在一种混合振荡器-自旋系统中进行的挤压、三重挤压及四重挤压现象

《Nature Physics》：Squeezing, trisqueezing and quadsqueezing in a hybrid oscillator–spin system

　　摘要
量子谐振子模型涵盖了从电磁场到分子振动的各种现象，其激发态由光子或声子等玻色子表示。创建或湮灭单个玻色子的线性相互作用会产生相干的光或运动状态。引入更高阶的非线性相互作用会带来更丰富的量子行为：二阶相互作用能够实现压缩效应，而更高阶相互作用则产生适用于连续变量量子计算的非高斯态。然而，这类相互作用通常较弱，或者需要专门的硬件。混合系统（其中线性相互作用将振子与自旋耦合）提供了一个替代方案。在这里，我们结合了两种自旋依赖的线性玻色子相互作用，在单个囚禁离子中实现了最高四阶的非线性玻色子相互作用，重点研究广义压缩效应。我们展示了压缩、三压缩和四压缩现象；重构了相应态的维格纳函数；并且实现四压缩的速度比传统方法快100多倍。这种方法对相互作用阶数没有根本限制，适用于任何支持自旋依赖线性相互作用的平台。

非线性过程和相互作用在量子谐振子中普遍存在，应用于各种技术和科学领域，从频率转换和非线性光谱学到创建非经典态（如纠缠光子对和压缩态）。由二阶玻色子过程产生的压缩态可以降低某个可观测量的不确定性（例如位置），同时增加其共轭量（即动量）的不确定性。这些态已被用于提高引力波探测器的灵敏度、显微镜技术和微弱电场的测量。与传统的高斯压缩不同，后者可以通过经典方法高效模拟，更高阶的非线性相互作用不再具有高斯特性。因此，这些高阶相互作用成为实时量子模拟相互作用玻色子模型的资源，具有超越经典硬件能力的潜力。非高斯操作（如三阶广义压缩或三压缩）对连续变量量子计算也至关重要。除了非高斯特性外，这些相互作用产生的态在量子力学中也有基础性意义，因为它们可以表现出非经典性质（如维格纳负性）。

然而，比退相干机制更快地实现这些非线性玻色子相互作用在实验上存在挑战，尤其是随着相互作用阶数的增加，相互作用强度会减弱。生成这些相互作用中的任何一种通常需要仔细的硬件设计，例如定制的离子阱几何结构或超导微波电路的设计。例如，虽然已经使用电磁场实现了谐振子的压缩，但机械振子和囚禁离子的压缩直到最近才在超导微波电路中得到验证。到目前为止，工程化高于三阶的玻色子相互作用仍然是一个重大挑战。

与其直接创建玻色子相互作用，混合的振子-自旋系统提供了一个额外的自由度，可以用来介导有效的相互作用。在这些系统中，振子可以通过自旋依赖的相互作用与自旋耦合，这种相互作用在玻色子模式上是线性的。这类相互作用在多种平台上都很容易实现，从囚禁离子、原子和超导量子比特到钻石色心，并被广泛用于实现克服固有弱自旋-自旋相互作用的玻色子介导的自旋-自旋纠缠。在这里，我们遵循参考文献中的提议，使用自旋来介导玻色子相互作用。专注于广义压缩，我们同时驱动这两种线性自旋依赖相互作用，使用单个囚禁离子实现了最高四阶的玻色子相互作用，该离子的运动可以与其内部自旋态耦合。特别是，我们通过简单调整相互作用频率来创建压缩、三压缩和四压缩。

为了阐明我们如何生成这些n阶相互作用，我们首先考虑量子谐振子，它可以通过算符\({\widehat{a}}^{\dagger }\)和\(\widehat{a}\)来描述，分别用于创建和湮灭玻色子。在混合系统中（图1a），这个振子可以通过自旋依赖的力（SDF）与自旋耦合，该力由相互作用哈密顿量$${\widehat{H}}_{\mathrm{SDF}}=\frac{\hslash {\varOmega }_{\alpha }}{2}{\widehat{\sigma }}_{\alpha }\left(\widehat{a}{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}(\Delta t+{\phi }_{\alpha })}+{\widehat{a}}^{\dagger }{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}(\Delta t+{\phi }_{\alpha })}\right)$$描述（1），它在\({\widehat{a}}^{\dagger }\)和\(\widehat{a}\)上是线性的。这种类型的相互作用可以在许多系统中产生，例如与超导量子比特耦合的微波腔中的光子，或与囚禁离子的内部自旋态耦合的声子。与自旋的耦合由厄米算符\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }\)描述，它是泡利算符\({\widehat{\sigma }}_{x,y,z}\)的线性组合。SDF导致谐振子状态的位移，这种位移取决于相互作用强度Ωα以及Δ和?α，分别是SDF相对于频率为ωosc的谐振子的失谐和相位。

图1：自旋介导的非线性相互作用的概念图示。

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a. 混合振子-自旋系统。该协议需要一个能量分裂为?ωosc的量子谐振子（左）与能量分裂为?ωqubit的自旋系统（右）耦合。
b. 自旋依赖的线性相互作用的频率设置。我们应用两个与振子运动频率ωosc失谐Δ和mΔ的SDF，其中m是一个整数。这些相互作用是线性的，并导致自旋依赖的位移。我们设置这些力\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }\)和\({\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}\)的自旋分量，使它们不对易，即\([{\widehat{\sigma }}_{\alpha },{\widehat{\sigma }}_{\alpha }^{{\prime} }]\ne 0\)。我们展示了由线性相互作用的有效势能（蓝色和红色虚线）产生的相干态（蓝色和红色斑点）的维格纳函数。
c. 非线性相互作用的生成。通过调整线性相互作用的相对失谐，从而调整m，我们可以驱动任意非线性相互作用。设置m = ?1会产生压缩\(\sim ({\widehat{a}}^{\dagger 2}+{\widehat{a}}^{2})\)；m = ?2会产生三压缩\(\sim ({\widehat{a}}^{\dagger 3}+{\widehat{a}}^{3})\)；m = ?3会产生四压缩\(\sim ({\widehat{a}}^{\dagger 4}+{\widehat{a}}^{4})\)。紫色虚线表示与\({({\widehat{a}}^{\dagger }+\widehat{a})}^{n}\)成比例的非线性相互作用的有效势能；通过设置m = 1 ? n，我们可以选择该势能展开中的项，这些项对应于广义压缩相互作用。相应的广义压缩态的维格纳函数用紫色叠加在上面。

我们寻求生成的非线性自旋依赖相互作用是广义压缩相互作用（13），由$$\widehat{H}}_{{\rm{NL}}}=\frac{\hslash {\varOmega }_{n}}{2}{\widehat{\sigma }}_{\beta }({\widehat{a}}^{n}{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}\theta }+{\widehat{a}}^{\dagger n}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}\theta })$$描述（2），其中n是相互作用的阶数，Ωn是其强度，θ是相互作用的轴。这里\({\widehat{\sigma }}_{\beta }\)是一个厄米自旋算符，类似于\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }\)，是\({\widehat{\sigma }}_{x,y,z}\)的线性组合。对于n = 2, 3, 4，分别对应于自旋依赖的压缩、三压缩和四压缩。应用方程（2）中的哈密顿量tsqz时间后，会产生具有压缩参数r = Ωntsqz的n阶压缩态。使用传统技术，相互作用的阶数越高，生成起来就越困难。例如，在囚禁离子中，这些相互作用通常由电磁场的更高阶空间导数驱动（38），其中Ωn随ηn变化。Lamb–Dicke参数η对应于离子的基态范围（约10?nm）与驱动场波长（约500?nm）的比率。因此，η通常很小，每个后续阶数的强度都会降低一个数量级以上。这种不利的缩放不仅适用于囚禁离子，也适用于其他平台，如超导电路（39）。

在这里，我们通过结合两个不对易的SDF来规避这种缩放，每个SDF都是线性的。它们共同生成了具有不同共振条件的多种非线性相互作用，如参考文献37（图1b,c）中所提出的。然后相互作用由以下公式描述：$$\begin{array}{rcl}\widehat{H} & = & \frac{\hslash {\varOmega}_{\alpha}}{2}{\widehat{\sigma}}_{\alpha}(\widehat{a}{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}\Delta t}+{\widehat{a}}^{\dagger}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}\Delta t})\\ & & +\frac{\hslash {\Omega}_{{\alpha}^{{\prime}}}}{2}{\widehat{\sigma}}_{{\alpha}^{{\prime} }}(\widehat{a}{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}(m\Delta t+{\phi }_{{\alpha}^{{\prime} }})}+{\widehat{a}}^{\dagger}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}(m\Delta t+{\phi}_{{\alpha}^{{\prime} }})}),\end{array}$$（3），其中Δ和mΔ（m是一个整数）是相对于ωosc的失谐。不失一般性，我们设置?α = 0。如果两个力的自旋分量不对易，即\([{\widehat{\sigma }}_{\alpha },{\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}]\ne 0\)，我们可以选择m = 1 ? n来满足创建方程（2）中描述的有效相互作用的共振条件（对于偶数n，这是成立的；详见补充信息）。对于m = ?1, ?2, ?3，我们分别生成压缩、三压缩和四压缩相互作用。自旋依赖性\({\widehat{\sigma }}_{\beta }\)由初始选择的\({\widehat{\sigma }}_{\alpha ,{\alpha }^{{\prime} }}\)和所需的压缩阶数n决定。偶数阶的相互作用的自旋依赖性遵循\({\widehat{\sigma }}_{\beta }\propto [{\widehat{\sigma }}_{\alpha },{\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}]\)，而奇数阶遵循\({\widehat{\sigma }}_{\beta }\propto {\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}\)。因此，通过能够生成基于任何泡利算符的SDF，非线性相互作用的自旋分量可以任意选择。通过调整SDF相位\({\phi }_{{\alpha }^{{\prime} }}\)，可以控制结果相互作用的轴θ（方程（2））。广义压缩的强度Ωn与\({\Omega }_{{\alpha }^{{\prime} }}{\Omega }_{\alpha }^{n-1}/{\Delta }^{n-1}\)成正比。重要的是，与之前的实现不同（27），通过适当选择失谐Δ，Ωn对于所有阶数n都可以有效地线性化，Δ是一个自由参数。尽管Ωα和\({\varOmega }_{{\alpha }^{{\prime} }}\)都随η缩放，但调整Δ可以使得Ωn的整体缩放保持与η的有效线性。尽管Ωn随着n的增加而减小，但这种方法显著增强了有效相互作用强度（见补充图1和补充部分VII）。

我们在三维射频Paul阱中的88Sr+离子上实验验证了这些相互作用。该离子在三个维度上振动；本工作中使用的谐振子由沿阱轴的运动模式定义，其频率为ωosc/2π ≈ 1.2?MHz（图1a）。我们将这个振子初始化为接近基态，\({\bar{n}}_{{\rm{osc}}}=0.09(1)\)。除了运动自由度外，我们还使用离子的电子结构中的\(| 5{S}_{1/2},\,{m}_{j}=-\frac{1}{2}\rangle \equiv | \downarrow \rangle\)和\(| 4{D}_{5/2},\,{m}_{j}=-\frac{3}{2}\rangle \equiv | \uparrow \rangle\)子能级来定义我们的量子比特，其中mj是沿由146-G静态磁场定义的量化轴的总角动量的投影。

为了创建非线性相互作用，我们使用两个SDF，如方程（3）中所述，遵循M?lmer–S?rensen类型方案（36）。每个SDF需要一个由两个对称失谐的音调组成的双色场，这些音调由674-nm激光器驱动。如果音调的失谐约为±ωosc，力的自旋分量为\({\widehat{\sigma }}_{\phi }=\cos \phi {\widehat{\sigma }}_{x}+\sin \phi {\widehat{\sigma }}_{y}\)，其中?是两个音调在离子位置的平均光学相位。或者，我们可以通过将失谐设置为大约±ωosc/2来获得\({\widehat{\sigma }}_{z}\)自旋分量（参考文献41,42）。我们主动稳定产生SDF的激光束之间的光学相位，以在整个实验过程中保持它们的不对易关系。在我们的设置中，光束腰半径为20?μm，Lamb–Dicke参数为η = 0.049(1)。如果相互作用SDF处于\({\widehat{\sigma }}_{\phi }\)基中，其强度为\({\varOmega }_{\alpha ,{\alpha }^{{\prime} }}/2{\rm{\pi }}\approx 4.6\,\,{\rm{kHz}}\)（激光功率，0.5?mW）或~6.5?kHz（激光功率，1?mW）。在\({\widehat{\sigma }}_{z}\)基中，其强度为~1.3?kHz（激光功率，1?mW）。此外，为了确保结果非线性相互作用的有效哈密顿量趋向于方程（2）中的理想哈密顿量，我们使用sin2脉冲形状来开启和关闭两个双色场。我们通过应用与ωosc共振的探测SDF来表征通过非线性相互作用产生的振子态。探测SDF也是使用M?lmer–S?rensen方案创建的。我们在补充部分IIA中提供了实验设置的完整细节。

我们首先使用这种技术生成自旋依赖的压缩（方程（2）中的n = 2），并验证了这一相互作用家族的关键特性：幅度、自旋依赖性和不对易性（图2）。这些相互作用也是幺正的，我们在补充章节V中对此进行了研究。我们将SDFs的失谐量分别设置为Δ和?Δ，即m = ?1。两个SDF的自旋分量分别设置为\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }={\widehat{\sigma }}_{\phi }\)和\({\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}={\widehat{\sigma }}_{\phi +{\rm{\pi }}/2}\)。因此，压缩的自旋基是\([{\widehat{\sigma }}_{\alpha },{\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}]\propto {\widehat{\sigma }}_{z}\)。如果我们从\(| \downarrow \rangle\)或\(| \uparrow \rangle\)（\({\widehat{\sigma }}_{z}\)的本征态）开始，自旋分量保持不变，压缩轴取决于自旋态。一旦创建了压缩态，我们就应用一个自旋分量为\({\widehat{\sigma }}_{x}\)的探测SDF，其本征态为\(| \pm \rangle =(| \uparrow \rangle \pm | \downarrow \rangle )/\sqrt{2}\)。因此，探测SDF将结果态的\(| +\rangle\)和\(| -\rangle\)分量向相反方向移动（见图2a的插图）。谐振子波函数的两个部分的重叠被映射到自旋上，其状态概率\({P}_{| \downarrow \rangle }\)通过荧光读出进行测量。我们以不同的时间tprobe应用探测SDF；随着tprobe的增加，重叠减少，\({P}_{| \downarrow \rangle }\)趋近于0.5。图2：自旋依赖压缩相互作用的特性。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片。

在应用压缩相互作用后，我们使用探测SDF将振荡器态映射到自旋种群\({p}_{| \downarrow \rangle }\)上。插图展示了探测SDF对Wigner函数的作用；虚线椭圆表示探测前的状态。a，推断压缩参数r。改变探测持续时间tprobe会产生一个自旋依赖的位移，从而分离波函数（见插图）。探测沿着压缩态的两个主轴（i）和（iii）以及接近基态的热态（ii）进行。通过拟合（i）和（ii）（虚线），我们得到r = 1.09(4)。对于围绕反压缩轴（iii）的分裂，我们绘制了一个包含运动退相的数值模拟（实线）。b，失谐依赖性。我们绘制了r与tsqz的关系，其中Δ/2π = 50?kHz和Δ/2π = 100?kHz。理论（实线紫色/青色）遵循r = Ω2tsqz。实线灰色表示在相同激光功率下驱动场的二阶空间导数所预期的r。c，自旋依赖性。在固定的探测持续时间下，我们改变其相位?probe。拟合（虚线）显示当探测与反压缩轴对齐时出现峰值/凹陷；将初始自旋从\(| \downarrow \rangle\)翻转到\(| \uparrow \rangle\)会使模式偏移π/2。d，相互作用SDFs的非对易性。两个具有基\({\widehat{\sigma }}_{\phi }\)和\({\widehat{\sigma }}_{\phi +\Delta \phi }\)的相互作用SDF产生r(Δ?)；对易情况（Δ? = 0, π, 2π）时r ≈ 0，而非对易情况（π/2, 3π/2）时压缩效果最大。数据用\(A| \sin \Delta \phi |\)（虚线）进行拟合。标记填充表示探测相位设置。a和c显示了基于每次300次射击的shot噪声的68%置信区间，中心等于测量的\({P}_{| \downarrow \rangle }\)；b和d显示了基于拟合的68%置信区间，中心等于拟合的r。误差条有时比标记尺寸小。

如图2a所示，沿着压缩轴（i）应用探测可以比沿着垂直于压缩轴（反压缩轴；（iii）应用探测更快地减少重叠。我们通过拟合压缩态（i）和初始热态（\({\bar{n}}_{{\rm{osc}}}=0.09(1)\)（ii）的分裂动态来确定压缩参数r的大小，后者用于校准探测SDF的大小。推断出的r = 1.09(4)，相当于9.5(3)?dB的压缩。使用解析模型从（iii）中提取r时会由于运动退相而低估r的值，这种情况下效果更为明显，因为完全减少重叠需要更长的时间。尽管如此，所得到的动态与包含运动退相的数值模拟结果吻合得很好。这里考虑的压缩态是通过使用0.5?mW的驱动每个相互作用SDF来创建的，设置Δ/2π = 50?kHz，并且相互作用持续时间为tsqz = 400?μs，上升时间为tramp = 40?μs（本文中引用的所有脉冲持续时间都是以脉冲形状的半高全宽测量的；上升形状为\(\sin {({\rm{\pi }}t/2{t}_{{\rm{ramp}}})}^{2}\)，总上升时间由上升时间tramp给出）。

压缩态的压缩参数r = Ω2tsqz，其中\({\varOmega }_{2}={\varOmega }_{\alpha }{\varOmega }_{{\alpha }^{{\prime} }}/\Delta\)遵循方程（2）。我们在图2b中验证了这种依赖性，其中我们绘制了r作为tsqz的函数，对于Δ/2π = 50?kHz和Δ/2π = 100?kHz。数据与从独立测量的\({\Omega }_{\alpha }\,\mathrm{and}\,{\Omega }_{{\alpha }^{{\prime} }}\)值计算出的理论结果吻合得很好，并且我们观察到其大小与Δ成反比。我们将我们方法产生的压缩强度与直接使用场的二阶空间导数驱动的压缩强度进行了比较。这种相互作用强度与η2成比例，通过考虑两种方法的总功率均为1?mW来推断这些值。这表明我们可以通过调整方法中的自由参数Δ来实现比直接驱动二阶相互作用更高的耦合强度。

接下来，我们研究了相互作用的自旋依赖性（见图2c）。我们的相互作用的自旋依赖性与通过调节被困离子的约束来实现的自旋无关压缩不同。我们使用图2a中显示的相同参数创建压缩态，并将探测SDF的持续时间固定为tprobe = 53.6?μs。我们扫描探测SDF的相位?probe并测量\({P}_{| \downarrow \rangle }\)。改变这个相位会影响我们分离振荡器波函数的方向（见插图）。种群中的峰值和凹陷对应于围绕反压缩轴的分裂，并且具有π的周期性。由于不同自旋态设置引入的相空间中正交轴的压缩，两条曲线之间有π/2的偏移（见插图）。

为了生成这一系列相互作用，SDFs的自旋分量必须是非对易的。我们通过改变两个SDF的自旋分量之间的相位来探索这种非对易性，即其中一个力是\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }={\widehat{\sigma }}_{\phi }\)，另一个是\({\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}={\widehat{\sigma }}_{\phi +\Delta \phi }\)。我们测量r作为Δ?的函数，同时保持探测SDF的相位不变。压缩参数r随\(\sin (\Delta \phi )\)变化，遵循对易子关系\([{\widehat{\sigma }}_{\phi },{\widehat{\sigma }}_{\phi +\Delta \phi }]\propto \sin (\Delta \phi ){\widehat{\sigma }}_{z}\）（见图2d）。如果自旋分量是对易的，即Δ? = 0, π和2π，则没有压缩；而对于Δ? = π/2和3π/2，自旋分量的对易子，因此压缩效果最大。当\(\sin (\Delta \phi )\)变为负值，即Δ? > π时，压缩轴会偏移π/2；因此，我们将探测SDF的相位改为?probe + π/2，以便始终围绕压缩轴进行分离。

到目前为止，我们关注的是在各种平台上探索的压缩态。转向更高阶的相互作用，我们重建了所得量子态的Wigner准概率函数，以获得它们的完整描述。根据参考文献48，我们测量复数值特征函数\(\chi (\beta )=\langle \widehat{{\mathcal{D}}}(\beta )\rangle\)，其中\(\widehat{{D}}(\beta )={{\rm{e}}}^{\beta {\widehat{a}}^{\dagger }-{\beta }^{* }\widehat{a}}\)是位移算符，\(\beta \in {\mathbb{C}}\)量化了振荡器态在相空间中的位移。这种测量是图2中讨论的方法的扩展，在那里我们应用探测SDF来分离振荡器波函数。这里我们扫描tprobe和?probe以获得特征函数的实部和虚部，其中\(\beta \propto {t}_{\mathrm{probe}}\times {{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{\phi }_{\mathrm{probe}}}\）（见补充章节VI）。然后我们对测量的特征函数χ(β)进行二维离散傅里叶变换，以获得Wigner函数W(x, p)，其中x和p是与无量纲位置和动量算符\(\widehat{x}\,\mathrm{and}\,\widehat{p}\)相关联的位置和动量变量。

我们重建了实验实现的压缩态、三压缩态和四压缩态的Wigner函数，并将它们与独立测量的实验参数的数值模拟结果进行了比较。利用我们方法的多功能性，通过简单改变失谐量mΔ来创建三压缩态和四压缩态。所有相互作用的自旋依赖性都被控制在\({\widehat{\sigma }}_{z}\)，并且我们将自旋初始化为\(| \downarrow \rangle\)本征态。在图3a中，我们评估了一个压缩态，其r = 1.09(4)，使用与图2a中显示的相同参数创建。图3：广义压缩态的Wigner函数。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片。

a，压缩态，r = 1.09(4)。b，三压缩态，r3s = 0.19(1)。c，四压缩态，r4s = 0.054(5)。在顶部行，我们展示了从实验数据重建的Wigner函数W(x, p)，其中x和p是与无量纲位置和动量算符\(\widehat{x}\,\mathrm{and}\,\widehat{p}\)相关联的位置和动量变量。Wigner函数是根据振荡器态的测量特征函数推断出来的（见正文）。在底部行，我们展示了使用独立测量的实验参数数值模拟的状态的Wigner函数。与模拟相比观察到的旋转是由于压缩轴θ和探测SDF的相位?probe之间存在恒定偏移造成的。如果需要，可以校准出这种偏移。

为了创建三压缩态（见图3b），我们将SDFs的失谐量设置为Δ和–2Δ，其中Δ/2π = ?25?kHz（我们选择这个负失谐量Δ/2π = ?25?kHz是为了避免非共振地驱动离子的另一种运动模式）。我们应用相互作用的时间为tsqz = 600?μs，上升时间为tramp = 80?μs。我们使用每个相互作用SDF的激光功率为1?mW。我们假设相互作用强度遵循理论\({\varOmega }_{{\alpha }^{{\prime} }}{\varOmega }_{\alpha }^{2}/(2{\Delta }^{2})\)并通过与模拟比较来推断三压缩参数r3s = Ω3tsqz = 0.19(1）（见补充章节VIII）。三压缩相互作用的基础由\([{\widehat{\sigma }}_{\alpha },[{\widehat{\sigma }}_{\alpha },{\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}]]\)给出。这里我们将组成相互作用的SDFs的基础设置为\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }={\widehat{\sigma }}_{\phi }\)和\({\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}={\widehat{\sigma }}_{z}\)，以便有效相互作用具有\({\widehat{\sigma }}_{z}\)自旋分量。

由于最初的热态不纯，观察Wigner负性变得具有挑战性；然而，所得到的Wigner函数仍然显示出与高斯轮廓的明显偏离，证实了三压缩态的非高斯特性。最后，我们通过将SDF的失谐量设置为Δ和–3Δ（Δ/2π = 25?kHz）来创建四压缩态（见图3c）。我们应用相互作用的时间为tsqz = 600?μs，上升时间为tramp = 80?μs。每个相互作用SDF使用的激光功率为1?mW。与三压缩态类似，我们确定四压缩参数r4s = Ω4tsqz = 0.054(5)。四压缩的自旋基础由\([{\widehat{\sigma }}_{\alpha },[{\widehat{\sigma }}_{\alpha },[{\widehat{\sigma }}_{\alpha },{\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}]]\)给出。因此，通过选择组成相互作用的SDFs的基础为\({\widehat{\sigma }}_{\alpha }={\widehat{\sigma }}_{\phi }\)和\({\widehat{\sigma }}_{{\alpha }^{{\prime} }}={\widehat{\sigma }}_{\phi +{\rm{\pi }}/2\)，我们再次实现了\({\widehat{\sigma }}_{z}\)相互作用。与三压缩态类似，四压缩态的非高斯性从Wigner函数的形状中可以看出，它偏离了高斯轮廓。在补充章节IX中，我们还展示了通过将功率增加到2?mW并将脉冲持续时间减少到400?μs来创建的四压缩态，这也表现出Wigner负性。

据我们所知，这是首次在原子系统中实现三压缩，并且是首次在任何平台上展示四阶广义压缩。我们的演示之所以能够实现，完全得益于由自旋介导的玻色子相互作用；在假设总激光功率相同的情况下，四重压缩相互作用比由驱动场的更高阶空间导数产生的相互作用强100多倍（见补充材料第七节）。总体而言，我们的工作通过重新利用各种平台上已有的相互作用，探索了在混合振荡器-自旋系统中由自旋介导的非线性玻色子相互作用。通过利用自旋来结合多个线性玻色子相互作用，我们的技术实现了四阶非线性相互作用，且不存在任何可实现阶数的限制。使用以往的技术，这些相互作用是无法实现的。此外，有效的相互作用不仅限于广义压缩相互作用，正如本研究所展示的那样，还包括任何由产生和湮灭算符组合而成的非线性玻色子相互作用。我们的原理验证演示仅使用了离子的一个运动模式与其两个内部状态之间的相互作用。这两个量子自由度都可以进一步探索。首先，我们的技术可以很容易地扩展到单个离子的多个模式或更大的晶体上，从而产生诸如分束器、双模压缩或交叉克尔耦合等相互作用。这类多模相互作用对于实现可扩展的连续变量量子计算的通用门集至关重要。其次，玻色子相互作用的自旋依赖性为在电路中间对自旋进行测量创造了可能性，从而可以生成用于量子模拟、计量学或错误校正的巧妙量子态。这些依赖于自旋的高阶非线性相互作用还可以用来生成新的自旋-自旋相互作用，其效果超出了仅使用二阶玻色子相互作用所能达到的范围。最后，我们的技术还扩展到了玻色子-自旋编码，这类编码最近受到了关注，因为它们更适于模拟各种物理模型，例如凝聚态物理学中的玻色子Hubbard模型、粒子物理学中的量子场理论或分子量子效应。这些混合编码使得计算协议在抗错误方面更加稳健，并且减少了用量子比特集合表示玻色子所需的计算资源。对于那些电路深度有限的近期设备来说，这种减少尤其有益。