塑性应变局部化是金属材料在机械载荷作用下的一种常见且关键的变形模式。在局部化过程中，塑性应变变得不均匀分布，某些区域经历剧烈变形，而其他区域则基本不受影响。根据材料本构行为和载荷条件，应变局部化表现为多种形式：拉伸状态下延性金属的颈缩[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]、金属玻璃的剪切带形成[[7], [8], [9], [10], [11], [12]]或经过大量冷加工的金属[[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]]、低碳钢的吕德斯带[[21], [22], [23], [24], [25], [26]]、循环载荷下金属的持续滑移带[[27], [28], [29], [30], [31], [32], [33]]，以及在极高应变率下许多材料的绝热剪切带[[34], [35], [36], [37]]。
无论哪种形式，应变局部化通常都与变形固体的失效有关。一方面，严重的应变局部化往往预示着失效[[38,39]]，因为这些高度变形的区域成为裂纹萌生的优先位置。例如，在单轴拉伸中，颈缩会导致局部化区域内产生空洞，当这些空洞生长并合并时最终导致断裂[[40]]。一个更极端的例子是绝热剪切带，其中大量微孔在剪切带内部形成并合并，即使没有裂纹也会导致突然失效[[35,41]]，这在块状金属玻璃的变形中有所观察[[8,42]]。在这些情况下，应变局部化标志着从稳定变形过程向不稳定变形过程的转变，因此局部化的严重程度是材料失效的一个良好指标。
另一方面，即使在应变局部化后没有立即发生失效，更集中的应变浓度也可能促进裂纹的形成并导致材料失效[[43,44]]。例如，在晶体材料中，应变通常沿着位错运动时的滑移面局部化，当位错在相邻原子面上反复滑移时形成持续的滑移带[[38]]。当位错被晶界或相界阻挡时，这种局部化会加剧，导致在位错边界处产生陡峭的应变梯度，从而促进裂纹的萌生和扩展[[45,46]]。持续的滑移带也是循环载荷下延性金属疲劳失效的主要前兆。高度局部化的塑性变形会在样品表面形成挤出或侵入物[[47], [48], [49]]，从而引起应力集中并促进裂纹萌生。相反，裂纹的形成本身也可以在脆性材料中诱导应变局部化[[50,51]]。例如，在冻融循环载荷下，片麻岩的局部化区域可能会产生孔洞和微裂纹[[52]]，降低局部剪切强度，促进剪切局部化，最终导致失效。
鉴于应变局部化与裂纹形成之间的密切关系，评估局部化的严重程度对于预测材料失效和确定潜在的失效机制至关重要。这通常是通过分析局部应变的空间分布来实现的，可以通过数字图像相关（DIC）[[53], [54], [55]]实验获得，或者通过有限元分析[[56,57]]、离散元分析[[58]]或原子模拟[[59,60]]等计算方法获得。通过这些空间应变分布，可以通过检查应变在样品内的集中方式和位置来评估局部化的严重程度。
评估应变局部化最直观的方法是检查空间应变分布图，它可以显示强应变集中发生的时间和位置。虽然这种方法被广泛使用，但它主要是定性的，尽管潜在的应变场本质上是定量的。
Rice提出了一种预测局部化发生时间和方式的标准，但这种定量框架并不评估应变局部化的程度或严重程度[[61]]。此外，过去的研究使用变异系数（CV）（定义为分布应变的标准差（SD）与平均应变之比）作为评估局部化严重程度的指标[[62], [63], [64], [65]]。较大的CV通常表示局部化严重。其他人直接使用SD[[66,67]]，但这些方法仅依赖于统计应变分布。因此，如果整体统计分布相似，它们无法区分高应变集中在小区域的情况和应变均匀分布的情况。
类似于机械工程中成熟的应力集中因子，应变集中因子（定义为最大局部应变与名义应变之比）也被用来量化应变局部化[[68], [69], [70]]。较大的值表明局部应变远高于平均值，暗示局部化严重。然而，这一指标仍然有限，因为它无法区分具有不同空间应变分布的情况，而这些情况应被视为具有不同的局部化严重程度。
应变梯度也与局部化严重程度有关[[71], [72], [73]]，因为大的梯度表明应变在空间上的突然变化。然而，这种方法通常仅适用于高度局部化的区域，如裂纹尖端、颈缩前沿或界面，并且忽略了应变大小在评估整体局部化中的作用。
当变形主要由剪切带形成时，剪切带宽度也被用作局部化指标[[74], [75], [76]]。然而，这种测量方法仅适用于形成明确的剪切带的情况，因此不能推广到更复杂或分散的局部化模式。
总体而言，现有指标的主要局限性在于它们未能充分处理应变分布的空间模式，而这是应变局部化的定义特征。根据定义，应变局部化是指在特定区域内变形的集中，但这一基本的空间特征在定量分析中往往没有被捕捉到。
空间统计方法似乎为此提供了有希望的工具，例如Moran’s I（空间自相关的度量）[[77]]或Ripley’s K函数[[78]]（点模式在距离上的聚类度量）。然而，进一步的研究表明，尽管这些函数明确包含了位置信息，但它们并不适合量化局部化的严重程度。Moran’s I的值介于-1和1之间，表明高值或低值在空间上是否聚集，但它不反映应变的大小。相比之下，应变局部化没有内在的上限，因为其严重程度会随着更高的应变梯度或更集中的变形而增加。同样，Ripley’s K函数可以捕捉点密度，但对待所有点的方式相同，不论它们的应变值如何。因此，尽管这些指标能够捕捉空间排列，但它们缺乏对应变大小和梯度的敏感性，无法完全量化局部化的严重程度。
在本文中，我们提出了一种新的策略，通过充分结合变形样品中应变的大小和空间排列来量化塑性应变局部化的严重程度。这一策略的灵感来自于这样一个原理：多个同号点电荷聚集在一起时总电势能增加，而它们分开时电势能减少。类似地，我们将每个位置的应变视为一个正点电荷，并基于总电势能定义了应变局部化因子（LFs），提供了一个量化应变局部化严重程度的方法。
LFs可以量化合成应变分布和使用DIC分析或原子模拟生成的真实应变分布中的应变局部化，其LF值与预期的局部化行为一致。除了量化局部化严重程度外，LF分析还可以利用纳米晶Ag-Cu和Ag-Ni合金作为模型系统，揭示潜在的应变局部化机制[[60]]。在Ag-Cu合金中，均匀的Cu偏聚促进了应变局部化，而在Ag-Ni合金中，不均匀的Ni偏聚则倾向于抑制局部化。通过分别计算每种合金的晶界（GB）和晶内区域的LFs，我们发现均匀的Cu偏聚不仅促进了局部化的晶界滑移，还促进了晶内的位错滑移集中。相反，不均匀的Ni偏聚抑制了晶界滑移，导致晶内位错介导的塑性更加均匀。
这些发现为这些合金的变形机制提供了新的见解，并展示了从另一个角度量化应变局部化的价值。总体而言，这项工作提供了一种多功能工具，可以从空间应变分布中提取关键信息，用于评估材料的失效并更深入地理解材料的变形和失效机制。
本文的其余部分结构如下。第2节描述了方法论，包括LF指标的制定、合成应变分布的构建、5050铝合金在单轴拉伸下的DIC分析，以及Ag-Cu和Ag-Ni纳米结构合金的原子模拟。第3节展示了从这三种类型的应变场获得的LF结果，并将其与第1节介绍的其他方法进行了比较。本节还讨论了LF分析如何揭示应变局部化的潜在机制。
