开发准确高效的降阶模型（ROM），以捕捉时间依赖型偏微分方程（PDE）数值模拟中的参数变化，仍然是科学计算中的一个主要挑战。这项任务通常取决于具体问题，往往需要调整现有的技术。当参数向量维度较高时，这一挑战尤为突出。其中最著名的方法是基于传统适当正交分解（POD）的ROM，它们已经取得了许多成功的应用[1]。
然而，许多传统ROM的效率在理论上受到所研究参数问题的Kolmogorov N-宽度衰减率的限制。Kolmogorov N-宽度量化了流形可以被N维线性子空间多好地近似。尽管对Kolmogorov N-宽度的精确估计较为罕见[2]，[3]，但它等同于贪婪POD中的最佳N项近似[4]，这表明对于参数依赖性足够平滑的抛物线和椭圆问题，其衰减是指数级或代数级的；参见[5]、[6]、[7]、[8]、[9]。
相比之下，双曲问题的衰减率通常要慢得多。例如，对于具有不连续初始数据的线性问题，[10]、[11]中的作者观察到衰减率为。这种较慢的衰减意味着需要一个相对高维的子空间来准确近似解。这在一定程度上解释了为什么基于POD的ROM在双曲问题上的发展相对较少；然而，也参见[12]、[13]、[14]、[15]。
对于非线性双曲问题，情况变得更加复杂，因为需要准确追踪冲击波的形成。本研究中讨论的浅水方程（SWE）就是一个典型的例子。为了克服线性降阶技术的局限性，已经采用了机器学习（ML）方法来构建双曲系统的ROM；参见[13]、[14]、[15]。基于ML的SWE降维模型包括[16]、[17]、[18]。然而，ML方法也有其自身的局限性，特别是缺乏成熟的理论基础。
一个更具数学基础的替代方法是张量ROM（tROM）方法[19]、[20]、[21]，它最近被开发出来以解决基于POD的ROM在参数化PDE方面的局限性。这种方法特别适用于具有高维参数空间的时间依赖型PDE[19]。tROM是一种基于投影的方法，它通过对不同参数值进行高保真模拟来构建一个维的“快照”张量，其中N是物理维度，D是参数数量。该张量代表了参数到解的离散近似。通过直接操作这些低秩结构，可以为任何新的参数值计算出参数依赖的降维基。更多细节见第2.2.1节。
在这项工作中，我们使用Tucker格式的低秩张量分解（LRTD）来构建tROM，并区分插值和非插值变体。对于插值tROM，通过参数到解的映射的低秩插值来计算局部降维基。在非插值情况下，插值被局部POD程序取代。正如我们将展示的，非插值tROM的性能更好。
我们将张量ROM方法应用于一个双曲问题——具体来说，是一维SWE溃坝问题，包括干床和湿床初始条件，以及具有地形、Manning摩擦和参数化初始条件的二维SWE方程。初始条件由参数（hL, h_R）表征，分别代表大坝左右的水位。在这种情况下，参数空间的维度为，而对于二维问题，还需要额外的参数来描述地形和摩擦系数，从而导致。干床情况（）导致了一个相对简单的解，其中包含一个稀疏波。相比之下，湿床情况（h_R?=?0）更具挑战性，因为在大坝下游形成了冲击波。在这种情况下，冲击波在所有时间t?>?0时都会持续存在，并且解关于h_R的导数在h_R?→?0时变得无界。这使得基于投影的ROM的构建特别困难，因为近似的质量取决于参数到解映射的规则性[22]。因此，即使问题的物理和参数维度较低，对ROM的发展构成了重大挑战。
我们证明了非插值tROM结合在床层中控制水深的参数的Chebyshev采样点分布是一种有效的策略。尽管由此产生的局部降维空间的维度高于通常用于抛物线或椭圆问题的维度，但这与双曲设置中已知的Kolmogorov N-宽度衰减缓慢是一致的。我们还展示了这种方法显著优于标准的POD-ROM，特别是在湿床情况下，POD-ROM难以解析冲击波并且倾向于产生虚假的高频振荡。
本文的其余部分组织如下。第2节中，我们介绍了控制方程，描述了基于投影的ROM方法，并概述了tROM和POD-ROM技术。有关tROM的更多细节，我们建议读者参考[19]、[20]。第3节提供了干床和湿床情况的数值结果，包括局部基生成阈值的分析、参数h_R的变化，以及插值和非插值tROM之间的性能比较，以及POD-ROM和tROM之间的性能比较。第4节收集了用五个参数参数化的二维问题的结果。最后，在附录A中，我们讨论了湿床溃坝问题在干床极限附近的解的规则性。
