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磁分析器第三阶像差系数的积分公式推导及在质谱仪中的应用，采用逐次逼近法建立完整积分表达式，并扩展至质量色散分析，验证结果与微分代数法一致，为高精度质谱仪设计提供理论支持。
李美山|陶洪庆|胡航峰|刘福|康永峰
西安交通大学电子科学与工程学院，教育部物理电子与器件重点实验室
摘要
为了提高能量分析仪或质谱仪的性能，需要对其核心组件（即磁扇形分析器）的设计进行分析，特别是三阶像差的分析。在本文中，我们采用了逐步逼近法，推导出了磁扇形分析器三阶像差系数的完整积分公式列表。为了满足质谱仪的分析和设计需求，我们将三阶色差系数扩展到了与能量和质量波动相关的系数。这是通过将动量扰动分解为能量和质量波动来实现的。最后，作为一个示例，我们研究并分析了一个磁扇形分析器，并使用推导出的积分公式计算了三阶像差系数。这些公式的优点在于，它们将磁扇形分析器的边缘场视为连续函数，而不是采用某些近似值，如锐截止边缘场（SCOFF）和扩展边缘场（EFF）。计算出的三阶像差系数与微分代数方法得到的结果一致。这项工作将有助于电子和质谱仪的系统设计和优化。
引言
磁扇形分析器作为带电粒子光学系统中的基本色散元件，能够空间分离具有不同动量的带电粒子[1]。因此，它可以作为单色仪或能量/质量分析器使用。例如，在高分辨率电子显微镜中，它们被用来实现能量过滤或单色化，从而减少色差，提高分辨率[2]。通常，多个扇形分析器（如Ω型或α型能量过滤器）对称排列，以调整旁轴轨迹的对称性，从而实现有效的像差校正[3]。在这些系统中，二阶几何像差部分得到校正或完全消除，然而三阶几何像差要么被忽略，要么仅进行少量优化[3]。我们知道，一旦去除了初级像差，这种单色仪或能量/质量分析器的性能就由高阶像差决定[5]。因此，必须计算和分析这些滤波器的三阶像差以获得更好的性能。
计算高阶像差的方法主要有光线追踪法、波动法（eikonal method）和微分代数（DA）法。但是，即使使用计算机代数，计算也非常复杂和具有挑战性[6]，因为它需要对整个系统进行系统性的研究。在光线追踪法中，可以通过精确追踪足够数量的轨迹来提取三阶像差系数，但这非常耗时[7]。Piles提出了一种简化方法来计算三阶像差，并实现了完整的残差像差[8]。通过这种方法可以获得系数的大小，但无法得到三阶像差系数的表达式[6]。波动法已被证明是计算像差和优化电子光学系统的强大工具。基于波动法，列出了扇形分析器的三阶波动多项式的几何和色散项[9]。然而，文献中缺少个别三阶像差系数的积分公式。DA法也被引入到磁场分析器的三阶像差计算中[10]。然而，在参考文献[10]中，磁场被认为是均匀的，这限制了其在实际应用中的适用性。
另一方面，由于结构简单、稳定性好以及具有高分辨率能力，磁扇形分析器已成为各种质谱仪的关键组件，并广泛应用于食品安全、环境科学和生命科学等领域[11][12][13]。在质谱仪的设计中，分辨率是一个主要挑战，它直接受到磁扇形分析器结构的影响[14]。磁扇形分析器的极面通常配置为平行平面几何结构[15]。即使在这种结构下，计算像差时也需要对边缘场进行大量计算，因为边缘场是连续变化的，并且会影响高阶项[16]。常见的边缘场模型是锐截止边缘场（SCOFF）假设模型。例如，在参考文献[17]中，SCOFF模型被用来计算二阶轨迹的理论表达式[17]。为了改进处理方法，开发了扩展边缘场（EFF）近似。这种精细的EFF近似结合传递矩阵和光线追踪法被用于计算微型双聚焦质谱仪的二阶像差系数，结果与测量结果非常吻合[18]。更进一步，将边缘场视为连续函数是模拟实际场分布的更现实的方法，因为在磁偏转器和成像能量过滤器中已经推导和计算了直到二阶像差系数的表达式[19][20]。Mordik和Ponomarev提出了一种使用矩阵技术计算扇形静电分析器三阶离子光学特性的方法，但缺乏具有平滑边缘场的个别三阶像差系数的积分公式[21]。因此，为了分析磁扇形分析器，有必要将边缘场视为连续函数来研究三阶像差系数。
在本文中，我们使用逐步逼近法推导出了磁扇形分析器所有三阶像差系数的解析积分公式。特别是，通过将动量扰动分解为能量和质量波动，我们将三阶色差系数表示为质量项和能量项。因此，可以轻松地将能量分析扩展到高分辨率质谱中的质量分析。最后，作为一个示例，我们全面研究了一个真实的磁扇形分析器，并将不可忽略的边缘场视为连续函数。使用本文推导出的公式计算了三阶像差系数，结果与DA法得到的结果一致。我们预期这项工作将有助于高性能带电粒子组件（如能量过滤器和质谱仪）的设计。
小节片段
高斯轨迹
虽然大多数带电粒子光学系统的中心轴是直的，但磁扇形分析器的光学轴是弯曲的。因此，需要一个适当定义的曲线坐标系来分析它们的光学特性。图1展示了一个典型的磁扇形分析器的曲线坐标系x-y-z，其中中心弯曲轨迹（也是参考光线）被定义为轴（由蓝色虚线表示），而（y）表示局部
磁扇形质量分析器的三阶色差系数
在第2节中，我们得到了磁扇形能量分析器三阶像差系数的积分公式。为了使我们的推导公式在计算和分析其他带电粒子光学系统（如质谱仪）的三阶像差时具有更广泛的适用性，我们将研究粒子的动量扰动分解为质量波动和能量波动。这样，就可以得到与质量项相关的三阶色差系数
通过磁扇形能量分析器与DA方法的交叉验证
在第2.3节中，我们使用逐步逼近法得到了磁扇形分析器所有三阶像差系数的积分公式。为了验证这些推导出的公式，我们以磁扇形分析器为例，计算了三阶像差系数，并将它们与DA方法计算的结果进行了比较。
首先，对于一个未经任何优化的真实磁扇形分析器，如图所示
结论
在本文中，我们首先使用逐步逼近法推导出了磁扇形分析器三阶像差系数的完整积分公式列表。然后，为了提高我们推导出的公式在质谱学中的广泛应用性，我们将动量扰动分解为能量和质量波动，从而扩展了我们的推导范围到质量分析器。结果得到了完整的积分形式的三阶色差系数列表
CRediT作者贡献声明
李美山：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。陶洪庆：软件，数据管理。胡航峰：资源获取，资金筹集。刘福：撰写 – 审稿与编辑，可视化。康永峰：监督，资源获取。
利益冲突声明
我们声明与可能不恰当地影响我们工作的其他个人或组织没有财务和个人关系，也没有任何形式的专业或其他个人利益涉及任何可能影响本文所述观点或手稿评审的产品、服务和/或公司。
致谢
我们感谢西安交通大学的唐天同教授提供的长期建议。本工作得到了国家关键研发计划（项目编号：2024YFB4608501）和陕西省自然科学基础研究计划（项目编号：2024JC-JCQN-69）的支持。
