克服基于优化的偏微分方程求解器中的损失条件瓶颈：一个条件良好的损失函数

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Overcoming the Loss Conditioning Bottleneck in Optimization-Based PDE Solvers: A Well-Conditioned Loss Function

骨骼有限元方法用于求解椭圆界面特征值问题，建立H1正交投影处理曲边投影非交换问题，证明离散特征值渐近下界性质，并通过数值实验验证误差估计。

　　

李书生|谢和虎|翟启龙

吉林大学数学学院，中国吉林省长春市130012

摘要

在本文中，我们提出了一种用于椭圆界面特征值问题的骨架有限元方法（FEM）。我们分析了涉及曲面界面的情况。由于曲面上投影算子的不可交换性，我们定义了一个H^1-正交投影，以实现特征值的最佳误差估计。此外，对于直线界面，我们严格证明了数值方案的特征值的下界性质。最后，我们通过多组数值实验验证了数值方案的准确性，包括直线界面和曲面界面的情况。

引言

界面问题由于其在各个领域的广泛应用而受到广泛关注，包括材料科学[1]、计算电磁学[2]、流体力学[3]等。这些界面可能涉及材料界面、相变、物理边界或其他类型。在不同的应用领域中已经识别出不同类型的界面，例如固体力学中的封闭界面[4]、流体力学中不相溶的两相流动的移动界面[5]以及材料分析中的开放界面[6]。椭圆界面问题的数值研究有着悠久的历史。关于体适合法，读者可以参考[7]。关于有限元方法，相关参考文献包括[8]、[9]。

在实际应用中，界面通常是一个复杂的曲面。在二维问题中，处理这样的曲面通常涉及用直线段来近似这些曲线。然而，当使用高阶多项式来近似精确解时，几何误差可能会降低收敛阶数[10]。为了解决这个问题，已经开发了多种用于具有曲边域的数值方法。这些方法包括有限元方法[11]、不连续Galerkin有限元方法[12]、虚拟元素方法[13]和弱Galerkin有限元方法[14]。

骨架有限元方法是一类广泛的数值离散化技术，其特点是在网格骨架上引入了额外的未知数。这种结构特性促进了混合化，从而产生了具有有益属性的代数系统，如降低的全局耦合。这一家族中值得注意且密切相关的成员包括混合化不连续Galerkin（HDG）方法、混合高阶（HHO）方法和弱Galerkin（WG）方法。先前的研究表明，HHO方法可以通过将其方程表示为具有平衡数值通量的局部平衡方程来完全重构到HDG框架中[15]。类似地，WG方法也被系统地纳入了类似的HDG框架[16]。本文中使用的骨架有限元方法也被称为弱Galerkin有限元方法。

在本文中，我们提出了一种用于求解具有直线和曲面界面的椭圆界面特征值问题的骨架有限元方法。对于具有直线界面的椭圆界面特征值问题，我们建立了H^1和L^2误差估计，并推导了特征值的误差估计。我们严格证明了通过骨架FEM获得的特征值具有渐近下界性质。对于具有曲面界面的椭圆界面特征值问题，由于投影算子的不可交换性，我们需要扩展弱梯度算子的定义并重新定义H^1-正交算子。这使得特征值的误差估计更加具有挑战性，这也是本文的主要贡献。此外，在数值实验中，当在曲面上计算积分时，[17]中的非线性变换将曲面元素映射到参考元素上。

本文的结构如下。第2节介绍了椭圆界面特征值问题，详细阐述了有限元空间和相应的数值方案。第3节重点讨论了特征值问题的误差分析。第4节提供了源问题在H^1和L^2范数下的误差估计。这些结果在第5节中用于建立特征函数的H^1和L^2误差估计。此外，该节还包括特征值误差的表达式以及相应的误差估计和数值方案的下界性质分析。最后，第6节通过数值实验来验证和说明理论发现。

节选

椭圆界面特征值问题的骨架FEM

在本节中，我们首先介绍椭圆界面特征值问题（2.1）。然后我们定义有限元空间和相应的数值方案。在整篇文章中，我们使用Sobolev空间的标准符号。设$S?R^2$是一个具有Lipschitz连续边界的有界开域。用‖·‖_m,S和(·, ·)_m,S分别表示H^m(S)（m≥0）中的范数和内积。同样，如果S是边界，我们使用?·, ·?_m,S来表示内积。

特征值问题的误差分析

在本节中，对于误差分析，我们首先介绍投影算子及其相应的性质。随后，我们推导出几个不等式并对特征值问题（2.1）进行详细的误差分析。

源问题的误差估计

在本节中，我们致力于推导源问题（2.3）的H^1和L^2误差估计。为了确保数值分析的完整性，我们提供了详细的证明。

特征值的误差估计

在本节中，我们推导出特征函数的H^1和L^2误差估计，然后提供特征值的误差估计。

数值实验

在本节中，我们通过数值实验来验证所提出的数值方案（2.5）的准确性。由于确切的特征值是未知的，我们使用

其中h_1 < h_2 < h_3表示三个连续级别的有限元划分的网格大小。数值积分的实现细节可以在[14]、[17]中找到。

在所有示例中，我们报告了前四个特征值及其收敛速率

结论

本文提出了一种用于处理直线和曲面界面的椭圆界面特征值问题的骨架有限元方法。对于具有直线界面的问题，建立了特征函数和特征值的最佳误差估计，并严格证明了离散特征值的渐近下界性质。为了处理曲面上投影算子的不可交换性，我们扩展了弱梯度算子并重新定义了H^1-正交算子。

CRediT作者贡献声明

李书生：撰写——原始草案、验证、软件、形式分析。谢和虎：撰写——审阅与编辑、方法论、资金获取。翟启龙：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。