问题受到了相当大的关注[[4], [5], [6]]。Wang等人[4]研究了忆阻器混沌系统的有限时间稳定性，并将其应用于图像加密。Zhang等人[5]也解决了不同维度的混沌系统的全局有限时间稳定性问题。在[6]中，作者研究了无线传感器网络中安全通信框架内的Chua混沌振荡器的有限时间混沌同步。

需要注意的是，有限时间控制方法的一个主要限制是稳定时间的上限通常取决于系统的初始条件[7]，这使得确切的收敛时间难以预测。为了解决这个问题，需要设计一种新的控制策略，无论初始状态如何都能保证有限时间同步。幸运的是，固定时间稳定性理论[8]的出现消除了对初始条件的依赖。因此，固定时间同步允许系统在固定且已知的时间内同步，这使其适用于初始条件未知的应用场景。最近的发展出现了各种依赖于固定时间控制理论的控制和同步技术。已经发表了大量关于混沌系统的同步结果，并开发了各种有效且广泛采用的控制技术，包括被动控制[9]、自适应模糊控制[10]和滑模控制（SMC）[11]。众所周知，SMC是一种广泛使用的方法，因为它对参数变化具有鲁棒性、强大的干扰抑制能力和快速的动态响应[12]。通过适当的控制器，系统状态被推移到选定的滑模面上并保持在那里。由于其有效性，这种方法常用于混沌系统同步[11,13,14]。

固定时间控制的主要局限性通过预定义时间控制得到了解决。首先，控制器的可调参数直接设置了预定义稳定时间的上限，有助于避免高估收敛时间。其次，由于收敛时间明确受到这些参数的限制，因此可以更容易地设计控制器以满足特定要求[15]。最近，发表了几项研究，探讨了预定义时间控制技术在混沌系统中的应用和发展，进一步扩展了其在同步和控制问题中的潜力[[15], [16], [17], [18], [19]]。在[15]中，Zhang等人引入了一种新的预定义时间SMC策略来同步混沌系统。在[16]中，Liu和Li为分数阶非线性系统开发了一种统一的预定义时间稳定性定理。他们的方法结合了一种基于幂函数的新型分数阶SMC算法。在[17]中，作者提出了一种专门用于同步混沌系统的新型预定义时间SMC方法。同样，在[18]中，Zhang等人为分数阶混沌系统开发了一种自适应预定义时间SMC。在[19]中，为一般非线性系统引入了一种预定义时间非奇异SMC。在预定义时间控制文献中，稳定性不等式中使用的指数通常被赋予默认值，通常表示为1?和1+，这有助于保证系统在预定义时间内收敛。在本文中，我们旨在通过将这些基值视为任意常数而不是固定值来推广这些结果，从而实现更大的灵活性和更广泛的应用性。在之前的分析基础上，本文提出了一种新的预定义时间稳定性定理，以实现受外部干扰和参数不确定性影响的混沌系统的同步。主要贡献如下：

1. 大多数预定义时间定理假设所考虑不等式中的幂项默认值为1?和1+ [15,[18], [19], [20], [21], [22], [23]]。例如：与1的差值相同的幂项，如0.8和1.2，或0.5和1.5等。本文研究了当这些基值被任意常数替换时，是否仍可以构建预定义时间李雅普诺夫不等式，以及这种变化可能如何影响预定义时间的收敛行为。也就是说，幂项可以调整为0.8和1.6，或其他与1的差值不同的幂项。

2. 本文对设计中幂项不等于1时预定义时间SMC算法的实际效果进行了数值分析。通过仿真表明，这种推广可以提高收敛速率，为SMC结构的灵活性和性能优化提供了新的见解。

3. 虽然之前的研究使用了自适应函数来加速渐近稳定性下的收敛[24]，但尚不清楚这些技术是否可以保持预定义时间的稳定性。本研究探讨了将自适应函数集成到预定义时间SMC框架中是否仍能保证在预定义时间内收敛。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了必要的预备知识，包括与预定义时间稳定性相关的基本定义和引理。第3节介绍了主要理论结果，其中提出了一种新的预定义时间稳定性定理，并将其应用于具有外部干扰和内部不确定性的混沌系统的滑模控制器设计。第4节进行了数值仿真，以验证所提出方法的有效性和鲁棒性。最后，第5节总结了本文。

章节摘录

预备知识

本节主要介绍了本文的控制目标以及一些所需的稳定性定理的初步知识。

考虑以下系统：$\dot{x}=\phi \left(x,t\right),x\left(0\right)=x_0$其中$x\in R^n$$\phi :R^n\to R^n$是一个非线性函数。假设原点是系统（1）的收敛平衡点。

定义2.1

（有限时间稳定 [4]）如果系统（1）满足渐近时间稳定性，并且存在满足:

$x=0$（当$t\ge T\left(x_0\right)$

其中$T\left(x_0\right)$

其中

主要结果

本文的主要目的是研究混沌系统同步控制中改变幂项中的参数1的影响。因此，需要一种预定义时间滑模控制算法，其中幂项中的其他项保持不变，但1是一个变量参数。相应地，本节主要完成了三个关键任务：

1. 我们提出了一种新的灵活切换幂项预定义时间稳定性定理，其中幂项是可变的。

2. 我们

数值仿真

数值仿真主要是为了验证第3节中的两个关键理论：

1 当k=1时，验证滑模面方程（20）和滑模控制律方程（21）是否能够始终满足预定义时间控制要求，并期望本文提出的算法比主流算法[15,18,19]具有更快的收敛速率；

2 当k>1时，探索与现有算法的差异

结论

本文提出了一种基于新型灵活预定义时间稳定性定理的快速滑模控制算法。所提出的预定义时间不等式、滑模面和控制律都是创新性的贡献，共同保证了受控系统在预定义时间内收敛。数值仿真验证了该方法在同步具有外部干扰和内部不确定性的混沌系统方面的有效性。

资助

湖南省自然科学基金联合基金（项目编号2025JJ80254）

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

数据可用性

不适用数据可用性声明

CRediT作者贡献声明

李瑞琦：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，软件，数据管理。El Abed Assali：撰写 – 审稿与编辑，方法论，研究。洪俊：撰写 – 审稿与编辑，监督，软件。