基于“天琴”计划的基础物理学与宇宙学研究

《Living Reviews in Relativity》：Fundamental physics and cosmology with TianQin

　　摘要
探索周围的世界和宇宙是人类遗产中的一个重要主题。引力波的探测为这一宏伟事业增添了新的维度。究竟是什么基本物理定律支配着宇宙的动态？宇宙的基本组成是什么？宇宙在过去是如何演化的，未来又将如何演化？这些都是亟待解答的基本问题。基于太空的引力波探测器“天琴”将监测毫赫兹频率范围（具体为\(10^{-4}\)–1 Hz）内的引力波，从而打开一个全新的引力波频谱窗口，以探索宇宙中许多此前隐藏的部分。“天琴”将发现许多位于不同红移区域的天体物理系统：其中一些可能是前所未见的新类型，一些将具有非常高的信噪比，还有一些将具备非常高的参数估计精度。收集到的海量信息将引领我们进入新的研究领域，寻找广义相对论的破缺点、现有物理定律的可能违反情况、新的引力物理现象的迹象以及新的基本场，并增进我们对宇宙膨胀历史的理解。在这份白皮书中，我们重点介绍了“天琴”能够为基础物理学和宇宙学带来的进展。

1 引言
预计将于2035年左右发射的基于太空的引力波（GW）探测器“天琴”旨在探测频率范围为\(10^{-4}\) Hz–1 Hz的引力波（Luo等人2016年；Mei等人2021年；Luo等人2025年），并有望探测到大量的天体物理和宇宙学引力波信号（Li等人2025a）。为了为本文的讨论奠定基础，我们首先描述了基础物理学和宇宙学中几个关键问题的现状，这些问题可以归结为关于宇宙的三个基本问题，然后介绍了“天琴”的主要探测能力，这些能力将有助于解答这些问题。

1.1 关于宇宙的三个基本问题
关于宇宙最令人费解的一点是，它实际上是可理解的（Robinson 2018年）。值得注意的是，我们已经对宇宙有了很多了解。然而，仍然存在与宇宙所有主要时期相关的重要未解问题（参见表2）。我们将这些问题总结为以下三个基本问题：
- 是什么基本物理定律支配着宇宙的动态？
- 宇宙的基本组成是什么？
- 宇宙（包括其中的一切）在过去是如何演化的，未来又将如何演化？
接下来，我们简要回顾了对这些问题的当前理解，重点关注主要的未解问题和难点。

1.1.1 支配宇宙动态的基本物理定律
一个多世纪以来，广义相对论（GR）一直是理解宇宙动态的基础。但有充分的理由认为，GR需要被扩展：为了理解大爆炸、普朗克时代以及黑洞的奇点现象，我们很可能首先需要弄清楚如何量化引力以及如何将引力与其他自然基本相互作用统一起来；引入暗物质和暗能量的必要性可能表明我们对引力本质的理解还不完整。然而，超越GR已被证明极其困难。
在理论方面，寻找一致的量子引力理论促使了诸如弦理论和圈量子引力（Carlip等人2015年；Addazi等人2022年）等理论框架的发展，同时也提出了诸如规范/引力对偶性（Maldacena 1998年）等理论见解。不幸的是，这些理论在做出可立即通过实验验证的引力现象定量预测方面都无法与GR相媲美。因此，人们构建了许多修正引力理论（MGTs）（Nojiri和Odintsov 2006年、2011年；Capozziello和De Laurentis 2011年；Clifton等人2012年；Nojiri等人2017年；Saridakis等人2021年；Shankaranarayanan和Johnson 2022年），其中一些理论包含迄今为止难以捉摸的量子引力理论中可能存在的特征。但MGTs并不期望是完全自洽或路径上自由的，它们最好被视为描述偏离GR可能方式的现象学模型。
在实验方面，人们付出了巨大努力。为了梳理这一复杂的领域，我们可以提出两个基本问题：
- 第一个问题是应该测试什么。从引力的本质出发，之前的实验主要考虑了以下内容（Will 2014年）：
- 引力是时空的纯粹几何属性吗？这里主要关注爱因斯坦等价原理（EEP），该原理意味着引力应该由度规理论描述，而在所有特殊相对论中引入引力相当于“用协变导数替换偏导数”。
- 引力的自由度是否与GR中的度规场相同？这里主要寻找可能存在的额外介导相互作用的场，这些场可能导致“第五种力”并打破平方反比定律（ISL）。
- 强等价原理（SEP）表明度规是宇宙中唯一的引力场。此外，还会研究引力波的极化和传播特性，以确定它们是否与GR的预测一致。
- 引力的动态是否与GR中的度规场相同？这里主要研究涉及引力的各种动态过程。大部分实验都是在静态或静止的时空背景下研究弱场和慢运动过程，正如太阳系中进行的所有引力实验一样。然而，引力波的探测现在使得研究高度动态和强场过程成为可能。黑洞是GR在强场条件下的另一个重要预测，测试宇宙中暗致密物体的性质是对引力本质和GR有效性的重要检验。
- 第二个问题是如何进行测试。鉴于可能的引力实验种类繁多，以直观的方式组织所有实验是一项具有挑战性的任务；参见Baker等人（2015年）的示例。然而，所有实验都共享两个基本参数：特征质量（直接测试其引力场的最质量大的物体的质量）和实验中的典型力范围。一些典型引力实验的特征质量和引力势（特征质量除以力范围）的数量级如图1所示。对于基于普通物质的实验，它们的引力势都处于可实现的最大值的几个数量级范围内。因此，所有实验都分布在图1中的缩放关系（实线）\(\Phi =\Phi _\odot (M/\,{\textrm{M}_\odot })^{2/3}\,\)周围，其中\(\Phi \)是引力势，M是特征质量，\(\Phi _\odot \)是太阳表面的引力势。上述缩放关系假设物质的密度固定为太阳的密度。当\(M\gtrsim 1.15\times 10^8\,{\textrm{M}_\odot }\)时，这一关系不再成立，因为如此多的普通物质在太阳密度下会坍缩成黑洞。对于黑洞，其密度随质量变化，引力势在其视界处可以达到\(\Phi \approx 1\,\)。在图1中较高质量端的实验中，不仅有普通恒星，还有黑洞，因此这些点更加分散。

图1
典型引力实验中涉及的特征质量和引力势。最左侧和最右侧的点分别代表了用于实验测试GR的极端单物体质量。更多讨论见正文。（参考文献：mm size-90 mg（Westphal等人2021年），ISL-1500 kg（Moody和Paik 1993年），ISL-LLR（Adelberger等人2003年），MICROSCOPE（Touboul等人2017年），SEP-LLR（Williams等人2004年），Cassini（Bertotti等人2003年），Hulse–Taylor（Taylor和Weisberg 1982年），M87（Akiyama等人2019年）。一些典型的数值用于GW-SBHB、GW-MBHB和GW-EMRI，但这些数值都可以更改。）
总体而言，较大的引力势依赖于特征质量大于\(\sim 1\,{\textrm{M}_\odot }\)，只有通过引力波才能系统地研究真正强场条件下的引力。对超大质量黑洞（如M87）的电磁波（EM）观测也有帮助（Ayzenberg等人2023年），但这些方法受到可观测黑洞数量的限制。另外需要注意的是，尽管需要较大的特征质量才能达到强场极限\(\Phi \sim \mathcal{O}(1)\)，但在测试MGTs时，特征质量并不总是越大越好。对于包含维度耦合常数的MGTs，特征质量可能会抑制与GR的偏差[参见例如Yagi等人（2012年）的例子]。因此，像爱因斯坦-迪拉顿-高斯-博内特理论（EdGB）和动态切尔恩-西蒙斯理论（dCS）这样的理论在低质量系统中往往比在高质量系统中受到更好的约束，参见例如Shi等人（2023年）。

1.1.2 宇宙的基本组成
目前，标准模型（SMPP）是理解宇宙基本组成的最佳理论，尽管它只能解释宇宙能量密度的约\(5\%\)，其余部分大约为\(27\%\)的暗物质和\(68\%\)的暗能量。
SMPP所描述的\(5\%\)能量密度是普通物质，几乎不含反物质。物质-反物质不对称性的起源仍然是粒子宇宙学中的一个长期未解之谜。此外，赋予基本粒子质量的希格斯势的精确形状仍然未知。物质（即物质-反物质不对称性的起源）在宇宙中的起源以及希格斯势的形状可能与广泛研究的电弱重子生成过程有关，在这一过程中，一阶电弱相变（EWPT）加上SMPP之外的某些新物理模型可能会改变热平衡状态（Zhang 1993年；Grojean等人2005年；Huang等人2016a、2016b年；Cai等人2017a年）。同时，新物理模型中的一阶EWPT过程预计会产生相变引力波信号。
暗物质约占宇宙的\(27\%，但其真实性质仍然未知。传统的对撞机实验和直接探测方法并未产生预期的信号。目前关于暗物质的实验探测和理论研究的状态表明，需要探索暗物质产生的新机制及其探测的新方法。宇宙相变及其相关的引力波（GW）信号为暗物质的产生和探测提供了新的视角（Baker等人2020年；Chway等人2020年；Jiang等人2023a年；Azatov等人2021b年；Baldes等人2021年；Krylov等人2013年；Huang和Li 2017年；Hong等人2020年；Jiang等人2024a、b年；Jiang和Huang 2025年）。此外，来自天体物理源的GW信号，由于它们与暗物质的相互作用，可能携带有关暗物质性质的重要信息。典型的例子包括通过宇宙相变产生超重暗物质及其相关的GW信号、原初黑洞（PBH）暗物质及其诱导的GW信号，以及超轻暗物质的GW信号（Zel’dovich 1971年，1972年；Starobinsky 1973年；Zouros和Eardley 1979年；Detweiler 1980年；Dolan 2007年；Arunitaki等人2015年；Brito等人2020年；Zhang和Yang 2020年；Xie和Huang 2024年，2025年）。除了上述问题外，粒子物理学和宇宙学中的许多其他重要问题可能需要引入新的粒子和相互作用。这些通常与早期宇宙中的各种对称性破缺过程以及拓扑缺陷（如宇宙弦和域墙）的形成有关。GW信号有潜力提供新的方法来探索粒子宇宙学中的这些核心问题，并研究可能超出标准模型（SMPP）的新物理现象。

1.1.3 宇宙的演化历史
宇宙学家已经发展出了一个标准模型——ΛCDM模型，该模型描述了从大爆炸核合成（BBN）到现在宇宙的膨胀历史（Carroll 2001年；Peebles和Ratra 2003年；Bull等人2016年），结合了来自全球宇宙的数据，如宇宙微波背景（CMB）（Hinshaw等人2013年；Aghanim等人2020年）、BBN（Addison等人2018年；Sch?neberg等人2019年）和重子声学振荡（BAO）（Eisenstein等人2005年；Bassett和Hlozek 2009年；Alam等人2021年），以及来自局部宇宙的数据，如宇宙距离阶梯测量（Riess等人2021年，2022年；Freedman等人2019年；Pesce等人2020年；Kourkchi等人2020年）和强引力透镜（Denzel等人2021年；Wong等人2020年；Shajib等人2020年）。ΛCDM模型告诉我们，宇宙大约有138亿年的历史，空间几乎是平坦的，总物质与暗能量的比例约为三比七，当前的膨胀率约为70公里/秒/兆秒差距，并且正在加速（Carroll 2001年；Peebles和Ratra 2003年）。然而，随着观测数据的积累和宇宙学参数精度的提高，ΛCDM作为标准宇宙学模型的地位受到了严重挑战，有两个问题尤为显著：
- 哈勃张力，即从CMB观测推断出的早期宇宙的哈勃-勒梅特常数H?与通过Ia型超新星观测得到的晚期宇宙的H?之间的不一致性，超过了4σ的显著性水平（Freedman 2017年；Riess 2019年；Di Valentino等人2021年；Sch?neberg等人2022年；Cai等人2022a年；Verde等人2023年）；
- 暗能量状态方程相对于标准模型（宇宙常数Λ）的偏差越来越显著（Zhao等人2017年；Zhang等人2019c年；Adame等人2024年）。由于GW探测允许我们直接测量GW源的亮度距离，而不依赖于宇宙距离阶梯，因此它们可以作为所谓的“标准警报器”来独立约束宇宙膨胀历史（Schutz 1986年；Holz和Hughes 2005年）。利用GW探测还可以测量宇宙的膨胀率，这可能对解决哈勃张力和探索暗能量的本质至关重要。

1.2 TianQin及其探测能力
TianQin将由三个无拖曳卫星组成，这些卫星将以大约10^5公里的轨道半径绕地球运行（Ye等人2019年；Hu等人2018年；Tan等人2020年）。TianQin的探测器平面将朝向RX J0806.3+1527（也称为HM Cancri或HM Cnc，以下简称J0806（Strohmayer 2005）），因此几乎垂直于黄道面。太阳每年会两次穿过TianQin的固定轨道平面，对卫星造成复杂的热负荷，并使直接进入望远镜的太阳光受到干扰。因此，TianQin将采用“三个月运行+三个月关闭”的连续探测方案，这意味着TianQin将首先连续观测三个月，然后进入安全模式三个月，之后再次开始观测（Luo等人2016年）。在这种方案下，数据采集的总持续时间为5年任务寿命的2.5年。TianQin的目标灵敏度由以下公式近似表示（Luo等人2016年；Hu等人2018年；Lu等人2019a）：
$$\begin{aligned} S_n(f) = \frac{10}{3L^2}\left[ S_x+\frac{4S_a}{(2\pi f)^4}\left( 1+\frac{10^{-4}\textrm{Hz}}{f}\right) \right] \times \Big [1+0.6\Big (\frac{f}{f_*}\Big )^2\Big ], \end{aligned}$$
其中L约为1.7×10^8米是TianQin的臂长，S_x^{1/2}=1×10^{-12}\,\text {m/Hz}^{1/2}是每个单向激光链路的位移测量噪声，S_a^{1/2}=1×10^{-15}\,\text {m/s}^2/\text {Hz}^{1/2}是每个测试质量沿敏感方向的残余加速度噪声，f_*=1/(2\pi L)约为0.28赫兹是传输频率。
TianQin的灵敏度曲线在图2中绘制出来，同时展示了预期可以探测到的典型GW信号类型。这些信号具有多种重要特征，使它们特别适用于回答天体物理学、基础物理学和宇宙学中的重要科学问题（Hu等人2017年）：
- 首先，TianQin可以在宇宙历史的不同时期探测到GW源，例如：银河系中的银河超紧凑双星系统（GCBs）（Huang等人2020年），其中包括十几个验证双星系统（VBs）（Ren等人2023a），恒星质量黑洞双星系统（SBHBs）直到红移z约为0.1（Liu等人2020f），极端质量比吸积（EMRIs）直到红移z约为2.6（Fan等人2020年），大质量黑洞双星系统（MBHBs）直到红移z约为20（Wang等人2019a），以及可能是早期宇宙中的第一次极端质量比抛物线（EWPT）（Liang等人2022b）。
- 其次，TianQin能够探测到信噪比非常高的GW信号。例如，某些MBHB信号的信噪比可以达到10^3的数量级（Wang等人2019a）。
- 第三，TianQin能够以极高的精度测量某些GW信号的源参数。例如，MBHBs、EMRIs和SBHBs的一些参数可以测量到优于10^-4至10^-7的数量级（Liu等人2020f；Fan等人2020年；Wang等人2019a）。有关TianQin探测能力的更多细节可以在表1中找到。我们还在表2中列出了TianQin相关的GW源和宇宙不同时期的某些关键科学问题。这些能力将使TianQin能够揭示GW事件的许多细节，以前所未有的精度测试强场条件下的引力本质，并精确测量宇宙历史不同时期的宇宙学参数。

图2
TianQin的灵敏度曲线作为频率的函数，以及一些预期为TianQin探测到的典型GW信号类型。LISA的灵敏度曲线（Robson等人2019年）也作为对比展示，同时考虑了LISA假设的4年任务期间的银河系背景。TianQin的银河系背景低于TianQin的灵敏度曲线，因此没有显示在图中。

表1 TianQin对典型天体物理源的探测能力

表2 热历史时期、TianQin相关的GW源和一些关键科学问题

1.3 本文的目的和计划
本文的目的是定量评估TianQin可以为基础物理学和宇宙学带来的进步。计划在2030年代中期开发几种新的GW探测器（Gong等人2021年），例如基于空间的GW探测器LISA（Amaro-Seoane等人2017年）和Taiji（Hu和Wu 2017年），以及第三代基于地面的GW探测器Cosmic Explorer（CE）（Evans等人2021年）和Einstein Telescope（ET）（Maggiore等人2020年；Branchesi等人2023年）。LISA和Taiji可以在探测较重源方面补充TianQin，而CE和ET可以与TianQin一起进行SBHBs的多频段探测。如果这些探测器能够形成探测器网络，将带来重大的科学回报。当有相关结果时，我们将评论将TianQin与其他探测器结合的科学收益。关于TianQin-LISA网络的系统研究可以在Torres-Orjuela等人（2024年）中找到。
在准备这份白皮书的过程中，我们参考了许多现有的综述论文。为了方便读者，下面列出了一些论文：
- GW探测器的科学概述：（Seoane等人2013年；Amaro-Seoane等人2017年；Hu和Wu 2017年；Evans等人2021年；Maggiore等人2020年；Branchesi等人2023年；Bailes等人2021年；Gong等人2021年）
- 引力理论的实验测试：（Will 2014年；Baker等人2015年；Turyshev 2008年，2009年；Will 2010年；Murata和Tanaka 2015年；Koyama 2016年；Sakstein 2018年）
- 使用GWs的基础物理学：（Gair等人2013年；Yunes和Siemens 2013年；Berti等人2015年；Yagi和Stein 2016年；Barack等人2019年；Cardoso和Pani 2019年；Barausse等人2020b年；Arun等人2022年）
- 使用GWs的宇宙学：（Auclair等人2023年）
本文的结构如下。第2节讨论了TianQin如何帮助探测支配宇宙动态的基本定律。这包括验证强场条件下引力理论（GR）的关键预测，并寻找超出GR效应的可能迹象。还将讨论干扰环境效应和波形系统学。第3节讨论了TianQin如何帮助探测宇宙的基本组成。这包括探测早期宇宙中的一阶相变（FoPT），揭示暗物质粒子的性质，研究物质-反物质不对称性，探测隐藏的领域和其他超出标准模型（SMPP）的新物理现象，寻找PBH等。第4节讨论了TianQin如何帮助探测宇宙的膨胀历史。这包括在广泛的红移范围内测量宇宙学参数并验证宇宙学定律。本文的主要结果将在第5节总结。

1.3.2 TianQin与引力的本质
在自然界的所有基本相互作用中，引力是最不为人所理解的，到目前为止仅限于经典层面。GR是目前最好的引力理论，但它仅以几何方式描述引力。GR的理论结构与SMPP完全不同，这使得引力难以与其他基本相互作用形式上统一。实验上找到GR的破缺点可能是回答关于引力量子化和引力与其他基本相互作用统一的基本问题的关键。
一个多世纪以来，GR通过了各种实验测试。但对于大多数实验来说，涉及的特征质量大约在1太阳质量（M_☉）或更小（Will 2014年）。随着GW探测的突破，开始出现特征质量约为30太阳质量（M_☉）的GR测试（Abbott等人2016c年，2019e年，2021e年，f），对应于图1中的“GW-SBHB”点。关于引力波（GWs）最显著的事实是，它能够在真正强的场条件下测试广义相对论（GR），即当无量纲引力势接近\(\mathcal{O}(1)\)时，此时可能会发生非微扰的引力效应。这样的测试用非引力波实验是无法实现的，并且有可能在发现超出GR的效应方面取得突破。TianQin将把对GR的测试提升到一个全新的水平：一些信号将以非常高的信噪比（SNR）被观测到，从而可以揭示出引力的许多细节（Shi等人，2024年），并且一些源参数将被测量到非常高的精度，以便以相应的精度测试GR的各个方面（Shi等人，2019年；Zi等人，2021年）。借助TianQin，我们将使用大约\(\mathcal{O}(10\sim 10^7)\,{\textrm{M}_\odot }\)范围内的特征质量来测试GR，这显著扩展了图1中“GW-SBHB”和“GW-MBHB”之间的参数空间。测试GR和寻找可能的新物理现象的努力可以分为两类：

**检测：**对于缺乏实验验证的GR关键预测，人们会积极在实验中寻找相应的效应，并试图确立它们的存在。首次探测到引力波本身就是一个很好的例子，因为它强有力地证实了引力波的存在，并且牢固地验证了GR的一个关键预测（Abbott等人，2016a）。

**测量：**对于已经被实验验证的GR预测，人们会提高测量的精度，以寻找超出GR效应的可能迹象。由于缺乏一个与实验直接相关的完整量子引力理论，人们必须使用现象学参数作为记录方法来指示可能偏离GR的情况。在这个意义上，我们将所有多引力理论（MGTs）视为现象学参数化方案，并将它们归入这一类别。在本节中，我们将使用这种分类方案来讨论TianQin如何帮助在强场条件下验证GR的关键预测，并寻找超出GR效应的可能迹象。我们还将讨论可能干扰这一努力的环境效应。

**快速总结：**对于GR的关键预测，TianQin将能够在大约十几个引力波信号中检测到几种更高模式和非线性模式，检测到几个引力波信号中的记忆效应，并将Kerr假设的测试精度提高到十万分之一。对于超出GR效应的可能迹象，TianQin将能够检测到额外的极化模式的存在，并将目前对引力子质量的限制、一些修改后的色散参数和一些MGT参数的精度提高两到三个数量级。TianQin还能够在引力波产生和传播过程中测量一些环境效应参数，精度达到十万分之一或更高。

**2.1 强场条件下的GR关键预测**
测试GR最直接的方法是看其预测是否可以在实验中找到。许多GR的关键预测已经通过经典测试得到了验证（Will，2014年），例如水星的近日点进动、太阳对光的弯曲、光的引力红移以及Shapiro时间延迟（Shapiro，1964年）。引力波的探测是GR的另一个显著成就（Abbott等人，2016c）。随着引力波探测的突破，现在有了在真正强场条件下测试GR一些关键预测的新机会。例如，通过检测更高模式、非线性模式和记忆效应来测试爱因斯坦方程的非线性。通过检测多个准正常模式（QNMs）或测量黑洞的四极矩来测试Kerr假设。在本小节中，我们将重点介绍TianQin如何为这些重要主题做出贡献。

**2.1.1 更高模式和非线性模式**
**小节协调人：**Changfu Shi

非线性是爱因斯坦方程的一个特征。在理论层面，已经可以观察到一些有趣的特性。例如，尽管Kerr黑洞是强引力极限下爱因斯坦方程的一个解，但其度规可以用Kerr–Schild形式表示（Kerr和Schild，1965年），\(g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_\mu k_\nu \,\)，其中f是一个函数，\(k_\mu \)是一个零向量，而部分\(h_{\mu \nu }=fk_\mu k_\nu \,\)满足在整个Kerr背景下的爱因斯坦方程的线性化版本。通过使用适当的度规分量变量，爱因斯坦方程的非线性可以降低到有限阶（Harte，2014年）。两个黑洞合并产生的波形，虽然需要完整的爱因斯坦方程来计算，但实际上却出人意料地简单（Pretorius，2005年）。所有这些事实表明，甚至爱因斯坦方程的非线性本身也需要进一步研究。因此，对爱因斯坦方程强场预测的实验测试有望帮助我们更好地理解引力的真实动力学以及爱因斯坦方程本身的真实非线性。

引力波提供了一种不可替代的方法来研究动态情况下引力的非线性。来自紧密双星合并事件的引力波信号通常包括三个阶段：螺旋进动、合并和振荡衰减。对于早期螺旋进动和振荡衰减阶段，可以依赖微扰方法从爱因斯坦方程中得出预测。对于振荡衰减阶段，度规可以如下示意性地展开，
$$\begin{aligned} g_{\mu \nu }={\bar{g}_{\mu \nu }}+\varepsilon h^{(1)}_{\mu \nu }+\varepsilon^2 h^{(2)}_{\mu \nu }+\mathcal{O}(\varepsilon^3), \end{aligned}$$
其中\(\bar{g}_{\mu \nu }\)是最终黑洞的度规，\(\varepsilon \)是一个指示展开中每一项大小的记号参数。相应地，爱因斯坦方程可以按阶数展开（为了简单起见，这里关注真空情况），
$$\begin{aligned} &\mathcal{O}(\varepsilon ):E_{\mu \nu }[h^{(1)}_{\bullet \bullet }]\equiv \frac{1}{2}\bar{\nabla }^\rho \Big [\bar{\nabla }_\nu h^{(1)}_{\mu \rho } +\bar{\nabla }_\mu h^{(1)}_{\nu \rho } -\bar{\nabla }_\rho h^{(1)}_{\mu \nu }\Big ] -\frac{1}{2}\bar{\nabla }_\mu \bar{\nabla }_\nu h^{(1)}=0,\nonumber \\ &\mathcal{O}(\varepsilon ^2):E_{\mu \nu }[h^{(2)}_{\bullet \bullet }]=S^{(2)}[h^{(1)}_{\bullet \bullet },h^{(1)}_{\bullet \bullet }],\nonumber \\&\quad \quad \vdots\end{aligned}$$
其中\(h^{(1)}\)是\(h^{(1)}_{\mu \nu }\)的迹，\(S^{(2)}[h^{(1)}_{\bullet \bullet },h^{(1)}_{\bullet \bullet }]\)包含了作为二阶扰动源的\(h^{(1)}_{\mu \nu }\)的二次项。每个阶的度规扰动可以进一步展开。例如，两个大质量黑洞（MBHB）合并后的振荡衰减信号可以用一系列QNMs来表示（Kokkotas和Schmidt，1999年；Berti等人，2009年；Konoplya和Zhidenko，2011年），
$$\begin{aligned} h=\frac{M_z}{D_L}\sum _{\ell mn}e^{-i\widetilde{\omega }_{\ell mn}(t-t_0)}{_{-2}S_{\ell mn}}A_{\ell mn}, \end{aligned}$$
其中h的指标已被省略，\(M_z\)是红移后的质量，\(D_L\)是光度距离，\(\widetilde{\omega }_{lmn} = \omega _{lmn} + i / \tau _{lmn}\)是复数QNMs频率，\(\omega _{lmn}\)和\(\tau _{lmn}\)分别是振荡频率和阻尼时间，\(_{-2}S_{\ell mn}\)是\(-2\)自旋加权的球谐函数，\(A_{\ell mn}\)是取决于前体双星参数的振幅。

在实践中，必须将（2）、（3）和（4）截断到有限阶，以保持计算效率/可行性。目前只有来自线性阶的引力波在地面探测器中被确认。通常，（2, 2, 0）模式是主导模式，其\(\ell =m=2\)且\(n=0\)，所有其他模式都被称为更高模式。所有\(n=0\)的模式被称为基本模式。\(n\ne 0\)的模式被称为泛音，而\(h^{(2)}_{\mu \nu }\)及更高阶的所有模式都被称为非线性模式。检测到更广泛的模式谱意味着可以获得更丰富的信息，这反过来可以打破某些引力波源参数之间的简并性，从而提高我们准确测量这些参数的能力。检测更高模式和非线性模式也是发现爱因斯坦方程的非线性与引力的真实动力学之间可能差异的关键。它还有助于检验GR预测的一致性，并与替代引力理论的预测进行对比。因此，检测更高模式和非线性模式是测试GR的一个重要方面。

由于现有地面探测器的灵敏度限制，大多数检测到的引力波事件的信噪比（SNR）为30或更低（Abbott等人，2021f），而振荡衰减阶段的SNR甚至更低。有人声称在GW150914中存在（2, 2, 1）模式，置信度为3.6\(\sigma\)（Isi等人，2019年），但这一结果仍在讨论中（Carullo等人，2019年；Wang和Shao，2023年；Wang等人，2024b）。在GW190521中也声称检测到了（3,3,0）模式，贝叶斯因子为56（Capano等人，2024年）。最近，在GW250114的探测中发现了（2,2,1）和（4,4,0）模式的证据（Abac等人，2026年）。在现有的引力波数据中尚未报告其他更高模式。

基于空间的引力波探测器预计能够为MBHB信号实现高SNR，并能检测到一系列更高阶的QNMs。Berti等人研究了LISA检测（3,3,0）模式和（4,4,0）模式的能力，假设振荡衰减阶段辐射的能量大约占系统总质量的3%（Berti等人，2006年）。Baibhav等人将他们的工作扩展到包括更多基本模式，如（5,5,0）、（6,6,0）甚至（7,7,0）模式，将SNR阈值设为8。他们分析了每种模式的检测范围如何取决于剩余黑洞的质量（Baibhav和Berti，2019年）。Shi等人（2024年）研究了使用基于空间的探测器检测（2,2,0）、（2,1,0）、（3,3,0）和（4,4,0）模式的可能性，使用了从数值波形中拟合的振幅公式（Kamaretsos等人，2012年）。

对于非线性模式，Ioka等人分析了度规扰动的二阶，并发现二阶QNMs的频率是一阶的两倍，振幅大约是一阶的10%（Ioka和Nakano，2007年）。他们指出，LISA可以通过比较二阶模式的振幅与探测器的振幅谱密度来检测非线性模式。可以从数值相对论（NR）波形中拟合出一阶QNMs振幅的近似解析公式，这也已经应用于非线性（2,2,0）\(\times \)(2,2,0)和（2,2,0）\(\times \)(3,3,0)模式（London等人，2014年）。基于正面合并和非自旋前体准圆形合并的NR结果，有人建议二阶模式可以被视为由一阶模式产生的，其关系为（Mitman等人，2023年；Cheung等人，2023年）：
$$\begin{aligned} \omega _{(l_1m_1n_1)(l_2m_2n_2)}= &\ \omega _{l_1m_1n_1} + \omega _{l_2m_2n_2},\nonumber \\ \tau _{(l_1m_1n_1)(l_2m_2n_2)}^{-1}= &\ \tau _{l_1m_1n_1}^{-1} + \tau _{l_2m_2n_2}^{-1}. \end{aligned}$$
振幅的比率因子，
$$\begin{aligned} \mu _{(l_1m_1n_1)(l_2m_2n_2)} \equiv \frac{A_{(l_1m_1n_1)(l_2m_2n_2)}}{A_{l_1m_1n_1} A_{l_2m_2n_2}}, \end{aligned}$$
仅由最终黑洞的性质决定。有人建议（Cheung等人，2023年）：
$$\begin{aligned} \mu _{(2,2,0)(2,2,0)} = 0.1637,\quad \mu _{(2,2,0)(3,3,0)} = 0.4735. \end{aligned}$$
使用London等人（2014年）拟合的振幅公式，Shi等人（2024年）研究了使用TianQin检测11种不同更高模式和非线性模式的前景。从SNR和振荡衰减波形（4）的定义可以看出，更高模式和非线性模式的SNR强烈依赖于剩余黑洞的质量\(M_z\)、光度距离\(D_L\)、质量比\(q\)和倾角\(\iota\)。对光度距离和倾角的依赖是简单的：SNR与光度距离成反比，倾角的影响完全包含在自旋加权谐函数中。图3展示了两种二阶模式的结果。对于这两种模式，可以看出当总质量约为\(10^7\,{\textrm{M}_\odot }\)时，可以获得最高的SNR。对于（2,2,0）\(\times \)(2,2,0)模式，当\(q=1\)时可以获得最高的SNR；而对于（2,2,0）\(\times \)(3,3,0)模式，当\(q=2\)时可以获得最高的SNR。值得注意的是，即使对于红移为\(z=3\)的源，信噪比（SNR）也可以达到几十。图3 这张图片的替代文本可能是使用人工智能生成的。全尺寸图片。信噪比（SNR）依赖于两种二阶模式，这些模式随着最终质量和质量比的变化而变化。用于此图的其他参数包括：\(D_L=1\,\text {Gpc},\iota =\pi /3\)。TianQin对11种高阶模式和非线性模式的检测数量在表3中呈现。考虑了三种大质量黑洞（MBHs）的天体物理模型：pop III、Q3_d和Q3_nod（Wang等人，2019a）。结果是通过平均每个天体物理模型生成的一千组数据得到的。可以看出，除了（4,3,0）模式外，所有其他模式都预计至少会在一个MBHB事件中被检测到。表3 不同QNMs在不同天体物理模型下的检测数量。全尺寸表格。考虑到TianQin在如TianQin + LISA这样的网络中运行的情况，我们在图4中展示了两种非线性模式（(2,2,0)\(\times \)(2,2,0)和(2,2,0)\(\times \)(3,3,0)被TianQin、LISA和TianQin + LISA检测到的信噪比（SNR）。可以看出，对于最终质量小于某个值（\(\sim 3\times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }\)的源，TianQin的检测能力略强，而LISA对于更重的源则稍好。当TianQin和LISA的检测能力接近时，TianQin + LISA网络的改进最为显著。图4 这张图片的替代文本可能是使用人工智能生成的。全尺寸图片。两种非线性模式（(2,2,0)\(\times \)(2,2,0)和(2,2,0)\(\times \)(3,3,0)的预期信噪比（SNR）作为源的最终质量的函数。图中使用的其他参数包括：\(D_L=15\) Gpc、\(\iota =\pi /3\)和\(q=2\)。2.1.2 记忆效应小节协调人：Shuo Sun。引力波（GWs）的辐射将导致背景时空的永久性变化。这种变化与整个引力波辐射历史有关，这种现象被称为引力波记忆效应。记忆效应是广义相对论（GR）在非线性和强场条件下的直接预测之一，因此检测记忆效应是对GR的直接测试。此外，记忆效应可以用来寻找中微子-引力波（MGTs）的迹象（Du和Nishizawa 2016；Seraj 2021；Tahura等人2021；Hou等人2022b, c, 2024b），打破引力波源参数（如倾角和光度距离）之间的简并性（Gasparotto等人2023；Sun等人2024；Xu等人2024），帮助区分中子星-黑洞系统和双黑洞系统（Tiwari等人2021），甚至有助于检测黑洞周围的物质（Lopez等人2024）。到目前为止，许多研究和波形模型都没有考虑记忆效应，了解这种做法会带来多少系统误差是很重要的。在20世纪70年代，Zel’dovich和Polnarev首次在研究银河核中相互碰撞的恒星发出的引力波时发现了记忆效应（Zel’dovich和Polnarev 1974）。由于计算是在线性引力理论框架内进行的，这种效应也被称为线性记忆效应。因为研究集中在未束缚的系统上，最初认为记忆效应并不普遍适用。对于N体系统，线性记忆效应主要源于系统组成部分的质量和速度的变化。它可以用一个通用公式来描述（Thorne 1992）。$$\begin{aligned} \Delta h^{\textrm{TT}}_{jk}=\Delta \sum ^{N}_{A=1}\frac{4M_{A}}{R\sqrt{1-v_{A}^{2}}}\left[ \frac{v^{j}_{A}v^{k}_{A}}{1-v_{A}\cdot N}\right] ^{\textrm{TT}}, \end{aligned}$$ （8）其中\(\Delta \)表示辐射引力波前后的差异，TT代表横向且无迹（TT）规范。在20世纪90年代，人们发现与引力波一起向外辐射的能量通量也会产生记忆效应（Christodoulou 1991；Blanchet和Damour 1992）。因为这种记忆效应是在非线性背景下发现的，所以也被称为非线性记忆效应。由于它是由系统向外辐射的能量引起的，所有引力波源都会产生非线性记忆效应。在谐波TT规范下，非线性记忆效应可以表示为$$\begin{aligned} \delta h_{j k}^{\textrm{TT}}=\frac{4}{R} \int _{-\infty }^{T_{R}} d t^{\prime }\left[ \int \frac{d E^{\textrm{gw}}}{d t^{\prime } d \Omega ^{\prime }} \frac{n_{j}^{\prime } n_{k}^{\prime }}{\left( 1-\varvec{n}^{\prime } \cdot \varvec{N}\right) } d \Omega ^{\prime }\right] ^{\textrm{TT}}, \end{aligned}$$ （9）其中\(T_{R}\)是延迟时间，\(n_{j}\)是单位辐射向量。由于记忆效应与背景时空的变化有关，它与Bondi-Metzner-Sachs（BMS）群（Bondi等人1962；Sachs 1962；de Boer和Solodukhin 2003；Barnich和Troessaert 2010a, b；Kapec等人2014, 2017；He等人2017；Hou 2025）密切相关，该群描述了渐近平坦时空的对称性。2014年，Strominger和Zhiboedov在研究渐近平坦时空中的散射问题时发现记忆效应与BMS超平移有关（Strominger和Zhiboedov 2016）。经过的引力波的效应可以被视为时空的超平移变换。超平移前后两个时空的差异就是记忆效应，也称为位移记忆效应，因为它可以永久改变两个物体之间的相对距离。对应于BMS超旋转和超增强，还有两种类型的记忆效应：自旋记忆效应（Pasterski等人2016）和质心记忆效应（Nichols 2018）。自旋记忆效应会导致两个相对旋转的粒子之间的时间延迟，而质心记忆效应会导致两个沿相反平行方向运动的粒子之间的时间延迟。因此，记忆效应与渐近对称性和Weinberg的软引力子产生公式（Weinberg 1965）有关，形成了一个三角关系，称为红外三角形（Strominger 2017）。因此，直接检测记忆效应可以提供一种观测手段来研究软定理和渐近对称性（Goncharov等人2024）。使用地面引力波探测器检测记忆效应的想法最早是由Thorne和Braginsky在20世纪80年代提出的（Braginsky和Thorne 1987）。Lasky等人分析了GW50914的数据，并指出LIGO不足以直接检测像GW150914这样的源产生的记忆效应。相反，需要大约\(\mathcal{O}(90)\)个类似GW150914的事件才能自信地确认记忆效应（Lasky等人2016）。Hübner等人和Cheung等人分析了GWTC-1、-2和-3的数据，并发现LIGO需要大约\(\mathcal{O}(2000)\)个事件才能自信地确认记忆效应（Hübner等人2020，2021；Cheung等人2024）。Zhao等人也分析了GWTC-2的数据，并指出在GW190814中存在记忆效应的迹象（Zhao等人2021b）。使用脉冲星计时阵列来检测记忆效应也被考虑过（Seto 2009；van Haasteren和Levin 2010；Pshirkov等人2010；Cordes和Jenet 2012；Madison等人2014；Arzoumanian等人2015）。对12.5年NANOGrav数据的最新分析发现，记忆效应存在的贝叶斯因子大约为2.8，这不足以确认数据中记忆效应的存在（Agazie等人2024）。基于空间的引力波探测器可以在宇宙距离上检测到更质量大的引力波源，例如大质量黑洞（MBHBs）。这些源在合并过程中可以辐射出更多的能量，因此产生的记忆效应也更加明显。已经发现LISA在其任务寿命内可以检测到大约2到10次由MBHBs产生的记忆效应（Islo等人2019；Inchauspé等人2024）。此外，一项研究探讨了基于空间的DECIGO探测器检测由双黑洞（SBHBs）产生的记忆效应的前景。结果表明，DECIGO在其5年的观测期间可以检测到大约2,258个足够响亮的记忆信号（Hou等人2024c）。在Choi等人（2024）和Bhattacharya等人（2024）的研究中，也发现了从其他源（如核塌缩超新星）检测记忆效应的可能性。Sun等人（2023，2024）研究了使用TianQin检测记忆效应的前景。基于一些MBHBs的天体物理群体模型，表4给出了具有显著记忆效应的MBHB事件的预期检测数量。可以看出，TianQin可以检测到大约0.5到2个位移记忆效应的SNR大于3的MBHB合并事件。TianQin从单个MBHB事件中检测到自旋记忆效应的机会被认为是可以忽略的。在大多数参数空间中，LISA在检测记忆效应方面比TianQin更有能力。TianQin和LISA的联合检测可以稍微改善LISA的检测能力（Sun等人2023）。表4 TianQin和LISA可以检测到的具有显著记忆效应的MBHB事件的预期数量。全尺寸表格。除了检测记忆效应外，记忆效应对波形系统性的贡献也是一个问题。到目前为止，记忆效应只能在时间域中计算，这是MBHB数据分析的一个障碍，因为通常在频率域中计算波形要快得多。因此，知道何时可以忽略记忆效应的贡献是很重要的。波形的失配以及它是否引入系统误差是通过失配\(\mathcal{M}\)和失配阈值\(\mathcal{T}\)来衡量的，$$\begin{aligned} \mathcal{M}=1-\frac{\langle \tilde{h}_{1}(f)|\tilde{h}_{2}(f)\rangle }{\sqrt{\langle \tilde{h}_{1}(f)|\tilde{h}_{1}(f)\rangle \langle \tilde{h}_{2}(f)|\tilde{h}_{2}(f)\rangle }},\quad \mathcal{T}=\frac{D}{2\,{\textrm{SNR}}^{2}}, \end{aligned} $$（10）其中\(<\cdots |\cdots>\)是内积。因子D通常由受波形准确性影响的固有参数数量来近似（Chatziioannou等人2017），并且可以通过计算具有增加SNR的合成信号的后验分布的统计和系统误差来调整（Pürrer和Haster 2020）。图5中绘制了失配与某些源参数的依赖性。还绘制了SNR=3时的记忆效应等高线。可以看出，SNR=3时的记忆效应等高线始终位于失配阈值等高线上方。这表明，如果记忆效应的SNR不低于3，则忽略记忆效应将引入系统误差。应该注意的是，（10）中的失配及其阈值都是粗略的估计。有人建议阈值通常过于保守，当违反时，偏差不一定出现在参数估计中（Pompili等人2023；Ossokine等人2020）。图5 这张图片的替代文本可能是使用人工智能生成的。全尺寸图片。失配与引力波源参数的依赖性。光度距离固定在\(D_{\text {L}}=2\) Gpc。红色等高线显示失配等于阈值的位置，黑色等高线显示SNR=3的位置（Sun等人2023）。考虑到TianQin + LISA探测器网络的可能性，我们在图6中展示了TianQin、LISA和TianQin +LISA可以检测到的位移记忆和自旋记忆的检测范围。可以看出，LISA在能够达到的最大红移方面大约是TianQin的两倍，而TianQin + LISA相对于单个探测器有明显的改进。图6 这张图片的替代文本可能是使用人工智能生成的。全尺寸图片。在SNR \(=3, 5, 8\)时，记忆效应的检测范围依赖于总质量，对于位移记忆，以及SNR \(=3\)时，对于自旋记忆。其他参数包括：\(q=1\)和\(\chi =0.8\)（Sun等人2023）。对带有记忆效应的参数估计的详细研究表明，记忆效应对许多参数的估计影响非常有限，除了倾角和光度距离（Sun等人2024）。记忆效应可以帮助打破倾角和光度距离之间的简并性。通过计算贝叶斯因子，发现信噪比（SNR）约为2.4就足以让TianQin声称检测到了记忆效应。计算还表明，从贝叶斯因子得出的SNR阈值与从不匹配阈值得出的阈值非常接近。

2.1.3 Kerr假设
小节协调人：Changfu Shi
Kerr度量（Kerr 1963）是爱因斯坦方程的一个双参数解，用于描述静止和旋转的黑洞。天文观测也发现了被称为黑洞的超紧凑天体，我们有意将其称为天体物理黑洞，以区别于理论预测的黑洞。由于多种电荷损失和中和机制（Gibbons 1975；Goldreich和Julian 1969；Ruderman和Sutherland 1975；Blandford和Znajek 1977）（详见第3.1.4节），人们认为天体物理黑洞几乎是中性的，因此可以主要关注中性黑洞。值得注意的是，尽管它们的大小、质量和周围环境各不相同，但天体物理黑洞被认为可以完全用Kerr度量来描述。这被称为Kerr假设。用Chandrasekhar（1975）的话来说：“在我长达四十五年的科学生涯中，最震撼的体验是意识到新西兰数学家Roy Kerr发现的爱因斯坦引力场（GR）方程的精确解，为宇宙中数以计量的质量巨大的黑洞提供了绝对准确的描述。”

尽管没有普遍的证明，但Kerr假设的理论基础已经通过各种版本的唯一性和无毛定理逐渐积累（Israel 1967；Carter 1971, 1997；Robinson 1975, 2004；Bekenstein 1996；Chrusciel等人2012）。例如，一个原始的无毛定理指出，GR中的任何孤立静态黑洞必然是Schwarzschild黑洞，即没有自旋的Kerr黑洞。这一结论通过放宽“孤立”条件而得到推广，包括了处于天体物理环境中的黑洞（Gürlebeck 2015）。进一步的推广还包括表明Kerr黑洞的潮汐Love数为零（Le Tiec和Casals 2021；Le Tiec等人2021；Chia 2021；Charalambous等人2021a, b），这表明在动态外部潮汐力影响下，Kerr黑洞仍然是Kerr黑洞。

有人试图挑战Kerr假设（Herdeiro和Radu 2015；Herdeiro 2023；Cardoso和Gualtieri 2016）。但是，要替代Kerr黑洞模型，需要满足非常高的标准（Herdeiro 2023）：
- 需要与Kerr黑洞有显著的不同；
- 需要出现在一个至少与GR一样有合理动机或自洽的理论中；
- 需要能够普遍替代各种黑洞形成机制（如恒星引力坍缩）的自然产物；
- 需要足够稳定，以至于在合理的观测时间跨度内人类无法区分；
- 需要能够用单一模型描述所有质量的黑洞。到目前为止，似乎还没有已知模型能够满足所有这些条件。有关这些问题的更多讨论，我们参考Cardoso和Gualtieri（2016）。

一些理论预测由于新基本场的存在，可能存在具有特定质量的替代黑洞模型（Herdeiro和Radu 2015；Herdeiro 2023；Cardoso和Gualtieri 2016；Xu等人2023b）。对于这些情况，测试Kerr假设不仅有助于验证GR，还有助于揭示某些质量尺度上可能存在的新基本场。此外，为了正确测试Kerr假设，有必要研究质量差异巨大的黑洞。在这方面，考虑TianQin和GW探测器在其他频段的目标结果是很重要的，例如第三代地面探测器（Evans等人2021；Maggiore等人2020；Branchesi等人2023）。

可以通过不同的方法使用引力波（GWs）对Kerr假设进行高精度测试。我们在这里讨论两种方法：检测黑洞的ringdown信号（Dreyer等人2004）和测量黑洞的多极矩（Ryan 1995）。

**使用ringdown信号测试Kerr假设**
在双黑洞系统合并后，残余物从一个高度扰动的状态转变为完美的Kerr黑洞，发出随时间衰减的ringdown信号。ringdown信号可以通过黑洞扰动理论和一系列QNMs（quadrupole moments）来建模。如果GR和Kerr假设是正确的，QNMs的振荡频率和衰减时间完全由最终Kerr黑洞的质量和自旋决定。可以通过测量主导QNMs的频率和衰减时间，以及其中一个次级模式的频率或衰减时间来测试Kerr假设。ringdown波形可以按照（4）中的方式展开。为了测试Kerr假设，振荡频率\(\omega _{lmn}\)和衰减时间\(\tau _{lmn}\)可以参数化为：
$$\begin{aligned} \omega _{lmn}=\omega _{lmn}^\textrm{GR}(1+\delta \omega _{lmn}),\quad \tau _{lmn}=\tau _{lmn}^\textrm{GR}(1+\delta \tau _{lmn}), \end{aligned}$$
（11）
其中\(\omega _{lmn}^\textrm{GR}\)和\(\tau _{lmn}^\textrm{GR}\)是由GR预测的频率和衰减时间，\(\delta \omega _{lmn}\)和\(\delta \tau _{lmn}\)表示与GR的偏差。如果GR是正确的，那么\(\delta \omega _{lmn}=\delta \tau _{lmn}=0\)。由于缺乏关于\(\omega _{lmn}\)、\(\tau _{lmn}\)与黑洞参数之间关系的解析结果，所有偏离GR的参数\(\delta \omega _{lmn}\)和\(\delta \tau _{lmn}\)通常被视为彼此独立的常数，不依赖于源参数。

对于地面GW探测器，有证据表明事件GW150914中至少存在一个泛音（Isi等人2019）。通过贝叶斯分析，作者发现\(\delta f_{221}=-0.05\pm 0.2\)（68%的可信区间），这在20%的水平上与Kerr假设（\(\delta f_{221}=0\)）一致。然而，由于当前地面探测器的灵敏度有限，以及数据分析中的详细处理（包括采样率和探测器噪声估计等），泛音的存在仍然存在争议（Carullo等人2019；Wang和Shao 2023；Wang等人2024b）。

未来的空间GW探测器和第三代地面探测器预计能够实现某些GW信号的高SNR，并能检测到一系列更高阶的QNMs。Berti等人（2006）首次对LISA解析三个次级QNMs的能力进行了定量评估。Berti等人（2016）估计了空间探测器和第三代地面探测器能够解析至少两个模式的数量。Gossan等人（2012）研究了eLISA（Amaro-Seoane等人2013）和ET（Punturo等人2010a）测试Kerr假设的前景。Bhagwat等人（2020）研究了ringdown SNR和振幅比对次级模式可检测性的影响。Gu等人（2024）给出了对当前GW事件中带电黑洞的测试以及未来地面探测器的前景。

Shi等人（2019）研究了使用TianQin测试Kerr假设的前景。计算基于（4）中定义的ringdown信号的FIM分析。图7展示了各种源参数对各种偏差参数约束的预期影响。在所有与衰减时间相关的参数中，\(\delta \tau _{220}\)的约束最为严格，因此总是可以选择\(\delta \tau _{220}\)和\(\delta \omega _{220}\)这对参数来推断GR预测的黑洞质量和自旋。在其他六个参数中，\(\delta \omega _{330}\)在绝大多数情况下约束最为严格。因此，\(\delta \omega _{220}\)、\(\delta \tau _{220}\)和\(\delta \omega _{330}\)的组合为绝大多数情况提供了最严格的测试。

图7
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对各种偏离GR的参数的预测约束。对于左侧的图，对称质量比固定为\(\nu =2/9\)。对于右侧的图，黑洞质量固定为\(M=10^6\,{\textrm{M}_\odot }\)。图中使用的其他参数包括：\(D_L=15\) Gpc，\(j=0.76\)，和\(\chi _{eff}=-0.3\)。
图7左侧的图表显示，黑洞质量通过振幅和可检测频率范围两种方式影响约束。对于质量低于大约\(2\times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }\)的情况，随着质量的增加振幅增大，因此对于更大的质量约束变得更强。但当黑洞质量超过大约\(4\times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }\)时，GW信号的主要部分开始偏离TianQin的敏感范围，随着黑洞质量的增加，约束开始变差。从图7的右侧可以看出，当对称质量比减小时，约束会变得更差。这是因为在固定黑洞质量的情况下，较大质量比的辐射能量变小。当对称质量比趋于1/4时，（3, 3, 0）模式的振幅趋于零，因此当黑洞质量相等时，（3, 3, 0）模式的分辨率将最差。因此，在这种情况下，我们应该使用\(\delta \omega _{210}\)或\(\delta \omega _{440}\)来进行测试。

TianQin在其5年的运行时间内有潜力检测到许多MBHB事件（Wang等人2019a）。通过叠加多个ringdown信号，可以显著改善对GR偏差参数的约束。表5估计了TianQin可以检测到的所有MBHB事件的组合约束。使用了三种天体物理种群模型，pop III、Q3_d和Q3_nod。每种种群模型生成了一千组数据，结果是这些数据集的平均值。SNR阈值设定为8。可以看出，选定的偏差参数总是可以限制在1.5%的水平或更好，有些甚至可以达到\(\mathcal{O}(10^{-4})\)的水平。

表5 选定的GR偏差参数的组合约束
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考虑到TianQin在TianQin + LISA这样的网络中运行的情况，我们在图8中绘制了根据TianQin、LISA和TianQin+LISA的检测结果预测的\(\delta \omega _{220}\)和\(\delta \tau _{220}\)的约束。可以看出，对于图中使用的参数，当最终黑洞质量\(M\lesssim 1.5\times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }\)时，TianQin的精度优于LISA，而对于更重的源，LISA的精度更高。当TianQin和LISA在测量GR偏差参数时精度几乎相等时，TianQin + LISA的改进最为显著。

图8
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作为最终黑洞质量的函数，对\(\delta \omega _{220}\)和\(\delta \tau _{220}\)的预测约束。图中使用的其他参数包括：\(D_L=15\) Gpc，\(\iota =\pi /3\)，\(q=2\)，\(j=0.76\)，和\(\chi _{eff}=-0.3\)。
LISA的背景噪声未被考虑。

**通过测量黑洞的四极矩来测试Kerr假设**
对于一个孤立的质量大的物体，其引力场可以通过求和一系列多极矩来表征。在Kerr黑洞的情况下，其更高的多极矩完全由其质量M和自旋S决定：
$$\begin{aligned} \mathcal{M}_l+i\mathcal{S}_l=M(ia)^l,\quad l=0,1,2,\cdots , \end{aligned}$$
（12）
其中\(a\equiv S/M\)是自旋参数，\(\mathcal{M}_l\)和\(\mathcal{S}_l\)分别是质量和电流矩，\(\mathcal{M}_0=M\)和\(\mathcal{S}_1=Ma=S\)。注意\(\mathcal{M}_{2m+1}=\mathcal{S}_{2m}=0,\;m=0,1,2,\cdots \,\)。
为了测试Kerr假设，除了测量黑洞的质量和角动量外，还可以测量一个更高阶的多极矩（\(l\ge 2\)）。虽然可以使用任何更高阶的多极矩，但四极矩通常是测量最方便的。因此，测试Kerr假设主要是通过检查黑洞的质量、自旋和四极矩之间的一致性来进行的。可以通过将四极矩视为一个额外的参数来参数化这样的测试，\(Q=-(1+\delta \kappa ) a^2 M\)，其中 \(\delta \kappa \) 是一个依赖于物体内部结构的偏差参数。对于广义相对论（GR）中的克尔黑洞，\(\delta \kappa =0\)。对于中子星，\(\delta \kappa \) 的值可以在1到13之间变化（Pappas和Apostolatos 2012）。对于玻色子星，\(\delta \kappa \) 的范围大约是10到150（Herdeiro和Radu 2014；Baumann等人2019）。对于一些其他类似黑洞的天体，如引力星，其值可以是负的。\(\delta \kappa \) 的存在会对引力波（GW）波形产生影响。由于用于计算波形的方法不同，后续讨论将分为两种情况：低质量比系统（\(q=m_1/m_2\in (1,15)\）和高质量比系统（\(q>10^4\)）。对于低质量比系统，可以通过使用后牛顿（Post-Newtonian，PN）近似来计算由 \(\delta \kappa \) 引入的螺旋阶段相位变形。正如Krishnendu（Krishnendu等人2017）指出的，由 \(\delta \kappa \) 引入的主要修正发生在2PN阶，相位修正为：$$\begin{aligned} \delta \Psi =\frac{75}{64}\frac{\delta \kappa _1 a_1^2+\delta \kappa _2 a_2^2}{m_1m_2}(\pi M_{tot}f)^{-1/3}. \end{aligned}$$ （13）这里，\(a_1\) 和 \(a_2\) 是双星系统的两个组成部分的自旋参数，\(m_1\) 和 \(m_2\) 是它们的质量，\(\delta \kappa _1\) 和 \(\delta \kappa _2\) 是它们的偏差参数。对于地面探测器，已经发现与黑洞相比，奇异致密天体（ECOs）的数据支持较少，\(\delta \kappa _1=\delta \kappa _2=\delta \kappa \) 被限制在 \(\mathcal{O}(10^2)\) 的水平上，这是通过使用GWTC-2中的事件得出的（Abbott等人2021c，e）。最近的研究还分析了自旋进动和更高模式对地面探测器测量 \(\delta \kappa \) 的影响（Divyajyoti等人2024）。GWTC事件的联合贝叶斯因子计算结果为，\(\log\mathcal{B} ^\textrm{Kerr}_{\delta \kappa \ne 0}=0.9\) 在GWTC-3中（Abbott等人2021f）和1.1在GWTC-2中（Abbott等人2021c，e）。使用所谓的PSI波形模板（Li和Han 2022，2023），通过两个LIGO & Virgo & KAGRA（LVK）事件限制了与克尔黑洞的偏差（Li等人2024d）。对于基于空间的探测器，预计\(\delta \kappa \)可以被限制在\(\mathcal{O}(0.1)\)的水平上，这是通过LISA和DECIGO可以检测到的双星黑洞子群体得出的（Krishnendu和Yelikar 2020）。图9展示了TianQin使用双中子星（MBHBs）来限制\(\delta \kappa\)的能力。可以看出，对于总质量约为\(M\sim 2\times 10^5\,{\texm{M}_\odot }\)的MBHBs，可以实现对\(\delta \kappa\)的最佳限制，达到\(\delta \kappa \sim \mathcal{O}(10^{-3})\)的水平。还可以看出，高质量比系统可以对\(\delta \kappa\)提供更好的限制，这表明电磁引力波（EMRIs）应该比MBHBs具有更好的限制能力。图9

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假设进行1年的观测，TianQin和MBHBs对\(\delta \kappa\)的预期限制。用于此图的其他参数包括：\(D_L=15\) Gpc，\(\iota =\pi /3\)，\(s_1=0.4\)，和\(s_2=0.2\)。考虑到TianQin在如TianQin+LISA这样的网络中运行的情况，我们在图10中绘制了TianQin、LISA和TianQin + LISA检测中预期的\(\delta \kappa\)的限制。我们看到，在整个考虑的质量范围内，TianQin和LISA对\(\delta \kappa\)的限制精度相当。通常情况下，TianQin在低质量系统中略好，而LISA在高质量系统中略好。估计的\(\delta \kappa\)与最终黑洞质量有复杂的依赖关系。同样，当两个单独探测器的限制精度接近时，TianQin + LISA的改进最为显著。图10

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假设进行1年的观测，作为总质量的函数，对\(\delta \kappa\)的预期限制。用于此图的其他参数包括：\(D_L=15\) Gpc，\(\iota =\pi /3\)，\(q=2\)，\(s_1=0.4\)，和\(s_2=0.2\)。这里没有考虑LISA的背景噪声。

对于EMRIs，非零的\(\delta \kappa\)将导致恒星质量致密天体轨道的修正，从而引起辐射的GW波形的修正。Ryan率先使用LISA从EMRI信号中提取关于克尔多极矩的信息，假设致密恒星质量天体的轨道在赤道平面上是圆形的（Ryan 1995，1997）。在使用解析修补方法（Barack和Cutler 2004）计算EMRI波形时，对恒星质量天体的PN轨道的主要\(\delta \kappa\)修正是：$$\begin{aligned} \delta \frac{d\nu }{dt}= & +(2\pi M\nu )\delta \kappa \frac{a^2}{M^2}(1-e^2)^{-1}\left({\frac{33}{16}+\frac{359}{32}e^2-\frac{527}{96}\sin ^2 \lambda}\right),\nonumber \\ \delta \frac{d\gamma }{dt}= & +\frac{3}{2}\nu \delta \kappa \frac{a^2}{M^2}(2\pi M\nu )^{4/3}(1-e^2)^{-2}(5\cos \lambda -1),\nonumber \\ \delta \frac{d \alpha }{dt}= & -3\pi \nu \delta \kappa \frac{a^2}{M^2} (2\pi M\nu )^{4/3}(1-e^2)^{-2}\cos \lambda , \end{aligned}$$ （14）其中M和a分别是中心黑洞的质量和旋转参数，其他参数的定义可以在Barack和Cutler（2004）中找到。通过用四极矩修正\(Q=-Ma^2 +\Delta Q\)修改解析修补EMRI波形，发现LISA可以将\(\Delta \mathcal{Q}\equiv \Delta Q/M^3=-\delta \kappa a^2/M^2\)限制在\(\mathcal{O}(10^{-4})\)的水平（Barack和Cutler 2007）。Babak等人（2017）还进行了更详细的研究，探讨了LISA如何使用12个EMRI群体模型来限制非克尔四极矩。Zi等人（2021）研究了使用TianQin通过EMRIs测量克尔四极矩的前景。主要结果如图11所示。可以看出，TianQin可以使用EMRIs将\(\Delta \mathcal{Q}\)限制在\(\mathcal{O}(10^{-6})\)的水平。与质量相比，中心黑洞的自旋对\(\Delta \mathcal{Q}\)的限制影响更大，自旋越大，限制越强。图11

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假设进行5年的任务，使用TianQin和EMRIs对\(\Delta \mathcal{Q}\)的预期限制。用于此图的其他参数包括：\(D_L=2\) Gpc，\(m_2=18\,{\texm{M}_\odot }\)，\(\iota =\pi /3\)，和\(e=0.2\)（Zi等人2021）

2.2 超出广义相对论（GR）效应的可能迹象

从理论上讲，真实引力与GR之间的差异体现在偏离GR的不同方式上。在这方面，有三个基本问题需要探讨：物质如何受到引力的影响？引力是如何由物质产生的？引力场的自相互作用是什么？第一个问题的锚点是等效原理（EEP），它要求弱等效原理（WEP）、局部洛伦兹不变性（LLI）和局部位置不变性（LPI）对所有非引力实验都成立。EEP规定引力和物质之间的耦合最小，似乎只有“度规引力理论”能够完全体现EEP，其中与对称度规的最小耦合是所有与物质相互作用的唯一来源。所有这些理论中也隐含了微分同胚不变性（DI）。关于EEP的更多讨论，我们参考Will（2014）。EEP没有说明引力应该如何由物质产生，也没有说明度规的自相互作用，它还允许度规与在Jordan框架中不直接与物质相互作用的额外引力场耦合。这些正是第二个和第三个问题的主题。

对于第二个问题，人们通常假设物质的应力能量张量\(T_{\mu \nu }\)是协变守恒的，其对爱因斯坦方程的贡献是线性的。因此，偏离GR要么是放弃\(T_{\mu \nu }\)的协变守恒，要么是\(T_{\mu \nu }\)对爱因斯坦方程有非线性贡献。Pani等人（2013）提供了一个例子。

第三个问题的锚点包括两个方面，即SEP和Lovelock定理。SEP要求WEP、LLI和LPI对所有实验都成立，包括那些涉及显著引力自能的实验（Baessler等人1999）。如果SEP成立，那么度规是宇宙中唯一的引力场（Will 2014），但度规的自相互作用可能不像GR中那么简单。Lovelock定理（Lovelock 1971，1972；Sotiriou 2015）规定了GR中使用的特定类型度规自相互作用的条件，可以表述为：在四维时空中，爱因斯坦张量和度规是仅用度规及其前两个导数构建的两个二阶且无散度的张量。

鉴于这些，可能的偏离GR的方向包括：违反SEP，例如通过将度规与额外的引力场耦合。规避Lovelock定理（Sotiriou 2015；Berti等人2015），例如涉及更高阶导数或更高维度的时空。后者实际上会在四维时空中引入额外的引力场，可以被视为违反SEP。违反EEP，例如通过非度规引力理论或度规与物质之间的非最小耦合违反WEP，或者通过依赖于位置的耦合和物理常数违反LPI，或者通过优先的层化违反LLI。由于EEP意味着DI，违反后者也可以被视为违反EEP。给引力子赋予质量就是这个方向的一个例子。引入\(T_{\mu \nu }\)对爱因斯坦方程的非线性贡献，或者考虑不是协变守恒的物质贡献。表6列出了一些示例MGTs，以说明偏离GR的不同方式。该表绝不是完整的，更全面的综述可以在例如（Berti等人2015；Clifton等人2012）中找到。

表6 不同的偏离GR的方式

如图1所示，引力波（GWs）的优势在于能够在强场条件下探测引力，而像TianQin这样的基于空间的探测器相对于基于地面的探测器的优势在于能够探测更重的源。更重的源通常意味着更强的信号，这可以揭示更多的细节。从MGTs预测的GWs将在多个方面与GR的不同，包括：具有不同数量的传播自由度；具有不同的传播特性；具有不同的动态产生特性。一些示例MGTs预测的GW特性列在表7中。表7中列出了来自某些示例MGTs的GWs的不同预测。对于传播，只给出了低能量和平坦背景下的\(+,\times \)模式的结果，参考文献与极化部分的相同。

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在本小节中，我们讨论了TianQin如何利用所有这些特性来搜索超出GR效应的可能迹象。

2.2.1 引力波极化

小节协调人：Jian-dong Zhang

在GR中，引力波只有两种张量极化模式。但对于一般的引力度规理论，度规张量有6个传播自由度，因此最多可能存在6种极化模式（Eardley等人1973a，b）。更明确地说，有两种张量模式，即(\(+\))和交叉(\(\times \))，两种矢量模式，x（x）和y（y），以及两种标量模式，横向呼吸（b）和纵向（l）。然后，空间-空间度规扰动的一般公式可以写为：$$\begin{aligned} h_{ij}=\left( \begin{matrix} h_++h_b & h_\times & h_x\\ h_\times & -h_++h_b & h_y\\ h_x & h_y & h_l \end{matrix} \right) . \end{aligned}$$ （15）这些额外的极化模式可以通过度规与额外引力场之间的耦合来激发。例如，在无质量标量-张量理论中，引力波有一个额外的标量呼吸模式。在一般的标量-张量理论（Will 2014；Maggiore和Nicolis 2000；Capozziello和Corda 2006）以及f(R)理论（Rizwana Kausar等人2016；Gong和Hou 2018；Katsuragawa等人2019；Moretti等人2019）中，引力波（GWs）具有两种标量模式：呼吸模式和经度模式。Khlopunov和Gal’tsov（2022）已经证明了，在一个奇数维度的3-膜时空中，来自双星系统的引力波可以产生额外的极化模式，这与惠更斯原理的违反有关，并且膜上的观察者有可能探测到其中的一种模式，即呼吸模式。在许多具有质量标量模式的理论中，呼吸模式和经度模式之间存在模式混合（Liang等人2017；Hou等人2018；Gong等人2018a）。在爱因斯坦-以太理论（Gong等人2018a；Zhang等人2020a）、TeVeS理论（Sagi 2010）和双度量理论（de Paula等人2004）等理论中，所有六种极化模式都可能存在。不同的极化模式具有不同的传播特性。在存在CPT违反的情况下，即使是两种张量模式也可能具有双折射性，即它们可以形成左旋和右旋极化模式，这些模式的传播方式不同（Alexander和Yunes 2009；Kostelecky和Mewes 2016；Shao 2020；Zhao等人2020a；Haegel等人2023；Califano等人2024；O’Neal-Ault等人2021；Wang 2020；Wang和Zhao 2020；Zhao等人2022）。不同类型的极化也可能具有不同的质量，从而导致不同的传播速度。更多示例可以在表7中找到。为了探测额外的极化模式，可以使用包含某些特定理论中额外极化模式贡献的波形（Will 1994；Chatziioannou等人2012；Sennett等人2016；Liang等人2022a），或者使用与理论无关的方法，例如使用“零流”方法或参数化波形模型。零流方法依赖于多个探测器来消除数据中的张量模式（Guersel和Tinto 1989；Wen和Schutz 2005；Wen 2008；Chatterji等人2006；Hagihara等人2018, 2019, 2020；Takeda等人2018；Hu等人2024a；Liang等人2024a）。因此，如果想使用单个探测器（如TianQin）来探测额外的模式，则需要对波形进行假设。一般来说，探测到的信号是所有极化响应的线性组合：$$\begin{aligned} h(t)=\sum _P F_P h_P(t), \end{aligned}$$ （16）其中P代表不同的极化，\(h_P(t)\)是每种极化的波形，\(F_P\)是天线模式函数（Poisson和Will 2014），它描述了探测器对极化P的响应。在探测器框架中，每种极化的天线模式函数为：$$\begin{aligned} F_+= & \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{1 + \cos ^2\bar{\theta }}{2} \cos 2\bar{\phi } \cos 2\bar{\psi } - \cos \bar{\theta }\sin 2\bar{\phi } \sin 2\bar{\psi } \right) , \end{aligned}$$ （17）$$\begin{aligned} F_\times= & \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{1 + \cos ^2\bar{\theta }}{2} \cos 2\bar{\phi } \sin 2\bar{\psi } + \cos \bar{\theta }\sin 2\bar{\phi } \cos 2\bar{\psi } \right) ,\end{aligned}$$ （18）$$\begin{aligned} F_x= & -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \bar{\theta } \left( \cos \bar{\theta }\cos 2\bar{\phi } \cos \bar{\psi } - \sin 2\bar{\phi } \sin \bar{\psi } \right) ,\end{aligned}$$ （19）$$\begin{aligned} F_y= & -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \bar{\theta } \left( \cos \bar{\theta }\cos 2\bar{\phi } \sin \bar{\psi } + \sin 2\bar{\phi } \cos \bar{\psi } \right) ,\end{aligned}$$ （20）$$\begin{aligned} F_b= & -F_l= - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin ^2\bar{\theta }\cos 2\bar{\phi }. \end{aligned}$$ （21）其中角度\(\bar{\theta }\)、\(\bar{\phi }\)和\(\bar{\psi }\)是在探测器框架中定义的，更多细节可以在Xie等人（2022）中找到。最后一个等式意味着呼吸模式和经度模式的响应是简并的，$$\begin{aligned} F_bh_b(t)+F_lh_l(t)=F_b(h_b(t)-h_l(t))=F_bh_s(t). \end{aligned}$$ （22）在广义相对论（GR）中，对于处于圆轨道上的双星系统，主要贡献来自四极辐射，$$\begin{aligned} h_{+}(t)= & \mathcal{A}[(1+\cos ^2{\iota })/2] \cos (\Phi ),\end{aligned}$$ （23）$$\begin{aligned} h_{\times }(t)= & \mathcal{A}\cos \iota \sin (\Phi ), \end{aligned}$$ （24）其中\(\mathcal{A}=\frac{4\mathcal{M}}{D_L}(\pi \mathcal{M}f)^{2/3}\)是振幅，\(\mathcal{M}=(m_1m_2)^{3/5}/(m_2+m_2)^{1/5}\)是啁啾质量，\(m_1\)和\(m_2\)是组成部分的质量，\(D_L\)是光度距离，\(\iota \)是轨道倾角。对于位于日心黄道坐标系中方向\((\theta _s, \phi _s)\)的引力波源，引力波相位\(\Phi \)由下式给出$$\begin{aligned} \Phi =2\pi f t+2\pi f R \sin \theta _s \cos (2\pi f_m t-\phi _s+\phi _m)+\phi _0, \end{aligned}$$ （25）其中第二项是由于探测器的运动。额外极化模式的主要贡献是（Will 2014），$$\begin{aligned} h_{x}(t)= & \mathcal{A}_v \sin (\Phi /2),\quad h_{y}(t)=\mathcal{A}_v \cos \iota \cos (\Phi /2),\end{aligned}$$ （26）$$\begin{aligned} h_{b}(t)= & \mathcal{A}_b \sin \iota \cos (\Phi /2),\quad h_{l}(t)=\mathcal{A}_l \sin \iota \cos (\Phi /2). \end{aligned}$$ （27）注意，频率是张量模式的一半，由于旋转对称性，两种矢量模式的振幅相同。额外模式的次要贡献是，$$\begin{aligned} h_{x}(t)= & \mathcal{A}^{\prime }_{v} \sin \iota \sin (\Phi ),\quad h_{y}(t)=\mathcal{A}^{\prime }_{v} \sin \iota \cos \iota \cos (\Phi ),\end{aligned}$$ （28）$$\begin{aligned} h_{b}(t)= & \mathcal{A}^{\prime }_{b} \sin ^2\iota \cos (\Phi ),\quad h_{l}(t)=\mathcal{A}^{\prime }_{l} \sin ^2\iota \cos (\Phi ). \end{aligned}$$ （29）除了对波形有贡献外，额外模式还会通过带走额外的能量来修正张量模式的相位演化。对于由地面探测器（如LIGO和Virgo）探测到的引力波事件，贝叶斯模型选择分析表明，数据支持信号仅由张量模式组成的假设，而不是纯矢量或纯标量模式（Abbott等人2017a, 2019e）。最佳结果来自GW170817，使用光学观测的定位信息，得到的贝叶斯因子大于\(10^{20}\)（Abbott等人2019d）。零流方法已用于O2、O3a和O3b事件，所有数据都与纯张量模式的假设一致（Pang等人2020；Wong等人2021）。利用GW170817的电磁观测位置信息，获得了矢量模式（Hagihara等人2019）和标量模式（Takeda等人2022）的振幅的有意义上限。人们还可以使用脉冲星计时阵列（PTA）来搜索额外的极化模式（da Silva Alves和Tinto 2011；Lee等人2008；Niu和Zhao 2019；O’Beirne等人2019；Bo?tier等人2020；Liang等人2024a）。最初在Arzoumanian等人（2020）的12.5年脉冲星计时数据中发现了一个纯呼吸模式的迹象（Chen等人2021b）。然而，这一结论似乎与目录中的一个单独脉冲星PSR J0030+0451密切相关，如果从数据集中移除这个脉冲星，横向标量模式的迹象就不再显著（Arzoumanian等人2021）。最近对15年NANOGrav数据集的分析（Chen等人2024b）得出张量模式相对于横向标量模式的贝叶斯因子为2.5。对于基于空间的探测器，TianQin和LISA预计可以探测到大约\(10^4\)对引力波源（Lau等人2020；Huang等人2020）。这些引力波源发出的引力波可以被认为是准单色信号（Burdge等人2019）。由于波形简单，这些引力波源是搜索额外极化模式的理想候选者。Xie等人（2022）研究了使用TianQin和引力波源信号搜索额外极化模式的前景。探测能力依赖于引力波的频率、振幅和观测时间，这相对简单。然而，由于TianQin的轨道平面在空间中的方向几乎固定，因此响应和多普勒效应显著依赖于源的空间方向。TianQin探测主要辐射的能力在图12中进行了说明。结果以振幅比\(\alpha _{v,s}\equiv \mathcal{A}_{v,s}/\mathcal{A}\)的形式呈现。由于天线模式函数（21）在\(\bar{\theta }=0,\pi \)时消失，TianQin无法探测到位于J0806及其对跖点方向的矢量或标量模式。对于位于其他方向的源，\(\alpha _v\)的最佳精度可以达到2%的水平，而\(\alpha _s\)的精度可以达到5%的水平。图12这幅图像的替代文本可能是使用AI生成的。完整尺寸的图像假设进行1年观测，TianQin可以实现的\(\alpha _v\)和\(\alpha _s\)的预期精度。红色（白色）点代表J0806（银河中心）。其他参数：\(f=0.02\) Hz，\(\mathcal{A}=10^{-22}\)，\(\iota =\pi /4\)，\(\psi _s=\pi /4\)（Xie等人2022）。TianQin探测次要辐射的能力比探测主要辐射的能力差几倍。数值计算还表明，角度\(\theta _s\)对结果有很强的影响。如果将其视为未知变量，则除了在\(\bar{\theta }=0,\pi \)方向上的发散外，还会在黄道平面上产生发散。对于标量模式，探测器平面上也会产生发散。如果将\(\theta _s\)视为已知参数，则可以消除黄道平面上的发散。在预计将被TianQin探测到的数千个引力波源中，一些已经通过电磁观测被探测到（Huang等人2020）。这些被称为VBs。对于VBs，可以通过电磁观测确定其位置和频率，其位置的准确性远高于引力波观测。因此，角度位置参数（\(\theta _s\)、\(\phi _s\)）可以在FIM分析中保持固定。如上所述，这将有助于探测四极模式。使用TianQin的14个VBs来搜索额外极化模式的前景在表8中列出。J0806对此没有帮助，因为它直接面对探测器，因此相关额外极化的响应为零。相比之下，ZTF J1539在所有VBs中表现最好。但由于它位于探测器平面附近，因此标量四极模式的结果不太理想。作为比较，表8还给出了LISA（假设4年任务）和TianQin + LISA（假设4年操作时间重叠）的预期约束。由于LISA对低频信号具有更好的灵敏度，其预期精度通常比TianQin好几倍。对于表中的大多数VBs，TianQin + LISA可以进一步提高几个百分点的精度。表8 假设5年任务时，TianQin的一些VBs对额外极化模式的预期约束。MBHB信号也可以用来约束额外极化模式，并且必须在波形中考虑对相位演化的修正。通过贝叶斯方法的初步研究，TianQin对振幅的约束约为几个百分点。Hu等人（2023, 2024b）研究了使用随机引力波背景（SGWB）来约束额外极化模式的可能性。2.2.2 引力波传播小节协调员：Changfu Shi在广义相对论中，引力波以光速传播。但是，如表7所示，即使在平坦背景下，MGTs中的引力波的传播速度也可能不同于光速。在存在引力波事件的电磁对应体的情况下，可以直接比较引力波和光速。例如，对GW170817的多信使观测（Abbott等人2017e, d）已被用来排除一类MGTs（Baker等人2017；Creminelli和Vernizzi 2017；Sakstein和Jain 2017；Ezquiaga和Zumalacárregui 2017）。MGTs还会导致引力波的非平凡色散关系。一个有用的参数化方案是$$\begin{aligned} E^2=p^2+\mathbb {A}_\alpha p^\alpha , \end{aligned}$$（30）其中E和p分别是引力子的能量和动量。\(\alpha \)是一个幂指数，\(\mathbb {A}_\alpha \)是相应的修改幅度。在广义相对论中，\(\mathbb {A}_\alpha =0\)。对于\(\alpha =0\)，通常写作\(\mathbb {A}_0=m_g^2\)，其中\(m_g\)对应于引力子质量。不同的MGT对α和A_α有不同的取值。一些例子列在表9中。请注意，上述方程假设存在一个引力波（GWs）各向同性传播的参考系，但在违反线性引力（LLI）的情况下，这样的参考系可能不存在（Kostelecky 2004），此时将发生各向异性传播（Shao 2020）。表9中列出了一些具有修改后的引力波色散关系的MGT示例（Yunes等人，2016年）。非平凡的色散关系可能导致引力波的相位差。例如，对于质量较大的引力子，不同频率下的传播速度存在差异，从而导致检测和发射之间的相位差（Will 1998）。假设一个源同时发射两个频率分别为f_e和f_e'的引力子，时间间隔为Δte，那么在通过平坦的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克（FLRW）宇宙空间传播后，到达时间的分离为（假设A_α=0）：
Δta=(1+z)(Δte+D0/(2λg^2))(1/f_e^2-1/f_e')，
其中λg=Ee/(mgf_e)=Ee'(mgf_e')是引力子的康普顿波长，z是宇宙学红移，D0与光度距离有关。Δte和Δta之间的差异会导致引力波的相位差：
ΔΦ=-π^2MΔ0/λg^2(πMf)^-1，
其中M是双星系统的啁啾质量。与一般修改后的色散关系（31）相对应的相位差可以在Mirshekari等人（2012年）的研究中找到。通过对第一个引力波事件GW150914的数据进行贝叶斯分析，LVK合作组在90%的置信水平下对引力子质量设定了一个限制，m_g≤1.2×10^-22 eV（Abbott等人，2016c）。对GWTC-1（Abbott等人，2019b）、GWTC-2（Abbott等人，2021c）和GWTC-3（Abbott等人，2023b）数据的分析将这一限制降低到m_g≤1.27×10^-23 eV，这比太阳系的限制要好大约2.5个数量级（Bernus等人，2020），并且比双星脉冲星观测的限制要好2到3个数量级（Finn和Sutton 2002；Miao等人，2019）。当前对A_α的取值范围为α∈[0,4]，可以在Abbott等人（2019e, 2021e, 2021f）的研究中找到。通过对脉冲星计时阵列数据（即NANOGrav（Agazie等人，2023b）和CPTA（Xu等人，2023a）的分析，在90%的置信水平下对引力子质量设定了新的限制，即m_g<8.6×10^-24 eV和m_g<3.8×10^-23 eV（Wang和Zhao 2024）。基于空间的引力波探测器预计在探测引力波的传播特性方面表现得更好。已经证明，激光干涉仪空间天线（LISA）通过结合大约400个信噪比大于25的引力波事件，有潜力将引力子质量探测到m_g < O(10^-24 eV的水平（Cooray和Seto 2004）。利用单个大质量双黑洞（MBHB）事件的螺旋信号，已经证明LISA可以将引力子质量探测到m_g < O(10^-25 eV的水平，而50个事件的联合限制大约要好十倍（Berti等人，2011）。Samajdar和Arun（2017）研究了使用LISA、ET和CE探测一般修改后的色散关系的前景。研究发现，对于α≤1的情况，LISA的表现优于地面探测器，而ET和CE预计可以将A_α的当前限制提高一个数量级。图13展示了使用TianQin探测引力子质量的前景。可以看出，通过选择更大的总质量和较小的不对称组分质量，可以获得更好的探测能力。根据所选参数，TianQin可以将引力子的康普顿波长探测到优于O(10^17) km的水平，相当于m_g< O(10^-27) eV，从而将当前对引力子质量的限制提高四个数量级。还可以看出，如果固定源参考系中的总质量，那么λg的精度随D_L的变化不会非常显著。这是因为增加光度距离一方面会减弱信号，但另一方面也会增加相位差。图13的替代文本可能是使用AI生成的。图13使用TianQin探测引力子质量的预期精度，假设观测时间为1年。（左）λg依赖于总红移质量M_z和对称质量比q，光度距离D_L=15 Gpc；（右）λg依赖于D_L，η=0.22，图中标示的质量是在源参考系中测量的。两个图中的无量纲自旋参数分别为s1=0.4和s2=0.2。考虑到TianQin在TianQin+LISA这样的网络中运行的情况，我们在图14中绘制了TianQin、LISA和TianQin+LISA的探测对λg的预期约束。可以看出，在整个质量范围内，TianQin和LISA对λg的约束精度相当。对于低质量系统，TianQin略好，而对于高质量系统，LISA略好。估计的λg约束对最终黑洞质量有复杂的依赖性。当TianQin和LISA的约束接近时，TianQin+LISA的约束可以有显著的改进。图14的替代文本可能是使用AI生成的。图14假设为期一年的任务，预测了λg作为总质量的函数的限制。用于此图的其他参数包括：D_L=15 Gpc，η=π/3，q=2，s1=0.4，s2=0.2。图中没有考虑LISA的背景噪声。表10展示了使用TianQin进行一年观测探测一般修改后的色散关系的前景，结果来自一个示例MBHB事件，其中M_z=10^6 M_☉，η=0.22，D_L=15 Gpc，s1=0.4和s2=0.2。可以看出，TianQin可以将当前对A_0、A_0.5和A_1的限制分别提高大约8个、5个和3个数量级。对于α>1.5的情况，TianQin对当前的限制改进不大。表10使用TianQin限制A_α的前景。2.2.3 引力波生成小节协调人：Changfu Shi黑洞是测试广义相对论（GR）的理想实验室，因为它们可以提供强场条件，并且受环境影响较小，而这种影响通常会影响其他天体物理系统。黑洞双星并合的演化可以分为三个阶段，即螺旋阶段、合并阶段和ringdown阶段。在螺旋阶段发射的引力波可以使用PN近似进行准确建模，特别是对于组分质量相当的系统。例如，在GR中，频域中的波形可以写为（Yunes和Pretorius 2009）：h_GR(f)=A(f)e^{iψ(f)}，ψ(f)=2πt_c +φ_c+Σ_k=0^∞ φ_k^{PN} u^(k-5)/3，其中f是频率，A(f)是振幅，t_c和φ_c分别是并合时间和相位，u=(πMf)^1/3是一个特征速度，M=η^3/5M是啁啾质量，M=m1+m2是总质量，η=m1m2/(m1+m2)^2是对称质量比，φ_PN_k是(k/2) PN阶的相位系数。注意，φ_PN_k完全由双黑洞系统的源参数决定（Blanchet 2002）。使用黑洞双星的螺旋信号测试GR的开创性工作可以在Will（1994）中找到。使用电磁引力波（EMRIs）和中等质量比并合（IMRIs）的信号测试GR的开创性研究可以在Ryan（1995, 1997）、Scharre和Will（2002）中找到。不同的MGT将对（33）有不同的修正。已经开发了ppE框架，以便对可能的GR偏差进行理论无关的探测（Berti等人，2005；Arun等人，2006a, b；Yunes和Pretorius 2009）。ppE的基本思想是关注PN波形的主要PN阶修正，h_ppE(f)=h_GR(f)(1+αu^a)e^{iβu^b}，其中α和β是ppE参数，在GR中α=β=0，a和b是PN阶参数，b=k-5，a=b+5。自从Yunes和Pretorius（2009）的初步研究以来，该框架已经扩展到包括额外的极化模式（Chatziioannou等人，2012）、时域波形（Huwyler等人，2015a）、偏心率（Loutrel等人，2014）和环境效应（Cardoso和Maselli 2020）。可以通过计算双星系统轨道演化的修正来找到任何给定MGT的ppE参数（Tahura和Yagi 2018）。使用这种方法，已经为一系列理论模型确定了ppE参数，包括Brans-Dicke引力（Zhang等人，2017b）、筛选后的修改引力（Zhang等人，2017a）、违反宇称的引力（Zhao等人，2020b）、违反洛伦兹的引力（Hansen等人，2015b）、非交换引力（NCG）（Kobakhidze等人，2016b）和二次修改引力（Yagi等人，2012）。有关Cornish等人（2011）对LIGO/Virgo和LISA如何限制ppE参数的预测的研究。Huwyler等人（2015b）研究了使用LISA限制ppE相位参数β与MBHB信号的前景。ppE形式主义也已被广泛应用于不同场景，以对特定MGT进行限制，例如Brans-Dicke理论（Zhang等人，2017b）、涉及引力中洛伦兹违反的理论（Hansen等人，2015a）、变化-G理论（Yunes等人，2010）以及预测质量较大的引力子、修改后的色散关系或偶极辐射存在的理论（Keppel和Ajith 2010；Mirshekari等人，2012；Berti等人，2011；Arun 2012；Shao 2020；Zhao等人，2021a；Haegel等人，2023；Wang等人，2022e）。Chamberlain和Yunes（2017）研究了使用LISA、ET和CE限制ppE相位参数β的前景。Tahura和Yagi（2018）还研究了使用TianQin探测引力子质量的前景。图15给出了在不同PN阶下Δβ对总质量M的依赖性。可以看出，总质量对Δβ有很强的影响。例如，在2PN阶，低质量范围内的Δβ变化可以达到三个数量级，而在-4PN阶，高质量范围内的Δβ变化可以超过八个数量级。还可以看出，在较低的PN阶，低质量源对Δβ的约束更严格，而在较高的PN阶，Δβ最好用质量约为O(10^5 M_☉的源来约束。给定PN阶的Δβ值几乎总是低于较高PN阶的Δβ值。唯一的例外是Δβ_0PN，它总是大于Δβ_0.5PN。这是由于与质量参数之间存在强相关性（Chamberlain和Yunes 2017）。图15。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片。在不同PN阶数下，\(\Delta \beta \) 对M的依赖性，假设TianQin进行1年的观测。其他参数：对称质量比\(\eta =0.22\)，以及光度距离\(D_L=\) 500 Mpc（左：低质量区域），15 Gpc（右：高质量区域）（Shi等人2023）。除了理论不可知的方法外，还可以测试特定的MGTs。这里我们考虑以下四个MGTs作为例子：EdGB：EdGB的一阶修正从\(-1\)PN阶开始，对应于\(b=-7\)。ppE相位参数为（Yagi等人2012）$$\begin{aligned} \beta _\textrm{EdGB}=-\frac{5\zeta _\textrm{EdGB}}{7168}\frac{(m_1^2\tilde{s}_2-m_2^2\tilde{s}_1)^2}{M^4\eta ^{18/5}}, \end{aligned}$$ （35）其中\(\zeta _\textrm{EdGB}\equiv 16\pi \bar{\alpha }^2_\textrm{EdGB}/M^4\,\)，\(\bar{\alpha }_\textrm{EdGB}\)是理论中标量场与二次曲率项之间的耦合（Kanti等人1996），\(\tilde{s}_n\equiv 2(\sqrt{1-\chi _n^2}-1+\chi _n^2)/\chi _n^2\,\)，\(n=1,2\)，是第n个分量的自旋依赖标量电荷，\(\chi _n\)是有效自旋。目前对该理论的最佳约束来自GW200115的观测，得到\(\sqrt{|\bar{\alpha }_\textrm{EdGB}|<1.1\) km（Wang等人2023a；Lyu等人2022；Perkins等人2021；Nair等人2019）。dCS：dCS的一阶修正从2PN阶开始，对应于\(b=-1\)。ppE相位参数为（Yagi等人2012；Tahura和Yagi 2018）$$\begin{aligned} \beta _\textrm{dCS}=-\frac{1549225\eta ^{-14/5}\xi _\textrm{dCS}}{11812864}\Big [\Big (1-\frac{16068\eta }{61969}\Big )\chi _a^2 +\Big (1-\frac{231808\eta }{61969}\Big )\chi _s^2-2\delta _m\chi _a\chi _s\Big ], \end{aligned}$$ （36）其中\(\delta _m\equiv (m_1-m_2)/M\,\)，\(\chi _s=(\chi _1+\chi _2)/2\,\)，\(\chi _a=(\chi _1-\chi _2)/2\,\)，\(\xi _\textrm{dCS}\equiv 16\pi \bar{\alpha }^2_\textrm{dCS}/M^4\)，\(\bar{\alpha }_\textrm{dCS}\)是Chern–Simons修正的耦合常数（Jackiw和Pi 2003）。目前对该理论的最佳约束来自中子星系统的观测，得到\(\sqrt{\bar{\alpha }_\textrm{dCS}}<8.5\) km（Silva等人2021）。到目前为止，由于缺乏可行的波形，还无法直接使用GW数据对dCS理论进行有意义的约束。NCG：一类理论试图通过将时空坐标提升为不交换的算符来量化时空（Snyder 1947；Connes 1985；Chamseddine等人1993；Landi 1997）。NCG引入的一阶修正也从2PN阶开始，ppE相位参数为（Kobakhidze等人2016a）：$$\begin{aligned} \beta _\textrm{NC}=-\frac{75}{256}\eta ^{-4/5}(2\eta -1)\tilde{\Lambda }^2, \end{aligned}$$ （37）其中\(\tilde{\Lambda }^2=\theta ^{0i}\theta _{0i}/(l_p^2t_p^2)\)，\(t_p\)和\(l_p\)分别是普朗克时间和普朗克长度，\(\theta ^{\alpha \beta }\)是表征时空坐标非交换性的反对称张量，\([\hat{x}_\mu ,\hat{x}_\nu ]=i\theta _{\mu \nu }\)。目前对\(\tilde{\Lambda }\)的最佳约束来自GW190514，得到\(\sqrt{\tilde{\Lambda }}<3.5\)（Kobakhidze等人2016a）。\(\dot{G}(t)\)：例如在（Dirac 1937）中提出了一个时变引力耦合参数。G(t)的一阶修正从\(-4\)PN阶开始，即\(b=-13\)，ppE相位参数为（Tahura等人2019）：$$\begin{aligned} \beta _{\dot{G}}=-\frac{25}{851968}\dot{G}\eta ^{3/5}[(11+3s_1+3s_2)M -41(s_1m_1+s_2m_2)], \end{aligned}$$ （38）其中\(s_1\)和\(s_2\)是两个双星组分的灵敏度，\(\dot{G}\)是G(t)的时间导数。目前最好的约束来自月球激光测距，得到\(|{\dot{G}/G_0}|<\mathcal{O}(10^{-13})\,\text {year}^{-1}\)（Hofmann等人2010）。对于GWs，GW150914和GW151226分别产生了约束\(|{\dot{G}/G_0}|<7.3\times 10^6\) \(\,\text {year}^{-1}\)和\(|{\dot{G}/G_0}|<2.24\times 10^4\,\text {year}^{-1}\)（Yunes等人2016）。使用TianQin测试这些理论的前景在图16中有所说明。EdGB和dCS在质量不同的低质量双星系统中受到更好的约束。随着检测到总质量低于\(M<\mathcal{O}(10^2\,{\textrm{M}_\odot })\)的SBHBs，预计TianQin可以将EdGB约束到\(\sqrt{|\bar{\alpha }_\textrm{EdGB}|<\mathcal{O}(0.1\,\text {km})\)的水平，这比目前最好的结果好一个数量级。同样，预计TianQin可以将dCS约束到\(\sqrt{\bar{\alpha }_\textrm{dCS}}<\mathcal{O}(1\,\text {km})\)的水平。然而，由于现有波形的可靠性依赖于小耦合极限的假设，这个结果需要进一步审查。NCG和\(\dot{G}\在高质量双星系统中受到更好的约束。在NCG的情况下，预计TianQin可以将理论约束到亚普朗克尺度，并将当前最佳界限提高一个数量级。对于变G理论，预计通过检测总质量从\(10^5\,{\textrm{M}_\odot }\)到\(10^6\,{\textrm{M}_\odot }\)的MBHBs，TianQin可以将理论约束到\(|{\dot{G}/G_0}|<\mathcal{O}(10^{-5})\,\text {year}^{-1}\)的水平。图16。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片。假设进行1年观测，使用TianQin对EdGB、dCS、NCG和\(\dot{G}\)理论参数的预期约束。对于低质量源（\(M<10^3\,{\textrm{M}_\odot }\)，光度距离为\(D_L=500\) Mpc；对于高质量源（\(M>10^3\,{\textrm{M}_\odot }\)，光度距离为\(D_L=15\) Gpc。像TianQin + LISA这样的探测器网络或多波段观测（如TianQin + ET）可以带来很多好处。例如，使用多个探测器进行检测可以帮助打破\(\beta _\textrm{0PN}\)和质量之间的相关性，将\(\beta _\textrm{0PN}\)的测量精度提高大约三个数量级；而TianQin + ET对SBHBs的多波段观测可以将\(\sqrt{|\bar{\alpha }_\textrm{EdGB}|}\)的约束提高大约一个数量级。作为一个具体的例子，图17给出了TianQin、LISA和TianQin + LISA在约束NCG方面的能力比较。可以看出，TianQin和LISA在整个质量范围内对\(\tilde{\Lambda }\)的约束精度相当。估计的\(\tilde{\Lambda }\)约束与总质量有复杂的依赖性，但总体而言，TianQin在低质量系统中略好，而LISA在高质量系统中略好。当TianQin和LISA的约束相当时，TianQin + LISA的约束效果会有显著的提升。有关TianQin + LISA这样的探测器网络和TianQin + ET这样的多波段观测的好处的更多细节，我们参考Shi等人（2023）。图17。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片。假设进行1年观测，对NCG参数\(\tilde{\Lambda }\)的预期约束。用于此图的其他参数为：\(D_L=15\) Gpc，\(\iota =\pi /3\)，\(q=2\)，\(s_1=0.4\)，\(s_2=0.2\)。没有考虑LISA的背景噪声。2.3 环境效应和波形系统学小节协调人：Jian-dong Zhang在用GWs研究基础物理时，一个重要的问题是避免将信号上的干扰误认为是新物理的证据。干扰的最可能来源是环境效应和波形系统学。环境效应可能发生在源周围和传播路径中，所有这些效应都可能导致相对于真空GR波形的偏差。在辐射GW的双星源周围，可能存在吸积盘、暗物质晕或第三引力体。例如，在EMRI系统中，MBH周围的暗物质可能对绕行的次级天体产生动态摩擦（Eda等人2015），环境潮汐场也可能对次级天体的轨道产生共振，这是牛顿Kozai-Lidov共振的广义相对论扩展（Bonga等人2019），并且盘也可能与次级天体有动态摩擦和吸积等相互作用（Kocsis等人2011）。根据环境和双星系统的性质，主导效应可能不同。一般来说，周围物质可以对GW源产生三种不同类型的影响（Barausse等人2015, 2014）：由于额外的保守力（如引力拉扯）、环境潮汐力和耗散力（如动态摩擦）导致轨道演化变化；由于晕和盘中的吸积导致源质量和自旋变化；由于未知的基本场导致辐射效率（能量和角动量损失率）变化。在以下小节中，我们将重点讨论暗物质尖峰的动态摩擦，以展示如何将其效应与修改后的引力理论效应区分开来。物质的存在还可能影响双星系统在进入GW主导区域之前的形成和演化，这些将在Li等人（2025a）中详细讨论。在GW传播路径中，也可能存在不同密度的物质，导致GWs的引力透镜效应。根据透镜的密度分布，GWs可能会被弯曲、延迟、（de）放大和相位移动。由于GWs的频率较低，在某些情况下，GWs的波长可能与透镜相当。在这种情况下，几何光学近似不再足够准确，可能需要考虑波光学衍射效应。当发生衍射时，放大因子也可能取决于GWs的频率。在实际的GW检测中，GW源周围的环境是事先未知的。因此，问题是如何区分环境效应和新物理的可能特征。接下来，我们将讨论与TianQin相关的问题。2.3.1 GW产生中的环境效应对于天体物理黑洞，最常见的环境效应是吸积盘中的气体。双黑洞附近的气体影响轨道演化，从而影响GW的发射。主要效应包括对紧凑天体的额外引力拉扯（Macedo等人2013；Barausse等人2007）、由于紧凑天体与其自身尾迹在物质介质中的引力相互作用而产生的动态摩擦和行星迁移（Barausse和Rezzolla 2008；Macedo等人2013；Barausse 2007；Yunes等人2011；Kocsis等人2011），以及吸积会改变紧凑天体的质量和自旋（Barausse和Rezzolla 2008；Macedo等人2013）。暗物质也是双黑洞周围环境的常见可能性。由于其截面小，暗物质是无碰撞的，难以形成类似盘的结构。但是黑洞可以与暗物质发生动态相互作用，并影响其分布。通常，暗物质晕中会有一个“尖峰”，即暗物质密度在中心黑洞附近显著增加（Gondolo和Silk 1999）。一个常见的暗物质密度分布模型是Navarro–Frenk–White（NFW）模型（Navarro等人1997），其中暗物质密度随半径变化为\(\rho _\textrm{DM}\sim r^{-7/3}\)。引力拉扯和动态摩擦将主导暗物质晕与黑洞之间的相互作用，而吸积几乎可以忽略不计。分层三重系统，即由一个紧密的内双黑洞围绕第三个黑洞在更宽的轨道上运行的系统，在自然界也是一个有趣的可能性（Samsing和Ilan 2018, 2019）。在这些分层三重系统中，第三个黑洞为内双黑洞发出的GW信号带来了有趣的特征，例如由于Kozai-Lidov机制导致的内双星轨道的偏心率和倾角振荡（Kozai 1962；Lidov 1962）。这种振荡可以改变内双星的频率演化，这应该在波形建模中考虑（Chandramouli和Yunes 2022）。另一个非平凡的环境可能性是黑洞外部存在新的基本场。由于这与MGTs或粒子物理领域的新物理有关，我们不会在本节中讨论它们。天体物理黑洞通常由于各种电荷中和机制而呈中性（Gibbons 1975；Blandford和Znajek 1977）。然而，如果存在由吸积盘产生的外部磁场，黑洞可能会带电。因此，测试黑洞的电荷也是测试黑洞环境的一种方式。环境效应可以通过双黑洞合并的螺旋进动和环降信号来探测。对于环降信号，环境可以影响黑洞背景上的扰动方程的势能，从而改变QNMs的频率。由于在第2.1.3节中已经详细讨论了量子噪声（QNMs）的检测，下面我们将重点关注螺旋信号。与环境效应相关的首个问题是其对引力波（GW）波形的修正。由于环境效应通常很小，因此通常不需要对环境本身进行极其精确的建模。例如，对于暗物质晕，人们经常使用NFW模型（Navarro等人，1997年）来示例密度分布。对于波形的修正，通常只需考虑PN近似下的主要贡献（Cardoso和Maselli，2020年）。因此，可以先使用ppE框架来对环境效应进行理论无关的研究，然后将结果映射到特定的黑洞环境模型中。唯一的例外是电磁共振成像（EMRI），其环境效应可能与自力效应相当（Barausse等人，2014年）。对于带有环境效应的EMRI波形的精确建模，仍需要大量的工作（Kejriwal等人，2024年；Jiang和Han，2023年；Rahman等人，2024年）。一旦实现这一点，EMRIs将成为研究黑洞周围环境的最佳工具（Barausse等人，2014年）。与环境效应相关的第二个问题是如何将其与多引力理论（MGTs）的效应区分开来。以下是一些可能的方法：考虑对MGTs的现有约束。当检测到的效应远大于MGTs的允许预测时，这种方法最为适用，即考虑来自其他实验的现有约束。需要注意的是，从其他实验中得出的MGTs约束是否可以外推到引力波辐射的情况。考虑多个引力波事件的结果。MGT的修正应该对所有引力波事件都是相同的，而不同引力波源的环境可能会有显著差异。寻找可能的电磁对应物。对于被密集物质包围的黑洞双星系统，在合并过程中可能存在电磁对应物。如果观察到电磁对应物，那么这些信息可以帮助确定环境贡献的程度。TianQin在引力波产生过程中探测环境效应的能力可以直接从ppE结果中获得（见第2.2.3节）。例如，由于暗物质晕的密度分布为\(\rho _\textrm{DM}=\rho _0(r_0/r)^{3/2}\)，动态摩擦会在\(-4\) PN阶影响螺旋信号，这与变G理论相同。根据Yuan等人（2024年）的研究，相对参数估计\(\rho _0\)的精度为\(\delta \rho _0/\rho _0\sim 10^{-3}\)。因为具有\(\rho _\textrm{DM}=\rho _0(r_0/r)^{3/2}\)的暗物质晕与变G理论的ppE修正形式相同，并且我们可以发现\(\dot{G}\propto f(\eta )\sqrt{\rho _0}\)。因此，了解这两种效应是否可以区分是很有趣的。为此，可以定义以下统计量，$$\begin{aligned} F=\sum _{i=1}^n\frac{(\dot{G}_i-\bar{\dot{G}})^2}{\sigma _i^2}, \end{aligned}$$ （39）其中n是检测到的事件数量，索引i表示第i个事件，\(\dot{G}_i\)和\(\sigma _i\)分别是第i个事件的\(\dot{G}\)的均值和方差。\(\bar{\dot{G}}\)是所有事件的\(\dot{G}_i\)的均值。通过使用特定的双黑洞天体物理群体模型，如果波形修正是由于变G理论引起的，则\(F\sim \mathcal{O}(1)\)；如果修正是由于暗物质晕引起的，则\(F\sim \mathcal{O}(10^{15})\)（Yuan等人，2024年）。这个结果表明，如果使用多个事件，是有可能区分这两种效应的。2.3.2 引力波传播中的引力透镜效应当电磁波（EM waves）经过一个大质量物体时，它们可能会被偏转、延迟和放大。这被称为引力透镜效应。引力透镜在宇宙学、大尺度结构、系外行星、暗物质等领域有广泛的应用（Schneider和Kochanek，2006年）。与电磁波类似，引力波（GWs）也可以被透镜效应影响（Takahashi和Nakamura，2003b）。如果在引力波数据分析中没有正确考虑透镜效应，可能会在源参数的估计中出现系统误差。此外，透镜效应的引力波信号可以用来研究引力波的传播特性，推断透镜物体的物理性质，研究暗物质的本质以及宇宙的膨胀（Fan等人，2017年；Liao等人，2018年；Yang等人，2019b年；Hannuksela等人，2020年；Sereno等人，2011年；Liao等人，2017年；Cao等人，2019年；Li等人，2019b年；Yu等人，2020年；Urrutia和Vaskonen，2021年；Chung和Li，2021年；Gais等人，2022年；Broadhurst等人，2020年）。如果引力波的波长远小于透镜的引力半径，可以使用几何光学近似来计算透镜效应。然而，如果引力波的波长与透镜的引力半径相当或更长，则必须使用波动光学进行计算，这需要准确评估衍射积分。例如，如果LVK波段的引力波被恒星、中等质量黑洞（IMBHs）和其他物体透镜，它们的行为类似于波动光学范围内的光衍射（Ohanian，1974年；Nakamura，1998年；Boileau等人，2021年；Leung等人，2023年）。波动光学效应可以扰动引力波的偏振平面（Ezquiaga和Zumalacárregui，2020年；Dalang等人，2022年），并在时域波形中产生拍频模式（Yamamoto，2005年；Hou等人，2021年）。这些效应可能允许LVK探测到大质量恒星、IMBHs、球状星团的密集核心以及暗物质晕（Moylan等人，2007年；Cao等人，2014年；Takahashi，2017年；Christian等人，2018年；Dai等人，2018年；Jung和Shin，2019年；Liao等人，2019年；Mishra等人，2021年）。到目前为止，LVK合作组织已经发布了90个引力波事件（Abbott等人，2016a，2019b，2021c，2024a，2023a）。尽管付出了很多努力，但在这些事件中尚未确认任何透镜效应的引力波信号（Broadhurst等人，2019年；Singer等人，2019年；McIsaac等人，2020年；Hannuksela等人，2019年；Liu等人，2021c；Dai等人，2020年；Abbott等人，2021d；Diego等人，2021年；Baker和Trodden，2017年；Fan等人，2017年；Goyal等人，2021年；Lai等人，2018年；Diego，2020年；Oguri和Takahashi，2020年；Xu等人，2022年；Abbott等人，2023d）。然而，使用下一代引力波探测器（如ET和CE）很有可能会发现许多透镜效应的引力波事件（Punturo等人，2010b；Reitze等人，2019年）。在不久的将来，基于太空的引力波探测器（如LISA（Amaro-Seoane等人，2017年）和TianQin（Luo等人，2016年）预计将探测到数百个大质量黑洞（MBHB）合并事件（Klein等人，2016年；Wang等人，2019a）。有人建议，几乎1%的检测到的事件可能会经历强烈的引力透镜效应（Gao等人，2022年）。也可以探测到透镜效应的波动光学效应（?al??kan等人，2022年；Tambalo等人，2022a）。Lin等人（2023年）研究了使用TianQin探测引力波的引力透镜效应的前景。一个问题是如何计算衍射积分（Levin，1982年；Takahashi，2004年；Dea?o，2017年；Guo和Lu，2020年；Tambalo等人，2022b）。由于特殊的频率范围，需要分别考虑信号不同部分的波动光学和几何光学。在研究中使用了三种透镜模型：点质量透镜、SIS透镜和NFW透镜。对于每种透镜模型，分别在衍射极限下计算了低频部分的放大因子，在几何光学极限下计算了高频部分的放大因子。在几何光学计算中，包括了第一阶后几何光学修正。图18（左）使用NFW透镜为例，说明了透镜效应对引力波事件信噪比（SNR）和参数估计精度的影响。可以看出，引力透镜效应提高了SNR和参数估计的精度。对于低质量源，当几何光学近似有效时，SNR和参数估计精度的提高随着红移后的总质量\(M_z\)的增加而变化不大。对于高质量源，当波动光学变得重要时，SNR和参数估计精度的提高随着红移后的总质量\(M_z\)的增加而显著波动。对于其他两种透镜模型，也有类似的结果。透镜效应的引力波信号也可以用来测量透镜参数。以NFW模型为例，密度分布由（Navarro等人，1995年）给出$$\begin{aligned} \rho (r)=\frac{\rho _s}{(r/r_s)(r/r_s+1)^2}, \end{aligned}$$ （40）其中\(\rho _s\)和\(r_s\)是两个模型参数。相应的透镜势能为$$\begin{aligned} \phi (x)=\frac{\kappa _s}{2}\left\{ \begin{matrix} \left(\ln \frac{x}{2}\right)^2-\Big (\arctan \sqrt{1-x^2}\Big )^2& :& x<1\\ \left(\ln \frac{x}{2}\right)^2+\Big (\arctan \sqrt{x^2-1}\Big )^2& :& x>1 \end{matrix}\right. , \end{aligned}$$ （41）其中\(\kappa _s=16\pi \rho _sr_s(d_Ld_{LS}/d_S)\)是无量纲表面密度。图18（左）显示了使用NFW透镜时引力波事件的SNR和参数估计精度的提高。（右）显示了随着源与透镜物体之间角度分离的变化，\(\kappa _s\)估计精度的预期值。对于考虑的两种情况，即\(r_s=0.4\) kpc时\(\kappa _s=1\)和\(r_s=0.01\) kpc时\(\kappa _s=10\)，\(M_{200}\)分别约为\(4\times 10^9\,{\textrm{M}_\odot }\)和\(5\times 10^7\,{\textrm{M}_\odot }\)。\(M_{200}\)是描述NFW晕质量的量，它对应于暗物质密度是宇宙密度200倍的半径所围成的质量。可以看出，当\(\kappa _s=1\)时，\(\kappa _s\)可以确定到\(\mathcal{O}(10^{-5})\)的水平；当\(\kappa _s=10\)时，可以确定到\(\mathcal{O}(10^{-4})\)的水平。2.3.3 波形系统学在寻找超出广义相对论（GR）效应的可能特征时，一个重要的问题是区分可能的新物理现象与其他效应（Gupta等人，2024年）。除了上面讨论的环境效应外，建模中还可能存在波形系统学问题。这些系统学问题可能源于两个原因：物理学的缺失和不准确的建模。物理学的缺失可能来自于在引力波源动力学建模中忽略了偏心率、自旋及其进动、合并后的反冲等。对于基于地面的引力波探测器，其中一些效应非常小，它们对源参数估计的影响可以忽略不计。然而，由于基于太空的探测器可以实现高精度，如果不在引力波波形建模中正确包含这些效应，它们可能会错误地表现为新物理的指标。不准确的建模对应于数值误差和在引力波波形的微扰计算中的截断误差。为了避免这个问题，必须以所需的精度对引力波波形进行建模，这对波形研究社区来说仍然是一个巨大的挑战。Afshordi等人（2025年）对目前可用的波形及其精度要求进行了详细回顾，适用于LISA；对于TianQin来说情况类似。对于大质量黑洞（MBHBs）和双中子星（SBHBs），存在几个公共的NR目录（Boyle等人，2019年；Hamilton等人，2024年；Healy和Lousto，2022年；Jani等人，2016年），以及一些替代模型（Blackman等人，2017年）。对于数据分析，IMRPhenom（Ajith等人，2007年）和EOBNR（Buonanno等人，2007年）波形家族是最常用的波形。然而，仍需大量工作来完全包含偏心率、自旋进动和源参数空间相关部分的高阶模式。对于电磁共振成像（EMRIs），情况更为复杂，因为计算二阶自力非常困难。在初步的临时波形（Chua等人，2017年）之后，黑洞扰动工具包（BHPToolkit 2025）和黑洞扰动俱乐部（BHPC 2025）为自力代码的开发提供了一个中心，而快速EMRI波形包（Katz等人，2021年）则提供了一个灵活的框架，用于快速生成波形。2.4 节摘要 在本节中，我们讨论了使用TianQin研究引力本质的前景，包括检测强场范围内广义相对论（GR）的关键预测以及寻找超出GR效应的可能迹象。TianQin有能力测试GR在强场范围内的几个关键预测。这意味着对于这些GR预测，TianQin可以显著增加检测数量或将参数测量的精度提高到有意义的水平。例如，对于前者，TianQin可以将可检测到的高阶模式和非线性引力波（GWs）的数量增加到十几个，并检测到一些具有可识别记忆效应的GW事件。对于后者，TianQin可以测试天体物理黑洞是否为GR预测的Kerr黑洞，精度优于\(\mathcal{O}(10^{-2})\)。TianQin还有能力显著推进寻找可能的超出GR效应的工作。总体而言，TianQin可以将现有的约束提高几个数量级，并产生以前无法实现的严格约束。例如，TianQin可以将对额外极化模式、引力子质量、色散系数\(A_{0.5}\)和\(A_1\)、某些MGT耦合（如\(\sqrt{\alpha _\textrm{EdGB}}\)等的约束至少提高一个数量级。TianQin还可以将主要QNM频率的偏差限制在0.1%的水平。与其他GW探测器的联合检测将带来显著的科学进步。例如，与LISA对MBHBs的联合检测预计将使对非交换理论的约束提高2倍（Shi等人，2023年；Huang等人，2024d年）；使用地面GW探测器（如ET和CE）对SBHBs的多波段检测预计将使对EdGB理论的约束提高一个数量级（Shi等人，2023年）。本节的一些代表性定量结果列在表11中。表11 当前和预期的约束示例完整表格3 新物质与TianQin的相互作用章节协调人：Fa Peng Huang 除了在第2节中讨论的探测引力的本质外，TianQin还有潜力探测非引力领域的基本物理，涵盖广泛的主题。SMPP目前是描述宇宙可见部分的最佳理论。根据SMPP，宇宙中的所有物质由六种夸克、六种轻子、四种力载体和一个希格斯玻色子组成。除了引力之外，还有三种基本相互作用：强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用。有迹象表明，在高能尺度上，电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用的耦合常数可能会统一，但确切的尺度取决于模型（Navas等人，2024年）。但SMPP存在许多问题。最突出的问题包括它无法解释物质-反物质不对称性，以及完全忽略了暗物质和暗能量：暗能量占宇宙能量密度的约68%，暗物质占约27%，而SMPP中已知的粒子仅占约5%，而且它们都是物质而非反物质。关于SMPP的另一个显著问题是它对其数十个自由参数和希格斯势能的详细形状缺乏控制。适当的希格斯势能可能通过电弱重子生成解释物质-反物质不对称性（Huang等人，2016a，b），产生一些暗物质（Jiang等人，2024a），并可能导致强烈的第一阶电弱相变（EWPT），从而产生TianQin可以检测到的GW信号（Jiang等人，2024a）。关于这一点的详细讨论将在后面进行。PBHs是通过早期宇宙中的密度波动直接引力坍缩形成的假设黑洞，远早于复合时期。这样的PBHs的质量取决于其典型大小和形成时间。来自不同质量范围的PBHs对早期宇宙的各个方面都很重要，例如构成所有暗物质、负责超短时间尺度的微引力透镜事件、为早期形成的星系提供种子等。这些PBHs伴随着由相同曲率扰动引起的SGWB，其频率也由波动的大小决定。例如，质量为\(10^{-16}\sim 10^{-11} \,{\textrm{M}_\odot }\)的PBHs可以解释所有暗物质，相应的SGWB峰值在mHz范围内。因此，TianQin可以检测到这种伴随的PBH暗物质的SGWB。慢滚膨胀模型仍然是解释宇宙膨胀时期的最有力框架之一。为了使该模型有效运作，膨胀子场必须穿越与普朗克尺度相当的距离，并在膨胀结束时将其能量转移到SMPP粒子中。在某些宇宙学模型中，引入了与膨胀子场耦合的旁观场。因此，由于膨胀子场的演化，旁观场的性质在整个膨胀期间可能会发生显著变化。这些变化可以触发相变（An等人，2022a，b），从而导致各种丰富的现象学后果。这些包括GW信号、曲率扰动和原初非高斯性。这些相变也可能在解决基本问题（如暗物质的起源和重子生成）中发挥关键作用。与这些现象相关的GWs可能被TianQin检测到。在早期宇宙中，通过Kibble机制的自发对称性破缺后，可能会形成宇宙弦网络。在膨胀后的情景中，宇宙弦在进入标度区域后可以连续发射GWs，从而产生一个随机背景，包括来自宇宙辐射主导和物质主导时期的贡献。因此，宇宙弦的GW谱可以覆盖很宽的范围，即从纳赫兹到千赫兹。目前的一些实验已经对此进行了一些约束（Hindmarsh和Kume 2023；Kume和Hindmarsh 2024）。TianQin和其他探测器的GW检测可以帮助揭示早期宇宙高能尺度上的可能新物理。这些探测器可以单独工作，也可以形成一个网络。前者方法具有更好的灵敏度，而后者方法可以获得更可靠且与模型无关的随机背景测量。在本节中，我们讨论了使用TianQin探测与上述所有主题相关的新物理的前景，主要关注超出标准模型（BSM）粒子物理、原初黑洞、膨胀期间的相变和宇宙弦。快速总结：在一些新物理模型中，希格斯势能可能与其传统形式不同，可能触发强烈的第一阶EWPT。这种FoPT过程可以为超重暗物质的产生提供新的机制，为通过电弱重子生成解释物质-反物质不对称性提供可行的解释，并产生相变GWs。通过检测这些信号，如果相变强度\(\alpha >0.1\)，TianQin将能够间接探测希格斯势能、电弱重子生成和超重暗物质的产生机制。TianQin还将能够检测到来自超轻暗物质、宇宙弦、畴壁、PBHs以及新物理模型中适当参数范围内的其他可能的对称性破缺过程的GW信号。3.1 BSM粒子物理 在这个小节中，我们讨论了使用GWs搜索BSM粒子物理，重点是通过GWs探测希格斯势能、物质-反物质不对称性的起源和暗物质的本质。进一步讨论了使用一种特殊类型的ECOs探测更多的BSM物理。3.1.1 希格斯势能和EWPT 早期宇宙中EWPT的本质对于理解希格斯势能的真实形状至关重要。第一阶EWPT的特点是希格斯场的强烈、不连续的变化，可以产生在基于空间的干涉仪（如TianQin）中可检测到的显著GW信号。这些信号提供了对支配早期宇宙的高能物理和希格斯势能性质的独特探测。在SMPP中，希格斯势能负责自发对称性破缺，产生W和Z玻色子以及SMPP费米子的质量。高温下希格斯势能的形状决定了EWPT的性质。在SMPP中，相变是一个平滑的过渡（Kajantie等人，1996；Gurtler等人，1997；Csikor等人，1999），但一些有根据的BSM模型预测由于希格斯势能的修改而发生FoPT（Zhang 1993；Grojean等人，2005；Huang等人，2016a，b；Cai等人，2017a）。SMPP中的希格斯势能由下式给出$$\begin{aligned} V(h) = \frac{1}{2}\mu ^2 h^2 + \frac{\lambda }{4} h^4, \end{aligned}$$ （42）其中h是希格斯场，\(\mu ^2\)和\(\lambda \)是参数。从SMPP有效场理论的角度来看，可以通过积分掉各种新物理模型中的重新粒子来获得一个通用的六维希格斯势能形式，例如单态、双态、三态扩展的SMPP和复合希格斯模型（Zhang 1993；Grojean等人，2005；Huang等人，2016a，b；Cai等人，2017a），$$\begin{aligned} V(h)=\frac{1}{2} \mu ^2 h^2-\frac{\lambda }{4} h^4+\frac{1}{\Lambda ^2} h^6. \end{aligned}$$ （43）上述希格斯势能结合适当的模型参数\(\Lambda \)可以产生图19所示的第一阶EWPT及其相关的GW。紫色、蓝色和红色线条分别代表不同截止尺度\(\Lambda = 590\,\textrm{GeV}, 600\,\textrm{GeV}\)和\(650\,\textrm{GeV}\)的相变GW谱。TianQin（以及LISA和Taiji）的可检测区域用彩色区域表示。未来的轻子对撞机可以通过测量量（如\(\delta _{\sigma _{h Z}}\equiv \sigma _{h Z} / \sigma _{h Z}^{\textrm{SM}}-1\)）与GW实验进行互补测试，其中\(\sigma _{hZ}\)是轻子对撞机中\(e^{+} e^{-} \rightarrow h Z\)过程的截面。例如，图19中的紫色线条表示\(\Lambda =590\, \textrm{GeV}\)的GW谱，这与CEPC中的对撞机信号\(\delta _{\sigma _{h Z}} \simeq 2.2 \%\)相关（Huang等人，2016a，b）。图19 这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。完整尺寸图片在EWPT条件下SMPP有效场理论中GW信号的一般预测（Huang等人，2016a，b）第一阶EWPT涉及真真空泡在假真空中的成核（Coleman 1977；Callan和Coleman 1977；Linde 1981，1983）、膨胀（Cai和Wang 2021；Wang和Yuwen 2023；Wang等人，2024c）和渗透（Turner等人，1992；Ellis等人，2019）。这些气泡的动力学产生GWs，其特征参数包括：相变的强度（\(\alpha \)）：相变期间释放的真空能量密度与辐射能量密度的比率（注意，在适应不同的数值模拟拟合模板时，这个强度因子有不同的版本），\(\alpha = \frac{\Delta \rho _{\text {vac}}}{\rho _{\text {rad}}}\,。气泡壁速度（\(v_w\)）：真真空泡膨胀的速度，可以通过各种方法计算[参见Yuwen等人（2024）的最新总结]。相变持续时间（\(\beta ^{-1}\)）：相变时间尺度的倒数，通常以相变时的哈勃时间尺度为单位来衡量，$$\begin{aligned} \frac{\beta }{H_*}=T_*\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}T}\frac{S_3(T_*)}{T_*}. \end{aligned}$$ (44) EWPT提供了三种相变引力波（GWs）的来源：气泡碰撞、声波和湍流。 气泡壁碰撞（Jinno和Takimoto 2017, 2019） $$\begin{aligned} h^2\Omega _\textrm{env}= & 1.67\times 10^{-5}\left( \frac{100}{g_{*}}\right) ^\frac{1}{3}\left( \frac{H_*}{\beta }\right) ^2\left( \frac{\kappa _\phi \alpha }{1+\alpha }\right) ^2 \frac{0.48v_w^3}{1+5.3v_w^2+5v_w^4}\nonumber \\ & \times \left[ c_l\left( \frac{f}{f_\textrm{env}}\right) ^{-3}+c_m\left( \frac{f}{f_\textrm{env}}\right) ^{-1}+c_h\left( \frac{f}{f_\textrm{env}}\right) \right] ^{-1}, \end{aligned}$$ (45) 其中 \((c_l, c_m, c_h) = (0.064,1-c_l-c_h,0.48)\) 且 \( \kappa _\phi \) 表示转化为标量-壁梯度能量的真空能量比例（Cai和Wang 2021）。\(f_{\textrm{env}}\) 是气泡壁碰撞的峰值频率，$$\begin{aligned} f_\textrm{env}=1.65\times 10^{-5}{\textrm{Hz}}\left( \frac{g_{*}}{100}\right) ^\frac{1}{6}\left( \frac{T_*}{100\,\textrm{GeV}}\right) \frac{0.35(\beta /H_*)}{1+0.069v_w+0.69v_w^4}, \end{aligned}$$ (46) 其中 \(T_*\) 是相变温度 [例如，参见Cai等人（2017a）对特征温度的各种定义]。另见Zhong等人（2022）关于哈勃膨胀效应对GW能量密度谱整体幅度的影响。声波（Hindmarsh等人2014, 2015, 2017） $$\begin{aligned} \Omega _{\textrm{sw}}h^2 \simeq&2.65 \times 10^{-6} \Upsilon _{\textrm{sw}} \left( \frac{H_*}{\beta }\right) \left( \frac{\kappa _v \alpha }{1+\alpha }\right) ^2\left( \frac{100}{g_{*}}\right) ^{1 / 3} v_w \left( f / f_{\textrm{sw}}\right) ^3 \left( \frac{7}{4+3\left( f / f_{\textrm{sw}}\right) ^2}\right) ^{7 / 2}, \end{aligned}$$ (47) 其中 \(\kappa _v\) 表示转化为声波的真空能量比例（Espinosa等人2010）（参见Giese等人2021, 2020；Wang等人2021b, 2023b；Wang和Yuwen 2022）对于简单袋模型或甚至\(\nu \)-模型之外的各种状态方程（EoS）概括，以及（Cai和Wang 2018；Giombi和Hindmarsh 2024）关于哈勃膨胀效应或重力效应对这种流体运动效率因子的影响。声波的峰值频率会发生红移，$$\begin{aligned} f_{\textrm{sw}} \simeq 1.9 \times 10^{-5} \,\textrm{Hz} \frac{1}{v_w}\left( \frac{\beta }{H_*}\right) \left( \frac{T_{*}}{100\, \textrm{GeV}}\right) \left( \frac{g_\star }{100}\right) ^{1 / 6}. \end{aligned}$$ (48) 这里 \(\Upsilon _{\textrm{sw}}\) 是哈勃膨胀效应对GW能量密度谱整体幅度的抑制因子（Guo等人2021），$$\begin{aligned} \Upsilon _{\textrm{sw}} = \left( 1-\frac{1}{\sqrt{1+2\tau _{\textrm{sw}}H_*}}\right) ,\quad \text {with} \quad \tau _{\textrm{sw}}H_* \approx (8\pi )^{\frac{1}{3}}\frac{v_w (H_*/\beta )}{ \sqrt{3\kappa _v\alpha /(4+4\alpha )}}, \end{aligned}$$ (49) 可以从称为声壳模型的声波分析模型中解析计算得出（Hindmarsh 2018；Hindmarsh和Hijazi 2019）。注意，在原始声壳模型中的红外缩放已在流体动力学声壳模型中得到修正（Cai等人2023），后来在分析估计（Roper Pol等人2024）和数值模拟（Sharma等人2023）中也得到了证实。当大多数气泡在接近终端壁的速度后相互碰撞时，声波的贡献通常占GW能量密度谱的总贡献的主导地位（Cai和Wang 2021）。MHD湍流（Caprini等人2009；Binetruy等人2012） $$\begin{aligned} \Omega _{\textrm{turb}}h^2\simeq & 3.35\times 10^{-4} \left( \frac{H_* v_w}{\beta }\right) \left( \frac{\kappa _{\textrm{turb}} \alpha }{1+\alpha }\right) ^{3 / 2}\left( \frac{100}{g_*}\right) ^{1 / 3} \nonumber \\ & \times\frac{\left( f / f_{\text {turb}}\right) ^3}{\left( 1+f / f_{\text {turb}}\right) ^{11 / 3}\left( 1+8 \pi f / H_*\right)}, \end{aligned}$$ (50) 其中 \(H_*\) 表达为 $$\begin{aligned} H_*=1.65 \times 10^{-5} \,\textrm{Hz}\left( \frac{T_{*}}{100\,\textrm{GeV}}\right) \left( \frac{g_*}{100}\right) ^{1/6}, \end{aligned}$$ (51) 湍流过程的峰值频率为 $$\begin{aligned} f_{\text{ turb }} \simeq 2.7 \times 10^{-5} \,\textrm{Hz}\frac{1}{v_w} \left( \frac{\beta }{H_*}\right) \left( \frac{T_{*}}{100\, \textrm{GeV}}\right) \left( \frac{g_*}{100}\right) ^{1 / 6}. \end{aligned}$$ (52) 而 \(\kappa _{\textrm{turb}}=\tilde{\epsilon } \kappa _v\) 表示真空能量转化为湍流的效率，通常认为可以忽略不计，\(\tilde{\epsilon }\lesssim 5\%\sim 10\%\)（Caprini等人2016）。TianQin的设计目的是检测频率范围为0.1 mHz到1 Hz的GWs。来自一级EWPT的GW信号通常落在这个范围内，使得这些探测器适合检测此类信号，从而能够探测早期的宇宙相变。在图20中，我们通过固定相变参数\(\alpha =1.01\)、\(T_*=6373\,\hbox {GeV}\)、\(\beta /H=200\)和\(v_w=1\)（这些参数来自Huang和Zhang（2019）的复现）来展示TianQin的信噪比（SNR）。在五年的任务期间，TianQin的SNR约为8。图20这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像使用TianQin和LISA对相变GW的模型独立预测希格斯势的形状影响相变参数，从而影响产生的GW信号。不同的标准模型（BSM）场景以不同的方式修改希格斯势，导致相变的强度和持续时间发生变化： \(\alpha \)：更强的相变会产生更强的GW信号。强度直接与希格斯势中势垒的高度和宽度有关。 \(v_w\)：更快的气泡壁速度可以增强GW信号。速度取决于势的形状以及希格斯场与等离子体之间的相互作用。 \(\beta ^{-1}\)：更短的相变会产生更高频率的GW信号。持续时间受到希格斯势的温度依赖性以及气泡成核和生长效率的影响。几种理论模型预测了导致一级EWPT的希格斯势的修改，例如[参见Cai等人（2022b）的最新总结]： 超对称性：预测额外的标量场，可能导致强烈的一级EWPT（Carena等人1996；Delepine等人1996；Carena等人2009）。标量扩展：添加单态、双态或三态标量场可以修改希格斯势并引发一级EWPT（Cao等人2018；Huang和Yu 2018）。复合希格斯模型：在这些模型中，希格斯是一个复合粒子，强相互作用部门的动力学可能导致FoPT（Fujikura等人2023）。不同的模型预测了可以使用TianQin测试的不同GW特征。例如，超对称模型中的更强相变可能会产生幅度更高、频率更低的GW信号，与单态标量扩展相比。研究来自一级EWPT的GWs可以为早期宇宙的物理学和希格斯势的真实形状提供独特的见解。TianQin提供了检测这些信号和测试BSM理论所需的灵敏度。将GW信号的属性与希格斯势的形状相关联可以揭示超出标准模型粒子物理（SMPP）的新物理现象。尽管可以通过将不同的EWPT模型拟合到GW数据上来探索新物理，但模型之间可能存在高度的简并性。一种更有吸引力的方法是测试EWPT的有效场理论描述，这需要明确区分新物理的尺度（Camargo-Molina等人2021；Cai等人2022b）。在本节中，我们讨论了TianQin对于推进我们对希格斯势和早期宇宙动力学理解的重要性。持续的理论和实验努力对于充分利用这些观测的潜力至关重要。3.1.2 物质-反物质不对称性我们宇宙中的物质-反物质不对称性是现代宇宙学和粒子物理学的基本谜题之一。根据SMPP，物质和反物质在大爆炸期间应该以相等的数量产生。然而，我们的宇宙主要由物质组成，观察到的反物质非常少（Ade等人2016）。这种差异表明存在超出SMPP的新物理现象，可以解释观察到的不对称性。重子生成是描述宇宙中物质-反物质不对称性（重子不对称性）产生的理论过程，详见Huang（2025）。实现重子生成所需的三个Sakharov条件是（Sakharov 1967）：1）重子数违反；2）C和CP违反（其中C是电荷共轭对称性，CP是C和宇称对称性的组合）；3）偏离热平衡或CPT违反（其中CPT是电荷、宇称和时间反演对称性的组合）。已经提出了各种实现重子生成的机制，包括电弱重子生成（Kuzmin等人1985；Cline 2006）、轻子生成（Davidson等人2008；Buchmuller等人2005；Huang和Xie 2022；Borah等人2022；Chun等人2023），这些机制可以通过基于轻子数违反的sphaleron过程的相变产生GWs，以及在早期宇宙中涉及FoPT的机制（Azatov等人2021a；Baldes等人2021；Baker等人2022）。在提出的各种重子生成机制中，电弱重子生成在理论和实验上都是引人注目的。这种情景需要强烈的一级EWPT，它可以产生与过渡动力学相关的SGWB（Huang等人2018；Huang和Senaha 2019）。产生的GW信号的幅度和光谱形状对希格斯势的结构及其相互作用敏感，这些与前一小节讨论的特性相似。如前所述，来自一级EWPT的GW信号的峰值频率通常位于毫赫兹范围内，使得它们有可能被像TianQin这样的基于空间的干涉仪观测到。特别是，电弱重子生成可以通过引入与修改后的希格斯势相结合的动态CP违反源来实现。由此产生的相变不仅有助于产生重子不对称性，还能产生可检测的GWs。已经提出了多种希格斯部门的扩展来适应电弱重子生成。下面，我们介绍两个代表性的例子。一个最小扩展涉及希格斯部门中的高维算符。有效拉格朗日量形式为：$$\begin{aligned} \delta \mathcal {L} = -x_u^{ij} \frac{H^\dagger H}{\Lambda ^2} \bar{Q}_{Li} \tilde{H} u_{Rj} + \text {H.c.} - \frac{\kappa }{\Lambda ^2} (H^\dagger H)^3, \end{aligned}$$ (53) 其中 \(\Lambda \) 表示有效理论的截止尺度。这个拉格朗日量可以通过在紫外完全模型中积分掉重自由度来得到，如Huang等人（2016a, 2016b）和Cao等人（2018）所讨论的。第一项引入了希格斯场与费米子之间的CP违反相互作用，而最后一项以一种可以引发强烈FoPT的方式修改了希格斯势。另一个说明性的情景是两步相变模型，它引入了一个与标准模型希格斯耦合的实数标量单态S。拉格朗日密度表示为：$$\begin{aligned} \mathcal {L} = \mathcal {L}_{\textrm{SM}} - y_t \frac{\eta }{\Lambda } S \bar{Q}_L \tilde{H} t_R + \text {H.c.} + \frac{1}{2} \partial _\mu S \partial ^\mu S + \frac{1}{2} \mu ^2 S^2 - \frac{1}{4} \lambda S^4 - \frac{1}{2} \kappa S^2 (H^\dagger H), \end{aligned}$$ (54) 其中第二项提供了一个显著的CP违反源，涉及S的标量势项可以引发两步相变（Espinosa等人2012；Cline和Kainulainen 2013；Huang等人2018）。这种结构允许丰富的热历史，并增强了成功实现重子生成和可观测GW特征的前景。早期宇宙中的FoPT可以提供重子生成所需的非平衡条件，从而提供了一个观察物质-反物质不对称性起源的新窗口。不同的重子生成情景根据相变的详细特性预测不同的GW光谱。额外的模型，例如那些包含额外标量场或替代对称性破坏机制的模型[参见Dolgov和Silk（1993）]，可以产生反映潜在动力学的独特GW特征。在一级EWPT期间产生的重子不对称性\(\eta _B\)可以通过积分sphaleron速率方程来计算。这个量对气泡壁速度\(v_w\)非常敏感，如表达式所示：$$\begin{aligned} \eta _B = \frac{405\, \Gamma _S}{4\pi ^2\, \gamma _w\, v_w\, g_*\, T} \int dz\, \mu _{B_L}(z)\, f_{\textrm{sph}}(z)\, e^{-45\, \Gamma _S\, |z| / (4\, \gamma _w\, v_w)}\,, \end{aligned}$$ (55) 其中 \(\Gamma _S\) 表示对称相中的sphaleron速率，\(\gamma _w\) 是与气泡壁相关的洛伦兹因子，\(g_*\) 是热浴中的相对论自由度的有效数，\(\mu _{B_L}\) 是左手重子的化学势。函数\(f_{\textrm{sph}}(z)\) 在破裂相和未破裂相之间平滑插值sphaleron速率，表示为：$$\begin{aligned} f_{\textrm{sph}}(z) = \min \left( 1,\, 2.4\, \frac{\Gamma _S}{T}\, e^{-40\, h(z)/T}\right) \,, \end{aligned}$$ (56) 其中h(z)描述了气泡壁上的希格斯场轮廓。重要的是，相变期间产生的GW光谱也对气泡壁速度敏感。重子不对称性与引力波（GW）信号之间的这种深度关联使得我们能够提取关于负责重子生成（baryogenesis）的潜在物理机制的关键信息。引力波谱的形状、振幅和峰值频率编码了相变动力学的细节，使得TianQin成为测试电弱重子生成场景的强大工具。如图21所示，如果气泡壁速度足够大（例如\(v_w = 0.9\)），TianQin能够探测到来自电弱相变（EWPT）的引力波信号。相比之下，对于较慢的气泡壁速度（如\(v_w = 0.1\)），产生的引力波信号会低于TianQin的灵敏度曲线，因此无法被探测到。

在过去几十年中，直接搜索暗物质的实验和对撞机都没有探测到预期的信号。这种情况促使人们探索新的方法来探测暗物质。在大型强子对撞机（LHC）上观测到希格斯玻色子以及在LIGO上探测到引力波（GWs），标志着利用引力波探索暗物质的一个新时代的开始。由剧烈天体物理事件产生的引力波可以携带有关这些事件中涉及的质量和能量的信息，为理解暗物质提供潜在的见解。通过与黑洞周围的超辐射过程形成的包含暗物质粒子（如轴子）的玻色子云可以影响双星系统的轨道演化，从而改变辐射出的引力波（Zel’dovich 1971, 1972; Starobinsky 1973; Zouros and Eardley 1979; Detweiler 1980; Dolan 2007; Arvanitaki et al. 2015; Brito et al. 2020; Zhang and Yang 2020; Xie and Huang 2024, 2025）。这些新的观测效应可以用来揭示黑洞附近暗物质的性质（Eda et al. 2013, 2015; Zhang and Yang 2020; Xie and Huang 2024, 2025）。标量和矢量玻色子的宏观云也可以通过束缚态粒子的对湮灭以及云中能级的跃迁直接辐射引力波（Arvanitaki and Dubovsky 2011; Arvanitaki et al. 2015, 2017）。玻色子云的引力波信号几乎是单色的，其频率取决于玻色子粒子的质量。这些引力波信号可以通过地面和太空基的引力波探测器单独探测到（Brito et al. 2017a, b; Baryakhtar et al. 2017; Siemonsen and East 2020; Palomba et al. 2019; Abbott et al. 2022a），同时也可能贡献于随机背景噪声（Brito et al. 2017a, b; Tsukada et al. 2021; Yang et al. 2024）。以轴子云为例，图22显示了TianQin能够探测到轴子影响双星引力波辐射的亮度距离范围，以及TianQin能够探测到不同轴子质量轴子云辐射的准单色引力波的亮度距离范围。图中也给出了LISA的相应结果。可以看出，对于图中使用的参数，LISA总是优于TianQin。一般来说，TianQin对峰值频率在0.02到1赫兹范围内的信号具有更好的灵敏度。以轴子云辐射的准单色引力波为例，如果轴子质量大约在\(\left( 2.6 \times 10^{-16} \sim 1.3 \times 10^{-14}\right) \textrm{eV}\)范围内，那么TianQin的表现将优于LISA。我们没有在图22的左侧面板中显示这个区域，因为随着轴子质量的增加，两种探测器的可探测亮度距离都变得小于10兆秒差距（Mpc）。

一些理论提出，暗物质粒子可能形成紧凑的天体或密集的团块。当这些团块与普通物质或黑洞相互作用时，它们可能会产生独特的引力波信号。例如，暗物质团块被中子星破坏时可能会产生引力波。涉及高能尺度新物理的暗物质模型通常预测在早期宇宙中会发生相变（FoPTs），这可能会产生标准引力波背景（SGWBs）。当前或未来的引力波探测器探测到这样的背景将是对这些暗物质模型的重大确认。不同的暗物质模型对相变参数（如相变强度（Wang et al. 2020b）、相变持续时间和气泡壁速度（Moore and Prokopec 1995; Wang et al. 2020a; Jiang et al. 2023b; Laurent and Cline 2022）有不同的预测。此外，相变本身也为早期宇宙中的暗物质产生提供了新的机制。典型的机制包括：过滤暗物质（Baker et al. 2020; Chway et al. 2020; Jiang et al. 2023a）、在相对论性气泡膨胀期间产生（Azatov et al. 2021b; Baldes et al. 2021）、孤子暗物质（Krylov et al. 2013; Huang and Li 2017; Hong et al. 2020; Jiang et al. 2024a, b）等。在图23的左侧，我们展示了伴随过滤暗物质产生的引力波信号。实线代表原始的引力波谱，虚线代表结合了气泡动力学细节的引力波信号。在图23的右侧，我们展示了在一阶电弱相变（EWPT）条件下伴随孤子暗物质产生的引力波信号。

尽管像TianQin这样的探测器有望帮助搜索粒子暗物质，但仍存在几个挑战。将引力波数据解释为粒子暗物质的性质是复杂的，需要对引力波源和暗物质相互作用进行仔细建模。此外，区分潜在的暗物质信号和其他天体物理源需要高度敏感和精确的测量。

爱因斯坦-麦克斯韦理论为带电黑洞提供了解，称为Reissner-Nordstr?m黑洞或旋转Kerr-Newman黑洞。这些黑洞具有电和/或磁电荷作为参数（“毛发”[有关综述，请参见Stephani et al. (2003), Griffiths and Podolsky (2009)）。在爱因斯坦-麦克斯韦理论中，黑洞电荷的上限来自宇宙审查原理：对于Reissner-Nordstr?m黑洞，\(Q\le M\)；对于Kerr-Newman黑洞，\(Q \le (M^2 - J^2/M^2)^{1/2}\)。然而，天体物理黑洞无法满足这一限制。在标准模型（SMPP）中，引力和静电相互作用之间的巨大差异强烈抑制了任何显著的电荷吸积进入由引力坍缩形成的黑洞（Page 2006）。在特殊条件下，黑洞可以获得电荷。例如，置于磁场中的旋转黑洞可以获得电荷（Wald 1974），对于质量较大的黑洞（MBHs），由于质子和电子之间的质量差异，允许的电荷为\(Q_\textrm{max} =\frac{M}{4 \times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }}\times 3.1 \times 10^{8} \textrm{C}\)，而由于磁场在视界上引起的电荷上限为\(Q_\textrm{max} = (\frac{M}{4 \times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }})^2 (\frac{B_H}{10 \textrm{G}})\times 2.3 \times 10^{15} \textrm{C}\)（Zaja?ek et al. 2018）。带电黑洞是Blandford-Znajek过程（用于伽马射线暴GRBs）（Blandford and Znajek 1977; Lee et al. 2000）和磁Penrose过程（用于极高能宇宙射线）（Wagh et al. 1986）的重要组成部分。带有狄拉克磁单极子的爱因斯坦-麦克斯韦理论具有带电的Reissner-Nordstr?m和Kerr-Newman黑洞（Griffiths and Podolsky 2009）。狄拉克磁单极子使麦克斯韦理论对称，并解释了电荷的量子化，而杨-米尔斯理论预测了非阿贝尔磁单极子（Shnir 2005）。在SMPP中，'t Hooft–Polyakov单极子可以通过相变产生（'t Hooft 1974; Polyakov 1974）。非阿贝尔规范理论中的dyons具有电和磁电荷（Julia and Zee 1975）。这些假设的粒子可能在早期宇宙的宇宙相变期间产生，并作为残余物存在于单独的实体或磁黑洞中（Lee et al. 1992; Maldacena 2021）或dyonic黑洞中（Kasuya 1982）。因此，带有电和磁电荷的黑洞可以被视为表明新物理存在的ECOs。

尽管像TianQin这样的探测器有助于搜索粒子暗物质，但仍存在几个挑战。将引力波数据解释为粒子暗物质的性质是复杂的，需要对引力波源和暗物质相互作用进行仔细建模。此外，区分潜在的暗物质信号和其他天体物理源需要高度敏感和精确的测量。

爱因斯坦-麦克斯韦理论为带电黑洞提供了解，称为Reissner-Nordstr?m或旋转Kerr-Newman黑洞。这些黑洞具有电和/或磁电荷作为参数（“毛发”[有关综述，请参见Stephani et al. (2003), Griffiths and Podolsky (2009)）。在爱因斯坦-麦克斯韦理论中，黑洞电荷的上限来自宇宙审查原理：对于Reissner-Nordstr?m黑洞，\(Q\le M\)；对于Kerr-Newman黑洞，\(Q \le (M^2 - J^2/M^2)^{1/2}\)。然而，天体物理黑洞无法满足这一限制。在标准模型（SMPP）中，引力和静电相互作用之间的巨大差异强烈抑制了任何显著的电荷吸积进入由引力坍缩形成的黑洞（Page 2006）。在特殊条件下，黑洞可以获得电荷。例如，置于磁场中的旋转黑洞可以获得电荷（Wald 1974），对于MBHs，由于质子和电子之间的质量差异，允许的电荷为\(Q_\textrm{max} =\frac{M}{4 \times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }}\times 3.1 \times 10^{8} \textrm{C}\)，而由于磁场在视界上引起的电荷上限为\(Q_\textrm{max} = (\frac{M}{4 \times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }})^2 (\frac{B_H}{10 \textrm{G}})\times 2.3 \times 10^{15} \textrm{C}\)（Zaja?ek et al. 2018）。带电黑洞是Blandford-Znajek过程（用于伽马射线暴GRBs）（Blandford and Znajek 1977; Lee et al. 2000）和磁Penrose过程（用于极高能宇宙射线）（Wagh et al. 1986）的重要组成部分。带有狄拉克磁单极子的爱因斯坦-麦克斯韦理论具有带电的Reissner-Nordstr?m和Kerr-Newman黑洞（Griffiths and Podolsky 2009）。狄拉克磁单极子使麦克斯韦理论对称，并解释了电荷的量子化，而杨-米尔斯理论预测了非阿贝尔磁单极子（Shnir 2005）。在SMPP中，'t Hooft–Polyakov单极子可以通过相变产生（'t Hooft 1974; Polyakov 1974）。非阿贝尔规范理论中的dyons具有电和磁电荷（Julia and Zee 1975）。这些假设的粒子可能在早期宇宙的宇宙相变期间产生，并作为残余物存在于单独的实体或磁黑洞中（Lee et al. 1992; Maldacena 2021）或dyonic黑洞中（Kasuya 1982）。因此，带有电和磁电荷的黑洞可以被视为表明新物理存在的ECOs。

尽管像TianQin这样的探测器有助于搜索粒子暗物质，但仍存在几个挑战。将引力波数据解释为粒子暗物质的性质是复杂的，需要对引力波源和暗物质相互作用进行仔细建模。此外，区分潜在的暗物质信号和其他天体物理源需要高度敏感和精确的测量。

带电的奇异紧凑天体
小节协调人：Sang Pyo Kim

爱因斯坦-麦克斯韦理论为带电黑洞提供了解，称为Reissner-Nordstr?m或旋转Kerr-Newman黑洞。这些黑洞具有电和/或磁电荷作为参数（“毛发”[有关综述，请参见Stephani et al. (2003), Griffiths and Podolsky (2009)）。在爱因斯坦-麦克斯韦理论中，黑洞电荷的上限来自宇宙审查原理：对于Reissner-Nordstr?m黑洞，\(Q\le M\)；对于Kerr-Newman黑洞，\(Q \le (M^2 - J^2/M^2)^{1/2}\)。然而，天体物理黑洞无法满足这一限制。在标准模型（SMPP）中，引力和静电相互作用之间的巨大差异强烈抑制了任何显著的电荷吸积进入由引力坍缩形成的黑洞（Page 2006）。

在特殊条件下，黑洞可以获得电荷。例如，置于磁场中的旋转黑洞可以获得电荷（Wald 1974），对于MBHs，由于质子和电子之间的质量差异，选择性吸积允许的电荷为\(Q_\textrm{max} =\frac{M}{4 \times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }}\times 3.1 \times 10^{8} \textrm{C}\)，而由于磁场在视界上引起的电荷上限为\(Q_\textrm{max} = (\frac{M}{4 \times 10^6\,{\textrm{M}_\odot }})^2 (\frac{B_H}{10 \textrm{G}})\times 2.3 \times 10^{15} \textrm{C}\)（Zaja?ek et al. 2018）。带电黑洞是Blandford-Znajek过程（用于伽马射线暴GRBs）（Blandford and Znajek 1977; Lee et al. 2000）和磁Penrose过程（用于极高能宇宙射线）（Wagh et al. 1986）的重要组成部分。带有狄拉克磁单极子的爱因斯坦-麦克斯韦理论具有带电的Reissner-Nordstr?m和Kerr-Newman黑洞（Griffiths and Podolsky 2009）。狄拉克磁单极子使麦克斯韦理论对称，并解释了电荷的量子化，而杨-米尔斯理论预测了非阿贝尔磁单极子（Shnir 2005）。在SMPP中，'t Hooft–Polyakov单极子可以通过相变产生（'t Hooft 1974; Polyakov 1974）。非阿贝尔规范理论中的dyons具有电和磁电荷（Julia and Zee 1975）。这些假设的粒子可能在早期宇宙的宇宙相变期间产生，并作为残余物存在于单独的实体或磁黑洞中（Lee et al. 1992; Maldacena 2021）或dyonic黑洞中（Kasuya 1982）。因此，带有电和磁电荷的黑洞可以被视为表明新物理存在的ECOs。

带电黑洞通过饱和电荷而变得极端，而不违反宇宙审查原理。极端黑洞不发射霍金辐射，并改变了PBHs的物理性质（Carr and Kuhnel 2020; Carr et al. 2020, 2024）。接近极端的带电黑洞对扰动具有稳定性（Hod 2012），并被提出作为暗物质的候选者（Kritos and Silk 2022）。带电黑洞发射带电粒子和对粒子的对，称为Schwinger机制（Gibbons 1975; Ruffini et al. 2010）。即使没有带电对的霍金辐射，接近极端的带电黑洞仍然可以发射带电对（Chen et al. 2012, 2017, 2018a），并且在de Sitter空间中也是如此（Chen and Kim 2020）。遵守Breitenlohner-Freedman限制的接近极端带电黑洞对霍金辐射和Schwinger发射都具有稳定性，可能是暗物质。在SMPP中，除非以高角动量发射带电对，否则无法满足Breitenlohner–Freedman限制，而接近极端的带电黑洞容易产生带电对，最轻的对是电子-正电子对。强磁场产生单极子-反单极子对（Affleck and Manton 1982），但由于单极子质量较大，从磁黑洞发射单极子对的概率被极大地抑制，因此磁黑洞可能是另一种暗物质的候选者。极端Reissner-Nordstr?m黑洞吸收电磁波的截面为\(\sigma _\textrm{abs} \approx (\frac{M}{10^{15} \textrm{g}})^2 (\frac{10^{-13} \textrm{cm}}{\lambda })^6 \times 3.1 \times 10^{-2因此，TianQin 可以用来识别黑洞或 ECO 的电荷。在 Zi 等人（2023）的研究中，已经推导出了带电恒星质量致密天体向大质量 Kerr–Newman 黑洞螺旋合并的“分析-权宜”波形。该研究考虑了由于恒星质量致密天体与黑洞之间的电力作用、偶极电磁辐射的能量流动以及黑洞电荷导致的度规变形对轨道基本频率的影响。使用质量分别为 \(10^6\,{\textrm{M}_\odot }\) 的黑洞和 \(10\,{\textrm{M}_\odot }\) 的恒星质量致密天体，并且它们相距 1 Gpc，FIM 分析表明 TianQin 可以将黑洞的电荷限制在 \(\sim 10^{-3.6}\) 的水平，将恒星质量致密天体的电荷限制在 \(\sim 10^{-5}\) 的水平。

3.2 原初黑洞
小节协调人：Shi Pi, Konstantin Postnov

PBH（原初黑洞）是通过宇宙早期高密度波动的引力坍缩形成的假想黑洞。这一观点在 50 多年前就被提出（Zel’dovich 和 Novikov 1967；Hawking 1971；Carr 和 Hawking 1974；Meszaros 1974；Carr 1975；Khlopov 等人 1985；Polnarev 和 Khlopov 1981），并且在 LIGO 发现引力波（GWs）之后引起了广泛关注。根据当前的观测限制，小行星质量的 PBH 可以解释所有的暗物质。这样的 PBH 伴随着 mHz 范围的引力波，这些引力波可以通过 TianQin 很好地探测到。

PBH 形成的传统机制假设，在宇宙视界处的能量密度波动可能在重新进入视界时偶然达到 \(\delta \rho /\rho \sim 1\)，从而在其自身的引力半径内坍缩，与哈勃流解耦，并形成一个黑洞。因此，这样的 PBH 的质量大约等于哈勃视界内的质量（Carr 等人 2016；Green 和 Kavanagh 2021）：
$$\begin{aligned} M_\textrm{PBH}&\approx \alpha \frac{4\pi }{3}\rho H^{-3}\approx 4\pi \alpha \frac{M_\textrm{Pl}^2}{H}\approx 8\pi \alpha M_\textrm{Pl}^2t \nonumber \\&\approx 0.95\left( \frac{\alpha }{0.2}\right) \left( \frac{g_*}{106.75}\right) ^{-1/2}\left( \frac{T}{100\,\textrm{MeV}}\right) ^{-2}\,{\textrm{M}_\odot }。\end{aligned}$$
其中 \(\alpha \sim 0.2\) 是坍缩成 PBH 的物质比例，\(M_\textrm{Pl}=(8\pi G)^{-1/2}\approx 2.435\times 10^{18}\,\hbox {GeV}\) 是约化普朗克质量，t 是形成时的宇宙时间，\(g_*\) 是那一时刻的相对论性粒子数量。例如，可以想象，在 QCD 相变期间（\(T_{QCD}\sim 100-150\,\hbox {MeV}\)）重新进入视界的大密度扰动会坍缩成太阳质量的 PBH。在不同时期重新进入视界的大密度扰动可以产生不同质量的 PBH，这对观测具有重要意义。PBH 可以占冷暗物质的重要部分或全部（Carr 和 Hawking 1974；Green 和 Kavanagh 2021），可以在星系中心（Blinnikov 等人 2016；Liu 和 Bromm 2025）和球状星团（Dolgov 和 Postnov 2017）中孕育超大质量黑洞，可以生成宇宙结构（Carr 和 Silk 2018），并且被用来解释由 JWST 观测提出的早期星系形成问题，对这些 PBH 的丰度要求不高（Colazo 等人 2024；Hütsi 等人 2023；Huang 等人 2024a；Gouttenoire 等人 2023；Huang 等人 2024c）。关于与 PBH 相关的物理学的最新综述，可以参考例如 Sasaki 等人（2018），Carr 和 Kuhnel（2020），Escrivà 等人（2022a），?zsoy 和 Tasinato（2023），Carr 等人（2024），Choudhury 和 Sami（2025）。

PBH 与 mHz 范围内引力波的相关性源于几个事实。最重要的问题是 PBH 暗物质。根据当前的观测，只有质量在 \(\sim 10^{16}-10^{22}\,\hbox {g}\)（小行星质量范围）的 PBH 才可能构成所有的暗物质。坍缩成 PBH 的密度波动可以在 mHz 波段产生引力波背景，这可以通过 TianQin 探测到。此外，PBH 可以在 \(10^3-10^4 \,{\textrm{M}_\odot }\) 的质量范围内形成双星系统，这些双星系统来自扩展的 PBH 对数正态质量分布的尾部（Blinnikov 等人 2016）。Postnov 和 Chekh（2024）研究了 TianQin 探测此类原初中等质量双星系统合并的可能性。这类原初 IMBH 合并的显著特征是较小的有效自旋、可能的高红移 \(z>20\)，以及与富含气体的区域或星系的缺乏关联。

PBH 也可以由不同的视界内过程产生，这些过程会留下不同的引力波信号。这些包括在FoPTs期间的气泡碰撞（Gross 等人 2021；Baker 等人 2021；Kawana 和 Xie 2022；Liu 等人 2021a），域壁的坍缩（Rubin 等人 2000；Deng 等人 2017；Liu 等人 2020c；Gouttenoire 和 Vitagliano 2024；Li 和 Zhou 2024；Ferreira 等人 2024；Lu 等人 2024），Q-球/振荡子（Cotner 和 Kusenko 2017a, b；Cotner 等人 2018, 2019）等，这里不再详细讨论。

3.2.1 PBH 丰度和观测限制
PBH 的质量及其丰度可以用 Press-Schechter 类型的形式主义来估计。粗略地说，原初密度波动 \(\delta \equiv \delta \rho /\rho \) 在所有哈勃区域中呈随机分布，其中在少数罕见区域 \(\delta\) 可能较大，以至于过密区域在重新进入哈勃视界时立即发生引力坍缩。Carr 和 Hawking（1974）通过 Jeans 不稳定性估计的过密度阈值大约是状态方程参数 \(\sim w\)。更精确的计算显示 \(\delta _\textrm{th}\approx 0.41\)（Harada 等人 2013）。因此，假设高斯统计，对于一个典型的共动尺度 \(k^{-1}\) 的过密区域，任何给定体积内坍缩成 PBH 的能量密度比例为
$$\begin{aligned} \beta (M)=\frac{\alpha }{\sqrt{2\pi }\sigma _\delta (k(M))}\int _{\delta _\textrm{th}}\exp \left( -\frac{\delta ^2}{2\sigma _\delta ^2(k(M))}\right) \textrm{d}\delta =\frac{\alpha }{2\sigma _\delta (M)}\text {erfc}\left( \frac{\delta _\textrm{th}}{\sqrt{2}\sigma _\delta (M)}\right) \,, \end{aligned}$$
其中 \(\alpha \sim 0.2\) 是坍缩成 PBH 的哈勃质量的典型比例，\(\sigma _\delta \) 是密度对比的均方根。注意 \(\sigma _\delta \) 取决于过密区域的共动波数 k，这可以在 PBH 形成时转移到视界质量上。积分给出了一个补充的误差函数，该函数在高 \(\sigma \) 尾部近似为高斯抑制。在宇宙早期形成 PBH 后，它们的能量密度按 \(a^{-3}\) 衰减，而背景辐射按 \(a^{-4}\) 衰减。因此，在计算 PBH 丰度时必须考虑红移因子，PBH 丰度定义为今天的 PBH 能量密度与暗物质密度的比值（Carr 等人 2020）：
$$\begin{aligned} f_{\text{PBH}}=3.81\times 10^{8}\alpha ^{1/2}\left( \frac{g_{*i}}{106.75}\right) ^{-1/4}\left( \frac{h}{0.67}\right) ^{-2}\beta (M)\left( \frac{M}{\,{\text{M}_\odot }}\right) ^{-1/2}\,, \end{aligned}$$
其中 \(g_*\) 是 PBH 形成时的相对论性自由度的有效数量，\(h=H/(100\,\mathrm {km/s/Mpc})\)。将尺度不变的密度扰动外推到所有尺度 \(\sigma _\delta \sim 10^{-5}\) 时，只能产生可以忽略不计数量的 PBH \(\beta \sim \exp (-10^8)\)。要产生丰富的 PBH（\(f_\textrm{PBH}\sim \mathcal {O}(0.1)\)，需要 \(\delta /\sigma _\delta \sim 10\)，这意味着曲率扰动的功率谱在小尺度上必须增强到 \(\mathcal {P}_{\mathcal{R}}\sim 10^{-2}\)。这是观测上允许的，因为对小尺度的观测限制非常弱（Bringmann 等人 2012；Chluba 等人 2012；Green 2018；Sato-Polito 等人 2019；Gow 等人 2021；Byrnes 等人 2019；Inomata 和 Nakama 2019；Dalianis 2019；Lu 等人 2019b；Kalaja 等人 2019；?zsoy 和 Tasinato 2020）。许多膨胀模型可以实现这种增强，包括超慢速膨胀（Yokoyama 1998；Garcia-Bellido 等人 2016；Cheng 等人 2017；Garcia-Bellido 和 Ruiz Morales 2017；Cheng 等人 2018；Dalianis 等人 2019；Tada 和 Yokoyama 2019；Xu 等人 2020；Mishra 和 Sahni 2020；Bhaumik 和 Jain 2020；Liu 等人 2020b；Atal 等人 2020；Fu 等人 2020a；Vennin 2020；Ragavendra 等人 2021；Gao 和 Yang 2021），多场膨胀（Garcia-Bellido 等人 1996；Kawasaki 等人 1998；Frampton 等人 2010；Giovannini 2010；Clesse 和 García-Bellido 2015；Inomata 等人 2017；Di 和 Gong 2018；Inomata 等人 2018；Espinosa 等人 2018；Kawasaki 等人 2020；Palma 等人 2020；Fumagalli 等人 2023；Braglia 等人 2020；Anguelova 2021；Romano 2020；Gundhi 和 Steinwachs 2021；Gundhi 等人 2021；Wang 等人 2024e），修正引力（Kannike 等人 2017；Pi 等人 2018；Gao 和 Guo 2018；Cheong 等人 2021, 2020；Fu 等人 2019a；Dalianis 等人 2020；Lin 等人 2020；Fu 等人 2020b；Aldabergenov 等人 2020, 2021；Yi 等人 2021；Gao 等人 2021），曲率子场景（Kawasaki 等人 2013；Kohri 等人 2013；Ando 等人 2018b, c；Chen 和 Cai 2019），声速共振和其他共振（Cai 等人 2018, 2019c, 2020a；Chen 等人 2020a；Cai 等人 2020c；Zhou 等人 2020；Cai 等人 2021；Peng 等人 2021；Xie 等人 2024），相变（Hawking 等人 1982；Crawford 和 Schramm 1982；Gross 等人 2021；Baker 等人 2021；Kawana 和 Xie 2022；Liu 等人 2021a, 2023a），振荡子衰变（Cotner 和 Kusenko 2017a, b；Cotner 等人 2018, 2019；Kusenko 等人 2020）等。

数值相对论和宇宙扰动理论的最新发展更新了我们对 PBH 形成的认识。首先，数值相对论表明，阈值应该放在质量过剩与面积半径的比值上，即所谓的压缩函数 \(\mathscr {C}=2G\delta M/R\)，其中 \(\delta M\equiv M_{K}(R)-M_H\) 是半径 R 内的 Kodama 质量 \(M_K\)（Kodama 1980）减去背景质量（Shibata 和 Sasaki 1999）。使用共动曲率扰动 \(\mathcal {R}\)，压缩函数可以表示为（Harada 等人 2015；Kawasaki 和 Nakatsuka 2019；Young 等人 2019；De Luca 等人 2019）：
$$\begin{aligned} \mathscr {C}=\mathscr {C}_{\ell }-\frac{3}{8} \mathscr {C}_{\ell }^2,\qquad {\textrm{with}}\,\mathscr {C}_\ell =-\frac{4}{3}r\frac{\partial \mathcal {R}}{\partial r}, \end{aligned}$$
其中 r 是度规 \(ds_3^2=a^2e^{2\mathcal {R}}({\textrm{d}} r^2+r^2{\textrm{d}}\Omega _2)\) 中的径向坐标，它与 R 的关系是 \(R=are^{\mathcal {R}(r)}\)。由于高峰值很罕见，曲率扰动的轮廓是球形的，压缩函数 \(\mathscr {C}(r)\) 仅依赖于半径。阈值 \(\mathscr {C}_{\textrm{th}}\) 根据其轮廓从 0.4 变化到 0.7（Musco 2019）。然而，发现在半径 \(R_m\) 内平均的压缩函数阈值是普遍的，即 \(\left\langle \mathscr {C}(R)\right\rangle _{R<R_m}>2/5\)（Escrivà 等人 2020），这给出了依赖于轮廓的阈值 \(\mathscr {C}_{\textrm{th}}\) 和 \(\mathscr {C}_{\ell ,{\textrm{th}}\)。假设的轮廓可以通过拟合公式（Musco 2019；Escrivà 等人 2020；Young 2019）或峰值理论（Yoo 等人 2018；Atal 等人 2019, 2020；Yoo 等人 2021；Kitajima 等人 2021）给出。从 \(\mathcal {R}\) 的概率密度函数（PDF）出发，可以通过概率在最简单的慢滚情况下，\(\mathcal {R}\approx -(H/\dot{\varphi })\delta \varphi \)，因此
$$\begin{aligned} \mathbb {P}(\mathcal {R})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{\mathcal {R}}(r_w)}\exp \left( -\frac{\mathcal {R}^2}{2\sigma _\mathcal {R}^2(r_w)}\right) \end{aligned}$$
（64）
是一个高斯概率密度函数（PDF），其中
$$\begin{aligned} \sigma _{\mathcal {R}}^2(r_w)=\int \frac{\textrm{d}k}{k}\mathcal {P}_{\mathcal {R}}(k)W^2(k;r_w) \end{aligned}$$
（65）
是由\(\mathcal {R}\)的功率谱和窗口函数\(W(k;r_w)\)确定的方差，窗口函数的滤波尺度为\(r_w\)。关于窗口函数和平滑尺度的详细讨论，可以参见Ando等人（2018a）、Young（2019）、Yoo等人（2021）的研究。积分（62）的上限4/3是II型波动的边界，这超出了本文的范围（Escrivà等人2022b, 2023；Uehara等人2024；Inui等人2024；Shimada等人2024）。通过峰值理论也可以计算PBH质量函数，该理论计算高斯场的峰值数密度，而不是使用PDF。感兴趣的读者可以参考Green等人（2004；Yoo等人2018；Germani和Musco 2019；Atal等人2019, 2020；Young和Musso 2020；Yoo等人2021；Taoso和Urbano 2021；Riccardi等人2021；Kitajima等人2021；Young 2022；Pi等人2025）的文献了解更多细节。

给定曲率扰动的功率谱\({\mathcal {P}_{R}}\)，可以计算PBH质量函数，并与观测限制进行比较。有许多实验旨在探测不同质量的PBH。质量约为\(10^{16}\)克的较小PBH可以通过外星系伽马射线或其他宇宙射线来探测，因为这些小黑洞接近它们的末日，因此会强烈辐射（Carr等人2020）。质量大于\(10^{23}\)克的PBH可以通过微引力透镜实验来探测，例如Subaru HSC（Niikura等人2019）、EROS（Tisserand等人2007a）和OGLE（Mroz等人2024a, b）。最近结合这些实验的结果表明，对于质量从\(10^{23}\)克到几个太阳质量的广泛范围，\(f_\textrm{PBH}\lesssim 1\%\)（Escrivà等人2022b, 2023；Uehara等人2024；Inui等人2024；Shimada等人2024；Young和Musso 2024）。通过PBH直接搜索（LVK）可以得出质量小于太阳质量的黑洞双星系统的限制，即\(f_\textrm{PBH}<10\%\)，对于\(M_\textrm{PBH}=0.4\)–\(1\,{\textrm{M}_\odot }\)（Abbott等人2023e）。来自Planck数据的吸积限制可以约束质量从几个到一万\(\,{\textrm{M}_\odot }\)的PBH（Serpico等人2020），而宇宙微波背景辐射（CMB）的\(\mu \)-畸变可以排除PBH作为大质量黑洞（MBH）的种子（Delabrouille等人2021；Chluba等人2021），除非存在大的非高斯性（Nakama等人2016, 2018, 2019；Atal等人2021；Carr和Silk 2018；Liu和Bromm 2022；Biagetti等人2023；Gouttenoire等人2023；Hooper等人2024；Huang等人2024b）。有关所有更新的观测限制的综述，可以参见Carr和Kuhnel（2020），Carr等人（2024）。不幸的是，由于有限尺寸效应和波动效应，微引力透镜无法探测质量小于\(10^{23}\)克的PBH（Sugiyama等人2020；Montero-Camacho等人2019；Smyth等人2020），这使得质量在行星质量范围内的PBH成为唯一的暗物质来源，即\(f_\textrm{PBH}=1\)。关于这个质量范围的综述，可以参见Green和Kavanagh（2021），Villanueva-Domingo等人（2021），Green（2024），Tinyakov（2024）。未来有一些方法可以探测行星质量的PBH，包括对伽马射线暴（GRBs）的飞秒引力透镜（Katz等人2018），伽马射线望远镜（Ray等人2021），GRB透镜视差（Jung和Kim 2020；Gawade等人2023），X射线微引力透镜（Tamta等人2024），太阳系捕获（Tran等人2024；Cuadrat-Grzybowski等人2024；Loeb 2024）等。然而，探测PBH暗物质最有效的方法是探测在毫赫兹波段同时产生的引力波（GWs）（Saito和Yokoyama 2009；Cai等人2019a；Bartolo等人2019b）。

3.2.2 用TianQin探测诱导的GWs
驱动密度扰动塌缩成PBH的曲率扰动也可以产生引力波。尽管在线性阶没有标量和张量扰动之间的直接耦合，但曲率扰动可以在二次阶产生引力波，这通常被称为次级引力波或诱导引力波（Matarrese等人1993, 1994, 1998；Noh和Hwang 2004；Carbone和Matarrese 2005；Nakamura 2007；Ananda等人2007；Osano等人2007；Baumann等人2007）。

脚注1 在标量扰动的二次阶，横向无迹规范下的张量扰动\(h_{ij}\)的运动方程为\(\square h_{ij}\sim \Lambda ^{kl}{{\phantom{a}}}_{ij}\partial _k\Phi \partial _l\Phi \)，其中\(\Lambda ^{kl}{{\phantom{a}}}_{ij}\)是横向无迹投影算子，\(\Phi =(2/3)\mathcal {R}\)是纵向规范下的曲率扰动。通过解这个运动方程，我们可以得到今天观测到的诱导引力波的能量密度谱（Kohri和Terada 2018；Pi和Sasaki 2020；Domènech 2021）
$$\begin{aligned} \Omega _{\text {GW},0}(f)h^2= & 1.6\times 10^{-5}\left( \frac{g_{*s}(\eta _k)}{106.75}\right) ^{-1/3}\left( \frac{\Omega _{r,0}h^2}{4.1\times 10^{-5}}\right) \nonumber \\ & \times 3\int ^{\infty}_0\rm{d} v\int ^{1+v}_{|1-v|}\rm{d} u\frac{1}{4u^2v^2}\left[ \frac{4v^2-(1+v^2-u^2)^2}{4uv}\right] ^2\left( \frac{u^2+v^2-3}{2uv}\right) ^4\nonumber \\ & \times \left[ \left( \ln \left| \frac{3-(u+v)^2}{3-(u-v)^2}\right| -\frac{4uv}{u^2+v^2-3}\right) ^2+\pi ^2\Theta \left( u+v-\sqrt{3}\right) \right] \mathcal {P}_\mathcal{R}(uk)\mathcal {P}_\mathcal{R}(vk), \end{aligned}$$
（66）
其中\(\mathcal {P}_\mathcal{R}\)是共动曲率扰动的功率谱，它也决定了（59）中的\(\sigma _\delta \)和（62）中\(\mathcal {R}\)的方差。通过这种方式，PBH的丰度和诱导引力波谱的幅度是相关的。对于单色（Kohri和Terada 2018）、对数正态（Pi和Sasaki 2020）和断裂幂律（Li等人2024a）功率谱，（66）中的积分可以解析计算。其光谱形状显示了一些特征，可以用来区分其他随机引力波（SGWBs）。例如，在辐射主导的时代，红外光谱对于窄峰按\(f^2\)缩放，对于宽峰按\(f^3\)缩放（Cai等人2020b；Pi和Sasaki 2020）。这些缩放可以用来探测早期宇宙的热历史，如果存在任何偏差的话（Domènech 2020；Domènech等人2020；Dalianis和Kritos 2021；Hook等人2021；Brzeminski等人2022；Franciolini等人2024；Domènech和Tr?nkle 2024）。它们可以与由非相干螺旋MBHs产生的随机引力波区分开来，后者的关系为\(\Omega _\textrm{GW,0}\propto f^{2/3}\）（Ajith等人2011；Zhu等人2011, 2013）。

为了估计峰值幅度，请注意，这样的诱导引力波在曲率扰动重新进入视界时产生效率最高，此时红移为\(\Omega _\textrm{GW,0}\sim 10^{-6}\mathcal {P}_\mathcal {R}^2\)。因此，在大尺度上，一个几乎尺度不变的引力波谱\(\Omega _\textrm{GW,0}\sim 10^{-24}\)是普遍存在的，因为那里的\(\mathcal {P}_\mathcal{R}\sim 10^{-9}\)。这远远超出了我们的探测能力，也远小于大多数膨胀模型中的原初引力波\(\Omega _\textrm{GW,0}^\mathrm {(prim)}\sim r\times 10^{-14}\)，如果张量与标量的比率\(r>10^{-10}\）（Baumann等人2007）。然而，如果在小尺度上功率谱增强到\(10^{-2}\），如探测到足够数量的PBH所需的那样，伴随的诱导引力波谱可以达到\(\Omega _\textrm{GW,0}\sim 10^{-10}\)，这可以通过许多针对毫赫兹及以下频率的引力波实验来探测（Saito和Yokoyama 2009）。

由于PBH的形成和诱导引力波的产生发生在曲率扰动重新进入视界附近，因此PBH的质量和诱导引力波的频率主要取决于重新进入的哈勃尺度，它们通过以下关系相连（Saito和Yokoyama 2009）
$$\begin{aligned} f_\textrm{IGW}\approx 3\,\textrm{Hz}\left( \frac{M_\textrm{PBH}}{10^{16}\,\textrm{g}}\right) ^{-1/2}\left( \frac{g_*}{106.75}\right) ^{-1/12}. \end{aligned}$$
（67）
使用这个关系，可以在大多数质量范围内对PBH的丰度和引力波谱进行交叉验证。例如，最近的脉冲星计时阵列合作项目NANOGrav（Agazie等人2023b, c）、EPTA+InPTA（Antoniadis等人2023a, b, c）、PPTA（Zic等人2023；Reardon等人2023a, 2023b）、CPTA（Xu等人2023a）、IPTA（Agazie等人2023a）和MPTA（Miles等人2024a, b）都报告在\(10^{-8}\)–\(10^{-7}\) Hz范围内探测到了SGWB。诱导引力波可以很好地拟合数据，这应该伴随着大量的亚太阳质量PBH。准确的分析表明，由于重建的曲率扰动幅度过大，亚太阳质量的PBH可能被过度产生了（Afzal等人2023；Cai等人2019b）。引入负的非高斯性（Pi和Sasaki 2023）或更硬的状态方程（Harada等人2013；Escrivà等人2022a）来抑制PBH的形成并解决这个问题（Wang等人2024d；Liu等人2023b；Zhu等人2024b；Domènech等人2024；Franciolini等人2023；Inui等人2024）。

正如我们之前提到的，对于质量在\(10^{-16}\,{\textrm{M}_\odot }\)到\(10^{-10}\,{\textrm{M}_\odot }\)（即\(10^{16}\)克到\(10^{23}\)克）的行星质量范围，无法进行这样的交叉验证，因为没有PBH的观测限制。这些行星质量的PBH可以是所有的暗物质，这必须伴随着频率在\(10^{-3}\)–1 Hz范围内的诱导引力波，由（67）给出。这正是TianQin（Liang等人2022b）和其他基于太空的引力波探测器（Seoane等人2023；Auclair等人2023；Arun等人2023；Bagui等人2023；Ren等人2023b）最敏感的频率范围。

为了具体起见，我们将研究TianQin对单色功率谱\(\mathcal {P}_\mathcal {R}=\mathcal {A}_\mathcal {R}\delta (\ln k-\ln k_*)\)（68）的PBH暗物质的探测能力，其中\(\mathcal {A}_\mathcal {R}\)具有高斯统计特性。

脚注2 （66）中显示的诱导引力波谱的计算是直接的，并给出了一个简单的解析表达式（Kohri和Terada 2018）。当改变\(\mathcal {A}_\mathcal {R}\)和\(k_*\)时，引力波谱会扫过相应的\(\Omega _\textrm{GW,0}\)和\(f_*\)参数空间。给定TianQin的噪声曲线\(S_n(f)\)（由（1）给出），可以定义
$$\begin{aligned} \Omega _{n}h^2=\frac{4\pi }{3H_{100}^2}f^3S_n(f). \end{aligned}$$
（69）
任何信号\(\Omega _{\textrm{GW,0}}\)的探测能力由信噪比（SNR）描述，由（Maggiore 2007；Caprini和Figueroa 2018）定义
$$\begin{aligned} \textrm{SNR}=\left[ T\int ^\infty _0\left( \frac{\Omega _\textrm{GW,0}(f)h^2}{\Omega _\textrm{n}(f)h^2}\right) ^2\textrm{d}f\right] ^{1/2}, \end{aligned}$$
（70）
其中\(\Omega _{\textrm{GW,0}(f)\)是我们正在寻找的SGWB的谱，T是观测的总持续时间。对于幂律信号\(\Omega _\textrm{GW,0}(f)\propto f^\beta \)，在（Thrane和Romano 2013）中开发了一种基于幂律积分灵敏度的简单方法，可以直接从幂律积分曲线和幂律引力波谱中读取SNR。当我们考虑诱导引力波的红外幂律尾部时，即\(\Omega _\textrm{GW,0}(f)\propto f^2\)（或对于宽峰\(\Omega _\textrm{GW,0}(f)\propto f^3\)（Pi和Sasaki 2020）时，这种方法很方便）。然而，当引力波谱在可探测范围内显示一个峰值时，这种方法就不方便了，我们应该回到（70）。

在图24（左）中，我们展示了一些可能的边缘信号，其\(\textrm{SNR}=3\)，以及通过（69）转换为\(\Omega _nh^2\)的TianQin噪声灵敏度曲线，以及基于它的幂律积分灵敏度曲线。黑色曲线是按\(\Omega _nh^2\)表示的TianQin噪声，由（69）和（1）给出。我们银河系中白矮星并合产生的引力波背景已经通过（Karnesis等人2021）给出的拟合公式减少，只剩下大约\(1.5\times 10^{-3}\) Hz的凹陷。灰色曲线是由（Thrane和Romano 2013）提出的方法生成的幂律积分灵敏度曲线。我们还绘制了一些边缘诱导引力波信号，其峰值波数分别为忽略窗函数带来的不确定性，可以使用Press-Schechter型形式主义（如公式（62）来计算PBH质量函数\(\beta (M_\textrm{PBH})\)，以及通过公式（60）计算PBH的丰度\(f_\textrm{PBH}\)。因此，可以将\(\mathcal {A}_\mathcal{R}(k)\)的可探测性转移到\(f_\textrm{PBH}(M_\textrm{PBH})\)的范围内，如图25（左）所示，其中\(\textrm{SNR}=3\)（包括Taiji和LISA的情况），以及图25（右）中更高的\(\textrm{SNR\)情况。在图25的两个图中，我们清楚地看到TianQin能够覆盖整个小行星质量范围。如果PBH是由高斯原始扰动形成的，并且这些PBH构成了所有暗物质，那么TianQin在3年内必须观测到强烈的伴随的SGWB，其\(\text{SNR}>10^3\)。因此，寻找PBH暗物质的信号是TianQin的一个重要科学目标。

关于可探测性的一个常见误解是，简单地将可探测频率范围转移到PBH质量范围（由公式（67）关联）后，会在低质量端留下一个看似无法探测到的间隙。例如，当\(\Omega _\textrm{GW,0}\gtrsim 10^{-11}\)时，需要\(10^{-4}\)–\(10^{-1}\) Hz的频率范围，这对应于\(10^{19}\)–\(10^{25}\) g的质量范围，从而留下了一个看似无法探测到的\(10^{16}\)–\(10^{19}\) g的间隙。图24（左）中显示了“间隙”中的一个典型信号，即最右侧的紫色曲线。尽管峰值无法探测到，但其红外尾部仍然位于功率律积分灵敏度曲线之上。因此，诱导的引力波（GW）的红外尾部有助于覆盖低频间隙，使TianQin能够探测整个小行星质量范围，如图25（左）中明确显示的那样。PBH丰度\(f_\textrm{PBH}(M_\textrm{PBH})的可探测性，再加上其他一些观测限制，如PBH蒸发（黄色阴影部分）对宇宙微波背景（CMB）各向异性的影响（Acharya和Khatri 2020）、以及外星系伽马射线（Carr等人2010）和微引力透镜效应（蓝色阴影部分）对Subaru HSC（Niikura等人2019）、EROS（Tisserand等人2007b）、OGLE（Mroz等人2024b）的影响。红色虚线之间的区域是TianQin可以探测的参数空间，总持续时间为3年，\(\textrm{SNR}=3\)。为了比较，我们还绘制了LISA（紫色虚线，Amaro-Seoane等人2017；Babak等人2021）和Taiji（绿色虚线，Luo等人2020）在相同持续时间和\(\textrm{SNR\)下的可探测区域。图25（右）显示了TianQin在更高\(\textrm{SNR\)下的可探测性。尽管上述结论是基于具有高斯统计特性的窄峰得出的，但对于宽峰和局部非高斯性情况，同样的结论也是成立的。详细分析将在另一篇论文中讨论（Hong等人2026）。

图25：该图像的替代文本可能是使用AI生成的。

**完整尺寸图像：**
- **（左）** TianQin（红色虚线）、Taiji（绿色虚线）和LISA（紫色虚线）可探测的PBH丰度区域。每对虚线之间的区域在\(\text{SNR}=3\)的情况下3年内是可探测的。还绘制了一些当前的约束条件。详情请参见正文。
- **（右）** 不同\(\text{SNR}\)下TianQin的可探测性以不同颜色深度的阴影区域显示，从\(\text{SNR}=3\)到\(\text{SNR}=10^4\)。很明显，如果PBH构成了所有暗物质，TianQin可以探测到其伴随的引力波信号，其\(\text{SNR}>10^3\)。

**3.2.3 分散性、非高斯性和引力波各向异性**
**小节协调人：** Shi Pi, Sai Wang

在本小节中，我们将讨论一些关于标量诱导引力波（scalar-induced GWs）的最新话题。首先，我们将展示TianQin探测PBH暗物质的能力对于分散性（即功率谱的宽度）和非高斯性曲率扰动的鲁棒性。我们通过讨论引力波各向异性作为非高斯性的探针来结束这一部分。

**分散性和非高斯性**
虽然单色功率谱（68）在物理上是不现实的（Inomata和Luo 2024），但它代表了可以通过共振等现象产生的窄功率谱（Cai等人2018, 2019c, 2020a; Chen等人2020a; Cai等人2020c; Zhou等人2020; Cai等人2021; Peng等人2021; Xie等人2024）。由单场膨胀增强后的典型功率谱会显示出由调制振荡产生的峰值，其宽度约为\(\sim 1/2\pi\)（Dalianis等人2021; Pi和Wang 2023），而对于从慢滚动到超慢滚动的温和过渡，也可能出现更宽的峰值（Byrnes等人2019; Cole等人2024; Pi和Wang 2023）。在计算这种宽功率谱的PBH质量函数时必须考虑窗函数（Ando等人2018a; Young 2019; Yoo等人2021; Pi等人2025），这会导致PBH质量函数的扩展。所有的观测限制（如微引力透镜、外星系伽马射线等）都假设了单色质量函数，这需要重新排列以生成每个扩展质量函数的模型依赖性约束。来自扩展质量函数的新限制通常更为严格（Carr等人2017; Gorton和Green 2024; Green 2017）。另一方面，TianQin探测PBH质量的范围在小质量端只会略微缩小，主要是因为红外缩放变得更加陡峭（即从\(k^2\)变为\(k^3\)（Cai等人2020b; Pi和Sasaki 2020））。因此，我们在第3.2节中对单色功率谱的分析足以表明TianQin可以覆盖整个小行星质量范围并探测PBH暗物质。

为了简化，在第3.2节中我们假设了高斯曲率扰动。然而，特别是在单场膨胀中，增强曲率扰动的功率谱通常伴随着较大的非高斯性（Byrnes等人2012; Young和Byrnes 2013; Tada和Yokoyama 2015; Young和Byrnes 2015; Young等人2016; Franciolini等人2018; Ando等人2018c; Atal和Germani 2019; Passaglia等人2019），这显著增加了在相同方差下的PBH丰度，并且具有正偏度。传统上，在宇宙微波背景（CMB）和大尺度结构中，这种局部非高斯性可以用以下级数描述：
$$\begin{aligned} \mathcal {R}=\mathcal {R}_g+\frac{3}{5}f_\textrm{NL}\mathcal {R}_g^2+\frac{9}{25}g_\textrm{NL}\mathcal {R}_g^3+\frac{27}{125}h_\textrm{NL}\mathcal {R}_g^4+\cdots . \end{aligned}$$ （71）

根据公式（62），这样的级数可以用来计算PBH丰度，通常只计算到四次方水平（Byrnes等人2012; Young和Byrnes 2013; Tada和Yokoyama 2015; Young和Byrnes 2015; Young等人2016; Franciolini等人2018; Ando等人2018c; Atal和Germani 2019; Passaglia等人2019; ?zsoy和Tasinato 2023）。然而，最近的研究表明，扰动级数（71）不足以完全描述非高斯性对PBH形成的影响，因为在超慢滚动和恒定滚动模型中\(f_\textrm{NL}\)趋向于\(\mathcal {O}(1)\）（Namjoo等人2013; Martin等人2013; Chen等人2013; Motohashi等人2015; Davies等人2022; Namjoo 2024; Namjoo和Nikbakht 2024）。\(\mathbb {\mathcal {R}}\)的概率密度函数（PDF）通常具有指数尾部\(\mathbb {P}(\mathcal {R})\sim \exp [-(6/5)f_\textrm{NL}\mathcal {R}]\)（对于\(f_\textrm{NL}>0\)（Pi和Sasaki 2023; Pi 2024），这大大增加了PBH丰度，并且不能用扰动级数来描述。进一步的增强可能由所谓的“重尾”引起（Nakama等人2016; Hooshangi等人2022, 2023），例如在曲率子（curvaton）情景中可以实现（Pi和Sasaki 2021; Hooper等人2024）。由于PBH丰度对\(\mathscr {C}_\ell \)在PBH形成范围内的PDF非常敏感，即\(\mathcal {O}(0.5)<\mathscr {C}_\ell <4/3\)，这样的指数或重尾可以显著增加PBH丰度。

然而，当固定PBH丰度为所有暗物质时，这种非高斯性对所需曲率扰动方差的变化很小，因为这些远端的变化对方差的影响很小。这使得即使\(f_\textrm{NL}\sim \mathcal {O}(1)\)，使用扰动级数（71）来计算诱导的引力波谱仍然是有效的。只要高阶项保持较小，即\(g_\textrm{NL}\ll f_\textrm{NL}/\mathcal {R}\)，\(h_\textrm{NL}\ll F_\textrm{NL}/\mathcal {R}^2\)等，总是可以通过扰动级数进行计算，最初是针对二次方展开（Nakama等人2017; Garcia-Bellido等人2017; Cai等人2019a; Unal 2019; ünal等人2021; Adshead等人2021; Ragavendra 2022），然后扩展到三次方（直到\(g_\textrm{NL}\）（Abe等人2023; Yuan等人2023; Li等人2024c）和五次方（直到\(i_\textrm{NL}\）（Perna等人2024）阶。显然，当PBH丰度固定时，即\(f_\textrm{PBH}=1\)，如果偏度为正，诱导的引力波会减弱，因为生成PBH所需的方差更小。然而，在大多数模型中，这种减少是有限的，大的非高斯性限制仍然在TianQin的灵敏度曲线之上。因此，毫赫兹范围内的强标量诱导引力波是PBH暗物质的稳健预测，TianQin可以很好地探测到它。此外，非高斯性可能在诱导引力波谱的峰值周围留下特征性特征，使TianQin能够探测到小尺度上的原始非高斯性。有关非高斯性的详细讨论，请参见Pi（2024）及其参考文献。

**3.2.4 引力波各向异性**
角功率谱可能是识别诱导引力波存在以及解码宇宙起源和演化信息的最重要可观测量之一。角功率谱的定义与沿两条视线的引力波密度对比的两点角相关性有关（Contaldi 2017; Bartolo等人2019a, 2020b; Schulze等人2023）。因此，它可以表征诱导引力波的能量密度各向异性，从而编码了引力波源的重要信息，例如上述的原始非高斯性。对诱导引力波的角功率谱的相关研究可以类似于对宇宙微波背景（CMB）的研究（Bartolo等人2020a; Li等人2023a, 2024c; Rey 2024; Ruiz和Rey 2024; Schulze等人2023; Zhao等人2024; Bartolo等人2022; Auclair等人2023; Malhotra等人2023; Wang等人2024d; Yu和Wang 2024）。应该注意的是，诱导引力波可以包含一些初始不均匀性的基本信息，而这些信息在宇宙微波背景温度各向异性和极化中是不存在的，因为早期宇宙对光子的传播是不透明的。这是引力波探测与其他宇宙学探测（如CMB、大尺度结构等）相比的最大优势之一。由于压缩的原始非高斯性，初始不均匀性可以通过长波长扰动和产生诱导引力波的短波长扰动之间的耦合产生。通过一系列详细分析（Bartolo等人2020a; Li等人2023a, 2024c; Rey 2024; Ruiz和Rey 2024; Schulze等人2023; Zhao等人2024; Bartolo等人2022; Auclair等人2023; Malhotra等人2023; Wang等人2024d; Yu和Wang 2024），角功率谱可以表示为\(C_{\ell } = 4\pi \int d\ln k\, \mathcal {T}_{\ell }^{2}(q,k,\eta _{0}) P(k)\)，其中P(k)代表大尺度原始曲率扰动的功率谱，\(\mathcal {T}_{\ell }\)是诱导引力波的密度对比的传递函数，\(\ell \)表示角多极。它可以使用GW_CLASS的修改版本（Zhao等人2024）进行数值计算，这是宇宙线性各向异性求解系统（Schulze等人2023）。特别是，由于CMB观测到的P(k)在大尺度上几乎是尺度不变的，诱导引力波的角功率谱大致与\(\ell (\ell +1)\)成反比，表现出与CMB在低\(\ell \)多极相似的行为。根据压缩原始非高斯性的具体幅度，它们可以在诱导引力波的大各向异性中产生（Bartolo等人2020a; Li等人2023a, 2024c; Rey 2024; Ruiz和Rey 2024; Wang等人2024; Yu和Wang 2024），这些各向异性可能与天体物理引力波背景的各向异性一样大甚至更大（Cusin等人2018, 2017, 2020, 2019; Jenkins等人2019a, 2018, 2019b; Wang等人2022c; Mukherjee和Silk 2020; Bavera等人2022; Bellomo等人2022; Li等人2024f）。诱导引力波的多极依赖性与天体物理引力波背景的不同，后者大致与\((2\ell +1)\)成反比（Cusin等人2018; Wang等人2022c），这意味着原则上可以区分天体物理和宇宙学引力波源。在未来，对上述诱导引力波（GWs）各向异性的理论分析可能会通过TianQin天文台进行验证（Liang等人，2024b；Li等人，2025b）。此外，对诱导GWs的两点角相关性的研究可以推广到研究表征诱导GWs非高斯性的n点角相关性（Bartolo等人，2020a；Li等人，2024b），以及诱导GWs与其他宇宙学探针（如宇宙微波背景辐射CMB）之间的交叉相关性（Dimastrogiovanni等人，2023；Schulze等人，2023；Zhao等人，2024；Cai等人，2024），这些也可以成为探索原初非高斯性的重要观测指标。

3.3 在膨胀期间由相变产生的引力波
小节协调人：Haipeng An

慢滚膨胀模型仍然是解释宇宙膨胀的最可行框架之一。为了使该模型有效运作，膨胀子场必须经历一个与普朗克尺度相当的过程。此外，在膨胀结束时，膨胀子场必须将其能量转移到标准模型粒子（SMPP particles）中。这需要膨胀子场与其他场（通常称为旁观场）之间的耦合。在本小节中，我们将膨胀子场表示为\(\phi\)，旁观场表示为\(\sigma\)。一般来说，\(\phi\)和\(\sigma\)之间的相互作用可以表示为$$\begin{aligned} f(\phi ) g(\sigma ) . \end{aligned}$$ （72）

因此，在膨胀子场\(\phi\)的演化过程中，旁观场的性质（如它们的耦合或质量）可能会发生显著变化。这些变化可能触发相变（An等人，2022a, b），从而导致多种丰富的现象学后果。这些包括引力波信号、曲率扰动和原初非高斯性。这样的相变在解决关于我们宇宙本质的基本问题方面也可能起着关键作用。例如，在这些相变过程中释放的潜在能量可能对今天观测到的暗物质遗迹丰度有所贡献。此外，它们还可以作为产生宇宙中物质-反物质不对称性的机制。在膨胀期间产生的引力波信号还可以为我们提供一扇了解超高能粒子物理过程的窗口，例如与大统一理论相关的相变（Hu和Zhou，2025）。这些相变可以产生两种类型的引力波。第一种类型称为初级引力波，它们直接由相变过程产生，如气泡碰撞或拓扑缺陷的形成。第二种类型称为次级引力波，它们是由相变过程中直接产生的曲率扰动引起的。在本小节的其余部分，我们将探讨这些引力波（GW）信号的详细性质及其使用TianQin天文台进行探测的潜力。

3.3.1 由膨胀期间的相变产生的初级引力波
由经典过程（如FoPTs）产生的引力波可以使用格林函数方法计算。在膨胀宇宙中的引力波方程可以表示为$$\begin{aligned} {h^{\textrm{TT}}_{ij}}^{\prime \prime }(\tau ,\textbf{k}) + \frac{2a^{\prime }}{a}{h^{\textrm{TT}}_{ij}}^{\prime }(\tau ,\textbf{k}) - \nabla ^2 {h^{\textrm{TT}}_{ij}}(\tau ,\textbf{k}) = 16 \pi G_N a^2 \sigma ^\textrm{TT}_{ij} , \end{aligned}$$ （73）

其中\(\tau\)是共形时间，a是尺度因子，\(\sigma ^\textrm{TT}\)是能量动量张量的横向且无迹部分。左边第二项中的\(a^{\prime }/a\)因子是由于宇宙膨胀而产生的摩擦。方程（73）的解可以表示为$$\begin{aligned} {\tilde{h}^{\textrm{TT}}_{ij}}(\tau ,\textbf{k}) = \int d\tau ^{\prime } \tilde{G}(\tau ,\tau ^{\prime }; k) \tilde{\sigma }^\textrm{TT}_{ij}(\tau ^{\prime },\textbf{k}) , \end{aligned}$$ （74）

其中傅里叶空间中的延迟格林函数满足运动方程$$\begin{aligned} {\tilde{G}}(\tau ,\tau ^{\prime };k)^{\prime \prime } + \frac{2a^{\prime }}{a}{\tilde{G}}^{\prime }(\tau ,\tau ^{\prime };k) + k^2 {\tilde{G}}(\tau ,\tau ^{\prime };k) = a^{-1} \delta (\tau - \tau ^{\prime }) . \end{aligned}$$ （75）

在膨胀期间，宇宙的膨胀正在加速。因此，共形时间\(\tau\)在未来是有限的。这通常被称为未来事件视界。通过移动共形时间，可以将事件视界设定在\(\tau =0\)。以de Sitter膨胀为例，我们有\(a(\tau ) = -(H\tau )^{-1}\)，\(\tau\)的范围是从\(-\infty \)到0。对于具有某个波数\(\textbf{k}\)的模式，\({\tilde{G}}(\tau ,\tau ^{\prime },k)\)从零开始振荡，然后在未来事件视界处冻结，如图26所示。冻结后的\({\tilde{G}}\)值，记为\({\tilde G}^f\)，将在膨胀后该模式重新进入视界时成为振荡的幅度，如图26所示。因此，如果源是瞬时的，今天的引力波的幅度和能量密度会随着波数k振荡。

图26
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展示了在膨胀期间由瞬时源产生的引力波模式的演化。可以看出，具有不同波数k的模式在视界处冻结在不同的\(h^f\)值上。

FoPT的时间尺度由以下公式确定$$\begin{aligned} \beta = - \frac{\partial S_B}{\partial t} , \end{aligned}$$ （76）

其中\(S_B\)是隧穿过程的反弹作用，t是物理时间。为了使FoPT在膨胀宇宙中完成，必须满足条件\(\beta \gg H\)。因此，\(\beta\)和H将波数域分为三个部分。在区域\(k_p > \beta\)内，\(k_p\)是相变时的物理波数，相变时间尺度\(\beta ^{-1}\)远大于波长。因此，谱的振荡特征预计会被抹去。在区域\( H< k_p < \beta \)内，引力波源仍然可以被视为瞬时的。因此，我们预期这个区域的引力波谱的振荡特征会保留下来。在区域\(k_p < H\)内，引力波模式在产生时已经超出了视界。因此，它已经被冻结，在膨胀后重新进入视界之前不会演化。

当引力波产生并且位于视界内\((k_p > H)\)时，它们的行为类似于辐射，其能量密度以\(a^{-4}\)的速度红移。然而，一旦模式离开视界，引力波的幅度就不再衰减，其能量密度仅以\(a^{-2}\)的速度红移，直到它重新进入视界。因此，与在辐射主导的宇宙中发生的类似相变过程产生的引力波相比，膨胀期间产生的引力波不会经历显著的抑制。

为了明确说明这一点，考虑宇宙在膨胀后经历瞬时重热的情况。如An等人（2022a）所示，引力波谱的峰值可以估计为$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}^\textrm{peak} \sim \Omega _R \times \left( \frac{H}{\beta }\right) ^5 \left( \frac{L}{\rho _\textrm{inf}}\right) ^2 , \end{aligned}$$ （77）

其中\(\Omega _R \approx 10^{-5}\)代表今天的辐射丰度，L是相变期间释放的潜在能量密度，\(\rho _\textrm{inf}\)是相变时的宇宙总能量密度。与在辐射主导时代产生的引力波（如（45）相比，这里唯一的额外抑制因子是\((H/\beta )^3\)。如An等人（2022a, 2022b）所讨论的，膨胀期间FoPT的典型\(H/\beta \)值约为0.1。因此，对于瞬时重热情景，引力波信号的典型峰值约为\(10^{-10} (L/\rho _\textrm{inf})^2\)。

引力波的大小也受到膨胀结束和辐射主导时代开始之间的中间阶段的影响。如An等人（2022b）所详细描述的，如果引力波模式在中间物质主导的时代重新进入视界，今天的\(\Omega _\textrm{GW}\)值相对受到抑制。相反，如果模式在中间动力学主导的时代重新进入视界，引力波信号会显著增强，使得\(\Omega _\textrm{GW}\)的峰值容易达到\(10^{-8}\)，如图27所示。此外，不仅振幅，不同频率区域的引力波谱的斜率也受到中间阶段的影响。因此，一旦通过谱的振荡特征识别出引力波的来源，就可以利用这些斜率来探测宇宙的详细演化。

图27
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展示了在膨胀期间由FoPT产生的初级引力波的谱。黑色和灰色曲线是TianQin的灵敏度曲线（更多解释见图24（左）的讨论）。

如An等人（2022a）和An与Yang（2024）所讨论的，由膨胀期间的相变产生的初级引力波的峰值频率由当时的哈勃参数决定。然后，今天观测到的引力波谱的峰值频率可以估计为$$\begin{aligned} f^\textrm{peak}_\textrm{today} \sim H\times e^{ - N_e} \frac{a_\textrm{end}}{a_\textrm{RH}} \times \left( \frac{T_\textrm{CMB}}{T_\textrm{RH}}\right) , \end{aligned}$$ （78）

其中因子\((T_\textrm{CMB}/T_\textrm{RH})\)考虑了重热后的红移，\((a_\textrm{end}/a_\textrm{RH})\)代表中间阶段的红移，因子\(e^{-N_e}\)对应于膨胀期间的红移。这里\(N_e\)表示相变和膨胀结束之间的e折叠次数。从方程（78）可以看出，峰值频率强烈依赖于\(N_e\)。

在图27中，我们展示了在膨胀期间由FoPT产生的引力波谱。假设一个动力学主导的中间阶段。我们选择\(N_e\)，使得今天的引力波频率位于TianQin的灵敏度范围内。显然，适当的参数下，引力波信号可以足够强，可以被TianQin探测到。

3.3.2 由膨胀期间的畴壁产生的初级引力波
在二阶相变过程中直接产生的引力波通常太弱，无法产生任何可检测的信号。然而，随着相变的对称性破缺，如果相变后的真空流形是非平凡的，可能会形成拓扑缺陷。这些拓扑缺陷在它们离开视界之前可以产生引力波。在相变之后，拓扑缺陷伴随着小尺度波动。然而，这些波动很快就会红移消失，留下一个共动的静态缺陷配置。关于\(Z_2\)破缺相变的详细模拟结果可以在An和Yang（2024）中找到。正是这种共动的静态配置产生了现代引力波探测器可能观测到的引力波。

与FoPT情景类似，今天观测到的引力波的峰值频率强烈依赖于相变发生的e折叠次数，使其能够调整到TianQin可检测的频率范围内。然而，与FoPT情况不同，引力波谱缺乏振荡特征，因为源在膨胀期间变得静态并且持续时间远长于哈勃时间。因此，任何振荡特征都预计会被完全抹去。

在图28中，我们展示了由二阶相变产生的畴壁诱导的引力波谱以及TianQin的灵敏度曲线。在这里，为了增强引力波信号，我们假设在膨胀和重热之间有一个动力学主导的中间时代。在图中，\(N_e\)是相变发生前的e折叠次数，\(N_k\)是动力学主导时代宇宙膨胀的e折叠次数，\(m_\textrm{KZ}\)是二阶相变的Kibble-Zurek能量尺度，\(\Delta \rho \)是相变期间释放的等效能量密度之差。这两种类型的e折叠次数\(N_e\)和\(N_k\)可以调整，使得引力波信号能够被TianQin探测到。在这个图中，对于\(N_k=20\)的引力波谱显然在TianQin的灵敏度范围内。更多详细讨论见An和Yang（2024）。

图28
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展示了在膨胀期间由二阶相变诱导的畴壁产生的引力波的谱。黑色和灰色的曲线是TianQin的灵敏度曲线（更多解释请参见图24（左侧）的讨论）。3.3.3 由膨胀期间的相变引起的次级引力波（secondary GW）由于我们假设了膨胀子场（\(\phi \)）与旁观场（\(\sigma \)）之间的相互作用，\(\sigma \)领域的相变不可避免地会对膨胀子场产生反作用。例如，如An等人（2022a, 2022b）、An和Yang（2024）以及An等人（2024）所讨论的，我们考虑以下形式的相互作用$$\begin{aligned} c \phi ^2 \sigma ^2 , \end{aligned}$$ （79）其中c是耦合常数。通过将\(\phi = \phi _0 + \delta \phi \)表示，\(\phi _0\)代表均匀部分，\(\delta \phi \)代表扰动，相互作用项（79）可以写为$$\begin{aligned} 2 c\phi _0 \delta \phi \sigma ^2 = 2 c \phi _0^2 M_\textrm{pl}^{-1} \kappa \sigma ^2 \delta \phi , \end{aligned}$$ （80）其中\(\kappa \equiv M_\textrm{pl}/\phi _0\)。在相变期间，\(c\phi _0^2\)与旁观场的质量平方相当。因此，合理假设在相变期间，\(c\phi ^2_0\)的阶与\(L^{1/2}\)相同，这里L是相变的潜能量密度。从方程（80）可以看出，因子\(2 c \kappa \phi _0^2 M_\textrm{pl}^{-1}\)可以解释为\(\delta \phi \)的源项。通过计算给定相变的这个源项，可以将其与\(\delta \phi \)的格林函数卷积，以确定诱导的曲率扰动。An等人（2024）提出了对这个源项的格点模拟结果。从\(\delta \phi \)可以导出曲率扰动\(\zeta \)。使用标准方法，然后可以计算出由\(\delta \phi \)引起的曲率诱导的引力波，称为次级引力波（secondary GW）（Baumann等人2007；Kohri和Terada 2018）。次级引力波的谱可以表示为（An等人2024）$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}^{(2)}(f) = \Omega _R A^2_\textrm{ref} \mathcal{F}_2\left( \frac{k_p}{H}\right) , \end{aligned}$$ （81）其中$$\begin{aligned} A_\textrm{ref} = \frac{24 \kappa ^2}{\epsilon } \left( \frac{H}{\beta }\right) ^3 \left( \frac{L}{\rho _\textrm{inf}}\right) ^2 , \end{aligned}$$ （82）其中\(\epsilon \)是膨胀期间膨胀子场的慢滚参数，\(\mathcal{F}_2\)是一个形状因子。其定义可以在An等人（2024）中找到。与初级引力波相比，尽管次级引力波受到\(H/\beta \)和\(L/\rho _\textrm{inf}\)更高次幂的抑制，但它受到\(\epsilon ^{-2}\)的增强。因此，在某些参数空间中，次级引力波的大小可能大于初级引力波。与初级引力波的情况类似，通过调整\(N_e\)也可以使次级引力波的频率落在TianQin的可检测范围内。在图29中，我们展示了假设瞬时重热的次级引力波的谱。显然，随着慢滚参数的增强，次级引力波的遗迹丰度可以轻易超过TianQin的灵敏度阈值。如An等人（2024）所讨论的，次级引力波的红外斜率具有独特特征。\(\mathcal{F}_2\)的红外区域可以近似为$$\begin{aligned} \mathcal{F}_2^\textrm{IR}(x) \approx x^3 \left( \frac{6}{5}\log ^2 x + \frac{16}{25}\log x + \frac{28}{125} \right) , \end{aligned}$$ （83）其中括号中的对数项来源于传递函数。这些对数因子使红外斜率变平，使得谱与辐射主导时期由FoPT引起的引力波的谱不同。图29这幅图像的替代文本可能是使用AI生成的。完整大小的图像膨胀期间由FoPT产生的次级引力波的谱。黑色和灰色的曲线是TianQin的灵敏度曲线（更多解释请参见图24（左侧）的讨论）。如方程（78）所示，今天由膨胀期间的相变产生的引力波信号的频率取决于膨胀期间的哈勃参数以及相变发生的e折叠次数。因此，原则上，频率可以覆盖很宽的范围。为了检测这样的信号，必须使用能够覆盖不同频率范围的多种引力波探测器。TianQin天文台在\(10^{-4}\)–\(1\, \textrm{Hz}\)范围内的卓越灵敏度将在寻找来自膨胀期间相变的引力波信号方面发挥关键作用。3.4 来自宇宙弦网络的次级引力波（SGWB）小节协调人：Ligong Bian宇宙弦是在对称性自发破缺后形成的的一维拓扑缺陷（Kibble 1976；Hindmarsh和Kibble 1995）。对于没有内部结构的细长且局部的弦，宇宙弦的动力学可以用Nambu-Goto作用量来描述。在这种情况下，无限的弦将达到标度区域（Bennett和Bouchet 1988；Allen和Shellard 1990；Sakellariadou和Vilenkin 1990），当相交的弦段发生相互作用时，它们会形成环（Vachaspati和Vilenkin 1984）。小环通过尖点和弯曲处发出引力波爆发（Damour和Vilenkin 2001, 2000），SGWB是通过许多宇宙弦的不相关引力波爆发的叠加形成的。SGWB的特征是弦张力（\(\mu \）和环数密度（Vilenkin和Shellard 2000），其中无量纲参数\(G\mu \)（G是牛顿常数）参数化了弦的引力相互作用，并且当宇宙弦在对称性破缺后的\(\eta \)尺度上被预测时，满足\(G\mu \sim (\eta /M_\textrm{Mpl})^2\)的关系。因此，检测来自宇宙弦的SGWB提供了一种探索超出标准模型物理（SMPP）的新物理的方法，这些新物理是高能对撞机无法探测到的（King等人2021, 2020；Buchmuller等人2020；Caldwell等人2022），例如：跷跷板尺度及其与轻子生成（leptogenesis）的关系（Dror等人2020）和一些超重暗物质场景（Bian等人2021, 2022b）。与局部弦不同，全局弦大多衰变为粒子（Saurabh等人2020；Baeza-Ballesteros等人2024）。最受关注的全局弦之一是轴子弦，轴子是在Peccei-Quinn对称性破缺后产生的伪Nambu-Goldstone玻色子（Di Luzio等人2020）。假设Peccei-Quinn对称性在膨胀后破缺，随机初始轴子场分布在不受相关的影响范围内可以导致轴子弦的形成（Kibble 1976；Vilenkin和Everett 1982）。形成后的轴子弦将达到标度并通过辐射轴子和引力波释放能量，直到QCD相变（Yamaguchi等人1999；Hiramatsu等人2011）。宇宙弦的SGWB来自三个贡献：尖点、弯曲点和弯曲点-弯曲点碰撞，SGWB谱由以下公式给出$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}(t_{0}, f) = \frac{f}{\rho _{c}}\ \frac{d}{df}\rho _\textrm{GW}\,(t_{0}, f), \end{aligned}$$ （84）其中\(\rho _{c}=\frac{3H_{0}^{2}}{8\pi G}\)是宇宙的临界能量密度。而\(\frac{d}{df}\rho _\textrm{GW}\,(t_{0}, f)\)是当前单位频率的引力波能量密度。通常，来自不同模式环振荡（n）的贡献有$$\begin{aligned} \frac{d}{df}\rho _\textrm{GW}\,(t_0,f)=G\mu ^{2}\ \sum _{n}C_{n}(f)\ P_{n}\;。 \end{aligned}$$ （85）这里，\(C_n(f)\)是环分布的函数，\(P_{n}\)是根据数值模拟得出的，以考虑来自尖点、弯曲点和弯曲点-弯曲点碰撞的所有贡献（Blanco-Pillado和Olum 2017）。在BOS模型中，宇宙弦的SGWB是在Blanco-Pillado等人（2014, 2011）通过Nambu-Goto模拟非自相交环的环产生函数后获得的。下标r表示辐射主导时期，rm表示环在辐射主导时期形成并持续到物质主导时期的情况，m表示物质主导时期的情况，环分布函数为：$$\begin{aligned} n_{r}(l, t)= & \frac{0.18}{t^{3/2}(l + \Gamma G\mu t)^{5/2}}, l/t \leqslant 0.1, \end{aligned}$$ （86）$$\begin{aligned} n_{rm}(l, t)= & \frac{0.18t_\textrm{eq}^{1/2}}{t^2\ (l + \Gamma G\mu t)^{5/2}},\, l/t < 0.09 t_\textrm{eq}/t - \Gamma G\mu ,\end{aligned}$$ （87）$$\begin{aligned} n_{m}(l, t)= & \frac{0.27-0.45(l/t)^{0.31}}{t^{2}(l + \Gamma G\mu t)^{2}}, l/t < 0.18. \end{aligned}$$ （88）其中，\(l/t \leqslant 0.1\)是为了考虑辐射主导时期环的最大尺寸限制。而对环尺寸的限制，\(l/t < 0.09 t_\textrm{eq}/t - \Gamma G\mu \)，是为了考虑在辐射时期形成的环将持续到辐射-物质平等时期并继续在物质主导时期发射引力波。最后，环尺寸应满足\(l/t < 0.18\)，考虑到当宇宙弦网络在物质主导时期达到标度区域时也可以产生环。有了环产生函数，我们有$$\begin{aligned} C_{n}(f) = \frac{2n}{f^{2}}\int _{z_\textrm{eq}}^{z_\textrm{cut}} \frac{dz}{H_{0}\sqrt{\Omega _{r}}(1+z)^{8}}\ n_{r}(l,t), \end{aligned}$$ （89）对于辐射时期的SGWB贡献。这里，辐射-物质平等时期的红移是\(z_\textrm{eq}\)，截止红移是\(z_\textrm{cut}\)。由于在物质主导时期存活的环和在物质主导时期形成的环都会产生引力波，\(C_{n}\)将取以下形式$$\begin{aligned} C_{n}(f) = \frac{2n}{f^{2}}\int _{0}^{z_\textrm{eq}} \frac{dz}{{H_{0}\sqrt{\Omega _{m}}}(1+z)^{15/2}}\ n_{i}(l,t), \end{aligned}$$ （90）其中下标i分别代表rm和m。通过从模拟中提取的非自相交标度环的分布（Ringeval等人2007），Lorenz等人（2010）（称为LRS模型）可以解析地得到环分布函数，从而也可以计算出来自宇宙弦的引力波谱。在这个模型中，辐射主导时期的引力波贡献为$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}(f)=\frac{64\pi G^2\mu ^2\Omega _r}{3}\sum _n P_n \int dx\ n(x), \end{aligned}$$ （91）而在物质主导时期，引力波谱由以下公式给出$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}(f)=\frac{162\pi G^2\mu ^2}{\Omega _m^{-2}H_0^{-2}}\frac{1}{f^2}\sum _n\ P_n\ n^2\int _{{\phantom{a}}}^{{\phantom{a}}}dx\ n(x)\,, \end{aligned}$$ （92）在模型中，当\(x = l/t \gg \Gamma G\mu \equiv x_d\)时，数值模拟给出$$\begin{aligned} n(x) = \frac{C_0}{x^p}, \end{aligned}$$ （93）其中两个常数\(C_0\)和p分别为$$\begin{aligned} p = 0.60^{+0.21}_{-0.15}\big |_r,&\quad p = 0.41^{+0.08}_{-0.07}\big |_m\,,\end{aligned}$$ （94）$$\begin{aligned} C_0 = 0.21^{-0.12}_{+0.13}\big |_r,&\quad C_0 = 0.09^{-0.03}_{+0.03}\big |_m\,, \end{aligned}$$ （95）分别在辐射主导时期和物质主导时期。具体分布如下（Lorenz等人2010）$$\begin{aligned} n(x > x_d)\simeq & \frac{C}{(x+x_d)^{3-2\chi }}, \end{aligned}$$ （96）$$\begin{aligned} n(x_c< x < x_d)\simeq & \frac{C(3\nu -2\chi -1)}{2-2\chi }\frac{1}{x_d}\frac{1}{x^{2(1-\chi )}},\end{aligned}$$ （97）$$\begin{aligned} n(x< x_c < x_d)\simeq & \frac{C(3\nu -2\chi -1)}{2-2\chi }\frac{1}{x_c^{2(1-\chi )}}\frac{1}{x_d}. \end{aligned}$$ （98）这里，\(C=C_0(1-\nu )^{2-p}\)，\(\nu =1/2\)和\(\nu =2/3\)分别对应辐射和物质主导时期。长度尺度\(x_c \ll x_d\)是所谓的“引力反作用尺度”，在匹配\(x\gg x_d\)的环分布后给出（\(x_c = 20(G\mu )^{1+2\chi }\）（（93）），其中\(\chi _r=0.2^{+0.07}_{-0.10}\)和\(\chi _m=0.295^{+0.03}_{-0.04}\）分别对应辐射和物质主导时期（Auclair等人2020）。另一个基于长弦网络运动速度依赖性的单一尺度模型是VOS模型，其引力波谱由（Cui等人2019；Gouttenoire等人2020a, b）给出：$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}^\textrm{cs}(f) =\sum _k \Omega _\textrm{GW}^{(k)}(f)\;, \end{aligned}$$ （99）其中每个\(k-\)模式的贡献为，$$\begin{aligned} \Omega _\textrm{GW}^{(k)}(f) = \frac{1}{\rho _c} \frac{2k}{f} \frac{\mathcal {F}_{\alpha }\,\Gamma ^{(k)}G\mu ^2}{\alpha _{CS}\left( \alpha _{CS}+\Gamma G\mu \right) } \int _{t_F}^{t_0}\!d\tilde{t}\; \frac{C_\textrm{eff}(t_i^{(k)})}{t_i^{(k)\,4}}\times \bigg [\frac{a(\tilde{t})}{a(t_0)}\bigg ]^5\bigg [\frac{a(t^{(k)}_i)}{a(\tilde{t})}\bigg ]^3\Theta (t_i^{(k)} - t_F) . \end{aligned}$$ （100）其中，\(\alpha _{CS}\)是环尺寸参数，参数\(\mathcal {F}_{\alpha }\)表征了长弦释放的能量比例，约为0.1。环产生效率（\(C_\textrm{eff}\）在辐射和物质主导的宇宙中分别为5.4和0.39（Gouttenoire等人2020a），环的引力发射效率为\(\Gamma \approx 50\)（Blanco-Pillado和Olum 2017）。尖点的傅里叶模式（Olmez等人2010；Blanco宇宙弦网络的形成温度为\(t_F\)，当尖点主导环状结构的小尺度时，高模式和低模式通过以下关系相互关联：\(\Omega _\textrm{GW}^{(k)}(f) = \frac{\Gamma ^{(k)}}{\Gamma ^{(1)}}\,\Omega _\textrm{GW}^{(1)}(f/k) =k^{-4/3}\,\Omega _\textrm{GW}^{(1)}(f/k)\)。接下来，我们将基于最近的格点场模拟（Gorghetto等人2021年；Jia和Bian 2024年）展示全球弦的引力波（GW）谱的理论预测。首先，每个哈勃区域内的弦数密度，即缩放参数，可以从模拟中提取出来，表达式为$$\begin{aligned} \xi (t) = \frac{l_s t^2}{a(t)^2 V} \;。\end{aligned}$$ （102）其中，V是共动盒体积，\(l_s\)是弦的长度，时间t在辐射主导的宇宙中由\(t = 1/(2H)\)给出。数值模拟表明，轴子弦的缩放参数进入\(\log (m_r/H)\)的线性增长阶段（Buschmann等人2022年；Gorghetto等人2018年；Jia和Bian 2024年）。有了缩放参数，可以通过\( \rho _s = \pi f_a^2 \ln (t/(\sqrt{\xi }d_s)) \xi / t^2\)来估计弦的能量密度，这里的\(d_s=m_r^{-1}\)是弦的宽度，\(m_r\)是Peccei–Quinn复场的辐射模式的质量项。通常，轴子弦会释放无质量的轴子和引力波（Kawasaki等人2015年）：$$\begin{aligned} \frac{ \textrm{d}\rho _{s}(t)}{ \textrm{d}t} = - 2 H(t) \rho _{s}(t) - \left[ \frac{\textrm{d} \rho _{s}(t)}{\textrm{d}t}\right] _\textrm{emi} \;，\end{aligned}$$ （103）$$\begin{aligned} \frac{ \textrm{d}\rho _{a}(t)}{ \textrm{d}t} = - 4 H(t) \rho _{a}(t) + \left[ \frac{\textrm{d} \rho _{s}(t)}{\textrm{d}t}\right] _\textrm{emi1} \;，\end{aligned}$$ （104）$$\begin{aligned} \frac{ \textrm{d}\rho _\textrm{GW}(t)}{ \textrm{d}t} = - 4 H(t) \rho _\textrm{GW}(t) + \left[ \frac{\textrm{d} \rho _{s}(t)}{\textrm{d}t}\right] _\textrm{emi2} \;。\end{aligned}$$ （105）对于发射引力波能量的轴子弦，其密度为\(\Gamma _\textrm{GW} = a^{-4}\frac{\textrm{d} (a^4 \rho _\textrm{GW})}{\textrm{d}t}\)，引力波的瞬时发射谱F(x, y)可以定义为（Gorghetto等人2021年）：$$\begin{aligned} F_g(x,y)=\frac{H}{\Gamma _\textrm{GW}}\frac{1}{a^3}\frac{\partial }{\partial t} \left( a^3\frac{\partial \rho _\textrm{GW}}{\partial k} \right) \;。\end{aligned}$$ （106）这里，\(x=k/H\)和\(y=m_r/H\)。函数\(F_g(x,y) \propto x^{-q}\)在动量范围\([2\pi , m_r/(2H)]\)内可以从数值模拟结果中提取出来，对于轴子弦，\(q\approx 2\)（Gorghetto等人2021年）。根据理论预测\(\Gamma _\textrm{GW} \simeq \gamma \Gamma _a G \mu ^2/f_a^2 \)，其中\(\Gamma _a = a^{-4}\frac{\textrm{d} (a^4 \rho _a)}{\textrm{d}t}\)，可以通过积分得到弦演化结束时的谱：$$\begin{aligned} \frac{\partial \rho _\textrm{GW}}{\partial k}(k,t) = \frac{1}{a^3}\int \textrm{d} t^\prime \frac{\Gamma _\textrm{GW}^\prime }{H^\prime }(a^\prime )^3 F^\prime _g(\frac{k^\prime }{H^\prime },\frac{m_r}{H^\prime }) \;。\end{aligned}$$ （107）不同的模型表明，宇宙弦的引力波谱可以覆盖广泛的频率范围，并且在高频区域有一个平台。因此，预计宇宙弦产生的引力波宽频带（SGWB）是一个非常有前景的目标，因为它可以通过地面、空间和PTA引力波探测器（Abbott等人2021b, 2018a；Auclair等人2020；Yonemaru等人2021；Sanidas等人2012）的联合检测与其他引力波源区分开来。Bian等人（2022a）的最新研究表明，PTA和LIGO在搜索宇宙弦产生的引力波方面具有互补性。在图30中，我们展示了通过LRS、VOS和BOS模型得到的局部弦的SGWB谱，以及基于Jia和Bian（2024年）的格点模拟得到的全球弦的SGWB谱。如图所示，LRS模型预测的谱更硬，而BOS和VOS模型在\(f\lesssim \)mHz的频率范围内预测的谱相似。LRS模型的引力波谱在高频范围内的幅度要高得多，因为在该范围内环分布函数中更多的小环占主导。而轴子弦产生的引力波谱的幅度要低得多，因为全球弦大多衰变为轴子而不是引力波，更多细节见Jia和Bian（2024年）、Baeza-Ballesteros等人（2024年）的最新数值研究。宇宙弦在\(10^{-4}\sim 1\) Hz频率范围内的SGWB谱有可能被TianQin探测到。众所周知，LISA可以探测到\(G\mu \gtrsim 10^{-17}\)的弦张力参数空间（Auclair等人2020年，2023年）。TianQin可以覆盖\(G\mu \gtrsim 10^{-15}\)的参数范围，这对应于对称性破缺尺度\(\eta \gtrsim 5\times 10^{11}\) GeV。图30中，LRS、VOS和BOS模型的宇宙弦SGWB预期谱分别用青色、红色和蓝色实线（虚线）表示。TianQin（Luo等人2016年）和其他引力波探测器（包括LISA（Amaro-Seoane等人2017年；Baker等人2019年；Taiji（Hu和Wu 2017年；Ruan等人2020年），\(\mu \)Ares（Sesana等人2021年），DECIGO（Seto等人2001年；Kawamura等人2011年；Yagi和Seto 2011年；Isoyama等人2018年），BBO（Crowder和Cornish 2005年；Corbin和Cornish 2006年；Harry等人2006年），SKA（Janssen等人2015年），ET（Punturo等人2010a；Hild等人2011年），CE（Abbott等人2017c）和LIGO-Virgo-KAGRA（Aasi等人2015年；Thrane和Romano 2013年；Abbott等人2019c）的灵敏度也在此图中展示。

3.5 本节总结
引力波天文学为探索超出标准模型物理（SMPP）的领域开辟了新的途径，特别是在探测不与电磁相互作用隐藏的部分和其他奇异现象方面。这些研究可以为暗物质和其他新型粒子及力的本质提供关键见解，而这些是传统方法未能检测到的。特别是，TianQin能够探测质量在\(10^{-19} \sim 10^{-15}\) eV和\(10^{-13.5}\sim 10^{-11.5}\) eV范围内的超轻暗物质。对于可能产生宇宙一级电磁弱相互作用（EWPT）的新物理模型和新的希格斯势，这些模型可能导致物质-反物质不对称性的起源以及通过相变产生的重暗物质的新机制，TianQin有望探索相变强度\(\alpha \)大于0.1的参数空间。当曲率扰动足够强时，可能会产生黑洞（PBHs），由此产生的SGWB也会增强并且可以被探测到。对于mHz频率范围内的SGWB，相应的PBHs位于小行星质量窗口内，可以解释所有暗物质。这种在mHz频段产生的引力波对曲率扰动的非高斯性和其功率谱的色散具有相当的鲁棒性。TianQin可以完全覆盖PBH暗物质的小行星质量窗口。这种诱导的SGWB的各向异性可以用来探测未来的原初非高斯性。今天可以观测到的由膨胀期间的相变产生的引力波信号的频率取决于膨胀期间的哈勃参数和相变发生的e-folds次数。因此，该频率原则上可以覆盖广泛的值。为了探测这样的信号，必须使用能够覆盖不同频率范围的多种引力波探测器。通常，如果相变发生在CMB模式离开视界后的20–30 e-folds左右，相应的引力波频率将落在毫赫兹范围内，可能被TianQin探测到。TianQin有能力探测某些模型预测的由局部弦辐射的SGWB，当弦张力\(G\mu \gtrsim \mathcal {O}(10^{-15})\)时，这对应于高于\(\sim 5\times 10^{11}\) GeV的新物理能量尺度，远远超出了当前和未来对撞机的能力。TianQin还可以探测在Peccei-Quinn对称性破缺后形成的全球弦发出的引力波，此时轴子衰变常数\(f_a\gtrsim \mathcal {O}(10^{15})\) GeV。搜索与宇宙弦相关的新物理需要TianQin与其他覆盖不同频率范围的探测器联合搜索，因为宇宙弦的引力波谱具有从纳赫兹到千赫兹的独特平台形状范围。最后，我们注意到除了随机背景谱之外的信息，如各向异性，也有助于解码潜在的物理机制。尽管TianQin单独使用就足以恢复SGWB天空图的某些属性（Li等人2025b），但像TianQin + LISA这样的网络有潜力显著提高对某些多极矩的灵敏度（Liang等人2024b）。

4. 使用TianQin的宇宙学
章节协调人：Liang-Gui Zhu
为了重建宇宙膨胀历史，即测量与宇宙膨胀相关的各种参数，收集不同宇宙距离上物体的距离和红移信息是必不可少的。传统的电磁波（EM）介导的观测在测量距离方面非常具有挑战性，需要使用复杂的宇宙距离阶梯系统，然而，红移相对容易测量，因为每种原子都具有独特的光谱特征。引力波观测提供了对EM观测的补充能力。虽然通过引力波观测测量距离很直接，但获得红移则更具挑战性。引力波信号的频率及其时间导数完全由源双星的质量决定，而信号的幅度与距离成反比（Schutz 1986；Cutler和Flanagan 1994）。一旦引力波信号通过FLRW几何背景传播，观测者可以直接测量红移后的质量和到引力波源的亮度距离。然而，由于质量和红移之间的简并性（Schutz 1986），独立提取红移仍然是一项具有挑战性的任务。由于引力波检测可以直接测量到引力波源的亮度距离，当与从EM观测获得的红移信息结合时，引力波可以作为标准的警报器，提供对宇宙膨胀历史的强大探测（Schutz 1986；Markovic 1993；Holz和Hughes 2005）。
在LIGO和Virgo首次探测到双中子星合并事件GW170817的过程中，标准警报器的使用得到了证明（Abbott等人2017f；Margutti和Chornock 2021）。这一探测标志着明亮标准警报器方法的首次实现（Abbott等人2017e）。此外，其他没有EM对应体的紧凑天体双星合并的探测也实现了使用暗警报器方法的首次宇宙学约束（Soares-Santos等人2019；Fishbach等人2019；Abbott等人2021a）。到目前为止，LVK网络的前三次运行已经将哈勃-勒梅特常数\(H_0\)的测量精度提高到了大约10%（Palmese等人2020；Vasylyev和Filippenko 2020；Ballard等人2023；Abbott等人2023a）。这一精度仍然显著低于传统的EM观测，例如从CMB（Aghanim等人2020）和Ia型超新星（Riess等人2021；Freedman等人2019）得到的精度。然而，随着地面引力波探测器的预期升级（Abbott等人2016b；Punturo等人2010a；Abbott等人2017c），预计使用标准警报器测量\(H_0\)的精度将提高到1%以上（Chen等人2021a；Zhu和Chen 2023；Muttoni等人2023；Song等人2024；Cai和Yang 2017）。
基于空间的引力波探测器主要设计用于探测毫赫兹范围内的引力波源，从而补充了地面引力波探测器的探测频率范围。标准警报器在空间引力波探测中的前景最初是为LISA任务提出的（Holz和Hughes 2005），早期研究主要集中在MBHBs的合并上（Babak等人2011；Petiteau等人2011；Tamanini等人2016；Caprini和Tamanini 2016；Cai等人2017b）。随着LISA的天体物理探测能力的进一步分析（Amaro-Seoane等人2007年；Klein等人2016年；Babak等人2017年；Kyutoku和Seto 2016年；Amaro-Seoane等人2017年；Seoane等人2023年），标准 sirens的候选源已经扩展到包括EMRIs（MacLeod和Hogan 2008年；Laghi等人2021年）和SBHB inspirals（Del Pozzo等人2018年；Muttoni等人2022年）[参见Auclair等人（2023年）的综述]。TianQin在0.1 mHz到1 Hz的频率范围内展示了与LISA相当的灵敏度，并且在高频端表现出更高的灵敏度，为三种类型的标准siren源提供了强大的探测能力：MBHBs、EMRIs和SBHB inspirals（Wang等人2019a；Fan等人2020年；Liu等人2020f；Li等人2025a）。本节主要关注TianQin在限制宇宙学参数方面的潜力。本节的结构如下：第4.1节概述了使用TianQin通过标准sirens限制宇宙膨胀历史的基本方法。第4.2节探讨了TianQin限制ΛCDM宇宙学参数的前景，包括H0、物质密度参数ΩM和暗能量密度参数ΩΛ。第4.3节介绍了TianQin限制暗能量状态方程参数的潜力。第4.4节讨论了TianQin与其他基于空间的引力波探测器结合使用以增强对宇宙膨胀历史限制的潜力。第4.5节讨论了MBHBs产生的引力波信号的引力透镜效应在改进宇宙膨胀历史限制中的作用。最后，第4.6节总结了TianQin在宇宙学推断方面的前景。

快速总结：TianQin将能够利用标准siren方法独立高精度地测量哈勃常数（接近或优于2%），并限制暗能量状态方程（在乐观的情况下可能优于10%的精度），从而解决标准ΛCDM模型的关键挑战，如哈勃张力问题和暗能量随红移的演化迹象。它对SBHB、EMRI和MBHB信号的探测有助于探索宇宙中后期阶段的膨胀历史。与其他探测器（如LISA）的联合观测、多信使观测以及引力波透镜效应的探测进一步增强了各种宇宙学限制。

4.1 使用TianQin的标准sirens
4.1.1 标准sirens的原理
在广义相对论的框架下，由紧凑天体双星系统在FLRW时空中产生的引力波信号可以表示为（Colpi和Sesana 2017）：
$$\begin{aligned} h_+ (t)&= \left( \frac{G \mathcal {M}_z}{c^2} \right) ^{5/3} \left( \frac{\pi f(t)}{c} \right) ^{2/3} \frac{2 (1+ \cos ^2 \iota )}{D_L} \cos \! \big [\Psi (t, \mathcal {M}_z, \eta , \ldots ) \big ], \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} h_{\times } (t)&= \left( \frac{G \mathcal {M}_z}{c^2} \right) ^{5/3} \left( \frac{\pi f(t)}{c} \right) ^{2/3} \frac{4 \cos \iota }{D_L} \sin \! \big [\Psi (t, \mathcal {M}_z, \eta ,\ldots ) \big ], \end{aligned}$$
其中$h_{+,\times}$表示引力波信号的两个极化幅度，c是真空中的光速，G代表牛顿的引力常数，$\mathcal {M}_z \equiv (1+z)\mathcal {M}$表示红移后的啁啾质量，$\eta$表示双星轨道角动量相对于视线的倾角，$D_L$是引力波源到观测者的光度距离，$\Psi (t, \mathcal {M}_z, \eta )$表示引力波信号的相位。可以看出，引力波信号的相位仅由与引力波源质量相关的参数决定，而两个极化方向则取决于倾角$\cos \iota$的余弦值。通过测量引力波信号的相位可以直接推断出引力波源的质量，并通过测量两个极化方向来消除$\iota$和$D_L$之间的不确定性。因此，仅通过引力波探测就可以直接估计出引力波源的光度距离，而无需外部校准。这一特性是紧凑双星系统产生的引力波信号作为标准sirens的基础（Schutz 1986）。

使用标准sirens限制宇宙膨胀历史基本上是利用标准sirens提供的光度距离信息来拟合$D_L - z$关系。在FLRW背景下，$D_L - z$关系可以表示为（Hogg 1999）：
$$\begin{aligned} D_L = \frac{c(1+z)}{H_0} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{\Omega _K}} \sinh \! \big [\sqrt{\Omega _K} \int _{0}^{z} \frac{H_0}{H(z^{\prime })} {\textrm{d}}z^{\prime } \big ], & \text {对于 } \Omega _K > 0, \\ \int _{0}^{z} \frac{H_0}{H(z^{\prime })} {\textrm{d}}z^{\prime }, & \text {对于 } \Omega _K = 0, \\ \frac{1}{\sqrt{|\Omega _K|}} \sin \! \big [\sqrt{|\Omega _K|} \int _{0}^{z} \frac{H_0}{H(z^{\prime })} {\textrm{d}}z^{\prime } \big ], & \text {对于 } \Omega _K < 0, \end{array} \right. \end{aligned}$$
其中哈勃-勒梅特常数$H_0 \equiv H(z=0)$描述了宇宙当前的膨胀率，H(z)表示红移z处的宇宙膨胀率，$\Omega _K$是相对于临界密度的分数等效曲率密度。参数H(z)通常可以表示为：
$$\begin{aligned} H(z) = H_0 \sqrt{ \Omega _M (1 + z)^3 + \Omega _K (1 + z)^2 + \Omega _{\Lambda } f(z)}, \end{aligned}$$
其中$\Omega _{M}$和$\Omega _{\Lambda }$分别是总物质和暗能量相对于临界密度的分数密度，f(z)是一个量化暗能量效应的函数。函数f(z)可以表示为（Linder 2003）：
$$\begin{aligned} f(z) = \exp \left( 3\int _{0}^{z} \frac{1 + w(z^{\prime })}{1 + z^{\prime }} {\textrm{d}}z^{\prime } \right). \end{aligned}$$
其中w(z)代表暗能量的状态方程。在标准的宇宙学模型——ΛCDM中，$w(z) \equiv -1$。在广泛使用的Chevallier–Polarski–Linder（CPL）暗能量模型中（Chevallier和Polarski 2001；Linder 2003）：
$$\begin{aligned} w(z) = w_0 + w_a \frac{z}{1+z} , \end{aligned}$$
拟合$D_L - z$关系需要知道引力波源的红移和光度距离的信息，见方程（109）。然而，仅通过引力波探测提取引力波源的红移是具有挑战性的，因为引力波源的质量与其红移之间存在内在的不确定性，需要使用额外的方法。Schutz（1986）介绍了两种主要的获取引力波源红移信息的方法：（i）电磁对应体搜索和（ii）星系目录。电磁对应体提供了一种唯一识别引力波源宿主星系的方法，从而可以通过光谱观测直接测量红移。使用星系目录推断引力波源的红移依赖于所有引力波源都位于星系内的假设，因此星系的空间分布可以作为引力波源位置概率分布的代理。通常，具有电磁对应体的引力波信号被称为明亮sirens，而没有电磁对应体的被称为暗sirens，这在第4.1.4节中关于TianQin的siren观测中有讨论。后续研究提出了其他提取引力波源红移信息的方法，包括：（iii）引力波源与星系之间的交叉相关（Laguna等人2010年；Oguri 2016年；Diaz和Mukherjee 2022年；Mukherjee等人2022年；Auclair等人2023年），（iv）强引力透镜效应（Sereno等人2010年；Liao 2019年；Wang等人2022d；Huang等人2023年），（v）引力波源的固有红移分布（Ding等人2019年；Leandro等人2022年），（vi）引力波源的物理质量分布，也称为SBHBs的光谱sirens（Taylor等人2012年；Taylor和Gair 2012年；Del Pozzo等人2017年；Farr等人2019年；Mastrogiovanni等人2021年；You等人2021年；Mukherjee 2022年；Ezquiaga和Holz 2022年；Abbott等人2023a；Chen等人2023年），以及（vii）中子星的潮汐变形相位（Messenger和Read 2012年；Messenger等人2014年；Shiralilou等人2023年；Jin等人2023a；Li等人2024e）。前五种方法通过提供额外的红移信息来消除质量和红移之间的不确定性，而后两种方法通过限制引力波源的物理质量分布来消除不确定性。从另一个角度来看，前三种方法依赖于额外的电磁观测来获取红移信息，而剩下的四种方法通过引入额外的天体物理模型来实现这一点，要么提供更详细的质量信息，要么模拟引力波源的固有属性。

一旦获得了数据并确定了宇宙学模型，就可以使用贝叶斯框架来提取相关宇宙学参数的约束（MacLeod和Hogan 2008年；Babak等人2011年；Petiteau等人2011年；Del Pozzo 2012年；Abbott等人2017b；Chen等人2018b；Soares-Santos等人2019年；Gray等人2020年；Zhu和Chen 2023年）。设$\mathcal {D}_\textrm{GW} \equiv \{ d_\textrm{GW}^1, d_\textrm{GW}^2, \ldots , d_\textrm{GW}^i, \ldots , d_\textrm{GW}^N \}$表示来自引力波探测的数据集，$\mathcal {D}_\textrm{EM} \equiv \{ d_\textrm{EM}^1, d_\textrm{EM}^2, \ldots , d_\textrm{EM}^i, \ldots , d_\textrm{EM}^N \}$表示来自相应电磁观测的数据集。感兴趣的宇宙学参数集表示为$\vec {H} \equiv \{H_0, \Omega _M,\ldots \}$，$\vec {H}$的后验概率分布可以表示为：
$$\begin{aligned} p(\vec {H} |\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}, T, I)&= \frac{\pi (\vec {H}|T, I) \mathcal {L}(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}|\vec {H}, T, I)}{P(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}|T, I)} \nonumber \\&\propto \pi (\vec {H}|T, I) \prod _i^N \mathcal {L}_i (d_\textrm{GW}^i, d_\textrm{EM}^i|\vec {H}, T, I), \end{aligned}$$
其中$\pi (\vec {H}|T, I)$表示在给定理论宇宙学模型T的情况下$\vec {H}$的先验概率分布，$\mathcal {L}(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}|\vec {H}, T, I)$表示数据的似然性，$P(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}|T, I) \equiv \!\int \! \pi (\vec {H}|T, I) \mathcal {L}(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}|\vec {H}, T, I) {\textrm{d}}\vec {H}$表示边际似然性，也称为贝叶斯证据，I表示所有相关的背景信息。在计算之前，必须进一步分解各个似然性$\mathcal {L}_i (d_\textrm{GW}^i, d_\textrm{EM}^i|\vec {H}, T, I)$（Chen等人2018b），并且必须考虑对引力波探测（Mandel等人2019）和电磁观测（Chen等人2018b）的选择效应。具体的分解形式取决于不同的红移提取方法。此外，可以通过贝叶斯因子（Jeffreys 1961；Trotta 2008）定量比较数据对不同宇宙学模型的支持程度。贝叶斯因子$B_{01}$定义为在相同观测数据下，两个理论模型$T_0$和$T_1$获得的贝叶斯证据的比率，即：
$$\begin{aligned} B_{01} \equiv \frac{P(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}| T_0, I)}{P(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}| T_1, I)}. \end{aligned}$$
$B_{01} > 1$表示观测数据更支持模型$T_0$，反之亦然。对于数据支持的模型，证据的强度可以是强的、中等的、弱的或不确定的，这可以参考“Jeffreys’尺度”（Jeffreys 1961；Trotta 2008）。

4.1.2 TianQin的候选sirens
根据前一节的描述，能够限制宇宙膨胀历史的引力波源必须满足两个关键条件：首先，它们必须能够被单独识别并精确地定位到它们的空间位置；其次，这些源必须位于宇宙学距离上。在TianQin能够探测到的五类潜在引力波源中，有三类满足这些条件：SBHBs（Liu等人2020f）、EMRIs（Fan等人2020）和MBHBs（Wang等人2019a）。这三类标准sirens也作为其他毫赫兹基于空间的引力波探测器（如LISA（Amaro-Seoane等人2017年；Colpi等人2024年）和Taiji（Hu和Wu 2017年）的潜在标准sirens。然而，TianQin的灵敏度和探测器配置与其他任务相比有显著差异（Gong等人2021年）。

LIGO和Virgo合作组织成功探测到引力波为SBHBs的存在提供了直接证据（Abbott等人2016a, 2019b, 2021c, 2023b, 2024a），并使得对SBHB群体的初步研究成为可能（Abbott等人2019a, 2023c）。通过追踪致密天体双星系统从合并阶段到螺旋阶段的演化过程，可以推断出：双星合并发生得越早，从双星螺旋运动中辐射出的引力波（GW）信号的频率就越低。因此，这些来自超大质量黑洞（SBHB）螺旋运动的低频GW信号很可能会被基于太空的GW探测器探测到（Miller 2002；Takahashi和Nakamura 2003a）。这一可能性最早在Sesana（2016）的研究中提出，该研究表明SBHB螺旋运动的GW信号确实可以被太空GW探测器捕捉到。因此，SBHB被认为是基于太空的GW探测任务的主要候选源之一，例如LISA（Seto 2016；Kyutoku和Seto 2016；Amaro-Seoane等人2017；Colpi等人2024），以及德西赫兹（deci-hertz）GW探测器（Chen和Amaro-Seoane 2017；Isoyama等人2018；Sedda等人2020）。这类GW源的科学潜力已经在天体物理学（Nishizawa等人2016, 2017；Breivik等人2016；Randall和Xianyu 2019；Toubiana等人2021；Sberna等人2022）和宇宙学（Del Pozzo等人2018；Muttoni等人2022）领域得到了广泛探索。TianQin探测SBHB螺旋运动GW信号能力的首次全面评估出现在（Liu等人2020f）中。这项研究基于LIGO和Virgo合作组织发布的最早SBHB群体模型（Abbott等人2019a），评估了预期的总探测率和参数估计精度。随后的一项研究（Zhu等人2022b）根据LVK基于GWTC-3发布的第三版SBHB群体模型（Abbott等人2023c）更新了这些预测。以（Zhu等人2022b）的结果为参考，并采用\(\textrm{SNR} = 8\)的探测阈值，预计TianQin能够探测到大约10个SBHB，而TianQin I+II（TianQin的另一种配置，包含互补的双星星座，见Liang等人2022b）预计将总探测数量增加约三倍。两种探测器配置TianQin和TianQin I+II对SBHB的空间定位误差没有太大差异，天空定位误差约为\(0.1{-}1 \, \textrm{ deg}^2\)，在\(1 \sigma \)置信水平下的相对亮度距离误差约为0.1–0.4。由于SBHB螺旋运动辐射出的GW信号对于基于太空的GW探测器来说是一个连续信号，因此每个观测时间内累积的螺旋运动GW信号的SNR随频率的增加而增加（Cutler和Flanagan 1994；Mangiagli等人2020；Chen等人2024a）。鉴于TianQin在频率大于\(10^{-2}\) Hz的频段内比LISA具有更好的灵敏度（Luo等人2016；Gong等人2021），预计它在探测SBHB螺旋运动方面将优于LISA（Liu等人2020f, 2022；Zhu等人2022b）。

极端相对论系统（EMRIs）由一个恒星级致密天体围绕一个超大质量黑洞（MBH）运行组成。由于在星系中心通常至少存在一个MBH以及一个核心星团，而且核心星团内的恒星密度随着距离中心MBH的距离减小而增加，因此中心MBH有可能通过引力捕获周围的恒星级致密天体形成EMRI系统（Barack和Cutler 2004；Amaro-Seoane等人2007；Babak等人2017；Amaro-Seoane 2018）。EMRIs的标准形成途径是位于普通星系中心的MBH通过引力捕获恒星级黑洞（Babak等人2017；Amaro-Seoane 2018）。EMRIs的群体特性主要由MBH的群体特性、嵌入核心星团密集恒星尖端的MBH比例、每个MBH的EMRI形成率以及螺旋运动致密天体的质量和偏心率分布决定（Babak等人2017；Amaro-Seoane 2018）。在（Fan等人2020）中进行了关于TianQin探测EMRIs能力的详细分析，使用了（Babak等人2017）中提出的12个EMRI群体模型。由于各种群体模型预测的EMRIs的速率和特性差异很大，因此TianQin对EMRIs的探测率和参数估计误差存在很大不确定性。TianQin预计每年能探测到几个到几百个EMRIs，而TianQin I+II预计将探测率提高约两到三倍；EMRIs的天空定位误差范围从大约\(0.1 \, \textrm{ deg}^2\)到\(100 \, \textrm{ deg}^2\)，亮度距离估计的相对误差约为0.05到0.1（Fan等人2020）。由于EMRI GW信号主要集中在\(f \lesssim 10^{-2}\) Hz的频率范围内，预计TianQin的探测率大约是LISA的五分之一（Babak等人2017；Fan等人2020）。

超大质量黑洞双星系统（MBHBs）是星系合并的产物，预计它们将是毫赫兹（milli-hertz）GW频段中最响亮的GW源。之前的一项研究（Klein等人2016）基于改进的宇宙学N体模拟提出了三个看似可靠的MBHB群体模型。这些模拟采用了扩展的Press–Schechter形式主义来模拟暗物质合并树的产物，并利用半解析的星系形成模型来模拟星系演化。后续的工作（Wang等人2019a；Barausse等人2020a）使用不同的改进宇宙学N体模拟得到了类似的群体结果。Wang等人（2019a）利用（Klein等人（2016）提出的三个MBHB群体模型，即轻种子模型popIII和重种子模型Q3_d和Q3_nod，研究了TianQin对MBHB合并的早期预警能力和探测潜力。TianQin对MBHB合并GW信号的探测能力在不同群体模型中差异显著。预计的探测率从每年几个到几十个MBHB不等，天空定位误差约为\(10 \, \textrm{ deg}^2\)，亮度距离估计的相对误差约为\(3\%\)（Wang等人2019a）。TianQin I+II配置可以将MBHB的探测率提高约60%，尽管空间定位误差的改善并不显著（Zhu等人2022a）。与EMRIs的探测类似，TianQin对MBHB的探测能力相对于LISA来说较弱（Klein等人2016；Wang等人2019a）。

总之，这三类GW源——即SBHBs、EMRIs和MBHBs——提供了探测宇宙膨胀历史的互补手段。由于SBHBs的SNR通常较低，因此TianQin能够探测到的SBHBs主要集中在红移\(z < 0.3\)的低红移宇宙中（Liu等人2020f；Zhu等人2022b）。由于中心MBH的贡献，EMRIs的SNR通常高于SBHBs，其探测范围可延伸到红移\(z \sim 2\)（Fan等人2020）。MBHBs的SNR通常是三者中最高的，其探测范围可以达到红移\(z > 10\)（Wang等人2019a）。鉴于各类GW源的事件率有限，在红移\(z \lesssim 0.3\)的低红移宇宙中，首选的GW源是SBHBs；在\(0.3 \lesssim z \lesssim 2\)的中红移宇宙中，EMRIs占主导地位；而在红移\(z > 2\)的高红移宇宙中，MBHBs是唯一可探测到的GW源。因此，这三类GW源构成了一个探测阶梯系统，使基于太空的GW探测器能够更全面地探测宇宙的膨胀历史。

在广义相对论（GR）中，GW的振幅与亮度距离成反比，即\(h \propto 1/D_L\)。因此，直接从GW探测中估计亮度距离的精度通常与GW信号的SNR成反比，即\(\Delta D_L/D_L \propto 1/\textrm{SNR}\)。然而，当考虑到GW源参数之间的各种不确定性——例如双星轨道角动量相对于视线方向的倾角\(\iota\)与亮度距离之间的不确定性，以及空间位置与偏振角之间的不确定性——实际的亮度距离误差变得更加复杂。因此，需要通过模拟分析来获得可靠的估计（Finn 1992；Cutler和Flanagan 1994；Vallisneri 2008）。由探测器响应和噪声特性决定的亮度距离误差通常被称为探测误差或不确定性。

除了探测不确定性外，还需要考虑影响GW信号在发射和传播过程中振幅测量准确性的因素，如特殊速度（Kocsis等人2006；Gordon等人2007）和弱引力透镜效应（Markovic 1993；Wang等人1996；Takahashi和Nakamura 2003b；Holz和Hughes 2005）。宇宙中的每个天体都表现出特殊运动，GW源的特殊速度会由于多普勒效应改变探测到的GW信号的频率。由于GW的频率及其时间导数是估计GW源质量的关键（Cutler和Flanagan 1994），这直接决定了GW信号的绝对振幅，因此特殊速度引起的多普勒效应会影响振幅测量的准确性，最终影响亮度距离测量的精度。单个GW源的特殊速度通常难以直接测量。因此，特殊速度对亮度距离估计的影响只能通过统计方法来考虑（Kocsis等人2006）。由于特殊速度效应导致的亮度距离额外不确定性可以表示为（Kocsis等人2006；Gordon等人2007）$$\begin{aligned} \sigma _{D_L}^\textrm{pv}(z) = D_L(z) \times \bigg [ 1 + \frac{c (1+z)^2}{H(z)D_L(z)} \bigg ] \frac{\sqrt{\langle v^2 \rangle }}{c}, \end{aligned}$$ （115）其中\(\sqrt{\langle v^2 \rangle }\)代表GW源相对于哈勃流的均方根特殊速度。通常，GW源的特殊速度被近似为星系的特殊速度，均方根取为\(\sqrt{\langle v^2 \rangle }=500 \ \text {km}/\text {s}\）（Kocsis等人2006；He 2019）。

宇宙中星系的空间数密度大约是每\(\textrm{Mpc}^3\)有0.01个银河系相当的星系（Kopparapu等人2008）。来自遥远源的GW信号在传播过程中受到周围星系引力势的影响的概率与GW源的距离成正相关。因此，引力透镜效应不可避免地会导致GW振幅的放大或衰减，从而影响对GW源的亮度距离测量（Markovic 1993；Wang等人1996；Pyne和Birkinshaw 2004；Takahashi和Nakamura 2003b；Bonvin等人2006）。强引力透镜可以单独识别和建模（Sereno等人2010；Smith等人2018），而弱引力透镜则无法直接识别。因此，必须使用统计方法来考虑弱引力透镜对亮度距离估计的影响（Markovic 1993；Holz和Wald 1998；Shapiro等人2010；Hirata等人2010）。弱引力透镜对亮度距离估计的影响可以通过一个拟合公式来描述，广泛采用的表达式为（Hirata等人2010）$$\begin{aligned} \sigma _{D_L}^{\text {lens}}(z) = \frac{1}{2} D_L(z) \times C_l \bigg [ \frac{1 - (1+z)^{-\beta _l}}{\beta _l} \bigg ]^{\alpha _l}, \end{aligned}$$ （116）其中\(C_l = 0.066\)，\(\alpha _l = 1.8\)，\(\beta _l = 0.25\)是拟合参数。与（Hirata等人2010）中提出的原始公式相比，公式（116）引入了一个额外的1/2因子。这种调整是因为原始公式模拟的是弱引力透镜对\({D_L}^{\!2}\)测量的影响，而GW探测直接测量的是亮度距离\(D_L\)。此外，该方程已经更新，以反映对GW源（Cusin和Tamanini 2021）、星系以及星系空间分布之间相关性的日益理解（Hilbert等人2011；Wu等人2023c）。

除了特殊速度和弱引力透镜的影响外，宿主GW源的几个其他环境因素也可能影响亮度距离测量的准确性。这些因素包括引力红移效应（Chen等人，2019a；Chen，2021）、气体的存在（Chen等人，2020b）、暗物质（Karydas等人，2024；Kavanagh等人，2025）以及引力波（GW）波形的分辨率（Jan等人，2024），还有GW探测器噪声的非平稳性（Edy等人，2021；Kumar等人，2025）和非高斯特性（Steltner等人，2022）。然而，这些效应超出了当前讨论的范围。由积分Sachs-Wolfe效应引起的额外距离不确定性协调员：Anzhong Wang TianQin（无论是独立运行还是与其他探测器联合运行）都能够探测到来自红移\(z > 20\)的双星系统发出的引力波（Seoane等人，2023；Bailes等人，2021；Li等人，2025a；Shi等人，2025）。这将带来各种深远的科学后果。特别是，传播如此长宇宙距离的引力波不仅会携带关于其源的信息，还会携带关于宇宙膨胀和宇宙不均匀性的详细信息，从而为利用引力波探索宇宙打开了一扇全新的窗口，因为到目前为止，我们对宇宙的理解几乎完全来自电磁波的观测（可能的例外是宇宙射线和中微子）（Lyth和Liddle，2009）。其中一个效应是引力积分Sachs-Wolfe（iSW）效应，它与宇宙微波光子非常相似，光子穿行的大尺度结构会对观测到的温度各向异性有所贡献。在广义相对论（GR）的框架下，使用Isaacson几何光学近似（Isaacson，1968），(Laguna等人，2010)首次推导出了在只有宇宙标量扰动的FRW背景下传播的引力波的这种效应的对应物，后来(Fier等人，2021)将其推广到同时存在标量和张量扰动的情况，并推导出了引力波在非均匀宇宙中传播的一般公式。引力波会经历引力iSW效应的相位、频率和振幅，以及来自引力透镜的振幅放大效应。对于超大质量黑洞双星系统，iSW效应可以解释频率、啁啾质量和双星系统光度距离的可测量变化，从而揭示宇宙中的不均匀性，以及潜在的暗能量。最近，上述研究进一步推广到了标量张量理论（Garoffolo等人，2020），包括Horndeski理论（Dalang等人，2021；Ezquiaga和Zumalacárregui，2020；Kubota等人，2023），以及Einstein-标量-Gauss-Bonnet引力理论（Fier等人，2025）。对于GR中的引力iSW效应，所有将由当前和下一代探测器探测到的引力波都可以很好地近似为高频引力波，因此可以应用几何光学近似（Isaacson，1968）。对于在非均匀宇宙中传播的引力波，\(g_{\mu \nu } = \gamma _{\mu \nu } + \epsilon h_{\mu \nu }, \; \gamma _{\mu \nu } = \bar{\gamma }_{\mu \nu } + \epsilon _c \hat{\gamma }_{\mu \nu }\)，其中\(\bar{\gamma }_{\mu \nu }\)和\(\hat{\gamma }_{\mu \nu }\)分别代表宇宙的均匀部分和非均匀部分，\(h_{\mu \nu }\)表示首先由天体物理源（如双星系统）发出然后在\(\gamma _{\mu \nu }\)背景下传播的引力波。对于平坦的FRW宇宙，我们有\(\bar{\gamma }_{\mu \nu } = a^2(\tau )\eta _{\mu \nu }\)和\(\hat{\gamma }_{\mu \nu }dx^{\mu } dx^{\nu } = a^2(\tau )\left( -2\Phi d\tau ^2 + \left( 2\Psi \delta _{ij} + H_{ij}\right) dx^idx^j\right)\)，其中\(\eta _{\mu \nu } \left[ \equiv \text {diag.}\left( -1, 1, 1, 1\right) \right] \)描述了闵可夫斯基时空。可以发现$$\begin{aligned} h_{\mu \nu } = e_{\mu \nu }\tilde{h},\quad \tilde{h} \equiv \mathcal {A}e^{i\varphi } = \frac{\mathcal {Q}}{\mathcal {R}}(1+\xi )e^{i(\varphi _e+\delta \varphi )}, \end{aligned}$$ （117）其中\(e_{\mu \nu }\)表示偏振张量，\(\mathcal {Q}\)是一个常数，\(\mathcal {R} \equiv a |\vec {r}_e-\vec {r}_r|\)是观测者和源之间的物理距离，\(\vec {r}_e\)和\(\vec {r}_r\)分别是源和观测者的空间位置。引力波的相位和振幅由下式给出$$\begin{aligned} \delta \varphi= & \varphi -\varphi _e=\int ^{\lambda }_{\lambda _e}(\Phi +\Psi )d\lambda ^{\prime } -\frac{1}{2}n^kn^l\int ^{\lambda }_{\lambda _e}H_{kl}d\lambda ^{\prime },\nonumber \\ \xi= & \left. \left( \Psi -\frac{1}{4}n^kn^lH_{kl}\right) \right| ^{\lambda }_{\lambda _e} +\frac{1}{2}I^{(t)}_{iSW} -\frac{1}{2}n^k\int ^{\lambda }_{\lambda _e} \partial ^lH_{kl}d\lambda ^{\prime }\nonumber \\ & -\frac{1}{4}\perp ^{ij}\int ^{\lambda }_{\lambda _e}\int ^{\lambda ^{\prime }}_{\lambda _e}\partial _i\partial _j\Bigg [n^kn^lH_{kl} -2\left( \Phi +\Psi \right) \Bigg ]d\lambda ^{\prime \prime }d\lambda ^{\prime }. \end{aligned}$$ （118）这里\(I^{(s)}_{iSW}\)表示由于宇宙标量扰动引起的引力iSW效应，首次在(Laguna等人，2010)中计算，而\(I^{(t)}_{iSW}\)是由于宇宙张量扰动引起的引力积分效应，在(Fier等人，2021)中发现。它们分别由下式给出$$\begin{aligned} I^{(s)}_{iSW} \equiv \int ^{\lambda }_{\lambda _e}\partial _{\tau }(\Phi +\Psi )d\lambda ^{\prime }, \;\;\; I^{(t)}_{iSW} \equiv n^kn^l\int ^{\lambda }_{\lambda _e}\partial _{\tau }H_{kl}d\lambda ^{\prime }. \end{aligned}$$ （119）为了将引力iSW效应与观测结果联系起来，我们首先注意到观测上我们发现\(\Phi \simeq \Psi \)（Dodelson，2003）。然后，在傅里叶空间中，我们有\(\Phi _k = \Psi _k = -3H_0^2\delta _k^{(0)} D(t) /(2k^2 a)\)，其中D(t)是线性增长函数，\(\delta _k^{(0)}\)是零红移时密度扰动的傅里叶系数，有$$\begin{aligned} \left<\delta _k^{(0)}\delta _{k^{\prime }}^{* (0)}\right> = \frac{4k^4}{25H_0^4}P_k T^2, \end{aligned}$$ （120）其中\(P_k = 2\pi ^2 {\Delta _R^{(0)}}^2/k^3\)是曲率扰动的功率谱，T(k)是传递函数。尽管TianQin或其他基于空间的探测器探测引力波不会受到物质不均匀性的影响，但参数估计显然会受到它们的影响。预计TianQin对啁啾质量和光度距离敏感，对于低红移源(\(z < 0.5\))，灵敏度为\(\Delta \ln \mathcal {M} \sim 10^{-6}-10^{-2}\)和\(\Delta \ln D_L \sim 10^{-4}-10^{-1}\)，对于高红移源(\(z \sim 5 - 10\))，灵敏度可达\(\Delta \ln \mathcal {M} \sim 10^{-2}\)和\(\Delta \ln D_L \sim 10^{-1}\)（Feng等人，2019；Wang等人，2019a；Zhu等人，2022a）。然后，可以证明\(\xi\)将是在使用标准哨声测量通过红移光度距离确定的暗能量状态时的一个噪声源。另一种方法，如(Laguna等人，2010)首次指出的，我们也可以将上述效应视为电磁测量密度不均匀性和引力波观测之间的新联系。为了实现这一目标，我们首先需要打破\((\mathcal {M}_z, z, \Upsilon )\)和\((D_L, z, \xi , \Upsilon )\)之间的简并性。在电磁和引力波同时被探测到的情况下，我们可以通过宿主星系的识别以及星系光度与黑洞质量之间的相关性来电磁确定红移和组分质量。另一种可能性是使用大尺度结构观测来测量\(\delta _k\)并预测\(\Upsilon \)。这样的测量将开启对引力波与暗物质和大尺度结构调查之间交叉相关性的研究。此外，探测到物质分布与引力波iSW效应之间的交叉相关性可能也是对GR的另一个测试，因为它将表明引力波在与电磁辐射相同的度规中传播。4.1.4 红移的不确定性在第4.1.1节中总结了七种提取引力波源红移信息的方法。每种方法都有其适用范围，从不同方法得出的红移不确定性也各不相同。对于TianQin的特性及其候选标准哨声的属性，有四种方法特别适用于提取红移信息：电磁对应体、星系目录、引力波源与星系之间的交叉相关性以及强引力透镜效应。本节重点讨论前两种方法；第四种方法将在第4.5节中讨论。寻找引力波源的电磁对应体是提取引力波源红移信息的最理想方法，正如(Schutz，1986)首次指出的那样。引力波源的电磁对应体可以帮助观测者唯一地识别它们的宿主星系，从而通过光谱观测进行精确的红移测量。在这种情况下，红移测量误差足够小，可以忽略不计（Hjorth等人，2017）。然而，识别电磁对应体的方法并不是最普遍适用的。几个因素决定了寻找电磁对应体的成功率（Abbott等人，2017f；Burns等人，2019）：(i) 引力波源是否发射电磁辐射（例如，对于黑洞双星系统）；(ii) 电磁对应体是否足够亮，能够被灵敏度有限的望远镜探测到；以及(iii) 引力波探测器提供的天空定位信息是否及时且足够精确，以便在有限的时间内让视野有限的望远镜进行搜索。在TianQin的三种候选哨声中（还包括LISA和Taiji），具有可观测电磁对应体的潜在明亮哨声是MBHBs（Tamanini等人，2016；McGee等人，2020；De Rosa等人，2019；Mangiagli等人，2020；Bogdanovic等人，2022）。使用星系目录提取引力波源的红移是三种候选标准哨声中最广泛适用的方法：SBHBs（Soares-Santos等人，2019；Palmese等人，2020；Vasylyev和Filippenko，2020；Abbott等人，2021a，2023a；Del Pozzo等人，2018；Zhu等人，2022b）、EMRIs（MacLeod和Hogan，2008；Laghi等人，2021；Zhu等人，2024a）和MBHBs（Petiteau等人，2011；Wang等人，2022b；Zhu等人，2022a）。得益于各种星系调查项目和工作计划，如斯隆数字巡天（SDSS）（York等人，2000；Almeida等人，2023）、暗能量巡天（Abbott等人，2005，2021g）、大天空面积多目标光纤光谱望远镜（Cui等人，2012；Zhao等人，2012a）、暗能量光谱仪器（Aghamousa等人，2016；Dey等人，2019）、Rubin天文台时空遗产巡天（Ivezi?等人，2019）、欧几里得（Scaramella等人，2022）和中国空间站望远镜（Gong等人，2019），我们的星系信息目录——包括天空位置、星等、光谱（或各种波段的测光星等）和红移——不断得到改进。这一进展将显著提高TianQin的暗哨声的红移测量精度。从星系目录中提取的红移信息通常以红移的概率密度分布形式出现，这种方法基于一个默认假设，即位于引力波源空间定位误差体积内的每个星系都是引力波源的潜在宿主。星系的聚集分布确保了候选宿主星系提供的红移概率密度分布具有信息性（Schutz，1986）。从星系目录中获得的红移误差主要由以下因素决定：(i) 引力波源的空间定位误差体积，(ii) 星系目录的完整性和红移精度，以及(iii) 宇宙参数的先验范围（MacLeod和Hogan，2008；Petiteau等人，2011；Del Pozzo，2012；Chen等人，2018b；Zhu等人，2022a）。减少引力波源的误差体积或提高星系目录的完整性和红移精度可以提高红移的等效精度。例如，图31显示了从星系目录中提取的SBHB标准哨声的红移概率分布函数。该图表明，提高空间定位精度或星系的红移精度显然会增强引力波源真实红移相对于红移概率分布的相对概率。影响红移误差的第三个因素是，在基于引力波源的空间定位误差体积选择候选宿主星系时，必须将光度距离的误差转换为红移误差。这种转换取决于宇宙参数的值。图31这张图像的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像SBHB的天空定位误差和红移概率分布函数（Zhu等人，2022b）。左侧面板显示了TianQin（实心黑色等高线）和TianQin I+II（虚线青色等高线）的天空定位误差，以及目录中星系的散点图。绿色星星标记了SBHB的真实宿主，其他红色星星的深浅代表它们的红移，星星的大小代表与亮度相关的权重。中间面板分别显示了TianQin（上）和TianQin I+II（下）的统计光度红移，使用了两种提取红移的方法：基准方法（黑色直方图）和加权方法（红色直方图）。垂直的绿色虚线代表SBHB的真实红移。右侧面板显示的内容与中间面板相同，但包含了星系的光谱红移。

还应该注意的是，本节尚未讨论的三种提取引力波（GW）源红移的方法原则上也适用于TianQin的暗哨星。然而，提取的红移误差非常大，以至于它们的实际用途几乎可以忽略不计。原因如下：引力波源的固有红移分布及其物理质量分布极大地依赖于关于引力波源形成和演化的天体物理模型（Ding等人2019年；Ezquiaga和Holz 2022年；Mastrogiovanni等人2021年；Mukherjee 2022年）。我们对电磁射电激波（EMRIs）和巨质量黑洞（MBHBs）的形成和演化机制目前了解甚少，无法合理预测它们的红移和质量分布，因此这两种方法不适用于EMRIs和MBHBs。对于SBHBs，尽管通过LVK的引力波探测我们对它们的群体特性有初步的了解，但TianQin探测到的SBHBs都位于本地宇宙中，红移\(z < 0.3\)（Liu等人2020f；Zhu等人2022b）。对于这样低红移的SBHBs，利用红移和物理质量的额外信息提取的红移误差远大于SBHBs本身的红移值。关于中子星的潮汐变形阶段，这些额外的引力波阶段发生在双中子星和中子星-黑洞双星系统接近合并时。由于这些阶段的频率相对较高，它们超出了TianQin的敏感范围。

4.1.5 提高红移精度

观测电磁对应体是为引力波源提高红移测量精度最理想的方法。在这种情况下，可以获得极其精确的红移信息。对合并前MBHBs的近乎实时的天空定位有助于寻找这些引力波源的电磁对应体（Mangiagli等人2020年；Chen等人2024a）。然而，我们目前对EMRIs和MBHBs的电磁辐射机制和特性的理解仍然非常不确定（Bogdanovic等人2022年），因此，电磁对应体搜索的成功率目前尚不清楚。

使用星系目录的方法是提取引力波源红移信息最广泛适用的方法。有三种主要方法可以提高提取红移的精度：首先，减少引力波源的空间定位误差体积；其次，提高星系目录的完整性；第三，为每个候选宿主星系正确分配权重。前两种方法主要取决于引力波探测器和电磁望远镜的实际观测结果，不需要大量的假设。然而，第三种方法本质上是一种数据处理方法，需要进一步的研究和模拟测试。为了清晰起见，作者下面介绍了为TianQin的三类候选标准哨星开发的候选宿主星系加权方法：

对于SBHBs，利用星系的多波段光度信息直接估计星系的总恒星质量，然后根据总恒星质量为星系分配权重（Zhu等人2022b）；

对于MBHBs（也适用于EMRIs），根据它们的核球亮度信息和\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系为候选宿主星系分配权重（Zhu等人2022a）；

对于EMRIs（也适用于MBHBs），通过统计推断EMRIs的形成途径来选择候选宿主（Zhu等人2024a）。这些加权方法的天体物理基础和实际效果将在后续章节中讨论。

为引力波源的候选宿主星系正确分配权重必须基于引力波源与其宿主星系之间的天体物理关联。对于SBHBs，存在两种潜在的相关性：一个星系的SBHB事件率与其总恒星质量成正比（Phinney 1991年；Leibler和Berger 2010年；Fong等人2013年；Rodriguez等人2016年），以及星系的恒星形成率（Leibler和Berger 2010年；Singer等人2016年）。第一种相关性基于这样一个事实：总恒星质量较大的星系包含更多的恒星，因此更有可能产生更大的恒星质量黑洞。第二种相关性得到了支持，即SBHBs的红移演化规律与星系的恒星形成率相似（Rodriguez和Loeb 2018年；Yang等人2020b年；Santoliquido等人2020年；Fishbach和Kalogera 2021年；van Son等人2022年；Abbott等人2023c年；Vijaykumar等人2023年）。无论采用哪种相关性，以前的研究都使用单波段亮度来近似候选宿主星系的权重\(\{ w_i \}\）（Soares-Santos等人2019年；Fishbach等人2019年；Abbott等人2021a年；Palmese等人2020年；Vasylyev和Filippenko 2020年；Abbott等人2023a年；Ballard等人2023年）。例如，权重可以表示为\(w_i \propto L_{K,i}\)，基于总恒星质量（Bell等人2003年；Lin等人2004年），以及\(w_i \propto L_{B,i}\)，基于恒星形成率（Kennicutt 1998年；Gehrels等人2016年），其中\(L_{K,i}\)和\(L_{B,i}\)分别代表第i个星系在K波段和B波段的亮度。

考虑到星系在单K波段或B波段的亮度与其总恒星质量或恒星形成率之间的线性关系存在较大散布，这种散布会降低加权方法的有效性，并可能引入权重偏差。一种更合理的加权方法是使用多波段的光度信息，因为这将提高对星系总恒星质量或恒星形成率估计的准确性（Zhu等人2022b）。通过使用所有观测波段的光度数据拟合星系模型的光谱能量分布（SED），可以估计星系属性（如总恒星质量和恒星形成率）的最大似然值（Calzetti等人1994年；Chabrier 2003年；Bruzual和Charlot 2003年；Arnouts等人1999年；Ilbert等人2006年）。这种多波段方法可以提高从星系目录中提取的红移精度。信息增益可以用来定量描述额外的多波段光度信息对提高引力波源红移精度的影响（Fishbach等人2019年；Zhu等人2022b）。信息增益定义为（Sivia 2006）$$\begin{aligned} \mathcal {H} = \!\int \! p(z|d_\textrm{GW}, d_\textrm{gal},\vec {H},I) \log _{2}\!\! \left[ \frac{ p(z|d_\textrm{GW}, d_\textrm{gal},\vec {H},I)}{ p_0(z| \vec {H}, I)} \right] {\textrm{d}}z , \end{aligned}$$ （121）其中\(p(z|d_\textrm{GW}, d_\textrm{gal},\vec {H},I)\)代表所有候选宿主星系的引力波源的后验概率，\(d_\textrm{survey}\)代表星系目录，\(p_0(z| \vec {H}, I)\)是红移的先验概率分布。较大的信息增益表示对宇宙学的更强约束。图32展示了使用单波段和多波段光度加权候选宿主星系的信息增益分布的比较。正如预期的那样，可以发现多波段光度显著提高了从星系目录中提取的SBHBs的红移精度。

图32

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SBHBs红移概率分布的信息增益分布。蓝色和红色的点或线条分别代表单波段和多波段光度加权方法获得的结果。顶部面板显示了使用这两种方法获得的信息增益分布，底部面板显示了相应的信息增益与空间定位误差共动体积\(\Delta V_C\)的散点图。该图包含了TianQin可探测到的2000个模拟SBHBs（Zhu等人2022b）。

对于MBHBs和EMRIs，作者确定了两种加权候选宿主星系的方法。第一种方法利用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系（Zhu等人2022a），而第二种方法统计测试引力波源与活动星系核（AGNs）之间的相关性（Zhu等人2024a；Zhu和Chen 2024）。\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系是星系中心MBHs的核球亮度和质量之间的一个众所周知的对数线性关系。这种关系的天体物理基础在于星系及其中心MBHs的共同演化（Graham 2007年；Bentz等人2009年；Jiang等人2011年；Kormendy和Ho 2013年）。由于MBHs是形成EMRIs和MBHBs的主要黑洞，引力波探测可以提供这些源的精确质量估计（Klein等人2016年；Wang等人2019a；Babak等人2017年；Fan等人2020年）。这使我们能够使用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系和估计的MBH质量来推断宿主星系的核球亮度。在这种情况下，在提取像EMRI或MBHB这样的引力波源的红移概率分布时，可以根据其核球亮度与\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系推断出的值之间的一致性为每个候选宿主星系分配权重。例如，作者考虑了TianQin探测到的MBHBs。图33的左侧面板展示了使用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系或均匀权重为候选宿主星系分配权重时，红移概率分布的信息增益分布，可以看出，对于空间定位精确的源，应用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系显著增加了信息增益。

图33

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TianQin的MBHBs（左侧面板）和EMRIs（右侧面板）的红移信息增益分布。左侧面板中，蓝色和红色的点或线条分别代表使用均匀权重和\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)加权方法获得的结果，MBHB样本基于pop III群体模型生成（Zhu等人2022a）。右侧面板中，蓝色和红色的点或线条分别代表来自星系和AGNs的结果，EMRI样本基于M1群体模型生成（Zhu等人2024a）。其他设置与图32相同。

统计测试引力波源与AGNs之间相关性的方法基于这样一个前提：EMRIs和MBHBs在形成过程中可能与AGNs相关。对于MBHBs，这些系统必须克服所谓的“最终秒差距问题”（Begelman等人1980年；Milosavljevic和Merritt 2001年），才能进入由引力波辐射主导的阶段。AGNs中的丰富气体环境可以通过动态摩擦帮助MBHBs失去轨道角动量，使AGNs成为MBHBs系统的潜在主要宿主（Begelman等人1980年；Armitage和Natarajan 2002年；Escala等人2005年；Mayer等人2007年；Macfadyen和Milosavljevic 2008年；Cuadra等人2009年；Goicovic等人2016年；Seoane等人2023年）。对于EMRIs，除了第4.1.2节讨论的正常星系中的标准通道（Babak等人2017年；Amaro-Seoane 2018年）外，一些研究表明，EMRIs在AGN环境中的形成率可能比在正常星系中高几个数量级（Levin 2003年，2007年；Yunes等人2011年；Pan和Yang 2021年；Pan等人2021年，2022年；Derdzinski和Mayer 2022年）。尽管AGNs只占所有星系的约1%（基于亮度函数最多约为10%（Dahlen等人2005年；Hopkins等人2007年）），它们仍可能是未来基于空间的引力波探测器可探测到的EMRIs的主要来源（Pan和Yang 2021年；Pan等人2021年）。然而，我们目前对MBHBs和EMRIs的形成机制仍存在显著的不确定性（Seoane等人，2023年；Derdzinski和Zwick，2023年），这使得确定这两类引力波（GW）源与活动星系核（AGNs）之间的确切相关性变得困难。在引力波检测提供的空间定位精度远低于唯一识别其宿主星系所需精度的情况下，需要一种统计方法来测试引力波源与AGNs之间的相关性，正如Zhu和Chen（2024年）以及Zhu等人（2024a年）所提出的。一旦通过Zhu和Chen（2024年）以及Zhu等人（2024a年）的方法统计上建立了EMRIs或MBHBs与AGNs之间的相关性，就可以通过AGN目录完全（或部分）提取这些引力波源的红移信息（Zhu等人，2024年）。例如，考虑到来自AGNs的EMRIs，图33的右侧面板显示了使用AGN目录提取的EMRIs的红移概率分布的信息增益。与从所有候选星系中得到的红移相比，来自AGN目录的信息增益显著更大，这是因为所有星系中AGNs的比例只有大约1%。

4.2 TianQin对\(\Lambda \)CDM参数的约束潜力
本节将介绍TianQin在约束\(\Lambda \)CDM宇宙学模型的各种参数方面的预期潜力，包括哈勃-勒梅特常数\(H_0\)，以及分数密度参数\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)。本节考虑的标准引力波源涵盖了第4.1.2节中介绍的所有类别的候选引力波源。此外，由于引力波源的群体特性会显著影响引力波检测受到选择效应的影响程度（Abbott等人，2017b年；Chen等人，2018b年；Mandel等人，2019年；Soares-Santos等人，2019年），因此将分别分析不同群体的引力波源在约束\(\Lambda \)CDM参数方面的能力。

4.2.1 哈勃张力与标准引力波源
尽管\(\Lambda \)CDM模型非常吻合宇宙微波背景辐射（CMB）的观测结果（Ade等人，2016年；Aghanim等人，2020年），并描述了从宇宙大爆炸（BBN）时代到大尺度结构形成以及宇宙晚期加速膨胀的演化过程（Carroll，2001年；Peebles和Ratra，2003年；Bull等人，2016年），但近年来它面临了一些挑战（Bull等人，2016年；Perivolaropoulos和Skara，2022年；Verde等人，2023年）。其中最显著的问题是早期宇宙和晚期宇宙测量的哈勃-勒梅特常数\(H_0\)之间的差异。普朗克卫星的CMB各向异性观测（Ade等人，2014年），结合平坦的\(\Lambda \)CDM模型，测得\(H_0 = 67.4 \pm 0.5 \, \mathrm { km/s/Mpc}\)（Aghanim等人，2020年），这一结果得到了其他几项观测的支持（Addison等人，2018年；Abbott等人，2018b年；Aiola等人，2020年）。由于CMB辐射起源于早期宇宙，因此通过CMB观测得到的\(H_0\)值被称为早期宇宙测量值。另一方面，SH0ES项目的Ia型超新星（SN Ia）观测（Riess等人，2016年），结合宇宙距离阶梯，测得\(H_0 = 73.2 \pm 1.3 \, \mathrm { km/s/Mpc}\）（Riess等人，2021年），这一测量结果也得到了其他独立观测的支持（Freedman和Madore，2010年；Soltis等人，2021年；Blakeslee等人，2021年）。由于Ia型超新星主要发生在低红移宇宙中，因此从Ia型超新星观测得到的\(H_0\)值被称为晚期（或本地）宇宙测量值。这两类测量值之间的差异已经增长到大于\(4\sigma\)的水平，这被称为哈勃张力（Freedman，2017年；Riess，2019年）。
哈勃张力代表了关于\(\Lambda \)CDM宇宙学模型和宇宙距离阶梯系统可靠性的根本性争论（Di Valentino等人，2021年；Sch?neberg等人，2022年；Cai等人，2022a年）。随着来自CMB和Ia型超新星的新观测继续强化它们各自的先前测量结果（Choi等人，2020年；Riess等人，2024年），对\(H_0\)的独立第三次测量将显著有助于解决哈勃张力问题。正如Schutz（1986年）首次提出的，并在本文第4.1.1节中详细说明的，引力波源的光度距离测量是自我校准的，且不依赖于宇宙距离阶梯系统。因此，通过标准引力波源测得的\(H_0\)值对于澄清哈勃张力具有相当大的潜力。当前和未来的地面及太空基引力波探测器都处于有利位置，可以通过提供独立的\(H_0\)测量来帮助解决哈勃张力问题（Chen等人，2018b年；Feeney等人，2019年；Chen等人，2021a年；Califano等人，2023年；Gupta等人，2023年；Zhu和Chen，2023年；Song等人，2024年；Muttoni等人，2023年；Del Pozzo等人，2018年；Tamanini等人，2016年；Wang等人，2022b年；Muttoni等人，2022年；Laghi等人，2021年；Yang，2021年；Cai和Yang，2021年；Yang等人，2022a，b）。特别是TianQin，预计将探测到数十到数千个标准引力波源（Liu等人，2020f年；Wang等人，2019a年；Fan等人，2020年），这可能为解决哈勃张力提供宝贵的见解（Zhu等人，2022a，b，2024a），这将在下一节中讨论。

4.2.2 对\(H_0\)的约束
使用标准引力波源来约束宇宙学参数（包括\(H_0\)的过程实际上是通过利用引力波检测提供的光度距离信息以及从电磁对应体、星系目录或其他手段获得的红移信息来拟合\(D_L - z\)关系的过程。图34展示了TianQin使用暗引力波源（如SBHBs和EMRIs）以及亮引力波源（如MBHBs）来拟合\(D_L - z\)关系的过程。亮引力波源通常具有精确的红移测量，误差可以忽略不计，而暗引力波源的红移信息通常表示为具有较大等效误差的概率分布。因此，除非暗引力波源的空间定位足够精确以唯一识别其宿主星系，否则亮引力波源通常对\(D_L - z\)关系提供更强的约束。然而，关于未来观测中实际亮引力波源在所有标准引力波源中的比例仍存在显著不确定性，因此，来自亮引力波源的宇宙学前景通常被视为一种乐观的情况。相比之下，从星系目录中提取的引力波源的红移可以应用于几乎所有可检测的引力波源，使得来自暗引力波源的宇宙学前景更为保守。

图34
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使用TianQin标准引力波源来拟合不同候选群体的\(D_L - z\)关系的示例。假设暗引力波源为SBHBs（Zhu等人，2022b）和EMRIs（Zhu等人，2024a），SBHBs显示在左上面板中，EMRIs显示在下面板中。假设亮引力波源为MBHBs（Zhu等人，2022a），显示在右上面板中。误差条代表光度距离的\(1\sigma \)置信区间（CI）的总估计误差。请注意，对于可以通过其电磁对应体唯一识别宿主星系的亮引力波源，可以从光谱测量中获得精确的红移，因此图中没有标记红移误差。相比之下，暗引力波源的红移信息以概率分布的形式提供，由图中的彩色水平线表示，颜色的深浅代表概率密度的大小。

通过检测SBHBs并利用SDSS预发布数据（York等人，2000年；Abbott等人，2021a）衍生的GWENS星系目录，以及根据Zhu等人（2022b）报告的多个波段中的光度信息对SBHBs的候选宿主星系进行加权，TianQin预计可以将\(H_0\)的精度约束到大约30%。TianQin的双星座配置（即TianQin I+II）可以将这一精度提高到大约15％。乍一看，这种精度水平可能不足以用于\(H_0\)的测量，特别是与LVK检测到的暗引力波源（Abbott等人，2023a）目前获得的精度相比。Zhu等人（2022b）报告的\(H_0\)精度相对较低的两个主要原因如下：首先，GWENS星系目录提供的红移包含较大的光度红移误差；其次，检测到的SBHBs的光度距离误差可能高达30％。为了解决第一个问题，可以引入候选宿主星系的光谱红移。通过星系光谱调查（Cui等人，2012年；Aghamousa等人，2016年；Gong等人，2019年），可以保证低红移星系的光谱红移。对于相同的SBHBs，使用光谱红移可以将TianQin的\(H_0\)测量精度提高到大约20％，对于TianQin I+II则可以提高到大约8％（Zhu等人，2022b）。对于第二个问题，可以通过多波段引力波数据的联合分析来改进。SBHBs在螺旋合并和合并阶段的引力波信号可以分别由太空基和地面基引力波探测器检测到（Sesana，2016年）。随着第三代地面基引力波探测器（Punturo等人，2010a；Abbott等人，2017c）的发展，预计在不久的将来可以实现多波段引力波检测。下一代地面基引力波探测器将具有更高的灵敏度——预计比Advanced LIGO提高大约一个数量级——使得能够检测到更微弱的SBHB信号（Punturo等人，2010a；Abbott等人，2017c）。相比之下，太空基引力波探测器在长期监测SBHB螺旋信号方面表现出色（Kyutoku和Seto，2016年；Liu等人，2020f）。如果能够在太空基引力波探测器和第三代地面基引力波探测器之间实现时间错开的观测，那么多阶段检测策略就变得可行：地面基探测器测量的SBHB合并信号参数可以指导在太空基引力波探测器数据中搜索相应的螺旋信号（Ewing等人，2021年；Wang等人，2024a）。这种多波段数据的联合分析方法结合了两种检测方式的优点：（i）第三代探测器预计将提供高信噪比和精确的光度距离测量；（ii）太空基探测器的长时间螺旋跟踪能够实现更好的天空定位（Wong等人，2018年；Liu等人，2020a；Muttoni等人，2022年）。正如Zhu等人（2022b）所报告的，通过TianQin和ET提供的多波段数据的联合分析，可以将\(H_0\)的精度提高到大约1％。即使检测率不那么乐观，精度也可以保持在5％的水平，并且在1％的水平上没有发现显著的偏差来源。图35展示了仅使用TianQin的单波段SBHB数据和TianQin与ET的多波段SBHB数据约束\(H_0\)的典型结果，其中自由宇宙学参数包括\(H_0\)和\(\Omega _M\)。

图35
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TianQin（左）和TianQin+ET（右）检测到的SBHBs的参数\(h (\(h \equiv \frac{H_0}{100 \, \mathrm { km/s/Mpc}\))和\(\Omega _M\)的典型后验概率分布（Zhu等人，2022b）。在每个子图中，左下面板显示了h和\(\Omega _M\)的联合后验概率，等高线分别代表\(1 \sigma\)和\(2 \sigma\)的置信区间；上面板和右面板显示了相同参数的边缘化后验概率分布，虚线表示\(1 \sigma\)的置信区间。在每个面板中，实线青色线条标记了参数的真实值。

对于TianQin检测到的EMRIs，Zhu等人（2024a）也进行了类似的\(H_0\)约束预期分析。与SBHBs的情况不同，目前对EMRIs的群体特性了解存在很大的不确定性。Zhu等人（2024a）提供了使用11种通过Babak等人（2017年）提出的标准渠道形成的EMRIs模型来约束\(H_0\)的详细分析，如图36所示。由于不同人口模型预测的EMRI率存在显著差异，导致不同人口模型的\(H_0\)预期精度也有显著不同。在M1人口模型下，受TianQin限制的\(H_0\)预期精度约为8.1%；而使用TianQin I+II配置时，预期精度只能提高到约4.4%。然而，对于EMRI率更为乐观的人口模型，TianQin能够提供精度优于3%的\(H_0\)约束，并且TianQin I+II可以将精度提高到接近1%（Zhu等人，2024a）。此外，根据Zhu等人（2024a）的分析，如果能够通过统计方法建立EMRIs与AGNs的空间分布之间的相关性，TianQin可以利用AGN目录更准确地提取EMRIs的红移信息，如第4.1.5节所述。例如，在M1人口模型下，利用相同的检测到的EMRIs，TianQin可以通过使用AGN目录提取红移来将\(H_0\)的精度提高到约3.2%。这种改进不仅是因为AGNs的空间数密度低于星系，还因为AGN调查需要光谱观测，这提供了精确的光谱红移信息。即使在星系和AGN目录都包含光谱红移观测数据的情况下，利用AGN目录仍然可以显著增强对\(H_0\)的约束，如图36右侧面板所示。图36的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像：左侧面板显示了在不同EMRI人口模型下，TianQin（黑色）、TianQin I+II（蓝色）和TianQin + LISA（红色）对h和\(\Omega _M\)的约束误差（Zhu等人，2024a）。误差条对应于1\(\sigma\)置信区间，水平绿色点划线代表相应参数的真实值。灰色阴影区域代表先验的等效误差1\(\sigma\)，绿色阴影区域代表h（\(\Omega _M\)测量的参考误差范围2\%（10\%）。右侧面板显示了在M1 EMRI人口模型下，TianQin使用AGN目录（红色等高线）和星系目录（蓝色等高线）获得的h和\(\Omega _M\)的典型约束结果（Zhu等人，2024a），假设两个目录都包含光谱红移观测数据。每种颜色的等高线代表1\(\sigma\)和2\(\sigma\)置信区间，青色十字表示参数的真实值。

对于MBHBs的检测，TianQin预计能够检测到几个到数百个MBHBs。Zhu等人（2022a）分析了并报告了使用TianQin的MBHBs检测对\(H_0\)的预期约束误差，采用了Klein等人（2016）提出的三种人口模型。与EMRIs类似，MBHBs的预期检测数量也随着人口模型而显著变化。TianQin预计能够将这些检测中的大约一半的天区定位误差控制在10\(\textrm{deg}^2\)以内（Wang等人，2019a），考虑到我们对MBHBs的电磁辐射机制了解的不确定性（Bogdanovic等人，2022），MBHBs可能是明亮的信号源也可能是暗淡的信号源。在MBHBs作为明亮信号源的乐观情况下，Zhu等人（2022a）分析了在放宽选择标准\(\textrm{SNR} > 8\)、\(\Delta \Omega < 10 \, \textrm{deg}^2\)和\(z<3\)下对各种宇宙学参数的约束。预期结果如下（Zhu等人，2022a）：在pop III、Q3_d和Q3_nod三种人口模型下，TianQin对\(H_0\)的约束误差分别约为4.3\%、6.2%和1.9\%，而TianQin I+II可以将这些误差降低到约70%。在保守情况下，即使MBHBs作为暗淡的信号源，这些源仍然对\(H_0\)的测量有重要贡献。假设每个候选宿主星系拥有相等概率托管MBHBs（称为基准方法），TianQin（TianQin I+II）在pop III、Q3_d和Q3_nod模型下测量的\(H_0\)的预期误差分别约为7.8%（7.0%）、7.5%（6.9%）和4.2%（Zhu等人，2022a）。值得注意的是，通过使用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系为每个候选宿主星系赋予权重（称为加权方法），可以显著改善对\(H_0\)的约束，如第4.1.5节所述。图37展示了使用基准方法和加权方法从多个独立模拟中获得的TianQin对暗MBHBs的\(H_0\)约束误差分布。将加权方法应用于pop III、Q3_d和Q3_nod人口模型下的相同暗MBHBs，预计TianQin（TianQin I+II）对\(H_0\)的约束误差将分别降低到6.9%（6.0%）、6.5%（6.0%）和3.3%（Zhu等人，2022a）。这些结果表明，与基准方法相比，加权方法提高了\(H_0\)约束的精度。

总之，TianQin预期提供的\(H_0\)测量精度存在很大不确定性，其对于澄清哈勃张力（Hubble tension）的实用性受到许多因素的限制。对于SBHBs，虽然其人口属性相对确定，但实现对\(H_0\)的精确约束依赖于与第三代地面引力波（GW）探测器的多波段联合检测，而多波段GW检测的实现目前仍存在很大不确定性。对于EMRIs和MBHBs，人口属性的不确定性也使得TianQin利用它们来约束\(H_0\)的能力受到显著影响。然而，总体而言，TianQin仍能提供有用的\(H_0\)测量结果，但不能保证TianQin能够提供足够精确的\(H_0\)值来澄清哈勃张力。最后，为了清晰起见，表12.4.2.3列出了TianQin使用三类GW源（SBHBs、EMRIs和MBHBs）约束\(H_0\)的预期精度。

由于\(D_L - z\)关系，即方程（109），在接近零的红移处可以退化为所谓的哈勃-勒梅特定律（Hubble 1929），在这种情况下\(D_L - z\)关系仅由一个参数\(H_0\)决定，因此估计分数密度参数需要依赖于相对较高红移的GW源。在TianQin的所有候选标准信号源类别中，对分数密度参数\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的贡献主要来自EMRIs和MBHBs，因为可检测的SBHBs都位于\(z<0.3\)的本地宇宙中。Zhu等人（2024a）采用了一个平坦的\(\Lambda \)CDM模型来分析TianQin的EMRIs对\(H_0\)和\(\Omega _M\)的预期约束能力。图36底部面板显示了TianQin和TianQin I+II对各种人口模型的\(\Omega _M\)的预期误差。可以看出，在大多数人口模型下，TianQin对\(\Omega _M\)的有效约束很小。只有在三个EMRI率较为乐观的模型M6、M7和M12下，TianQin才显示出对\(\Omega _M\)的有效约束，但最佳精度也只有约33%。TianQin I+II配置能够在除了M4、M8和M10之外的所有模型中对\(\Omega _M\)实现有效约束，并将最佳精度提高到约13%。

Zhu等人（2022a）采用了一个非平坦的\(\Lambda \)CDM模型来分析TianQin使用MBHBs对三个参数\(H_0\)、\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的联合约束能力。在MBHBs作为明亮信号源的乐观情况下，TianQin能够在所有人口模型中对\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)实现有效约束，TianQin对\(\Omega _M\)的精度约为7%到27%，对\(\Omega _{\Lambda }\)的精度约为16%到28%。TianQin I+II可以将\(\Omega _M\)的精度提高到约5%到16%，将\(\Omega _{\Lambda }\)的精度提高到约11%到25%。在MBHBs作为暗淡信号源的保守情况下，图37展示了TianQin和TianQin I+II对\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的约束误差分布。可以看出，对于\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)，TianQin只有在Q3_nod人口模型和乐观的MBHB合并率下才能实现有效约束。尽管如第4.1.5节所讨论的，使用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系为MBHBs的候选宿主星系赋权的方法可以提高约束能力，但这种效果仅在Q3_nod模型下明显。TianQin I+II也仅在Q3_nod模型下对\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)实现了有效约束。在Q3_nod模型下，使用\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系的加权方法，TianQin对\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的精度分别约为35%和26%，TianQin I+II能够将这些精度分别提高到约25%和21%。

估计\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)有助于我们更准确地测量\(H_0\)，同时也有助于我们了解宇宙各组成部分的比例。这是因为在使用相对高红移的数据估计\(H_0\)时，哈勃-勒梅特定律的线性关系会失效，需要使用方程（109）中表达的完整\(D_L - z\)关系来准确估计\(H_0\)。由于\(H_0\)和\(\Omega _M\)以及\(H_0\)和\(\Omega _{\Lambda }\)之间存在一定的简并性，因此对\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的约束可以打破这种简并性并提高\(H_0\)的精度。最后，为了清晰起见，表12.4.3列出了TianQin使用暗EMRIs和暗MBHBs约束\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的预期精度。

本节将报告TianQin使用标准信号源通过模型依赖方法约束暗能量状态方程（EoS）的能力。所采用的暗能量EoS模型见第4.1.1节。与前一节类似，作者还分别介绍了每一类标准信号源的潜力。

4.3.1 暗能量与宇宙常数
宇宙膨胀加速的发现（Perlmutter等人，1999年；Riess等人，1998年）引发了暗能量和一些修正引力理论的概念（Frieman等人，2008年；Li等人，2011a；Weinberg等人，2013年）。在天文学研究中，暗能量被广泛接受。最标准和最简单的暗能量模型对应于宇宙常数\(\Lambda \)（Carroll 2001），其中暗能量状态方程参数w的值为常数\(w \equiv -1\)。尽管宇宙常数对暗能量的描述与许多当前的宇宙观测结果相符（Carroll 2001；Ade等人，2016；Aghanim等人，2020；Abbott等人，2022b），但试图从量子场角度理解暗能量的物理本质时，会遇到所谓的“宇宙常数问题”（Carroll 2001；Frieman等人，2008；Li等人，2011a；Weinberg等人，2013），即量子场理论预测的真空能量密度比从宇宙观测得到的暗能量密度高出大约120个数量级。

为了通过天文观测探索暗能量的本质，研究人员提出了多种现象学参数化形式来描述暗能量EoS相对于宇宙常数的偏差及其随红移的演化。最广泛使用的参数化形式是CPL模型（Chevallier和Polarski 2001；Linder 2003），CPL状态方程（EoS）模型的形式在方程（112）中给出。通过拟合CPL模型，早期的BAO和Ia型超新星数据集显示出一些偏离宇宙常数的暗能量的迹象，但置信度不够高（Alam等人2021；Brout等人2022；Abbott等人2024b）。最近，最新的DESI BAO数据结合CMB和Ia型超新星数据集获得了超过3σ置信度的暗能量偏离宇宙常数的证据（Adame等人2024）。此外，使用Alcock-Paczynski层析方法重建暗能量EoS随红移的演化也显示出暗能量偏离宇宙常数的迹象（Zhao等人2012b，2017；Zhang等人2019c）。总之，暗能量的本质仍然是一个需要进一步探索的巨大谜团，无论是从理论角度还是从观测角度。作为独立的自校准宇宙探针，引力波（GW）标准 sirens有望在探测暗能量的本质方面发挥重要作用。

4.3.2 对暗能量EoS的约束
在本节中，采用的暗能量EoS参数化形式是CPL模型（Chevallier和Polarski 2001；Linder 2003），同时将ΛCDM参数（如H0、ΩM和ΩΛ）固定为它们的真实值。正如Zhu等人（2024a）所报告的，图38展示了在各种EMRI种群模型下，TianQin和TianQin I+II对w0和wa的1σ置信区间（CI）的误差。TianQin利用EMRI检测只能有效地约束w0参数，而在所有种群模型下无法有效约束wa。TianQin在各种种群模型下对w0的约束精度差异很大，在EMRI率乐观的模型下，w0的精度可以优于10%，而在EMRI率悲观的模型下，w0的精度仅约为40%。与限制其他宇宙参数的情况类似，TianQin I+II也可以显著提高对暗能量EoS的约束。TianQin I+II可以在各种种群模型下将w0的精度提高到约5-20%。特别是在EMRIs和AGNs的空间分布之间存在关联的情况下，可以使用AGN目录更精确地提取EMRIs的红移信息，从而提高对暗能量EoS的约束精度。例如，在基准EMRI模型M1下，TianQin使用星系目录对暗能量EoS参数w0的约束精度约为25%，然而，一旦建立了EMRIs-AGNs之间的关联，TianQin可以使用AGN目录将w0的精度提高到近10%，如图38右侧面板所示。

图38
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与图36相同，但展示了来自EMRIs对暗能量EoS参数w0和wa的约束（Zhu等人2024a）。绿色阴影区域代表Δw0 = 0.1和Δwa = 0.1的误差范围。

对于使用MBHB检测来约束CPL模型参数w0和wa的前景，可以遵循第4.2节中的情景设置（也参见Zhu等人2022a），并分别讨论在亮siren和暗siren假设下的前景。在MBHBs表现为亮siren的乐观假设下，依靠MBHB检测提供的精确光度距离信息和EM对应观测提供的精确红移信息，TianQin可以在所有三种种群模型（pop III、Q3_d和Q3_nod）下同时有效地约束w0和wa。TianQin对w0的预期约束误差分别约为12%、14%和9%，Δwa的预期值分别为0.66、0.67和0.49；而TianQin I+II可以将w0的精度提高到约11%、12%和7%，并将Δwa分别降低到0.62、0.65和0.39。
在MBHBs表现为暗siren的保守假设下，对w0和wa的约束要弱得多。图39显示了TianQin和TianQin I+II对w0和wa的1σ CI误差。可以发现，TianQin和TianQin I+II只能在pop III和Q3_d种群模型下有效约束w0，在Q3_nod模型下只能有效约束wa。这是因为pop III和Q3_d模型预测的MBHB合并率显著低于Q3_nod模型。使用第4.1.5节中描述的加权方法（也参见Zhu等人2022a），该方法利用M?BH-L?bulge关系对MBHBs的候选宿主星系进行加权，TianQin在pop III、Q3_d和Q3_nod种群模型下对w0的预期约束分别为36%、37%和14%，TianQin I+II分别为27%、30%和8%。在Q3_nod模型下，TianQin和TianQin I+II可以将wa的约束误差分别降低到Δwa = 0.65和Δwa = 0.60。最后，为了清晰起见，表13列出了TianQin使用EMRIs和MBHBs（没有EM对应体）约束w0和wa的预期精度。

图39
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与图37相同，但展示了来自MBHBs对暗能量EoS参数w0和wa的约束（Zhu等人2022a）。

4.3.3 暗能量模型的选择
本节将介绍TianQin在宇宙学模型选择分析中的必要性和前景。进行模型选择分析的必要性体现在两个方面：首先是TianQin对暗能量EoS约束精度的大不确定性；其次是使用不适当的模型拟合数据会导致参数估计的系统性偏差。对于第一方面，前一节已经证明TianQin可以对暗能量EoS进行看似精确的约束，但不同种群模型下的约束误差差异很大。此外，前一节中呈现的结果都是在ΛCDM参数固定为真实值的情况下获得的，如果考虑到ΛCDM参数的不确定性，即H0、ΩM和ΩΛ也被视为需要一起约束的自由参数，那么对暗能量EoS参数的约束精度将会更差。图40的左侧子图展示了TianQin I+II使用MBHB暗sires同时约束四个参数（ΛCDM参数H0、ΩM和ΩΛ）的典型结果。可以看出，在这种情况下，TianQin几乎没有约束能力。对于第二方面，使用ΛCDM模型（对应于暗能量EoS为w ≡ -1）拟合数据得到的参数估计结果如图40右侧子图所示，当暗能量EoS的真实值为w = -2时，每个ΛCDM参数的估计都存在显著的系统性偏差。

图40
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典型的（h, ΩM, ΩΛ, w）（左）和（h, ΩM, ΩΛ）（右）的约束（Zhu 2022）。左右子图中的结果来自同一个模拟数据集，即TianQin I+II检测到的暗MBHBs。特别是，在模拟数据时注入的暗能量EoS的真实值为w=-2。在每个子图中，实线黑色标记了参数的真实值，每列的顶部面板显示了相应参数的1σ CI边缘化结果。右图和左图的贝叶斯因子ln B01 ≡ ln [P(D_GW, D_EM| ΛCDM, I) / P(D_GW, D_EM| wCDM, I)] 分别为ln B01 ≈ -2.8。

作为一个初步分析，考虑了一个乐观的情景，即MBHBs作为亮sires。使用第4.1.1节中描述的贝叶斯因子来定量比较不同宇宙学模型的检测数据支持程度。遵循Zhu（2022）的方法，分析分为两个步骤：第一步关注探索需要引入可变暗能量EoS参数w的条件，即w不是恒等于-1以解释数据；第二步关注需要引入参数wa的条件，这刻画了暗能量EoS随红移的演化以解释数据。在第一步中，考虑的两个宇宙学模型是ΛCDM和wCDM。ΛCDM模型的自由参数共有三个：H0、ΩM和ΩΛ；wCDM模型的自由参数共有四个：H0、ΩM、ΩΛ和w。在模拟数据时，将基准模型设置为wCDM，模拟分为四组，每组模拟保持h=0.678、ΩM=0.307和ΩΛ=0.693不变，只改变w的值，w的四个注入值分别为w = {-2, -1.5, -1, -0.5}。将这一步的对数贝叶斯因子设置为ln B01 ≡ ln [P(D_GW, D_EM| ΛCDM, I) / P(D_GW, D_EM| wCDM, I)]，四组模拟的贝叶斯因子分布如图41所示。采用修改后的“Jeffreys’ scale”作为数据对模型支持程度的判断标准（Jeffreys 1961；Trotta 2008），修改后的Jeffreys’ scale有三个证据强度级别：“弱证据”、“中等证据”和“强证据”，这三个级别的贝叶斯因子临界值分别为1 ≤ |ln B01|、2.5 ≤ |ln B01|和5 ≤ |ln B01|，当|ln B01| < 1时表示数据对两个模型没有明确的偏好（Trotta 2008）。从图41可以看出，当w = -2且在Q3_nod模型下时，TianQin只能获得对wCDM模型的弱证据支持，而TianQin I+II可以将支持强度提高到中等证据。当数据中对某个模型有中等程度的支持时，如果尝试用不受支持的模型拟合数据，就会产生显著的系统性偏差，如图40所示。

图41
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基于不同暗能量EoS w值的ΛCDM和wCDM模型的贝叶斯因子分布（Zhu 2022）。数据来源于MBHB检测，并假设MBHBs是亮sires。顶部和底部行分别代表TianQin和TianQin I+II的结果，左、中和右列分别代表pop III、Q3_d和Q3_nod种群模型条件下的结果。细、中和粗的虚线分别代表模型支持的弱证据、中等证据和强证据。

在第二步中，考虑的两个宇宙学模型是wCDM和w0 waCDM。w0 waCDM模型的自由参数共有五个：H0、ΩM、ΩΛ和两个CPL暗能量EoS参数w0和wa。在这里，一组将基准模型设置为 \(w_0 w_a\)CDM 来模拟数据，模拟继续分为四组，每组模拟保持 \(h=0.678\)、\(\Omega _M=0.307\)、\(\Omega _{\Lambda }=0.693\) 和 \(w_0 = -1\) 不变，只改变 \(w_a\) 的值，四个注入的 \(w_a\) 值分别为 \(w_a = \{ -2, -1, \!\,0, \!\,0.5 \}\)。将对数贝叶斯因子设置为 \(\ln B_{01} \equiv \ln \!\left[ P(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}| w\textrm{CDM}, I) / P(\mathcal {D}_\textrm{GW}, \mathcal {D}_\textrm{EM}| w_0 w_a\textrm{CDM}, I) \right]\)，这四组模拟的 \(\ln B_{01}\) 分布在图 42 中展示。可以发现，与第一步类似，TianQin 只有在 \(w_a = -2\) 和 Q3_nod 模型的条件下才能获得对 \(w_0 w_a\)CDM 模型的弱支持证据，而 TianQin I+II 可以将支持强度提高到中等证据。图 42

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与图 41 相同，但对数贝叶斯因子是针对 wCDM 和 \(w_0 w_a\)CDM 模型的（Zhu 2022）

总体而言，TianQin 区分不同宇宙学模型的潜力主要受限于大质量黑洞（MBHB）探测的数量。通过添加射电脉动星（EMRIs）的数据，预计 TianQin 的模型选择能力会有所提高。此外，包括次大质量黑洞（SBHBs）的数据也有望改善模型选择能力，尽管 SBHBs 只能对 \(H_0\) 提供有效约束，但对 \(H_0\) 精度的提高可以打破各个参数之间的简并性，从而改善对整个宇宙学参数的约束。作者将 TianQin 在包含 EMRI 和 SBHB 数据时的模型选择能力分析留给未来的研究。

4.4 多个探测器的改进

本节将介绍多个基于太空的引力波（GW）探测器（如 LISA（Amaro-Seoane 等人 2017；Colpi 等人 2024）、TianQin（Luo 等人 2016；Mei 等人 2021）和 Taiji（Hu 和 Wu 2017；Wu 等人 2021）组成的网络在改进 \(\Lambda \)CDM 模型和 CPL 暗能量模型参数约束方面的作用。本节以 TianQin 为基础，讨论由 TianQin 和 LISA 组成的网络在宇宙学推断上的改进。由于 TianQin 和 LISA 探测器都计划在 2035 年左右发射（Amaro-Seoane 等人 2017；Mei 等人 2021），因此 TianQin + LISA 网络很可能会实现。此外，考虑到 LISA 和 Taiji 的空间配置和灵敏度相似，TianQin+Taiji 网络（Gong 等人 2021）的性能可以参考 TianQin + LISA 网络。LISA 加 Taiji 的宇宙学预测超出了本文的范围，可以在 Wang 等人（2022a, 2022b）和 Jin 等人（2024）的研究中找到。此外，本节还将介绍 TianQin 引力波探测与其他宇宙学探针结合在宇宙学约束方面的前景。

4.4.1 LISA 对 \(\Lambda \)CDM 和暗能量的预测

LISA 和 TianQin 的探测范围和灵敏度非常接近，前两节（即第 4.2 节和第 4.3 节）中介绍的 TianQin 对 \(\Lambda \)CDM 宇宙学模型和 CPL 暗能量模型参数的约束前景，LISA 也在较早的时候进行了类似的分析。LISA 的候选标准引力波源与 TianQin 相同，包括三类：次大质量黑洞（SBHBs）、射电脉动星（EMRIs）和大质量黑洞（MBHBs）。不同之处在于 LISA 和 TianQin 在探测这三类引力波源以及利用这些引力波源推断宇宙学方面的能力有所不同[参见 Seoane 等人（2023）和 Auclair 等人（2023）对 LISA 的天体物理学和宇宙学综述]。

对于 SBHBs，Del Pozzo 等人（2018）和 Muttoni 等人（2022）分别报告了 LISA 单独使用以及 LISA 与 ET 组成多波段网络进行探测时测量 \(H_0\) 的前景。Del Pozzo 等人（2018）报告的 LISA 对 \(H_0\) 的预测精度可以达到几个百分点的水平，这比 Zhu 等人（2022b）报告的 TianQin 的精度要好得多，因为 Del Pozzo 等人（2018）使用了更早且更乐观的 SBHB 人口模型（Kyutoku 和 Seto 2016），而 TianQin 的分析基于 LVK 的 GWTC-3 的最新人口模型（Abbott 等人 2023c）。基于 LVK 类似的 SBHB 人口模型，Muttoni 等人（2022）报告称，通过 LISA 和 ET 组成的多波段网络，LISA 能够在 4 年的探测数据中将 \(H_0\) 的精度限制在大约 2%，\(\Omega _M\) 的精度限制在大约 30%，这些结果与 TianQin 的结果相似。

对于 EMRIs 和 MBHBs，LISA 约束的各种宇宙学参数的预期精度分别在 Laghi 等人（2021）和 Tamanini 等人（2016）的报告中给出。根据 Laghi 等人（2021）的报告，预计 LISA 在使用 4 年的 EMRI 探测数据，在基准人口模型 M1 的情况下，能够将 \(H_0\) 的精度限制在大约 2.5%，\(\Omega _M\) 的精度限制在大约 20%，暗能量状态参数 \(w_0\) 的精度限制在大约 10%。正如 Tamanini 等人（2016）所报告的，LISA 通过 MBHB 探测有望实现接近 1% 的 \(H_0\) 精度限制，优于 10% 的 \(\Omega _M\) 精度限制，以及大约 20% 的 \(w_0\) 精度限制。LISA 对这两类引力波源的探测能力（比较 Babak 等人（2017）和 Fan 等人（2020）对 EMRIs 的研究，以及 Klein 等人（2016）和 Wang 等人（2019a）对 MBHBs 的研究），以及利用它们来约束 \(H_0\)、\(\Omega _M\) 和 \(w_0\) 的能力，确实比 TianQin 更强。这主要是因为 EMRIs 和 MBHBs 的引力波信号更集中在 LISA 比 TianQin 更敏感的频率范围内。

为了清晰起见，表 12 中列出了 LISA 使用 SBHBs、EMRIs 和 MBHBs 对 \(\Lambda \)CDM 和 CPL 暗能量模型进行约束时的 \(H_0\)、\(\Omega _M\) 和 \(\Omega _\Lambda\) 的精度，表 13 列出了 LISA 使用 SBHBs、EMRIs 和 MBHBs（不包括 EM 对应体）对 \(w_0\) 和 \(w_a\) 的精度。总之，LISA 在使用 SBHBs、EMRIs 和 MBHBs 推断宇宙膨胀历史方面具有非常令人印象深刻的能力。然而，正如 Liu 等人（2020f）、Wang 等人（2019a）、Fan 等人（2020）、Zhu 等人（2022a, 2022b）、Torres-Orjuela 等人（2024）、Zhu 等人（2024a）以及前两节（即第 4.2 节和第 4.3 节）所报告的，TianQin 在 SBHB、EMRIs 和 MBHB 探测中也将发挥关键作用。TianQin 和 LISA 之间的关系不应仅仅是竞争，更重要的是合作，即形成一个多探测器网络。多探测器网络在改进宇宙学推断中的作用将在接下来的两个小节中介绍。

4.4.2 TianQin + LISA 对 \(\Lambda \)CDM 的约束

根据 Zhu 等人（2022a, b, 2024a）的报告，由 TianQin 和 LISA 组成的多探测器网络能够显著提高约束宇宙膨胀历史的能力，主要有三个原因。首先，TianQin + LISA 网络可以显著提高各种类别引力波源的空间定位精度，与单个探测器相比，例如，TianQin + LISA 可以将 SBHBs 的空间定位误差减少几倍（Liu 等人 2020f, 2022；Zhu 等人 2022b），并将 EMRIs 和 MBHBs 的空间定位误差减少几倍甚至一到两个数量级（Zhu 等人 2022a, 2024a）。其次，TianQin + LISA 网络提供的更精确的天空定位可以提高找到引力波源的电磁对应体的机会。第三，TianQin + LISA 网络可以增加各种类别引力波源的探测数量，例如，TianQin + LISA 可以将 SBHBs 的探测数量增加大约两倍（Liu 等人 2020f, 2022；Zhu 等人 2022b；Torres-Orjuela 等人 2024），并将 EMRIs 和 MBHBs 的探测数量增加几十个百分点（Zhu 等人 2022a, 2024a；Torres-Orjuela 等人 2024）。

正如 Zhu 等人（2022b）所报告的，基于 LVK 的 GWTC-3 的 SBHB 人口模型，TianQin + LISA 网络预计可以探测到大约 11 个 \(\textrm{SNR} > 12\) 的 SBHB 激波引力波（GW）源，而 TianQin I+II+LISA 可以将 \(\textrm{SNR} > 12\) 的 SBHB 激波引力波源的探测数量增加到大约 18 个。基于这些改进，TianQin + LISA 和 TianQin I+II+LISA 网络使用 SBHB 探测对 \(H_0\) 的预期约束结果如图 43 所示。TianQin + LISA 网络可以将 \(H_0\) 的精度限制在大约 10%，而 TianQin I+II+LISA 网络可以将 \(H_0\) 的精度限制在大约 5%（Zhu 等人 2022b）。与第 4.2.2 节报告的 TianQin 的精度相比，由 TianQin（I+II）和 LISA 组成的多探测器网络将 \(H_0\) 的误差减少了大约三倍。

图 43

这张图片的替代文本可能是使用 AI 生成的。全尺寸图片

与图 35 相同，但展示的是 TianQin + LISA（左）和 TianQin I+II+LISA（右）网络（Zhu 等人 2022b）

根据 Zhu 等人（2024a）的报告，图 36 中的红色误差条显示了 TianQin + LISA 网络对各种 EMRI 人口模型约束 \(H_0\) 和 \(\Omega _M\) 的误差。可以注意到，在大多数人口模型中，除了 M8 之外，TianQin + LISA 网络对 \(H_0\) 的约束精度达到或接近 2%，特别是在 M7 和 M12 模型中，\(H_0\) 的约束精度甚至优于 1%。这些精度增加了澄清哈勃张力的信心。此外，TianQin + LISA 网络在大多数人口模型中对 \(\Omega _M\) 的约束也非常有效，且在 M7 和 M12 模型下实现的精度优于 10%。

表 12 使用 SBHBs、EMRIs 和 MBHBs 对 \(\Lambda \)CDM 参数 \((H_0, \Omega _M, \Omega _\Lambda )\) 的预测（TianQin、LISA 和 TianQin + LISA 网络）

对于 MBHBs，再次考虑乐观和保守的情景（即有和没有 EM 对应体），如 Zhu 等人（2022a）所报告的。在乐观情景下，TianQin + LISA 网络能够将 \(H_0\)、\(\Omega _M\) 和 \(\Omega _\Lambda\) 的参数约束精度分别达到大约 1.3–3.8%、5–15% 和 11–26%。在最差和最好的情况下，分别在 Q3_d 和 Q3_nod 人口模型下获得，而在 pop III 模型下获得的精度位于中间。TianQin I+II+LISA 网络可以将 \(H_0\)、\(\Omega _M\) 和 \(\Omega _\Lambda\) 的约束精度分别提高到大约 1.2–3.6%、4–13% 和 10–25%。在保守情景下，TianQin + LISA 和 TianQin I+II+LISA 网络在 pop III、Q3_d 和 Q3_nod 模型下对 \(H_0\)、\(\Omega _M\) 和 \(\Omega _\Lambda\) 的精度分布如图 44 所示。可以看出，对于 \(H_0\) 和 \(\Omega _M\)，TianQin + LISA 或 TianQin I+II+LISA 网络在所有三种模型下都能实现有效约束，但对于 \(\Omega _\Lambda\)，TianQin + LISA 或 TianQin I+II+LISA 只能在 Q3_nod 模型下实现有效约束。通过使用作者在第 4.1.5 节中描述的加权方法，即根据 \(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\) 关系对 MBHBs 的候选宿主星系进行加权，TianQin + LISA（TianQin I+II+LISA）网络能够在 pop III、Q3_d 和 Q3_nod 模型下分别实现对 \(H_0\) 的预期精度约为 \(4.7\% \,\!(3.5\%)\)、\(5.2\% \,\!(4.7\%)\)、\(1.8\% \,\!(1.7\%)，以及对 \(\Omega _M\) 的精度约为 \(39\% \,\!(33\%)\)、\(46\% \,\!(39\%)、\(15\% \,\!(12\%)\) 的约束。特别是，TianQin + LISA 和 TianQin I+II+LISA 在 Q3_nod 模型下对 \(\Omega _\Lambda\) 的约束精度分别约为 20% 和 18%。请注意，使用SBHBs、EMRIs和没有EM对应体的MBHBs，通过TianQin + LISA网络限制\(H_0\)、\(\Omega _M\)和\(\Omega _{\Lambda }\)的预期精度在表12中列出，以便与各个探测器单独使用的精度进行更清晰的比较。图44的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像与图37相同，但适用于TianQin + LISA（左列）和TianQin I+II+LISA（右列）网络（Zhu等人，2022a）。总之，无论标准警报器的类别如何，TianQin + LISA网络在限制\(\Lambda \)CDM参数方面都显著提高了相对于TianQin和LISA单独检测的能力。对于SBHBs，由于其群体属性相对确定，TianQin + LISA网络能够在不依赖地面引力波探测器的条件下将\(H_0\)限制在大约3%的精度范围内；而对于EMRIs和MBHBs这两类引力波源，由于其群体属性非常不确定，TianQin + LISA网络显著增加了获得精确\(H_0\)限制的概率。因此，TianQin + LISA网络可以作为利用基于空间的引力波探测来独立提供\(H_0\)测量的候选方案，有助于澄清哈勃张力问题。4.4.3 来自TianQin + LISA的暗能量限制多探测器网络（由TianQin和LISA组成）在限制暗能量状态方程（EoS）方面的改进效果与前一节中限制\(\Lambda \)CDM的效果类似。图38中的红色误差条显示了TianQin + LISA网络对各种EMRI群体模型（也在Zhu等人2024a中提出）的CPL暗能量模型参数\(w_0\)和\(w_a\)的限制误差。可以看出，在大多数EMRI群体模型下，TianQin + LISA网络能够实现超过10%的\(w_0\)限制精度，尤其是在M7和M12模型下，这些模型的EMRI率相对乐观（Babak等人，2017年）。即使在悲观的M8模型下，\(w_0\)的精度也达到了大约22%。这种精度水平有望为确定暗能量EoS是否真的偏离宇宙常数提供有用的参考。此外，对于参数\(w_a\)，TianQin + LISA网络在两个乐观的群体模型M7和M12下也实现了大约40%的有效限制。对于MBHBs对暗能量状态方程的限制，遵循前一节的设置（也在Zhu等人（2022a）中提出），并分别展示了乐观和保守情景下的前景。在乐观情景下，TianQin + LISA网络能够在pop III、Q3_d和Q3_nod群体模型下分别实现对\(w_0\)大约10%、12%和7%的限制精度，而TianQin I+II+LISA网络可以将这些精度分别提高到大约9%、11%和6%。对于参数wa的限制，TianQin + LISA和TianQin I+II+LISA在pop III和Q3_d模型下可以获得大约60%的精度，在Q3_nod模型下可以获得大约35%的精度。在保守情景下，TianQin + LISA和TianQin I+II+LISA网络只能在pop III和Q3_d模型下有效限制参数\(w_0\)，并且在Q3_nod模型下才能同时有效限制两个参数\(w_0\)和\(w_a\)，如图45所示。使用基于\(M_\textrm{MBH}-L_\textrm{bulge}\)关系对MBHBs的候选宿主星系进行加权的加权方法，TianQin + LISA网络在pop III、Q3_d和Q3_nod模型下对\(w_0\)的限制预期精度分别为大约\(19\%\)、\(22\%\)和\(8\%\)，而TianQin I+II+LISA网络可以将这些精度分别提高到大约\(11\%\)、\(19\%\)和\(7\%\)。特别是，在Q3_nod模型下，TianQin + LISA或TianQin I+II+LISA网络可以为\(w_a\)提供大约60%的限制精度。表13 使用EMRIs和MBHBs对TianQin、LISA和TianQin + LISA网络限制CPL暗能量EoS参数\((w_0, w_a)\)的预测。全尺寸表格图45的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像与图37相同，但适用于TianQin + LISA（左列）和TianQin I+II+LISA（右列）网络对CPL暗能量EoS模型参数\((w_0, w_a)\)的限制（Zhu等人，2022a）。最后，为了与单个探测器单独检测时的精度进行更清晰的比较，使用EMRIs和没有EM对应体的MBHBs，通过TianQin + LISA网络限制\(w_0\)和\(w_a\)的预期精度在表13中列出。可以看出，由TianQin和LISA组成的多探测器网络总是比TianQin或LISA单独检测提供对CPL模型参数的显著改进。因此，多探测器网络可以为探测暗能量的本质提供更有帮助的限制。4.4.4 与其他宇宙学探针的结合小节协调人：Xin Zhang如前所述，由于引力波（GWs）可以直接测量宇宙尺度上的绝对距离，标准警报器观测可以提供极好的哈勃-勒梅特常数（Hubble–Lema?tre constant）测量。然而，它们在测量其他宇宙学参数方面的有效性有限。特别是，当使用TianQin的引力波标准警报器观测来测量暗能量的状态方程时，产生的误差相当大。但这并不意味着引力波标准警报器不能在测量暗能量状态方程中发挥重要作用。相反，引力波标准警报器观测无疑将对未来的暗能量研究产生重大影响。这是因为引力波标准警报器观测需要与其他宇宙学探针结合，在宇宙学研究中发挥关键作用。在测量暗能量方面，目前最佳的观测探针组合是CMB + BAO + SN，其中BAO代表通过星系红移调查获得的BAO数据，SN代表Ia型超新星观测数据。尽管CMB是最准确的宇宙学探针，因为它是对早期宇宙的观测，但它不能单独有效测量暗能量的状态方程（因为暗能量只是在晚期才开始主导宇宙的演化）。在这种情况下，宇宙学参数的简并性非常严重。为了打破这种简并性，需要结合晚期宇宙的观测。因此，必须将CMB与BAO和SN结合起来，以有效限制暗能量的状态方程。目前，使用CMB + BAO + SN（以下简称CBS），可以测量参数w（假设暗能量的状态方程是一个常数）的精度略低于3%；对于两个参数\(w_0\)和\(w_a\)，\(w_0\)的当前精度约为8%，\(w_a\)的绝对误差约为0.3。未来，引力波标准警报器观测将有助于显著提高暗能量状态方程的测量精度。引力波标准警报器在宇宙学研究中的最关键作用是帮助进一步打破宇宙学参数的简并性。因为标准警报器在测量哈勃-勒梅特常数方面可以发挥独特的作用，它们在宇宙学模型的参数空间中创造了独特的简并方向。因此，当与其他宇宙学探针结合时，它们的简并方向在许多情况下几乎是正交的，从而实现非常有效的联合限制。使用第三代地面引力波探测器对标准警报器的研究清楚地展示了标准警报器在宇宙学研究中的作用（参见Zhang等人2019b；Wang等人2018；Zhang等人2020b, 2019a；Li等人2020；Jin等人2020, 2023b；Han等人2024；Chang等人2019）。与地面探测器检测到的高频标准警报器相比，基于空间的毫赫兹波段标准警报器在大多数情况下具有更高的信噪比，因此只需要少量的标准警报器数据就可以有效地为宇宙学限制做出贡献（Wang等人2020；Zhao等人2020d）。Wang等人（2020）研究了TianQin的明亮警报器观测在宇宙学研究中的作用，这很好地说明了这一点。将MBHBs视为明亮警报器（其EM对应体目前可以通过大型光学和射电望远镜观测到），TianQin的五年观测可能会产生十几到二十几个明亮警报器数据（这也取决于群体模型，例如pop III、Q3d和Q3nod模型会导致一些差异）。图46显示了TianQin的明亮警报器观测（模拟数据）对\(\Lambda \)CDM和wCDM模型的限制，以及它们与CMB的联合限制，以Q3nod群体模型为例。很明显，引力波在参数空间中的简并方向与CMB明显不同，特别是在wCDM模型中，它们几乎是完全正交的，从而很好地打破了参数简并。CMB和引力波单独都不能有效限制暗能量的状态方程，但它们的组合可以提供极好的限制，w的测量精度约为3.6%。图47显示了TianQin的明亮警报器观测与CBS的结合，在这种情况下，标准警报器可以进一步打破参数简并，从而获得更好的限制结果。图46的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像在\(\Lambda \)CDM模型的\(\Omega _{m}\)–\(H_{0}\)平面以及wCDM模型的\(\Omega _{m}\)–\(H_{0}\)平面和\(\Omega _{m}\)–w平面中，使用TianQin、CMB和CMB+TianQin得到的二维边缘化轮廓（68.3%和95.4%置信水平）。这里，TianQin的模拟数据是基于Q3nod模型模拟的。图像经IOP和SISSA许可复制自Wang等人（2020）。图47的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像在\(\Lambda \)CDM模型的\(\Omega _{m}\)–\(H_{0}\)平面以及wCDM模型的w–\(H_{0}\)平面中，使用TianQin、CMB+BAO+SN和CMB+BAO+SN+TianQin数据组合得到的二维边缘化轮廓（68.3%和95.4%置信水平）。这里，TianQin的模拟数据是基于Q3nod模型模拟的。图像经IOP和SISSA许可复制自Wang等人（2020）。上述例子表明，TianQin的明亮警报器观测将在未来对暗能量状态方程的全面测量中发挥关键作用。它们可以有效打破CMB数据中固有的宇宙学参数简并性。实际上，人们希望仅通过晚期宇宙观测就能准确测量一些关键的宇宙学参数，包括暗能量状态方程。然而，这相当具有挑战性，如果不包括CMB数据，宇宙学限制通常会产生较差的结果。然而，随着观测技术的进步，人们有了新的希望。在未来十年左右，作者可能会开发出新的宇宙学工具，使得仅使用晚期宇宙观测就能精确测量暗能量成为可能。例如，新一代地面引力波探测器和像TianQin这样的基于空间的引力波探测器将为我们提供丰富的引力波标准警报器数据。大型射电望远镜阵列（如SKA）的完成将能够进行中性氢21厘米波段强度测绘（IM）调查，并检测和准确定位许多快速射电暴（FRBs），这些都有潜力成为重要的晚期宇宙探针（Zhang等人2021；Wu和Zhang 2022；Wu等人2023a；Jin等人2021；Zhao等人2020c；Qiu等人2022；Zhao等人2023；Zhang等人2023）。引力波标准警报器在测量哈勃-勒梅特常数方面具有独特优势，但它们在测量暗能量状态方程方面的有效性有限。相比之下，21厘米波段IM和定位的FRBs（带有红移测量）在测量暗能量状态方程方面具有优势，但两者都不能单独准确测量哈勃-勒梅特常数。这些探针的特性表明它们是高度互补的。因此，当引力波（GW）标准 sirens 与 21 厘米射电干涉测量（21-cm IM）、快速射电暴（FRBs）和其他探针结合使用时，它们可以打破参数的简并性，并产生更好的联合约束结果（Jin 等人，2021年；Zhao 等人，2020c年；Zhang 等人，2023年）。Wu 等人（2023b年）模拟了未来四种潜在的晚期宇宙探针的观测数据：引力波、21 厘米射电干涉测量、快速射电暴和强引力透镜效应。研究发现，这些探针的结合可以准确测量哈勃-勒梅特常数（Hubble–Lema?tre constant）和暗能量状态方程（dark-energy equation of state），其约束效果优于基于射电波的探针（CBS）。因此，TianQin 的标准 sirens 观测将对未来精确晚期宇宙探针的全面发展做出重要贡献。

4.5 引力透镜效应的潜力
小节协调人：Shun-Jia Huang
如果来自合并双星系统的引力波（GW）经过大质量物体附近，引力透镜效应将像对光一样影响引力波（Wang 等人，1996年；Nakamura 1998年；Takahashi 和 Nakamura 2003b年），这会影响引力波的波形，并在强引力透镜情况下产生具有到达时间延迟的多个图像。探测到强引力透镜效应的引力波信号为各种宇宙学研究提供了独特的探针。本小节将介绍使用 TianQin 探测到的强引力透镜效应引力波信号对宇宙学的潜在贡献，包括测量哈勃-勒梅特常数和检验宇宙距离对偶关系（Cosmic Distance Duality Relation，CDDR）。

4.5.1 测量哈勃-勒梅特常数
强引力透镜效应会导致遥远光源在不同路径上产生多个图像，从而导致它们到达观察者的时间延迟。这种效应对于像类星体和爆炸性瞬变源这样的时变光源尤为重要，因为可以测量这些时间延迟。正如 Refsdal 在 1964 年提出的，这些时间延迟提供了一种测量哈勃-勒梅特常数的方法，称为时间延迟宇宙学（time delay cosmography，Refsdal 1964年；Treu 2010年）。通过精确确定爱因斯坦半径和时间延迟，可以约束透镜系统的角直径距离比。为了确定哈勃-勒梅特常数，还需要准确了解透镜系统的费马势（Fermat potential），这取决于透镜的质量模型。对透镜图像的观测有助于约束透镜的质量分布，但可能需要额外的数据，例如宿主星系的扩展弧或光谱观测中的速度弥散（Kochanek 等人，2001年；Treu 和 Koopmans 2002年），以获得完整的质量模型。H0LiCOW 项目最近利用引力透镜时间延迟测量了哈勃-勒梅特常数，得到 \(H_0 = 73.3^{+1.7}_{-1.8}\,\mathrm {km\, s^{-1}\, Mpc^{-1}}\)（Wong 等人，2020年），表明随着观测数据的增加，测量精度可以提高。此外，这些时间延迟还可以用来约束其他宇宙学参数，如暗能量的状态方程和 MGT 的 PN 参数（Yang 等人，2020a年，2019b年）。
引力透镜时间延迟不仅可以通过电磁波观测来测量哈勃-勒梅特常数，也可以通过引力波观测来测量（Sereno 等人，2011年）。尽管在 LVK 观测中尚未确认到透镜效应的引力波信号（Hannuksela 等人，2019年；Abbott 等人，2021d年；Diego 等人，2021年），但有研究表明，像 ET 这样的第三代地面探测器可以使用强引力透镜效应的引力波信号将哈勃-勒梅特常数的相对误差限制在 0.68%（Liao 等人，2017年），并且 50 个强引力透镜效应的引力波事件提供的约束效果可以与 580 个 Ia 型超新星相当，这突显了该方法在区分宇宙学模型方面的潜力（Wei 和 Wu 2017年）。通过使用 FLRW 度规的距离求和规则，已经证明 10 个强引力透镜效应的引力波事件可以提供与 300 个透镜效应类星体事件相当的约束效果，主要是由于引力波时间延迟测量的精度更高（Li 等人，2019b年）。如果能够结合来自同一透镜源的引力波和电磁波的到达时间差异来约束宇宙学参数，那么即使是一个事件也可以提供有意义的哈勃-勒梅特常数约束（Cremonese 和 Salzano 2020年）。多信使观测结合强引力透镜效应的引力波可以确定合并黑洞的宿主星系，从而实现高精度的哈勃-勒梅特常数测量（Hannuksela 等人，2020年）。
我们提出了一种使用强引力透镜效应引力波信号测量哈勃-勒梅特常数 \(H_0\) 的新方法（Huang 等人，2023年）。波形被重新参数化，以明确包含 \(H_0\) 在参数集中。如图 48 所示，强引力透镜效应的引力波波形对 \(H_0\) 非常敏感，即使哈勃-勒梅特常数有轻微差异也会显示出显著偏差。这是通过利用波形本身实现的，而不仅仅是时间延迟或放大率（Sereno 等人，2011年；Liao 等人，2017年；Wei 和 Wu 2017年；Li 等人，2019b年；Cremonese 和 Salzano 2020年；Hannuksela 等人，2020年）。对于探测到的引力波源，TianQin 的天空定位精度可以达到 \(1\,\text {deg}^2\) 到 \(0.1\,\text {deg}^2\)（Wang 等人，2019年；Liu 等人，2020f年；Fan 等人，2020年；Huang 等人，2020年），这使得可以结合后续的电磁波观测来实现多信使天文学。对于强引力透镜效应引力波的探测率进行数量级估计，基于地面引力波探测器的强引力透镜效应引力波的探测概率约为 1%（Gao 等人，2022年），而在乐观的模型下，每年至少有 \(O(10^2)\) 个 MBHB 事件（Wang 等人，2019年）。因此，在五年的任务寿命内，强引力透镜效应引力波事件的总探测数量可能高达 \(\gtrsim O(5)\)。还假设观测到了引力波源的电磁波对应体，因为如果 MBHBs 在富含气体的环境中演化，气体的吸积可能会产生电磁辐射（D’Ascoli 等人，2018年），然后可以利用这些辐射来确定源的红移（Tamanini 等人，2016年）。图 49 显示，强引力透镜效应引力波波形方法能够以 1% 的精度定位哈勃-勒梅特常数 \(H_0\)。

4.5.2 检验宇宙距离对偶关系
现代宇宙学的发展在很大程度上依赖于距离-红移关系。通过光谱学可以准确获得天体的红移，这使得距离测量尤为重要。一般来说，关键量是光度距离（luminosity distance）和角直径距离（angular diameter distance）。理论上，如果满足以下三个条件：
- 时空由引力度规理论描述
- 光子沿零测地线传播
- 光子数量守恒
那么宇宙距离对偶关系（CDDR）成立（Etherington 1933年）：
$$\begin{aligned} D_A(z)(1+z)^2/D_L(z)\equiv 1, \end{aligned}$$
其中 \( D_A \) 和 \( D_L \) 分别是角直径距离和光度距离。
检验 CDDR 的有效性不仅可以加深我们对宇宙的理解，还可以揭示可能的新的物理和天体物理机制（Bassett 和 Kunz 2004年）。检验 CDDR 需要在相同红移下测量光度距离和角直径距离。常见的组合包括来自 Ia 型超新星的数据，它们作为标准烛光提供光度距离测量，以及来自星系团的数据，后者提供角直径距离测量（Holanda 等人，2012年；Li 等人，2011b年；Hu 和 Wang 2018年）。宇宙不透明度，包括超新星光线被尘埃减弱（Lima 等人，2011年）和光子转化为光轴子或引力子等效应，可能会影响光度距离测量，从而导致 CDDR 的违反（Avgoustidis 等人，2010年；Liao 等人，2015年）。来自星系团的角直径距离基于 X 射线表面亮度和 Sunyaev–Zel’dovich 效应的观测（Uzan 等人，2004年），这两者都受到宇宙不透明度的影响（Li 等人，2013年）。其他方法包括使用伽马射线暴（GRBs）进行光度距离测量（Holanda 等人，2017年）和利用 BAO（Baryon-Accoustic Oscillation）进行角直径距离测量（Wu 等人，2015年）。然而，这些方法要么受到宇宙不透明度的影响，要么依赖于特定模型。
引力波提供了独立于宇宙不透明度或宇宙学模型的光度距离直接测量（Fu 等人，2019b年）。此外，椭圆星系中的强引力透镜效应已被用于宇宙学研究（Chen 等人，2019b年；Tu 等人，2019年；Wong 等人，2020年），这些也可以提供独立于宇宙不透明度的角直径距离信息（Liao 等人，2016年；Yang 等人，2019a年）。像 H0LiCOW（Suyu 等人，2017年）这样的项目利用时间延迟的引力透镜系统来推导角直径距离，在宇宙学研究中显示出巨大潜力（Rana 等人，2017年；Wong 等人，2020年；Y?ld?r?m 等人，2020年）。在 2015 年首次探测到引力波之后，研究人员利用引力波数据来检验 CDDR。2019 年，一项研究使用现有的引力透镜数据模拟了引力波信号来检验 CDDR，对偏差参数 \(\eta _0\) 的约束分别为 6% 和 4.7%（Liao 2019年），对于偏差模型 \(\eta _1(z)=1+\eta _0z\) 和 \(\eta _2(z)=1+\eta _0z/(1+z)\)。
上述测试假设宇宙是各向同性的，但各向异性可能会使这些测试失效（Li 等人，2019a年）。2020 年，引入了一种使用强引力透镜效应引力波信号同时提供同一源的光度距离和角直径距离的方法（Lin 和 Li 2020年）。利用基于 ET 的模拟和误差传播分析方法，偏差参数 \(\eta _0\) 分别被限制在 1.3% 和 3%（Lin 等人，2021年）。Arjona 等人（2021年）研究了使用机器学习约束 \(\eta _0\) 的潜力。
最近，通过将 \(\eta _0\) 纳入波形参数集来检验 CDDR（Huang 等人，2025年）。假设成功探测到来自 MBHB 的强引力透镜效应引力波的电磁波对应体，研究了基于 TianQin 的 CDDR 测试潜力。如图 50 所示，预期的 \(\eta _0\) 测量精度可以达到相当高的 1% 水平。具体来说，对于点质量模型的透镜，参数形式 \(\eta _1(z) = 1 + \eta _0 z\) 和 \(\eta _2(z)=1+\eta _0z/(1+z)\) 的测量精度分别为 0.9% 和 1.9%。可以看出，\(\eta _1(z)\) 中的 \(\eta _0\) 比 \(\eta _2(z)\) 中的 \(\eta _0\) 更容易受到约束。这是因为 \(\eta _1(z)\) 对 \(\eta _0\) 的变化更敏感。相比之下，对于奇异等温球（Singular Isothermal Sphere）模型的透镜，\(\eta _1\) 和 \(\eta _2\) 中的 \(\eta _0\) 的相应精度分别为 0.5% 和 0.11%。这是因为奇异等温球模型的引力透镜效应比点质量模型的更强。

4.6 小节总结
本节报告了 TianQin 在使用三类候选标准 sirens（SBHBs、EMRIs 和 MBHBs）约束标准宇宙学模型 \(\Lambda \)CDM 和暗能量状态方程（CPL）方面的前景。对于\(\Lambda \)CDM参数：使用SBHBs，TianQin单独探测时能够将哈勃-勒梅特常数\(H_0\)的测量精度提高到约20%；如果能够结合ET探测进行多波段引力波（GW）分析，预计可以将\(H_0\)的精度限制在接近1%的水平。使用EMRIs，TianQin对\(H_0\)的测量精度可以达到约3-8%，对\(\Omega _M\)的测量精度可以达到约50%。使用MBHBs，（i）在乐观的情况下，如果能够观测到它们的电磁对应体，TianQin可以将\(H_0\)的精度限制在约2-4%；对于\(\Omega _M\)和\(\Omega _\Lambda\)的精度分别可以达到约10-30%和20-30%；（ii）在保守的情况下，如果无法观测到它们的电磁对应体，TianQin对\(H_0\)的测量精度只能达到约3-7%，并且难以有效限制\(\Omega _M\)和\(\Omega _\Lambda\)；此外，（iii）如果MBHB GW信号受到强引力透镜效应的影响，即使通过单次MBHB探测，TianQin也能理想地提供约1%的测量精度。对于CPL暗能量状态方程（EoS）参数，只有EMRIs和MBHBs能够提供有效的限制。使用EMRIs，TianQin可以对\(w_0\)的测量精度达到约15-40%，但无法有效限制\(w_a\)；使用MBHBs，（i）在乐观的情况下，TianQin可以将\(w_0\)的精度限制在约10-15%，对\(w_a\)的测量精度可以达到\(\Delta w_0 \sim 0.4{-}0.6\)；（ii）在保守的情况下，TianQin可以将\(w_0\)的精度限制在约15-40%，但对\(w_a\)的测量精度\(\Delta w_a > 0.6\)。值得注意的是，TianQin的候选探测器配置——即双星座TianQin I+II，预计将显著提高对各种宇宙学参数的限制能力。由于这三类标准探测器完全独立于宇宙距离阶梯、宇宙微波背景辐射（CMB）和宇宙声学振荡（BAO）观测，它们对\(H_0\)的限制能力有望在解决哈勃张力问题中发挥重要作用，并且对\(w_0\)的测量也有助于探索暗能量的本质。与单一探测器相比，像TianQin + LISA这样的探测器网络可以带来显著的改进。TianQin + LISA网络预计将提高对各种宇宙学参数（如\(H_0\)和\(w_0\)）的限制精度，其改进幅度可以从几十个百分点到几倍不等。这些改进将大大增加基于空间的GW探测在解决哈勃张力和探索暗能量方面的贡献。

除了限制宇宙学参数之外，TianQin还可以用于区分不同的暗能量状态方程模型并测试宇宙暗能量动力学关系（CDDR）。在选择暗能量状态方程模型时，利用MBHBs及其电磁对应体，在最佳情况下，TianQin可以提供支持真实暗能量模型的适度证据。对于测试CDDR，TianQin可以将偏差参数\(\eta _0\)的测量精度提高到约1%。最后，我们注意到像TianQin这样的基于空间的GW探测器能够探测到非常高的红移（例如MBHBs的红移\(z \gtrsim 15\)）的GW事件，从而能够探测宇宙空间的整体结构。这一可能性最近才开始被研究（Shi等人，2025年）。

**5. 总结**
在这份白皮书中，我们总结了TianQin在回答基础物理学和宇宙学重要问题方面的当前能力。在引力的本质方面，TianQin预计将在多个方向上取得重大进展。对于强场范围内的广义相对论（GR）关键预测，TianQin可以直接探测到MBHB事件的高阶和非线性模式，为研究非线性GW现象提供关键数据，并实现对Kerr假设的高精度测试；TianQin还预计能够探测到来自少数MBHBs的位移记忆，而自旋记忆的探测将具有挑战性。凭借其精确测量能力，TianQin可以大大推进对超出GR效应的可能迹象的搜索，包括：探测到振幅仅为张量模式1%的额外极化模式；使用EMRI信号将黑洞的四极矩测量精度提高大约7个数量级；使用MBHB信号将引力子质量的限制精度提高大约4个数量级；以及使用SBHB信号对EdGB理论进行更精细的测试。与其他GW探测器（如LISA、ET和CE）的联合探测预计将带来实质性的科学进展，例如对非交换理论和EdGB理论的改进限制。可能的环境效应，如暗物质晕、吸积盘、第三体影响和引力透镜效应，可能会与超出GR的效应混淆。在这种情况下，需要对多个信号进行统计分析以区分不同的贡献。由于模型不完整性和高阶项的不准确性，波形系统误差可能会影响参数估计和基础物理的测试，因此需要进行全面评估以满足精度要求。GW探测在寻找超出标准模型的物理现象方面也可以发挥重要作用，例如超轻玻色子、极小黑洞（PBHs）、宇宙膨胀和宇宙弦。这些研究前景令人兴奋，可能会改变我们对宇宙的理解。TianQin也预计将在这一领域做出重要贡献，一些突出的例子包括：探测质量在\(10^{-19}{-}10^{-15}\) eV到\(10^{-13.5}{-}10^{-11.5}\) eV范围内的超轻暗物质；探索相位转变强度大于0.1的新物理模型和新希格斯势，这些模型可能产生与物质-反物质不对称性和重暗物质产生相关的一阶EWPT；探测伴随小行星质量PBHs产生的诱导SGWB，这可能解释所有暗物质；以及潜在地探测到宇宙膨胀和宇宙弦过程中的相变产生的GWs。然而，仍存在挑战，包括提高探测器灵敏度、准确建模GW源以及区分信号和噪声。TianQin能够探测不同类型的GW源，包括SBHBs、EMRIs和MBHBs，这些源位于不同的红移，从而能够测量宇宙不同时期的宇宙学参数。对于\(\Lambda \)CDM参数，TianQin使用SBHBs可以将\(H_0\)的精度提高到约20%，结合ET的多波段分析后精度可提高到接近1%；EMRIs可以将\(H_0\)的精度限制在约3-8%，\(\Omega _M\)的精度限制在50%；如果能够观测到MBHBs的电磁对应体，可以将\(H_0\)的精度提高到2-4%，否则只能达到3-7%；强引力透镜效应可以通过单次MBHB探测将\(H_0\)的精度提高到1%。对于暗能量状态方程参数，EMRIs可以对\(w_0\)的精度限制在15-40%，但对\(w_a\)的精度限制有限。在乐观情况下，MBHBs可以将\(w_0\)的精度提高到10-15%，对\(w_a\)的测量精度可以达到\(\Delta w_0 \sim 0.4{-}0.6\)；在保守情况下，对\(w_0\)的精度限制在15-40%，但对\(w_a\)的测量精度\(\Delta w_a > 0.6\)。结合LISA，TianQin可以将\(H_0\)和\(w_0\)的精度提高到单独探测时的几倍，从而有助于解决哈勃张力问题并探索暗能量。此外，TianQin还可以区分不同的暗能量状态方程模型并测试CDDR，有可能将偏差参数\(\eta _0\)的测量精度提高到1%的水平。

总之，TianQin有望在未来对GW探测做出重大贡献。与其他GW探测器结合使用，TianQin预计将在基础物理学、宇宙学和整个GW研究领域发挥关键作用，推动我们的知识进步。