基于数据的闭合策略：通过深度算子网络实现参数化降阶模型的求解

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Data-driven closure strategies for parametrized reduced-order models via deep operator networks

参数化ROM模型结合深度算子网络实现数据驱动闭合项，显著提升湍流模拟精度。在圆柱绕流、通道驱动的腔体流动和几何参数化backstep流动三个典型湍流场景中验证，相较于传统POD-Galerkin方法，压力和速度场预测误差降低30%-50%，有效解决低模态精度问题。

　　

安娜·伊瓦涅斯（Anna Ivagnes）|乔瓦尼·斯塔贝莱（Giovanni Stabile）|詹卢伊吉·罗扎（Gianluigi Rozza）

国际高等研究院（SISSA），数学领域，mathLab，意大利的里雅斯特（Trieste）

摘要

在本文中，我们提出了一种基于方程的参数化降阶模型（ROM），通过向降阶方程中添加数据驱动项来提高其准确性。特别是，我们关注基于适当正交分解（POD）的公式化方法，额外的数据驱动“闭合”或“校正”项旨在重新引入未解决模式的贡献。本文的目标是将之前工作[1]中开发的这种策略扩展到参数化环境中，并利用机器学习程序，尤其是深度算子网络（deep operator networks）。更详细地说，我们通过深度算子网络对闭合项进行建模，该网络以降阶变量和问题参数作为输入。我们在三个具有不同行为的测试案例上测试了这些方法：圆形圆柱体周围的非稳态湍流（具有周期性平均流动和规律的涡脱落）、通道驱动腔体中的非稳态湍流（其中不规则涡旋主要在腔体内形成），以及几何参数化的阶梯流（其中几何变化影响流动分离）。与标准的POD-Galerkin方法相比，增强机器学习的ROM在不同模态范围内表现出一致性的优越性能，在压力和速度精度上都有显著提升。摘要的可视化版本可以在 图1中找到。

引言

降阶模型（ROMs）[2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]是一种强大的工具，用于减少计算密集型模拟的工作量。这类技术广泛应用于计算流体动力学领域，其中高保真模拟可能需要几天甚至几周的时间，即使是在多核并行计算的情况下也是如此。因此，需要一个简化的模型来高效计算未见配置的解。

大多数ROMs基于“离线-在线”（offline-online）范式[7]。离线阶段通常包括一系列高保真模拟，其数量可能因应用和数据的可用性而异。在许多情况下，需要相对大量的模拟来准确采样参数空间，尽管文献中也提出了数据稀缺的策略。在高保真模拟之前，首先设置全阶模型（FOM），通常是复杂偏微分方程（PDEs）的离散化版本，例如纳维-斯托克斯方程（Navier–Stokes Equations，NSE）。这一阶段的目标是收集所谓的“快照”，即高保真解。另一方面，在在线阶段，全阶流形被投影到维度较低的空间中，从而得到快照的降阶表示。这种降阶步骤可以使用线性或非线性方法进行评估。特别是，我们采用了适当正交分解（POD）[12], [13], [20], [21]，这是一种可以视为主成分分析（PCA）[22], [23]和奇异值分解（SVD）[24], [25], [26]等线性技术的方法。

虽然离线阶段通常采用复杂PDEs的数值解法，但在基于方程的（或“侵入式”）ROMs中，在线阶段涉及求解ODEs系统，该系统由FOM的降阶和简化版本组成。

特别是在本研究中，我们关注基于Galerkin投影[27], [28], [29], [30], [31]的POD-Galerkin ROMs。这些模型的主要假设是，解可以近似为全局基（即“模式”）的凸组合，其系数是降阶表示，也就是ROM中的未知变量。上述线性假设虽然大大减少了系统的未知数数量，但在平流主导的流动和/或传输现象占主导的情况下可能会使模型不准确。

ROM社区的目标通常是保留少量的模式，并实现高效的在线模拟，即“欠解析”或“边缘解析”状态。在这种状态下，模式的数量足以捕捉系统的动态，但POD-Galerkin ROM可能导致不准确的结果[32], [33]。

实际上，在平流主导的情况下，由于奇异值衰减缓慢，POD-Galerkin ROM可能需要数百个模式才能提供准确的结果。

不准确性可能是由于近似解中形成虚假振荡或降阶系统的病态条件造成的。这激发了使用数据驱动技术来稳定和/或增强降阶近似的方法。

ROM的不准确性反映了模型降阶中的内在闭合问题，即如何正确模拟被截断模式的贡献。研究轨迹通过不同的方法论转变来处理这个问题。最初的努力集中在通过数值策略进行经验稳定，例如为ROMs调整流线迎风/Petrov-Galerkin方法[34]、光谱消失粘性技术[28]、POD基正则化[35]以及POD长期可预测性的光谱粘性校正[36]。其他稳定方法处理降阶系统中的速度-压力耦合，例如用“supremizer”模式丰富速度POD空间[37], [38], [39], [40]，或制定降阶压力泊松方程[39], [41], [42], [43]。这些稳定方法与基于ROM的控制设计的并行进展同时出现，其中识别策略侧重于保持可控性指标[44]和优化传感器布置[45]。虽然这些控制导向的方法解决了不同的需求，但它们共同面临平衡准确性和计算可行性的挑战。这些为更基于物理的方法铺平了道路，其中闭合建模结合了受RANS[46], [47], [48]、变分多尺度公式[49]和截断模式的随机表示[50]启发的涡粘性概念。随后，该领域采用了数据驱动的范式[51]，利用机器学习实现闭合项回归[52], [53], [54]和物理感知的算子推断[55]。基于机器学习的方法也被用于纯数据驱动（或“非侵入式”）ROMs，例如改进降阶层次的近似映射[56], [57]，或通过神经网络以最佳方式预处理快照[58]。

本研究遵循了[49], [59], [60]的领先工作，这些工作将数据驱动的“校正”或闭合项引入ROM系统，旨在模拟被忽略模式的贡献。

在这个框架中，关键问题是选择一个适当且表达能力强的校正模型，以便在预测状态下也能近似被丢弃模式的贡献。一些提出的映射是“二次”的，如[49], [61], [62], [63]中所做的，或者是“非线性的”，例如通过神经网络建模的，如[52], [53], [54], [64]中所做的。

我们在这里提出了一种基于高效深度算子网络[65]的非线性闭合模型，该网络以降阶变量和系统参数作为输入。这样的神经算子在ROM框架中提供了准确和高效的映射，例如在残差学习应用[66]中，以及在最近的工作[67]中用于在非侵入式ROM中重新引入被忽略的模式。

本文的新颖之处在于将之前的工作[1]扩展到参数化环境，并使用神经算子处理更具挑战性的测试案例。工作[1]提出了一个二次压力校正模型，其中二次算子在参数空间中是常数。我们在这里提出将这个模型扩展到一个非线性可学习和参数化的深度算子网络。

我们通过三个湍流状态下的测试案例展示了该方法的数值证据：

(a)

圆形圆柱体周围的湍流，具有周期性平均流动和规律的涡脱落；

(b

通道驱动的腔体中的非稳态流动；

(c

在阶梯流上的几何参数化流动，考虑了三个几何参数。

本文的结构如下。

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第2节中的方法论框架，包括全阶模型（FOM）的描述、POD-Galerkin ROM的基础以及所提出的深度算子网络。

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第3节中的数值结果，重点讨论上述湍流测试案例，并在第3.4节中进行了额外讨论。

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第4节的结论性内容，总结了本文获得的关键结果，并提出了项目的未来展望。

章节摘录

数值方法

本节介绍了本项目使用的方法论框架和新方法。具体来说，它分为以下部分：

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第2.1节中介绍的全阶模型（FOM），用于计算“离线”解，称为“快照”；

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第2.2节中对湍流流的POD-Galerkin ROM方法的简要概述，这是我们研究的基础模型；

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第2.3节中用于增强标准POD-Galerkin公式的闭合方法。

数值结果

在本文中，我们在三个不同的测试案例上测试了第2节中介绍的所有数值方法。

(a)

圆形圆柱体周围的非稳态周期性流动。在这种情况下，圆柱体的存在会在障碍物后方产生周期性且规律的涡脱落现象，导致平均流动具有时间和空间的周期性，涡旋模式随时间重复出现。

(b

通道驱动的腔体中的非稳态流动。

结论与展望

本文提出的模型旨在通过使用机器学习工具，在参数化环境中重新引入被忽略模式的贡献，从而提高最先进的ROM方法的准确性。

我们在“边缘解析”状态下构建了ROM，在这种状态下保留的模式携带了大部分能量，但ROM解并不能准确近似流动动态。特别是，我们以EV-ROM作为基线，在降阶层次上考虑了涡粘性模型。

CRediT作者贡献声明

安娜·伊瓦涅斯（Anna Ivagnes）：撰写——原始草稿、软件开发、研究。乔瓦尼·斯塔贝莱（Giovanni Stabile）：撰写——审阅与编辑、验证、监督。詹卢伊吉·罗扎（Gianluigi Rozza）：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。