使用算子网络预测复杂几何形状上的时变流动

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Predicting time-dependent flow over complex geometries using operator networks

提出时间依赖的几何深度操作网络，结合签名距离场（SDF）几何编码和CNN历史编码，在FlowBench数据集上实现5%相对L2误差，长程滚动速度提升千倍，通过相位误差和散度范数分析揭示几何尖锐性导致的误差累积，并提出物理正则化和扩散改进策略。

　　

阿里·拉贝（Ali Rabeh）| 苏雷什·穆鲁加伊扬（Suresh Murugaiyan）| 阿达尔什·克里希纳穆尔蒂（Adarsh Krishnamurthy）| 巴斯卡尔·加纳帕蒂苏布拉马尼安（Baskar Ganapathysubramanian）

美国爱荷华州艾姆斯市的爱荷华州立大学（Iowa State University, Ames, Iowa, USA）

摘要

开发适用于非稳态流动的神经替代模型，使其能够在复杂几何形状上泛化，并在长时间运行中保持准确性，仍然是加速流动模拟的关键挑战。我们提出了一种时变且具有几何感知能力的深度算子网络（Deep Operator Network），该网络可以预测围绕参数化和非参数化形状的中等雷诺数（Re）流动的速度场。该模型通过带有符号的距离场（Signed Distance Field, SDF）主干部分编码几何信息，通过卷积神经网络（CNN）分支部分编码流动历史，并使用来自FlowBench数据集的841个高保真模拟数据进行训练。该模型在262个未用于训练的测试几何形状上实现了约5%的相对L2单步误差，并且比计算流体动力学（CFD）快了多达1000倍。我们提供了以物理为中心的展开诊断工具，包括基于探针的相位滞后和斯特劳哈尔频率（Strouhal frequency）分析，以量化长期预测的准确性。这些工具揭示了近期的瞬态现象，但在细尺度尾流中存在系统性误差，尤其是在具有尖锐边缘的几何形状上更为明显。我们分析了故障模式，并提出了实用的缓解策略，包括基于物理的规则化和基于扩散的细化方法。代码、分割文件和脚本已公开发布在此处，以支持可重复性和基准测试。

引言

时变流动模拟是航空航天、汽车、土木和能源系统中形状优化和流动控制任务的基础[1]，[2]。然而，高保真CFD在计算上仍然非常密集，特别是对于大型设计空间或长预测时间范围而言，而且对复杂几何形状的网格划分进一步增加了成本和工程工作量[3]，[4]。一个典型的应力测试是物体周围的非稳态、不可压缩流动：必须准确捕捉涡流形成、脱落频率和尾流相互作用，以避免虚假载荷和不稳定[5]，[6]。实际上，翼型和车辆周围的非稳态尾流可能会引起振荡力和疲劳[7]，[8]；建筑物和桥墩后面的涡流脱落可能会引发危险振动[9]；尾流相互作用会降低涡轮机的效率和寿命[10]，[11]。在足够细的空间-时间分辨率下解决多个脱落周期通常需要在高性能计算（HPC）系统上花费数万个时间步和数小时的时间[12]，[13]，这使得大规模设计扫描或实时推断变得不可行。这些挑战促使人们开发快速可靠的科学机器学习（SciML）替代模型，这些模型在保持物理真实性的同时提供数量级的加速[14]。

神经算子作为一种有前途的偏微分方程（PDE）替代模型出现，它们通过学习函数空间之间的映射而不是单个解实例来工作[15]。其中，深度算子网络（DeepONet）通过主干部分编码输入函数（分支），并通过分支部分编码查询位置来回归场值[16]，并已应用于2D/3D中的稳态和瞬态物理问题[17]，[18]，[19]，[20]。除了基准PDE之外，DeepONet替代模型还在应用工程环境中得到了验证，包括对未见场景的鲁棒零样本泛化[21]、复杂时空过程的实时预测（如海洋波浪动力学[22]）以及钢铁凝固建模[23]。DeepONet的变体还被部署在实时工作流中，将模拟与稀疏/噪声监测数据融合，用于建筑工程中的场预测[24]。相关努力还将DeepONet风格的算子扩展到制造领域的多物理问题中，证明了其在顺序加载下的可行性[25]。其他算子家族包括光谱模型（如傅里叶神经算子，FNO）和基于变压器的算子，它们能够捕捉长距离的时空依赖性[26]，[27]。这些方法在典型基准测试（例如圆柱体尾流）甚至全球天气替代模型[28]，[29]上展示了令人印象深刻的加速效果。

尽管取得了快速进展，但对于任意形状的非稳态流动实现稳定的长期预测仍然很困难。自回归预测可能会将小的逐步误差累积到非物理场中[30]，[31]；此外，预测的准确性在很大程度上取决于几何形状和流动历史的表示方式。最近的研究分别解决了这些挑战。具有几何感知能力的模型通过点云、网格或低维参数化描述符来编码形状[32]，[33]，[34]，[35]。点云DeepONet及其变体将点云或网格的表面信息注入主干网络，提高了稳态和准稳态流动中的形状泛化能力[32]，[36]。最近的算子进展还将注意力机制与几何编码器结合，使得可以从表面点云对任意2D/3D几何形状进行预测，而无需依赖结构化网格[37]。基于图的几何算子（Geometry-Informed Neural Operator, GINO）利用图基核在几何图上传播信号，提供分辨率不变的形状条件[33]。这些具有几何感知能力的方法改进了形状表示，但缺乏利用近期时空演变的明确机制，而这对于捕捉非稳态尾流动态至关重要。

补充方法旨在提高时间稳定性。时间神经算子（Temporal Neural Operator, TNO）通过专用的时间分支聚合先前的解场，提高了时变PDE的准确性[38]。PDE-Refiner应用基于扩散的去噪技术来纠正自回归预测，从而在不修改基础预测器的情况下稳定预测结果[30]。混合算子结合多个时间路径来学习互补的动态[31]。另一个补充的稳定性方向是学习时间导数算子，并在推理时将其与数值时间积分结合[39]。虽然这些方法提高了预测的稳定性，但它们提供的几何条件有限或没有，限制了它们在多样化、非参数形状上的有效性。要在多样化的几何形状上实现鲁棒性以及在长时间预测中保持稳定性，需要同时解决这两个挑战。

我们通过在统一架构中结合几何和时间建模来解决这一差距。我们的方法基于几何深度算子网络（Geometric Deep Operator Network[32]，保留了其基于SDF的主干部分进行几何编码，并在分支网络中引入了基于CNN的历史编码器来模拟时间演化。SDF提供了一种密集的、与分辨率无关的隐式表示方法，易于掩码和微分，相比点云[32]，[36]和图核方案[33]具有实际优势。与纯时间稳定器[30]，[31]，[38]不同，我们的设计明确地结合了几何和历史信息，针对非稳态尾流对边界形状和流动演变的双重敏感性。我们在三个FlowBench[12]形状家族上进行了训练和评估：（1）平滑的NURBS形状，（2）不规则的球谐形状，以及（3）非参数的SkelNetOn轮廓[40]，研究了单步准确性和自回归预测，重点关注跨形状的泛化能力。

除了标准的误差指标外，我们还采用了针对非稳态尾流的基于物理的诊断方法：（a）尾流探针处的相位误差（时间和频率域），以评估脱落频率和滞后；（b）散度范数，以量化预测过程中的不可压缩性一致性。这些诊断方法结合了形状条件分析，比较了具有尖锐边缘和平滑形状的情况，揭示了故障模式并提出了实用的补救措施。我们的贡献包括：

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一种时变、具有几何和历史感知能力的DeepONet，它将基于SDF的隐式几何表示与CNN历史编码相结合，用于参数化和非参数化形状上的非稳态流动。

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对三种FlowBench形状家族的单步预测准确性和预测稳定性的历史长度和形状变化效应进行了系统研究。

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以物理为中心的展开诊断方法（探针相位误差；散度范数），揭示了长期预测中的偏差，并将其与几何形状的尖锐程度相关联。

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关于序列长度选择和几何复杂性效应的实际指导，这些指导有助于为具有丰富几何特征的非稳态CFD设计出鲁棒的替代模型。

我们的评估强调了神经算子研究中经常被忽视的两个方面：在不同几何家族间的泛化能力和长期预测中的物理一致性。我们不仅通过标准误差指标来评估性能，还通过特定于尾流的诊断方法来量化时间一致性和不可压缩性违规情况。

我们将我们的方法与MeshGraphNet[41]进行了基准测试，后者是一种用于学习网格和图上物理动态的消息传递神经网络。MeshGraphNet在流体流动问题上展示了出色的准确性，并已被用作参考的基于图的替代模型[42]，[43]。在这项工作中，我们根据我们的问题对MeshGraphNet进行了调整，并将其作为与基于算子的模型进行比较的代表性图神经网络基线。我们的MeshGraphNet实现基于NVIDIA PhysicsNeMo仓库¹。

本文的其余部分组织如下。第2节详细介绍了数据集和我们的时变几何深度算子网络。第3节报告了定量/定性结果和物理诊断。第4节总结了发现、局限性和未来方向。

数据集和模型架构

我们首先描述了我们的神经算子架构，然后详细介绍了用于训练和评估的数据集。

结果

我们在包含三种形状家族的262个测试案例的保留集上评估了时变几何深度算子网络。我们的分析分为三个阶段进行。首先，我们检查输入序列长度对预测准确性的影响，以证明我们选择$s=1$进行后续实验的合理性。其次，我们评估了单步预测准确性，其中每个时间步都提供了真实输入，以确定模型在多样化几何形状上进行即时未来预测的能力。第三，我们

讨论与结论

在这项工作中，我们引入了一种时变几何深度算子网络，它将基于SDF的几何编码与卷积历史编码相结合，用于预测围绕复杂2D形状的非稳态周期流动。我们在FlowBench物体数据集上的广泛评估展示了以下关键发现：

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高单步准确性：当提供真实输入时，该替代模型实现了大约5%的相对L2误差和稳定的RMSE值

CRediT作者贡献声明

阿里·拉贝（Ali Rabeh）：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。苏雷什·穆鲁加伊扬（Suresh Murugaiyan）：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，验证，方法论，调查，形式分析。阿达尔什·克里希纳穆尔蒂（Adarsh Krishnamurthy）：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，监督，项目管理，资金获取，概念化。巴斯卡尔·加纳帕蒂苏布拉马尼安（Baskar Ganapathysubramanian）：

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。