传感器能够检测并传输来自环境的化学或物理信息，如光、温度和湿度，在日常生活、医疗治疗、工业工程和科学研究中发挥着至关重要的作用[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。在各种信号中，力和扭矩是与运动、变形、稳定性和失效相关的基本物理量。它们的精确测量在工程应用和科学研究中具有重要意义[[7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]]。近年来，随着机器人技术[[14], [15], [16]]、先进医疗设备[[17], [18], [19]]和自动驾驶[20,21]的快速发展，对六轴力传感器等高端传感器的需求日益增长。这一趋势对力传感器的灵敏度、稳定性、精度、响应速度、容错性和成本效益提出了更高的要求。
基于石英晶体谐振器（QCRs）的力传感器因其快速响应、高灵敏度和高品质因数[[36], [37], [38]]等优点，已被广泛用于加速度[[22], [23], [24], [25]]、压力[[26], [27], [28], [29]]、倾斜度[[30]]、力[[31], [32], [33], [34]]和扭矩[[35]]的测量。QCRs基力传感器的工作原理是力-频率效应[[39,40]]，即当石英晶体受到外力作用时，其共振频率会随着施加的力线性变化。频率变化与施加力之比称为力-频率系数（FFC），是评估传感器性能的关键参数[[35,41,42]]。
早期的力-频率效应研究主要集中在圆形QCRs上，这是由于技术原因[[43]]。然而，在实际传感器制造中，矩形QCRs通常更受欢迎，因为它们具有更简单的制造工艺、更容易集成以及更大的几何灵活性[[44], [45], [46], [47]]。例如，TXC（宁波）公司生产的许多QCRs都是矩形的。合成石英也可以制成其他典型形状，如梯形、平行四边形、鼓形、正多边形和椭圆形[[41]]，为根据特定应用需求调整FFC提供了额外的自由度。此外，在六轴和三轴力传感器中，采用不同的结构设计以实现不同的传感和解耦效果，从而提供不同的优势和应用[[48], [49], [50]]。不同的力传感器结构设计需要不同的单元，其中矩形传感器尤为常见[[51,52]]。因此，研究不同形状石英的FFC对于填补这一研究空白至关重要，也符合不断增长的力和扭矩传感器市场的需求。
尽管非圆形QCRs在实际应用中非常重要，但对其FFC的理论建模仍然不足。除了圆形QCRs有Ratajski提出的经验性FFC公式[[43]]外，非圆形QCRs，尤其是工程应用型QCRs，仍然缺乏实用的FFC公式[[47],[53],[54],[55],[56],[57]]。例如，Wang等人[[41]]推导出了鼓形石英的FFC公式，但它依赖于复杂的计算。非圆形QCRs在集中载荷下的FFC主要通过实验[[47,53,58]]和使用增量非线性有限元方法（FEM）[[59,60]]的数值仿真获得。这两种方法对于传感器设计来说都相当复杂且效率低下。最近，我们为偏心载荷下的方形（矩形的一种特殊情况）石英建立了一个半解析FFC模型，并推导出了一个适用于工程应用的半解析FFC公式[[61]]。然而，由于问题的内在非线性和复杂性，目前仍缺乏适用于一般非圆形QCRs的广泛适用且计算效率高的FFC公式。此外，几何形状和尺寸如何影响石英晶体的力-频率效应的机制尚未完全阐明。一个统一的模型可以促进基于QCR的力传感器的发展和应用。
为了解决这些挑战，我们提出了一个统一的模型来预测矩形和其他典型形状石英晶体的FFC。本文的结构如下：第2节介绍了研究问题和目标。第3节推导了矩形石英晶体FFC的工程友好型半解析表达式。第4节研究了几何参数对矩形石英FFC的影响及相关机制，并提出了一个简化的分段半解析FFC模型。第5节将半解析表达式扩展到圆形、梯形、平行四边形、鼓形、正多边形和椭圆形QCRs。第6节通过FEM仿真和实验验证了该统一模型。
