使用具有可变形粒子的离散元模型对单晶的三轴各向异性进行建模

《International Journal of Engineering Science》：Modeling of cubic anisotropy of single crystals using a discrete element model with deformable particles

基于变形离散元法（DDEM）对立方对称单晶体的线弹性建模研究，通过分析无限简单立方（SC）模式中球形颗粒的变形特性及其对接触力的影响，验证了DDEM可有效模拟高各向异性立方晶体（如Zener比>1.5的材料），突破了传统DEM的局限性。数值模拟结合理论推导表明，DDEM通过引入颗粒全局与局部变形模式，能更精确地捕捉立方晶体各向异性效应，为纳米-微尺度多晶材料建模提供新方法。

　　

Pawe? Ho?obut|Jerzy Rojek|Szymon Nosewicz

波兰科学院基础技术研究所，Pawinskiego 5B，华沙，02-106，波兰

摘要

本文分析了可变形离散元方法（DDEM）作为模拟立方对称性单晶线性弹性特性的工具。DDEM是标准离散元方法（DEM）的扩展，在该方法中，颗粒在应力作用下发生变形。通过这种变形，两个颗粒之间的相互作用变得依赖于这些颗粒参与的其他相互作用。这种非局部特性使得DDEM在模拟固体材料方面具有更强的能力。本分析主要关注由内聚力结合的简单立方（SC）排列的相同球形DDEM颗粒，在小应变范围内的情况。研究表明，大多数立方对称性晶体可以通过这种排列以数值稳定的方式得到模拟。当考虑非SC的简单几何排列时，DDEM能够表示满足Born稳定性准则的所有立方晶体的线性弹性特性。这比标准DEM有所改进，因为标准DEM无法使用简单的颗粒排列来模拟许多高各向异性的立方材料。通过一系列数值测试并结合分析研究，验证了这种方法的有效性并估计了其准确性。

引言

离散元方法（DEM）已成为模拟和预测颗粒材料、颗粒系统及其他微观尺度离散系统行为的强大计算工具（Wang等人，2025年；Wang等人，2021年）。与基于连续介质的方法不同，DEM明确表示了单个颗粒或元素，从而能够捕捉到接触力、变形和颗粒旋转等微观尺度上的相互作用。这种详细的视角可以为各种自然和工程过程提供宝贵的见解，包括颗粒流动（Guo & Curtis，2015年）、断裂力学（Azevedo & Lemos，2006年）、粉末冶金（Nosewicz, Rojek, Wawrzyk, Kowalczyk, Maciejewski等人，2019年）以及材料各向异性效应（Truszkowska, Yu, Greaney, Evans, & Kruzic，2018年）。

近年来，使用离散元模型对材料各向异性的建模得到了广泛发展。Chen, Qian, Zhang和Ling（2020年）利用三维离散元模型研究了颗粒材料中固有各向异性和应力诱导各向异性的综合效应。他们的研究比较了各向同性和固有各向异性的样品，并采用了真实的颗粒形状以实现准确的表示。类似的方法也被用来研究固有各向异性——特别是颗粒的初始层理角度（模拟为不规则凸多边形）及其相关空隙——对颗粒材料宏观力学行为的影响，通过多次双轴压缩试验的数值模拟（Seyedi Hosseininia，2012a）。同一作者还进行了相对封闭型的研究，探讨了固有各向异性对宏观力学行为的影响，结合了离散元建模和实验测试（Seyedi Hosseininia，2012b）。在后续的工作中（Lü, Zeng, Li, Qian, & Huang，2019年），使用非球形颗粒的离散元方法进行了模拟，以复制各向同性和各向异性沙子的排水和非排水双轴试验。在Zhang, Shao, de Saxcé, Shi和Liu（2019年）的研究中，各向异性岩石由包含嵌入式非持久性弱层的基体相描述。基体的力学行为使用非线性键合接触模型表示，而弱层则使用平滑接触模型进行模拟。Duan, Li, Kwok, Zhang和Wang（2021年）进一步发展了平滑接触模型的概念，引入了一种基于物理的新数值模型来模拟各向异性岩石的方向性和有效围压依赖的渗透性。Chen, Pan和Huang（2011年）使用三维模型模拟了多相沥青-混凝土样品，考虑了微观离散元特性（形状、级配、方向性和空气孔隙含量）及其对刚度各向异性的影响。

如上所述，标准离散元方法的独特优势在于它允许通过使用特定的微观结构特征（如椭球形/不规则颗粒形状及其在研究域内的分布）直接表示固有各向异性和诱导各向异性。或者，可以通过修改和发展离散元模型的公式来获得方向依赖的力学响应。最近，Mowlavi和Kamrin（2021年）提出了一种各向异性接触定律，作为连续弹性问题精确解的简化近似。所得公式类似于赫兹接触定律，关键区别在于包含了材料特定接触模量的方向依赖变化。Celigueta, Latorre, Arrufat和O?ate（2017年）提出了另一种修改DEM的方法，尽管是针对各向同性材料的，但他们提出了一种新的计算离散元颗粒之间接触力的方法，同时考虑了周围颗粒的影响。这种方法显著提高了各向同性线性弹性固体建模的准确性。

离散元方法能够纳入颗粒级别的特性，使其特别适合研究纳米和微观尺度上的物体各向异性，例如单个颗粒或晶体（Mazdziarz & Nosewicz，2024年）。然而，离散元方法在模拟多晶结构的变形时存在问题，因为它没有考虑颗粒的立方各向异性（Li, Li, & Zhao，2017年），尤其是在金属的情况下（Hahn, Bouriga, Kr?plin, & Wallmersperger，2013年）。Truszkowska等人（2018年）首次尝试克服这些限制并研究表现出立方各向异性的单晶的方向特性。他们通过建立的并行键合接触形式主义改进了DEM框架，使得能够模拟Zener比率小于和大于1的各种立方材料。离散元组装体的集体弹性响应中的各向异性源于根据颗粒的初始方向为元素间键合分配刚度值。关键的是，这种分配使用了一个角度依赖函数，反映了所模拟晶体的立方对称性。尽管所提出的DEM模型能够在基本变体中再现最大Zener比率为1.5的宏观各向异性效应，并且在做一些修改后可以达到约3.5的Zener比率，但其适用于Zener比率更高的晶体似乎存在问题。Truszkowska模型的原理和局限性将在第3.3节中讨论。

本文旨在探索一种新的离散元框架在预测各向异性行为中的应用，特别关注具有较大各向异性的立方对称性系统，例如多晶体中的金属间NiAl单晶（图1）。它解决了制定和实施DEM模型的挑战，该模型使用了Rojek, Nosewicz和Thoeni（2021年）开发的可变形颗粒。研究表明，可变形离散元方法（DDEM）增强了颗粒材料在宏观层面的弹性行为，即扩展了DEM可实现的泊松比范围。DDEM通过引入颗粒的全局和局部变形模式，在DEM材料建模方面提供了新的可能性。DDEM的一般框架公式在第2节中提出，其向立方材料建模的理论扩展以及可访问有效参数空间的确定在第4节中介绍。第5节提供了理论各向异性模型的数值验证。

章节摘录

离散元方法（DEM）和DDEM的公式化

在离散元方法（DEM）中，材料由相互接触的颗粒（离散元素）集合表示。一般来说，离散元素可以是任意形状。然而，由于接触处理简单和计算效率高，通常使用球形颗粒。DEM已成为模拟颗粒材料的流行框架，但它也被用作连续介质的离散化方法，例如André, Iordanoff, Charles和Néauport

立方对称性材料的DEM建模

本节提供了关于线性弹性范围内立方材料的基本信息，以及如何使用标准DEM对其进行建模。

用于模拟立方材料的DDEM框架

DDEM的基本概念在第2.2节中介绍，Rojek等人（2021年）提供了该方法的详细分析。在本节及后续章节中，重点关注半径为$r$的相邻、相同DDEM颗粒的SC排列（图7(a)），这些颗粒在所有方向上无限延伸。这允许考虑一个大小为$2r\times 2r\times 2r$的周期性单元，其中仅包含一个DDEM颗粒，如图9所示，作为整个结构的代表部分。

数值验证

为了验证前面章节的理论结果，使用Yade开源DEM软件（?milauer等人，2021年）进行了多次数值模拟。对标准Yade C++代码进行了必要的修改，以实现第2节和Rojek等人（2021年）描述的DDEM程序。这些修改包括增加用于计算相互作用颗粒之间重叠深度的项，以考虑变形

结论性评论

研究表明，DDEM可以使用简单的颗粒几何排列来模拟所有立方对称性单晶在线性弹性小应变范围内的行为，从而增强了标准DEM所提供的可能性。该研究聚焦于由内聚力结合的无限SC排列的相同球形DDEM颗粒（DDEM SC模型）。假设DDEM颗粒的变形仅影响颗粒之间的法向力，而不影响剪切力。该模型的特点是

CRediT作者贡献声明

Pawe? Ho?obut：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，软件，方法论，研究，概念化。Jerzy Rojek：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，监督，方法论，形式分析。Szymon Nosewicz：撰写 – 原稿，资源，项目管理，研究，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢

作者感谢波兰国家科学中心在项目“新型混合金属基复合材料的多尺度变形和损伤行为研究。实验研究和数值建模”（Grant Agreement No. OPUS 2020/37/B/ST8/03907）下的财政支持。