《Journal of Chromatography A》：Chromatographic peak shape from a stochastic model: Analytic time-domain expression in terms of physical parameters and conditions under which heterogeneity reduces tailing
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色谱峰形状的时间域解析方法，结合轴向扩散与快/慢动力学双保留机制，实现高效计算和物理参数化。实验表明该方法残差标准误差（RSE）显著优于传统EMG模型及12种现有函数。严格验证Poisson假设适用性，推导HETP的统计关系，确立慢动力学机制的低贡献比例，修正了异质性加剧峰拖尾的认知。
Hernán R. Sánchez
阿根廷拉普拉塔大学物理研究所与生物系统研究所（UNLP-CONICET），邮编1900
摘要
本文提出了一种时域表示方法，用于色谱峰形，该方法采用解析表达式设计，旨在实现高计算效率，可直接用于时域峰拟合，并用代表物理量的参数进行拟合。该模型综合考虑了轴向扩散（分子扩散和多路径/涡流扩散）、有限的初始空间方差以及两种不同的保留机制：一种以快速事件（快速动力学）为特征，另一种以慢速事件（慢速动力学）为特征。实验色谱图的拟合结果显示出比标准EMG方法更小的残差标准误差（RSE），并且在所测试的12种峰形函数中具有最低的平均归一化RSE。这种随机方法利用单粒子概率定律重新表述，为未来的理论扩展提供了严谨的基础。通过对相关微观保留率波动引起的超额方差进行推导，严格检验了泊松假设的有效性。本文还提出了对高度等效板（HETP）的统计解释，并利用该解释从色谱图得到的宏观观测值确定微观保留事件数量的下限。这反过来证明了在高斯极限下，快速组分适用性的合理性，这是通过对所建立的封闭形式基准函数的累积生成函数进行分析得出的。通过解耦近似法考虑了慢速动力学机制的贡献，并通过基于累积量的分析明确了解耦引起的误差。最后，从分析角度对“机械异质性必然加剧峰尾现象”的观点进行了质疑，指出了在某些参数范围内该现象会导致峰不对称性降低的情况。
引言
一个理论框架能够根据描述柱内动力学和传输现象的参数预测色谱峰形，该框架具有三个关键作用：解释实验数据、合理设计分离系统以及开发分析方法。在线性检测条件下，分析物对色谱信号的贡献与其洗脱时间的概率密度函数（PDF）成正比。在理论处理中，洗脱时间PDF被近似为分析物在柱内的停留时间PDF。在线性范围内，与柱内分散过程相关的参数与浓度无关。这一特性使得整体带宽可以被视为独立贡献的叠加。为了便于处理，由异步进入引起的时域分散可以建模为由注射曲线决定的初始空间分布。通过随机方法可以获得这一PDF的严格表达式，在该方法中，稳相处瞬态保留事件的持续时间序列被建模为连续时间随机过程。所得到的停留时间分布取决于所包含的动力学机制。基础的Giddings-Eyring公式[2]对应于具有单一保留机制的最简单线性情况，随后被扩展以适用于更一般的条件[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。
相关文献中仍存在两个局限性。首先，用于过程设计的综合性机械框架[9]计算要求高，且无法提供用于直接峰拟合的解析表达式。同时，许多复杂的随机模型采用特征函数[6]、[10]、[11]进行构建，需要通过数值反演来获得时域峰形。这种替代方法在参数估计方面精度较低[12]，并且不利于直观理解峰形。相反，现有的时域综合性机械框架[9]通常无法提供一个便于计算的单一表达式来耦合决定每个粒子保留时间的关键过程。其次，关于“保留位点异质性（一种保留机制异质性）会增加线性色谱中的峰尾现象”的常见观点[7]、[13]、[14]，仍缺乏在相关动力学条件下的精确分析依据。
为了解决这些问题，本文开发了一个严格且透明的线性色谱随机-扩散框架。该框架从基本原理出发，逐步推导出实用的时域表达式，具体贡献包括：
(i) 基础 。重新审视并加强了随机模型的理论基础。首先，提出了随机理论的另一种推导方法，通过将简化模型中的离散保留事件数量映射到特定的分布家族（从狄拉克δ函数（无保留事件）到偏态伽马分布（少数保留事件），再到由于中心极限定理产生的准高斯分布，阐明了峰形的统计起源。观察到的色谱峰是由这些典型分布的泊松加权叠加形成的。其次，通过对由此产生的超额方差进行限定，量化了泊松假设[2]的适用性，指出了其适用性取决于微观单粒子速率波动的幅度和时间相关性，从而解决了随机色谱处理中之前被忽视的定量问题。
(ii) 机械异质性的作用 。阐明了保留机制异质性与峰不对称性之间的关系。在固定的预期稳相时间内，由两种不同保留机制控制的系统在物理上相关的动力学条件下，可以表现出比其参考的均匀系统更低的偏度。这表明，多种保留机制的存在本身并不必然导致更强的不对称性，从而质疑了“保留位点异质性（一种保留机制异质性）必然加剧峰尾现象”的普遍观点[14]。
(iii) 与宏观可观测量的联系 。建立了高度等效板（HETP）的统计解释，将其与每块板的预期保留事件数量联系起来。结合(i)中的过度分散分析，得出了仅用色谱图导出的量（板数和保留因子）表示的保留事件总数的保守下限。然后利用中心极限定理论证了快速动力学机制贡献的高斯近似合理性。
(iv) 时域峰表达式 。通过将平流-扩散传输与随机保留过程相结合，推导出了统一的解析时域峰形表达式。首先，为理想化的狄拉克δ注射情况推导出了快速组分的封闭形式表达式，并确定其为正态逆高斯分布，通过分析其累积生成函数证明了其在高Péclet极限下趋近于高斯函数。随后，该模型被推广以考虑有限的初始空间方差，并通过分析基础随机结构的渐近极限严格重新确立了高斯函数形式。在实际条件下，流动相时间的相对方差可以忽略不计，从而证明了该表达式的实用性。该表达式使用前两个矩对参数进行了参数化，以确保有限效率系统的准确性。这些参数直接与物理量相关：流速、有效轴向扩散系数、注射空间方差以及与快速动力学机制相关的保留和释放速率。不频繁发生的慢释放机制的贡献被视为统计独立的。通过证明在预期范围内分布的累积量中引入的误差可以忽略不计，从而证明了这种近似的合理性。最终得到的洗脱时间概率密度是峰主体与对应于这些事件的泊松-伽马组分的卷积结果。最终表达式包含连贯的超几何函数，便于高效计算。这有助于直接进行峰拟合和反卷积，规避了拉普拉斯域分析中固有的参数估计限制。此外，通过在文献中提供的两个数字化不对称峰上对比各种色谱峰形函数的拟合结果，验证了所推导峰形表达式的性能；在这些示例中，它具有最低的平均RSE。
理论框架
随机方法将色谱峰形与一个随机变量的概率密度函数相关联，该随机变量描述了单个分析物颗粒在柱内的总停留时间。T
尾部和机械异质性
保留位点异质性（一种保留机制异质性）常被视为峰不对称性的来源。在本分析中，通过确定上述异质性如何影响典型随机框架下的Fisher偏度来对这一观点进行了质疑。在一个所有保留事件都通过单一机制（机制A ）进行的参考系统中，其偏度与保留事件分散在多个机制之间的系统的偏度进行了对比……
通过结合轴向扩散和随机保留得到的时域峰表达式
在本节中，提出了色谱峰形的解析时域处理方法。该方法将平流-扩散传输（包括轴向扩散和有限的初始空间方差）的贡献与包含两种不同动力学机制（快速和慢速）的随机保留过程相结合。该模型依赖于在典型色谱条件下高度准确的物理合理近似。所得表达式在计算上……
结论
开发了一个适用于线性、等度和等温色谱的随机-扩散框架。该框架将微观保留事件和平流-扩散传输与表示单个分析物峰形的解析时域表达式联系起来。与基于宏观动力学速率方程的经典随机公式不同，该方法以单粒子停留时间的概率律为主要研究对象。峰形是通过……构建的
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。
致谢
本工作得到了阿根廷国家科学技术研究委员会（CONICET）的支持。
