克里斯托费尔（Christoffel）瓷砖和斐波那契（Fibonacci）瓷砖都属于典型的“双平方数”瓷砖类型

《Advances in Applied Mathematics》：Christoffel and Fibonacci tiles are prime double squares

本文利用离散几何和组合数学工具，证明了Christoffel和Fibonacci瓦片均属于素双正方形类。研究通过分析边界字的BN因式分解特性，结合瓦片在二维格点上的几何排列规律，完成了对两类瓦片素性的双重验证。

　　

米凯拉·阿斯科莱塞

佛罗伦萨大学数学与计算机科学系，意大利佛罗伦萨，Morgagni大道67/a号，50134

摘要

本文探讨了Blondin Massé等人于2011年提出的一个关于Christoffel瓷砖和Fibonacci瓷砖的猜想。在他们的研究中，作者证明了这些多米诺骨牌属于“双正方形”类别，并进一步猜测它们都是质数。通过利用文献中的先前结果以及离散几何和组合数学的工具，我们验证了这两个瓷砖家族的这一性质。

引言

离散几何中的一个主要研究方向是铺砌问题，即使用连接的离散对象（称为多米诺骨牌）来覆盖$Z^2$平面。从这个角度来看，“精确多米诺骨牌”（或称为“瓷砖”）尤为重要，因为它们可以通过平移来铺满这个平面。Beauquier和Nivat在[4]中根据瓷砖的边界词对其进行了分类。具体来说，瓷砖的边界词可以通过满足某些条件的（可能的）因式分解来识别。基于这种因式分解（作者称之为“BN因式分解”，通常并不唯一），精确多米诺骨牌可以进一步划分为不同的类别，分类依据是构成瓷砖周围结构的副本数量。首先区分的是“伪正方形”和“伪六边形”：前者是指每个瓷砖被自身四个副本包围的情况，后者则需要六个副本。在伪正方形类别内部还可以进一步细分：某些伪正方形存在两种不同的BN因式分解方式，这种情况下它们被称为“双正方形”。双正方形的一个重要特性是它们不存在其他形式的BN因式分解，无论是作为伪正方形还是伪六边形[8]。最后，在[10]中还识别出了另一个瓷砖子类——“质数双正方形”，这类瓷砖既是双正方形，同时也是质数多米诺骨牌，意味着它们不能通过更小尺寸的精确多米诺骨牌的铺砌得到。

从另一个角度来看，[7]中的作者根据构造方法将双正方形瓷砖分为两类：分别称为“Christoffel瓷砖”和“Fibonacci瓷砖”，这些分类与Christoffel词和Fibonacci数列的递归关系有关。在研究它们的边界词性质时，作者猜测这两种多米诺骨牌都属于质数双正方形的子类。在本文中，我们利用组合数学和离散几何的工具证明了这一猜想。

本文的结构如下：第2节介绍了精确多米诺骨牌和质数双正方形的符号及文献中的相关结果。第3节详细描述了Christoffel瓷砖，并证明了[7]中关于这类瓷砖的猜想。第4节专注于Fibonacci瓷砖的分析，深入研究了它们的形状特征，并主要通过它们在$Z^2$平面上的几何属性来验证猜想。最后，第5节总结了我们的主要研究成果。

章节摘录

预备知识

我们介绍了符号及文献中的一些先前结果。关于组合数学的完整概述，建议读者参考[13]。

我们的研究是在$Z^2$离散格子上进行的，其中“多米诺骨牌”被定义为不含空洞的4连通单元集合，或者等价地，其边界是一条不自交的封闭路径（见图1）。

可以通过用四个字母组成的词来编码描述瓷砖边界的路径，从而轻松识别多米诺骨牌。

Christoffel瓷砖

我们介绍了Christoffel瓷砖，这类精确多米诺骨牌在[7]中被证明属于双正方形。我们略微修改了作者给出的定义，以适应边界编码的顺时针方向，并利用了[3]中的研究成果。我们的定义并未改变Christoffel瓷砖的边界词，因此[7]中的结果仍然有效，可以直接使用，特别是定理6。

Fibonacci瓷砖

本节研究Fibonacci瓷砖。我们再次利用[7]中的研究成果，因为这些精确多米诺骨牌在那里得到了深入研究。与Christoffel瓷砖不同，Fibonacci瓷砖的定义较为复杂，它们是根据边界上的“左转”和“右转”来定义的。我们在这里描述了它们的构造方法（来自[7]），并仅回顾了对我们工作有用的主要结果。如需完整概述及所有证明，请参考

结论

在本文中，我们从[7]中给出的定义和详细描述出发，研究了Christoffel瓷砖和Fibonacci瓷砖，旨在验证作者提出的猜想。为此，我们利用了[7]中的所有结果，特别是与它们属于双正方形类别相关的性质。

我们采用了不同的方法来证明Christoffel瓷砖和Fibonacci瓷砖都是质数双正方形：在第一种情况下，我们仅依赖于...