弹性板在配置依赖载荷作用下的变形

《International Journal of Engineering Science》：Deformation of elastic plates under configuration-dependent loading

本研究将配置相关加载（CDL）机制扩展至弯曲主导的弹性薄板，通过纳入弯曲刚度和液体体积守恒，建立线性积分微分方程描述板形变与液体再分布的双向耦合，推导出简支和夹持板的三种平衡形态解析解，发现由水静载荷与弯曲刚度竞争控制的耦合参数临界阈值，实验验证了该阈值在板主导与液主导模式间的划分作用，并揭示四阶板模型与二阶膜模型在临界形态上的一致性，确立CDL为通用结构-液体相互作用机制。

　　

梁远|李荣江|福田宏淳|高伟军

北九州市立大学环境工程学院，福冈，808-0135，日本

摘要

在复杂载荷作用下对低维弹性结构进行建模一直是工程科学中的一个长期挑战，这主要是因为传统分析将外部载荷视为与结构配置无关的，而这与实际观察结果可能存在冲突。陈和梁（2025年）的一项开创性研究引入了博弈论和配置依赖载荷（CDL）机制来预测液体自重作用下的膜变形，证明了由变形引起的载荷重新分布可以根本改变结构的平衡形态。然而，将这一见解扩展到以弯曲为主的结构并非易事：传统的膜模型忽略了弯曲刚度，并且通常需要预设初始应力。在这里，我们通过引入弯曲刚度并强制满足液体体积守恒，将CDL概念推广到纯弯曲弹性板中，从而得到一个线性积分-微分方程，该方程能够捕捉板变形与液体重新分布之间的双向耦合关系。我们为简支板和固定板在三种平衡配置下推导出了封闭形式的解。平衡形态由一个无量纲耦合参数控制，该参数量化了静水载荷与弯曲刚度之间的竞争关系，并且存在一个临界阈值，用于区分以板变形为主和以液体变形为主的情况。值得注意的是，对于四阶板模型和陈与梁（2025年）提出的二阶膜模型，这一阈值下的平衡形态是一致的，揭示了CDL平衡机制在不同结构阶数下的普适性。实验结果验证了理论预测，并表明在强耦合情况下，CDL模型与传统的、与配置无关的载荷模型存在显著差异，从而确立了CDL作为工程应用中通用结构-液体相互作用机制的地位。

引言

重力驱动的液体载荷与弹性板之间的机械相互作用是流体-结构相互作用（FSI）中的一个基本问题。这种机制在从工程结构到生物系统的广泛物理场景中普遍存在（Bush和Hu，2006年；Park和Kim，2008年）。典型的应用包括承受雨水载荷的屋顶结构设计（Bernier和Padgett，2020年；Van Herwijnen等人，2007年）、柔性浮动结构（Zhang和Schreier，2022年）、可变形微通道（Martínez-Calvo、Sevilla、Peng和Stone，2020年）、生物材料（Kohles，2021年）以及液体棱柱（Zhang、Lv、Gan、Hu和Hong，2025年）。在所有这些应用中，准确分析液体自重作用下的板变形至关重要。

当弹性结构在重力驱动的液体载荷作用下发生变形时，其变形不可避免地会产生一个几何空隙，这个空隙由液体本身来填充。根据经典的压力-体积耦合理论（Bouzidi等人，2003年；Campbell，1956年；Coelho等人，2014年）和接触力学（Hertz，1881年），传统直觉认为液体体积的增加应该会单调地增强结构变形。然而，最近关于液体-膜相互作用的研究揭示了一个高度反直觉的现象：主导的平衡形态（图1）并非由液体体积决定，而是由一个无量纲参数决定，该参数表征了液体重量与膜张力之间的竞争。正如“数量本身并不具有强度”这一深刻表述所揭示的，这一发现挑战了传统的基于体积的观点，并指出配置依赖载荷（CDL）是背后的机制（Chen和Yuan，2025年）。这种反直觉的行为无法用经典模型来解释（Campbell，1956年；Dai，2024年；Komaragiri等人，2005年；Landau和Lifshitz，1986年；Sun等人，2015年），主要是因为这些模型忽略了CDL，而CDL对于捕捉结构变形与液体重新分布之间的强耦合至关重要（Batra，1972年；Batra，2024年；Fisher，1988年；Nemat-Nasser，1970年；Noll，2011年；Podio-Guidugli，1988年；Spector，1980年；Stor?kers，1977年）。尽管CDL在理论上有重要意义，但现有的CDL框架仅限于预张紧的膜，其有效性依赖于弯曲刚度相对于平面拉伸阻力可以忽略的假设（Chen和Yuan，2025年）。超出这一有限范围，基于膜的CDL模型就不再适用了。相比之下，弹性板作为以弯曲为主的结构类型，与以拉伸为主的膜相对应，是最基本且应用最广泛的结构类型之一（Hasrati和Jain，2026年；Komaragiri等人，2005年；Liu等人，2026年；Mansfield，1989年；Wang等人，2025年）。因此，将CDL机制从膜扩展到弹性板是必要的。

本工作的目标是证明CDL体现了液体载荷与结构阻力之间的普遍平衡，无论结构响应是由拉伸还是弯曲主导的。值得注意的是，在一个特征性的平衡条件下，板和膜表现出相同的平衡形态，尽管它们受到不同阶数微分算子的控制。这种平衡状态也作为一个明确的阈值，区分了膜变形超过板变形的情况和反之亦然的情况。明确地描述这一阈值不仅巩固了CDL的理论基础，还为工程实践中选择类似膜或类似板的结构提供了定量指导。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了经典模型和所提出的配置依赖模型的控制方程。第3节为简支板和固定板推导出了封闭形式的解析解，并系统地比较了两种框架下的变形预测。然后通过实验测量验证了理论结果。最后，第4节总结了主要结论。

章节摘录

理论模型

我们考虑一个占据平面域的薄弹性板$\Omega ?R^2$，其机械行为在线性板理论框架内进行描述。在Kirchhoff假设下，该板的横向剪切变形可以忽略不计，弯曲力矩与曲率之间存在线性关系（Timoshenko和Woinowsky-Krieger，1959年）。

为了清晰起见，我们专注于纯弯曲板，忽略了平面内的拉伸。假设板是均匀且各向同性的。

经典模型的解析解

在圆柱形弯曲的假设下，板的变形变成了一维的，即$\zeta =\zeta \left(x\right)$ 和 $?\left(?\right)/?y=0$。在这种情况下，撇号表示对$x$的微分。因此，经典控制方程（2.2）简化为常微分方程$D{\zeta }^{\prime \prime \prime }=\rho gh，$。对于均匀分布的载荷，解的形式为四次多项式。施加相应的边界条件后，可以得到简支板（方程（3.2）和

结论

在这项研究中，我们通过考虑弯曲刚度并强制满足液体体积守恒，将CDL概念扩展到液体自重作用下的弹性薄板。这种耦合产生了一个线性积分-微分描述，在该描述中，静水压力不是预先规定的，而是通过液体重新分布随变形而演变。我们为简支板和完全固定的板推导出了封闭形式的平衡解，涵盖了三种代表性的情况

CRediT作者贡献声明

梁远：撰写 – 审稿与编辑、可视化、验证、监督、资源管理、方法论、研究、形式分析、概念化。李荣江：撰写 – 审稿与编辑、撰写初稿、可视化、验证、监督、资源管理、方法论、研究、形式分析、概念化。福田宏淳：撰写 – 审稿与编辑、项目管理。高伟军：撰写 – 审稿与编辑，

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。