基于实验室强度对水泥混合地基失效概率的评估

《Soils and Foundations》：Assessment of probability of failure of cement-mixed ground based on laboratory strength

　　波川勉
日本东京芝浦工业大学土木工程系

**摘要**
通过深部水泥搅拌法施工的地基改良体的强度存在空间变异性。此外，在设计阶段，水泥搅拌地基的现场强度是未知的，通常是根据实验室强度来预测的。由于现场强度与实验室强度之间存在差异，在从实验室强度评估设计强度时会出现转换不确定性。在合理预测水泥搅拌地基的性能时，应考虑这些不确定性、空间变异性以及转换不确定性。本研究提出了一种基于可靠性的方法，用于根据实验室强度评估深部水泥搅拌地基的整体强度。采用随机有限元方法（RFEM）来评估水泥搅拌地基整体强度的概率分布。在分析框架中定量考虑了从实验室强度预测现场强度的统计参数的不确定性。在RFEM分析中，使用包含这些不确定性的统计参数生成强度的随机场。分析结果揭示了从实验室强度估计现场强度的不确定性对水泥搅拌地基整体强度的影响。根据整体强度的累积分布函数，评估了在设计强度下的失效概率。此外，还基于RFEM分析结果讨论了抗压强度的基于可靠性的特征值。

**1. 引言**
深部水泥搅拌法开发于20世纪70年代（Kawasaki等人，1981年），并在大约五十年的时间里被广泛应用于岩土工程中。水泥搅拌地基的质量通常是根据从改良地基中取出的芯样无侧限抗压强度（UCS）来评估的。由于搅拌条件和现场土质特性的变化，水泥搅拌地基的强度存在空间变异性。因此，在设计水泥搅拌地基时，考虑UCS的空间变异性是一个关键问题。此外，在设计阶段，水泥搅拌地基的现场强度是未知的。设计强度是基于以往项目数据和实验室混合试验结果来确定的。由于现场强度与实验室强度之间存在差异，在从实验室强度确定设计强度时会出现较大的转换不确定性。因此，在合理预测水泥搅拌地基的性能时，应考虑这些不确定性、空间变异性以及转换不确定性。

在日本当前的设计规程中（日本建筑中心（BCJ），1997年；Kitazume和Terashi，2013年），使用芯样强度的标准差来考虑UCS变异性对水泥搅拌地基性能的影响。然而，这些方法并未明确解释芯样强度的变异性与水泥搅拌地基整体行为之间的关系。利用随机场理论的数值分析是评估小样本强度变异性对地基整体行为影响的有效方法（Griffiths和Fenton，2001年）。已有多项研究利用随机场理论对具有强度空间变异性的水泥搅拌地基的整体行为进行了数值分析（Kasama和Whittle，2011年；Kasama等人，2012年；Namikawa和Koseki，2013年；Liu等人，2015年；Liu等人，2017a年；Pan等人，2018年；Toraldo等人，2018年；Kasama等人，2019年；Pan等人，2019a年；Pan等人，2019b年；Zaregarizi等人，2021年；Tyagi和Tamta，2023年）。Kasama等人（2012年）进行了随机场数值极限分析，研究了剪切强度的空间变异性对水泥处理地基承载能力的影响，并提出了一种用于估算水泥处理地基上条形基础承载能力的可靠性评估方法。Liu等人（2015年）利用随机场理论进行了有限元分析（RFEM分析），研究了强度的空间变化对水泥掺杂粘土板侧向压缩响应的影响。基于分析结果，提出了用于基于可靠性的水泥掺杂粘土板设计的等效均质质量强度。Toraldo等人（2018年）进行了RFEM分析，研究了不同尺寸喷射注浆柱强度对整体强度的影响，并提出了基于相关长度、尺寸和喷射注浆柱形状的方差缩减函数来评估整体强度。这些研究揭示了强度的空间相关性对水泥搅拌地基整体行为的影响。

水泥搅拌土的现场强度通常是在施工完成后获得的，这意味着其设计参数是在没有现场强度数据的情况下确定的。水泥搅拌地基的强度是通过现场强度与实验室强度之间的关系来选定的。Kitazume和Terashi（2013年）报告了现场强度μquf与实验室强度μqul之间的关系。μquf与μqul之间的关系存在较大散布，这表明在利用过去数据中的回归关系时，应考虑较大的转换不确定性来预测μquf的值。Mastuo（2002年）提出，在陆地施工中，μquf与μqul的比值通常设定为0.5。然而，关于从μqul预测μquf时产生的不确定性对水泥搅拌地基整体性能的影响的研究较少。

本研究提出了一种从实验室强度μqul合理评估水泥搅拌地基整体强度Quf的方法。将μqul与μquf之间差异的不确定性视为转换不确定性。采用从过去项目记录中得出的关系来评估转换不确定性。本研究提出了一个蒙特卡洛模拟框架，同时考虑了从μqul评估μquf时产生的转换不确定性和UCS的空间变异性。此外，所提出的框架还考虑了确定UCS变异系数Vquf和自相关距离θquf的不确定性。利用包含这些不确定性的统计参数实现生成UCS的随机场，并对生成的UCS随机场进行RFEM分析。以往的研究中，RFEM分析是针对材料属性统计参数恒定的随机场进行的（例如，Fenton和Griffiths，2008年；Liu等人，2015年；Pan等人，2018年；Toraldo等人，2018年）。所提出的RFEM分析与常规RFEM分析不同，后者是在生成随机场时保持统计参数恒定的。所提出的分析方法在同时考虑强度的空间变异性和统计参数不确定性时，直接提供了失效概率。为了进行比较，也进行了不考虑UCS统计参数不确定性的常规RFEM分析。

分析结果揭示了从μqul评估μquf的不确定性对水泥搅拌地基整体性能的影响。根据RFEM分析结果获得的整体强度的累积分布函数（CDF）计算了在设计强度下的失效概率。分析结果表明，结合强度均值的不确定性从常规RFEM结果计算出的失效概率与所提出的RFEM分析结果相当。此外，还基于RFEM分析结果检验了基于可靠性的设计中强度的特征值。

在水泥搅拌地基的设计中，需要考虑各种不确定性来源，包括空间变异性、测量误差、统计不确定性、转换不确定性和模型不确定性。本研究主要关注空间变异性和转换不确定性，对水泥搅拌地基设计强度进行了概率评估。其他不确定性来源（如测量误差、统计不确定性和模型不确定性）对设计强度确定的影响将在下一节中讨论。

**2. 水泥搅拌地基设计程序中的不确定性**
在确定水泥搅拌地基的设计强度过程中，存在多种不确定性来源，包括空间变异性、测量误差、统计不确定性和模型不确定性。图1展示了深部搅拌法设计程序中的不确定性（Kitazume和Terashi，2013年）。设计强度是关键的设计参数之一，是通过使用过去数据库和实验室混合试验来确定的。当使用过去数据库中的强度数据并从实验室强度估计现场强度时，需要考虑空间变异性和转换不确定性。

**图1. 深部搅拌项目设计计算过程中的不确定性**
图2显示了实验室强度μqul与现场强度μquf之间的关系（Kitazume和Terashi，2013年）。这些数据来自过去使用机械深部搅拌法建造水泥搅拌砂土和粘土柱的陆地建设项目。本研究利用这些数据从μqul预测μquf，并评估了转换不确定性。图2中的数据还包括与强度测试相关的测量误差。此外，由于图2中的数据是有限的，在估计总体统计参数时会出现统计不确定性。本研究主要关注使用过去数据库时产生的空间变异性和转换不确定性。在评估μquf与μqul比值的总体均值和方差时，也考虑了统计不确定性。由于图2中的数据已经包含了现场强度和实验室强度测量相关的测量误差，因此本研究没有明确考虑从μqul确定μquf时的测量误差。然而，在确定μqul时，需要考虑μqul测量中的测量误差。确定岩土参数时的测量误差可能源于操作者效应、测试方法和随机抽样（Hu等人，2025年）。对于水泥搅拌土的实验室强度测量，测量误差主要来源于现场土壤的变异性和制备试样的质量。有研究表明，在试样制备过程中填充模具的混合材料方法显著影响实验室强度的变异性（Kitazume等人，2015年）。使用敲击压实和棒压法制备的试样的强度变异系数小于15%，而使用动态或静态压实法制备的试样的强度变异系数小于30%。在本研究中，假设μqul为2 MPa；然而，在实际设计中，需要考虑实验室强度测量中的误差，并将其与本研究获得的整体强度变异性结合起来。如果建立统一的实验室混合试验程序并积累测量误差较小的实验室强度数据，预计μquf与μqul比值的变异性将会减小。

**图2. 实验室水泥搅拌土（a）砂土和（b）粘土的无侧限抗压强度平均值μqul与现场水泥搅拌土μquf**：原始数据来自Kitazume和Terashi（2013年）。

水泥含量和水灰比可能会影响μquf与μqul之间的关系。图2没有根据水泥含量或水灰比等粘结剂条件对数据进行分类。认为水泥含量和水灰比与强度有关。图2显示，实验室强度对μquf与μqul的比值似乎没有显著影响。然而，目前尚未有研究探讨粘结剂条件对现场强度与实验室强度之间关系的影响，根据粘结剂条件对数据进行分类可能会减少μquf与μqul比值的变异性。在岩土设计计算中应考虑模型不确定性。在这项研究中，进行了数值分析以研究水泥混合土在垂直荷载作用下的整体强度。在分析均匀水泥混合柱的无侧限抗压强度时，如果材料参数选择得当，可以忽略与本构模型相关的模型不确定性。然而，在模拟具有强度空间变异性的水泥混合土的行为时，模型不确定性就会出现。为了研究模型不确定性，需要将实验结果与数值分析结果进行比较。Namikawa等人（2013年）对由不同强度部分组成的水泥混合土试样进行了无侧限压缩试验。然后进行了相应的有限元方法（FEM）分析，以验证FEM分析方法。尽管分析结果与实验结果相当吻合，但并未对模型不确定性进行定量评估。在RFEM分析中对模型不确定性进行定量评估仍然是未来研究的一个重要课题。

3. 深层水泥混合土的设计强度
在当前的日本深层混合方法设计程序中（日本建筑中心（BCJ），1997年，Kitazume和Terashi，2013年），设计强度quick定义为：
$$
quick = \mu_{quf} - K\sigma_{quf}
$$
其中$\sigma_{quf}$是quf的标准差，K是从缺陷率得出的系数。假设quf服从正态分布，对于0.1分位数，K设为1.3；quick被定义为点属性的10%分位数（BCJ，1997年）。在这项研究中，根据BCJ（1997年）提出的设计方法评估了对应于设计强度quick的失效概率。

已经提出了几种确定使用深层混合方法建造的改良土体设计强度的方法。Larsson和Bergman（2015年）提出了一种基于概率分析的深层混合改良土体强度确定方法。在他们的方法中，设计强度quick由以下公式表示：
$$
quick = X_k \cdot \mu_{quf} \cdot \gamma_q = \exp\left(\mu \cdot \ln_{quf} + \chi \cdot \beta \cdot \sigma_{ln_{quf}\right)
$$
其中$X_k \cdot \mu_{quf}$是强度的特征值，$\gamma_q$是部分系数，$\mu \cdot \ln_{quf}$是$\ln_{quf}$的平均值，$\sigma_{ln_{quf}$是$\ln_{quf}$的标准差，$\chi$是灵敏度系数，$\beta$是所需的可靠性指数。$\chi$描述了变量对机械系统的重要性，$\beta$由现行的建筑规范确定。这种方法使用特征值和部分系数来定义设计强度，这与基于Eurocode 7（CEN，2004年）的基于可靠性的设计概念一致。同时，该方法假设强度服从对数正态分布，并根据平均值和标准差来确定设计强度。比较公式（1）和公式（2）可以看出，两种方法中设计强度都是强度平均值和标准差的线性组合。因此，关于设计强度设置的基本概念可以认为是相同的。然而，在Larsson和Bergman（2015年）提出的方法中，各种不确定性都被考虑到了强度标准差中。

Liu等人（2017b）提出了以下公式来考虑统计不确定性，以确定代表性强度$q_{rep}$：
$$
q_{rep} = \mu_{squf} - A \cdot \sigma_{squf}
$$
其中$\mu_{squf}$是quf的样本平均值，$\sigma_{squf}$是quf的样本标准差，$\eta$是减小因子，$A$是数据置信因子。$A$取决于样本大小，随着样本大小趋于无穷大，$A$减小到1。公式（3）表明代表性强度也是强度平均值和标准差的线性组合。公式（3）的基本形式与公式（1）相同。在这项研究中，根据BCJ（1997年）提出的设计方法评估了对应于设计强度quick的失效概率。使用Quf的累积分布函数（CDF）也可以很容易地评估其他设计方法定义的设计强度的失效概率。

由于quf的数据是在水泥混合土施工后获得的，因此$\mu_{quf}$和$\sigma_{quf}$的值是基于过去的项目数据和实验室混合试验结果选定的。在实验室混合试验中，通过混合从项目现场取出的原位土壤和水泥浆液来制备试样，并测量试样的无侧限抗压强度（UCS）。由于施工现场的混合和固化条件与实验室混合试验不同，$\mu_{quf}$与$\mu_{qul}$不同。为了考虑$\mu_{qul}$和$\mu_{quf}$之间的差异，使用了以下关系式（Kitazume和Terashi，2013年）：
$$
\mu_{quf} = \lambda \cdot \mu_{qul}
$$
将公式（4）代入公式（1），quck可以用$\mu_{qul}$表示为：
$$
quick = \lambda \cdot \mu_{qul} - K\sigma_{quf} = \lambda \cdot \mu_{qul} - K\cdot V\cdot \sigma_{quf}
$$
$\lambda$可以根据以往的项目记录确定，如图2所示。$\mu_{qul}$和$\mu_{quf}$之间的关系存在较大散布。图2显示，在陆上建设项目中，$\lambda$的下限大约为0.5。因此，在日本的陆上建设项目中，$\lambda$通常设定为大约0.5（Matsuo，2002年）。由于采用了$\lambda$的下限，从已建柱子中取出的芯样的quf值往往远大于目标强度。然而，在当前的深层混合方法设计中，并没有适当评估确定quck值时涉及的不确定性对水泥混合土整体性能的影响。将$\lambda$设定为下限值似乎是合理的。

如果在选择水泥混合土的设计材料参数时适当考虑了强度参数和机械方面的不确定性，就可以合理地设计水泥混合土。因为在设计阶段只有$\mu_{qul}$是已知的参数，所以从$\mu_{qul}$评估水泥混合土的性能是合理的。本研究提出了一种从$\mu_{qul}$确定水泥混合土整体失效概率的方法。

4. 分析框架
在生成用于RFEM分析的quf随机场时，考虑了统计参数$\mu_{quf}$、$V_{quf}$和$\theta_{quf}$的不确定性。因此，每个quf随机场的实现都有不同的统计参数。Namikawa（2021年）和Namikawa（2022年）提出了一种生成具有不同统计参数的随机场的方法。所进行的RFEM分析与统计参数保持不变的常规RFEM分析有显著不同。

图3展示了本研究中提出的分析框架。首先，将实验室强度$\mu_{qul}$设定为适当的值。确定$\mu_{quf}$的不确定性可以视为从$\mu_{qul}$评估$\mu_{quf}$时出现的转换不确定性。转换不确定性是根据图2中显示的$\mu_{quf}$和$\mu_{qul}$之间的关系来评估的。在评估$\mu_{quf}$时，还考虑了数据数量对统计不确定性的影响。使用现场强度数据库来评估确定$V_{quf}$和$\theta_{quf}$的不确定性。随后，根据表示这些不确定性的概率分布生成统计参数$\mu_{quf}$、$V_{quf}$和$\theta_{quf}$的实现。其次，使用这些统计参数的实现生成quf的随机场实现。最后，对生成的quf随机场进行RFEM分析。在所提出的框架中，同时考虑了统计参数的不确定性和quf的空间变异性，以充分评估水泥混合土的整体强度的CDF。所提出的分析方法能够预测在涉及多种不确定性的条件下地基的整体行为，这与仅考虑强度空间变异性的常规RFEM不同。

下载：下载高分辨率图像（226KB）
下载：下载全尺寸图像

图3. 考虑统计参数和强度空间变异性的分析程序

4.1. 强度的概率分布
先前的研究报告指出，对数正态分布可以适用于水泥混合土的quf随机场（Liu等人，2017b；Navin和Filz，2005年）。对数正态分布避免了无意义的负值。因此，我们采用多元对数正态分布来表示quf的随机场：
$$
p_{quf} | \mu_{ln_{quf}, \sigma_{ln_{quf}, \theta_{ln_{quf}} = \frac{1}{2\pi m} \cdot \sigma_{ln_{quf}^2} \cdot C \cdot \prod_{i=1}^{m} \left(\frac{q_{f}_i}{\ln_{quf}_i}\right) \cdot \exp\left(-\frac{1}{2\sigma_{ln_{quf}^2} \cdot \ln\left(\frac{q_{f}_i}{\ln_{quf}_r}\right)^2 - \mu_{ln_{quf}\right) \cdot T_C^{-1} \cdot \ln\left(\frac{q_{f}_i}{\ln_{quf}_r}\right) - \mu_{ln_{quf})
$$
其中$m$表示quf值的数量，$\mu_{ln_{quf}$表示$\ln_{quf}$的平均值，$\sigma_{ln_{quf}$表示$\ln_{quf}$的标准差，$\theta_{ln_{quf}$表示$\ln_{quf}$的自相关距离，$r_i$表示点i处的空间向量，$d$是两点之间的距离，$C$是相关系数矩阵，$\rho_{ln_{quf}$表示$\ln_{quf}$的相关系数。$\mu_{ln_{quf}$和$\sigma_{ln_{quf}$是根据quf的平均值$\mu_{quf}$和标准差$\sigma_{quf}$计算得出的。$\mu_{ln_{quf}$和$\sigma_{ln_{quf}$由以下公式给出：
$$
\sigma_{ln_{quf} = \ln\left(1 + \frac{\sigma_{quf}}{\mu_{quf}\right), \mu_{ln_{quf} = \ln\left(\mu_{quf}\right) - \frac{1}{2\sigma_{quf}^2}
$$
同时，$\mu_{quf}$和$\sigma_{quf}$根据以下公式计算：
$$
\mu_{quf} = \exp\left(\mu \cdot \ln_{quf} + \frac{1}{2}\sigma_{ln_{quf}^2\right), \sigma_{quf} = \mu_{quf} \cdot \exp\left(-\frac{\sigma_{ln_{quf}^2}{2}\right)
$$
quf的空间相关性在公式（6）中用指数自相关函数表示。先前的研究建议使用指数自相关函数来描述水泥混合土强度的空间相关性（Honjo，1982年；Toraldo等人，2018年）。本研究假设强度的各向同性随机场。已经进行了多项研究来调查深层混合土强度的空间相关性的各向异性。Larsson等人（2005年）基于贯入试验结果分析了石灰-水泥柱的空间相关性。他们报告说，石灰-水泥柱在正交方向的贯入弹簧变形的波动幅度大于径向。Al-Naqshabandy等人（2012年）基于圆锥贯入试验结果分析了石灰-水泥柱的空间相关性。他们报告说，圆锥尖端阻力的波动幅度在水平方向大于垂直方向。Toraldo等人（2018年）研究了喷射灌浆地基的压缩波速度的空间相关性。尽管水平方向的相关距离大于垂直方向，但他们在RFEM分析中假设了强度的各向同性随机场。Liu等人（2017a）在水泥混合柱的RFEM分析中假设垂直方向的强度波动幅度大于水平方向。Pan等人（2018年）总结了深层混合柱在垂直和水平方向的强度波动幅度。在该总结中，一些研究报告称水平方向的空间相关性更强，而其他研究报告称垂直方向的空间相关性更强。这些先前的研究没有获得关于水泥混合土强度空间相关性各向异性的统一结果；因此，本研究假设水泥混合柱的强度具有均匀的空间相关性。需要进一步的研究来获得关于深层混合土强度空间相关性各向异性的结果。

在公式（6）中使用了相对于$\ln_{quf}$的自相关距离。由于实数数据和对数转换数据之间的相关幅度没有显著差异（Griffiths和Fenton，2001年），因此从以往项目中的$\theta_{quf}$估计了确定$\theta_{ln_{quf}$时涉及的不确定性。

4.2. 从实验室强度评估原位强度的转换不确定性
图2显示了陆上建筑中水泥混合砂和粘土的$\mu_{qul}$和$\mu_{quf}$之间的关系（Kitazume和Terashi，2013年）。在这项研究中，使用图2中显示的关系来估计转换不确定性。水泥混合土的强度主要取决于水泥的用量和含水量。这些原位水泥混合土的强度通常与实验室水泥混合土的强度相同。因此，在这项研究中假设了$\mu_{qul}$和$\mu_{quf}$之间的比例关系。对于这两种土壤类型，$\mu_{quf}$和$\mu_{quf}$之间的关系存在较大散布。如上所述，实验室强度的变化可能导致$\mu_{quf}$和$\mu_{qul}$之间关系的较大变化。

比率$\lambda = \mu_{quf}/\mu_{qul}$的变异性取决于施工现场的土壤性质。$\lambda$被认为取决于原位土壤的性质。当进行试建时，可以直接比较水泥混合土的原位强度和实验室强度，因此可以估计$\lambda$的变异性较小。此外，如果可以获得现场附近的施工数据，可以利用这些数据作为先验信息来减少λ的变异性。然而，由于现场附近的施工数据往往不可用，本研究使用了图2中显示的数据，而没有考虑土壤特性。此外，本研究使用了由多个承包商建造的水泥混合地基的通用λ数据，导致变异系数相对较大。如果使用由单个承包商建造的水泥混合地基的数据，预计变异系数会较小。在这种情况下，可以采用贝叶斯估计方法，利用通用数据作为单个承包商数据的先验分布来估计λ的均值和方差。需要进一步研究以了解从实验室强度预测原位强度时出现的不确定性。

图2中的散布显示了从μqul确定μquf时产生的较大转换不确定性。假设μquf与μqul成正比，转换不确定性可以用λ的概率分布来表示。正态分布可能是λ的第一个候选分布。然而，在应用正态分布时，λ会出现负值。尽管可以采用几种概率分布来表示λ的概率分布，但由于其简单性，本研究采用了对数正态分布。从图2的数据计算出的λ的统计参数列在表1中。

表1. 原位强度与实验室强度比值λ的统计参数

| 土壤类型 | 样本量 | 均值 | 变异系数 |
|---------|--------|-------|--------|
| 沙子 | 34 | 1.27 | 0.484 |
| 黏土 | 85 | 0.993 | 0.458 |

图4显示了λ的样本累积分布函数（CDF），并对数正态分布的CDF进行了叠加。进行了Kolmogorov-Smirnov（K-S）和Shapiro-wilk正态性检验，以评估对数正态分布对λ的拟合优度。K-S检验中CDF与对数正态分布之间的最大差异定义为D统计量，对于水泥混合沙子和黏土分别为0.125和0.0941。在5%的显著性水平下，临界值分别为0.23和0.15。D值小于临界值。在Shapiro-wilk正态性检验结果中，水泥混合沙子和黏土的p值分别为0.068和0.245。这些检验值大于5%的显著性水平。K-S检验和Shapiro-wilk正态性检验结果没有拒绝λ的数据遵循对数正态分布的零假设。因此，本研究出于简单性和熟悉度考虑，采用了对数正态分布。然而，在Shapiro-wilk正态性检验中，水泥混合沙子的p值较小。需要进一步研究来探讨从实验室强度预测原位强度时出现的不确定性。

图2中的散布显示了从μqul确定μquf时产生的较大转换不确定性。假设μquf与μqul成正比，转换不确定性可以用λ的概率分布来表示。正态分布可能是λ的第一个候选分布。然而，在应用正态分布时，λ会出现负值。尽管可以采用几种概率分布来表示λ的概率分布，但由于其简单性，本研究采用了对数正态分布。从图2的数据计算出的λ的统计参数列在表1中。

表1. 原位强度与实验室强度比值λ的统计参数

图4. 原位强度μquf与实验室强度μqul的累积分布函数（CDF）：(a) 水泥混合沙子；(b) 水泥混合黏土

当λ的实现值来自具有样本均值和方差的对数正态分布时，在估计λ的总体统计参数时会出现关于数据样本量的统计不确定性。当ln λ遵循正态分布时，其样本均值和方差分别遵循Student’s t分布和卡方分布。在本研究中，从这些分布生成了ln λ的总体均值和方差的实现值，以考虑统计不确定性。然后从具有计算出的总体均值和方差的对数正态分布生成了λ的实现值。

4.3. 强度标准差和自相关距离评估的不确定性

在设置Vquf和θlnquf的值以生成quf的随机场时，考虑了不确定性。Kitazume和Terashi（2013）报告称，在陆上项目中，水泥混合地基的Vquf范围为0.15到0.50。在本研究中，假设Vquf遵循对数正态分布，并且95%的Vquf值在0.15到0.50的范围内，适用于水泥混合沙子和黏土。变量x的对数的假设概率分布显示在图5中。当变量x表示Vquf时，xmin = ln 0.15，xmax = ln 0.50。μlnx和σlnx表示ln Vquf的均值和标准差。从ln Vquf的均值和标准差计算出Vquf的均值和标准差。计算出的Vquf的均值和标准差分别为0.287和0.0903。使用评估出的均值和标准差从对数正态分布生成了Vquf的实现值。从μquf和Vquf的值生成了quf的标准差σquf的实现值。

图5. 对数变异系数Vquf的对数μlnx的均值μlnx和标准差σlnx以及自相关距离θlnquf

关于水泥混合地基的θquf的报道很少。Honjo（1982）报告称θquf的范围为0.4到4.0 m。Namikawa和Koseki（2013）报告称θquf的范围为0.2到2.2 m。假设θquf和θlnquf在quf的空间相关性中是可互换的，因此在本研究中使用θlnquf作为统计参数。假设对于水泥混合沙子和黏土，θlnquf遵循对数正态分布，并且95%的θlnquf值在0.1–4.0 m的范围内。当图5中的变量x表示θlnquf时，xmin = ln 0.1，xmax = ln 4.0。μlnx和σlnx对应于ln θlnquf的均值和标准差。从ln θlnquf的均值和标准差计算出θlnquf的均值和标准差。计算出的θlnquf的均值和标准差分别为0.985和1.18。使用评估出的θlnquf的均值和标准差从对数正态分布生成了θlnquf的实现值。

4.4. 强度随机场的生成

采用协方差矩阵分解方法生成quf的随机场实现值（Fenton和Griffiths，2008）。从白噪声向量和相关系数矩阵C的低三角部分（方程（6）中的θlnquf）计算出具有所需空间相关性的随机场向量。随后，从随机场向量和统计参数μquf、σquf计算出quf的随机场实现值。在本研究中，使用具有不确定性的μquf、σquf和θlnquf的实现值来生成quf的随机场实现值。为了考虑统计参数中的不确定性，还进行了标准RFEM分析，其中统计参数μquf、σquf和θlnquf在生成随机场实现值时保持在其均值。强度的随机场是在有限元网格的中心生成的。大多数有限元是边长为100 mm的立方体。有限元尺寸大致对应于取芯样本的尺寸。在本研究中，基于取芯强度数据分析了水泥混合柱的整体强度。自相关距离是根据取芯强度数据确定的（Honjo，1982，Namikawa和Koseki，2013）。由于在测量取芯强度时没有考虑芯样的异质性，因此网格尺寸被认为是合适的。

图6显示了小自相关距离下的相关系数ρlnquf的离散值。尽管在0.0–0.1 m范围内没有离散值，但即使自相关距离很小时也存在空间相关性。

图6. 小自相关距离qlnquf下的相关系数ρlnquf

4.5. 有限元分析

本研究使用了有限元方法（FEM）软件DIANA。采用了为描述水泥混合土在压缩和拉伸应力条件下的力学行为而开发的弹塑性模型来模拟水泥混合地基（Namikawa和Mihira，2007）。弹塑性模型作为用户提供的子程序安装在软件中。将quf的随机场实现中的随机变量分配给组成FEM模型的元素。根据分配的quf值确定了每个元素的弹塑性模型的材料参数。

5. 分析条件

进行了三维RFEM分析，以评估水泥混合地基的整体强度。模拟了柱型和块型改进的整体无约束压缩行为。模型的FEM网格显示在图7中。柱型改进的直径为1 m，高度为2 m。块型改进由四个水泥混合土柱组成，宽度为1.8 m，高度为4 m。大多数元素是边长为100 mm的立方体。两种模型的顶部和底部边界条件都是平滑的。在上游边界施加了均匀的垂直位移，并计算了节点力。

表2列出了水泥混合沙子和黏土地基的模拟案例。对具有不同μquf、σquf和θlnquf值的quf的随机场实现值进行了包含统计参数不确定性的分析。还进行了不考虑统计参数不确定性的标准RFEM分析，以进行比较。此外，对于柱型改进，还进行了包含μquf不确定性的分析，以研究个别统计参数的不确定性对整体行为的影响。在标准分析中，水泥混合沙子和黏土的λ值分别保持在1.27和0.993。Vquf和θlnquf的值分别保持在0.287和0.985 m。在所有情况下，μqul均设置为2.0 MPa。每种情况生成并分析了500个实现值。

表2. 模拟案例

| 改进类型 | 土壤 | 分析类型 | 涉及不确定性的统计参数 |
|--------|------|--------------|
| 柱型 | 沙子 | 带有USP的RFEM |
| | | |
| | 无USP的RFEM（标准RFEM） | |
| | | |
| 块型 | 沙子 | 带有USP的RFEM |
| | | |
| | 无USP的RFEM（标准RFEM） | |
| | | |
| 块型 | 黏土 | 带有USP的RFEM |
| | | |
| | 无USP的RFEM（标准RFEM） | |

注：USP表示统计参数的不确定性；μquf = 原位强度的均值；Vquf = 原位强度的变异系数；θlnquf = 对数原位强度的自相关距离。

5.1. 材料参数

弹塑性模型的材料参数列在表3中。基于Namikawa和Koseki（2013），这些值是针对quf = 2 MPa确定的。弹性模量E假设与quf成正比，E = 1760quf。泊松比ν保持在0.167。内摩擦角?保持在30°。凝聚力c根据quf确定。抗拉强度Tf假设与quf成正比，Tf = 0.224quf。硬化参数α和ey保持不变。断裂能量Gf定义为拉伸破坏过程中消耗的能量，假设与quf成正比，Gf/quf = 0.00529 mm。膨胀系数Dc和软化参数er保持不变。局部化尺寸ts0定义为断裂尺寸，为0.6 mm；特征长度lc定义为网格尺寸，为100 mm。随机参数c、E、Tf和Gf随分配给每个元素的quf而变化。有关弹塑性模型材料参数的详细信息，请参阅Namikawa和Mihira（2007）。

表3. 强度quf = 2.0 MPa的水泥混合土的材料参数

| 参数 | 随机或确定值 |
|---------------|-----------------|
| E | 35 | |
| ν | 0.167 |
| ? | 30° |
| c | 0.577 |
| Tf | 0.448 |
| α | 1.05 |
| ey | 0.0002 |
| Gf | 10.6 N/m |
| Dc | 0.4 |
| ts0 | 0.6 m |
| lc | 100 mm |

注：E = 弹性模量；ν = 泊松比；? = 内摩擦角；c = 凝聚力；Tf = 抗拉强度；α = 硬化参数；ey = 硬化参数；Gf = 断裂能量；dc = 膨胀系数；ts0 = 局部化尺寸；lc = 特征长度；Stoch. = 随机参数；Deter. = 确定参数。

在本研究中，假设E、Tf和Gf与quf的比值是恒定的；然而，当这些参数从强度确定时，会考虑转换不确定性。由于本研究关注的是压缩载荷条件下的强度，因此这些材料参数对整体强度的敏感性估计相对较小。尽管如此，有报道称，即使在压缩载荷条件下，由于Tf的影响，水泥混合柱也可能发生部分拉伸破坏，并且这种破坏具有空间变异性（Namikawa和Koseki，2013年）。此外，Gf也被认为会影响部分破坏后的整体行为。因此，需要进一步的研究来澄清在确定弹性模量、抗拉强度和断裂能量时的不确定性。5.2. 用于生成强度随机场的统计参数为了考虑统计参数的不确定性，μquf、σquf和θlnquf在RFEM分析中使用的每个随机场实现中都进行了变化。根据图2中的数据，λ = μquf/μqul的实现是从对数正态分布中生成的。在生成实现时，考虑了评估总体均值和标准差时出现的统计不确定性。图8显示了500个水泥混合砂柱模拟的λ实现的直方图。水泥混合砂和粘土的λ平均值分别为1.28和1.03。表1显示了图2中显示的数据的平均值，而1.28和1.03是通过蒙特卡洛模拟生成的500个实现的平均值。因此，这些值之间存在轻微差异。图8还显示了从对数正态分布生成的Vquf和θlnquf实现的直方图，用于水泥混合砂柱的模拟。σquf的实现是根据生成的μquf和Vquf计算得出的。下载：下载高分辨率图像（250KB）下载：下载全尺寸图像图8. RFEM分析中水泥混合砂柱的现场强度比值λ = μquf/μqul、变异系数Vquf和自相关距离θlnquf实现的直方图。quf的空间分布实现是根据生成的μquf、σquf和θlnquf值生成的。图9展示了在FEM分析中使用的柱型和块型改进的quf分布示例。在块型改进中，假设四根柱子之间的quf没有空间相关性。在quf的空间分布实现中同时考虑了统计参数的不确定性和空间变异性。下载：下载高分辨率图像（331KB）下载：下载全尺寸图像图9. RFEM分析中使用的柱型和块型改进的强度quf实现示例。如上所述，先前的研究没有获得关于水平方向空间相关性的一致结果（Al-Naqshabandy等人，2012年；Liu等人，2017a年；Pan等人，2018年）。此外，Larsson等人（2005年）报告称，尽管所有石灰-水泥柱的安装方式相同，但观察到其贯入仪弹簧变形的相关结构类型不同。因此，在块型改进中未考虑四根柱子之间的强度相关性。6. 分析结果6.1. 柱型改进图10显示了分析中柱型改进的整体抗压强度Quf的直方图。整体轴向应力是根据上边界处的总垂直载荷计算得出的，Quf被确定为峰值轴向应力。带有统计参数不确定性的分析中Quf分布的变异性比没有不确定性的分析要大得多。从RFEM分析结果计算出的平均μQuf和Quf的变异系数VQuf总结在表4中。图11比较了带有统计参数不确定性的分析和没有统计参数不确定性的分析的VQuf值。带有统计参数不确定性的分析的VQuf明显大于没有统计参数不确定性的分析，而两种分析之间的μQuf差异很小。图10显示了带有统计参数不确定性的RFEM分析中水泥混合砂柱的现场强度比值λ = μquf/μqul、变异系数Vquf和自相关距离θlnquf实现的直方图。使用生成的μquf、σquf和θlnquf值生成了quf的空间分布实现。图9展示了FEM分析中使用的柱型和块型改进的quf分布示例。在块型改进中，假设四根柱子之间的quf没有空间相关性。在quf的空间分布实现中同时考虑了统计参数的不确定性和空间变异性。下载：下载高分辨率图像（399KB）下载：下载全尺寸图像图9. RFEM分析中使用的柱型和块型改进的强度quf实现示例。如上所述，先前的研究没有获得关于水平方向空间相关性的一致结果（Al-Naqshabandy等人，2012年；Liu等人，2017a年；Pan等人，2018年）。此外，Larsson等人（2005年）报告称，尽管所有石灰-水泥柱的安装方式相同，但观察到其贯入仪弹簧变形的相关结构类型不同。因此，在块型改进中未考虑四根柱子之间的强度相关性。6. 分析结果6.1. 柱型改进图10显示了分析中柱型改进的整体抗压强度Quf的直方图。整体轴向应力是根据上边界处的总垂直载荷计算得出的，Quf被确定为峰值轴向应力。带有统计参数不确定性的分析中Quf分布的变异性比没有不确定性的分析要大得多。从RFEM分析结果计算出的平均μQuf和Quf的变异系数VQuf总结在表4中。图11比较了带有统计参数不确定性的分析和没有统计参数不确定性的分析的VQuf值。带有统计参数不确定性的分析的VQuf明显大于没有统计参数不确定性的分析，而两种分析之间的μQuf差异很小。VQuf的差异表明统计参数的不确定性显著影响了Quf的变异性。下载：下载高分辨率图像（258KB）下载：下载全尺寸图像图10. 柱型改进的整体抗压强度Quf的直方图：(a) 带有统计参数不确定性的RFEM（USP）用于水泥混合砂柱，(b) 带有USP的RFEM用于水泥混合粘土柱，(c) 不带USP的RFEM用于水泥混合砂柱，(d) 不带USP的RFEM用于水泥混合粘土柱。表4. 整体抗压强度Quf的平均μQuf和变异系数VQuf。改进类型土壤分析类型μQufVQuf柱型砂带USP的RFEM2.22 MPa0.513柱型砂不带USP的RFEM（普通RFEM）2.19 MPa0.193柱型砂带μquf不确定性的RFEM2.20 MPa0.509柱型粘土带USP的RFEM1.78 MPa0.476柱型粘土不带USP的RFEM（普通RFEM）1.69 MPa0.200柱型粘土带μquf不确定性的RFEM1.76 MPa0.496块型砂带USP的RFEM2.12 MPa0.507块型砂不带USP的RFEM（普通RFEM）2.13 MPa0.0925块型粘土带USP的RFEM1.73 MPa0.447块型粘土不带USP的RFEM（普通RFEM）1.67 MPa0.0960注：USP表示统计参数的不确定性。下载：下载高分辨率图像（112KB）下载：下载全尺寸图像图11. 带有和没有统计参数不确定性的RFEM分析给出的整体抗压强度Quf的变异系数：(a) 水泥混合砂柱，(b) 水泥混合粘土柱，(c) 水泥混合砂块，(d) 水泥混合粘土块。表4显示了带有μquf不确定性的分析得到的μQuf和VQuf。从带有μquf不确定性的分析结果得到的μQuf和VQuf与带有三个参数不确定性的分析（带USP的RFEM）的结果大致一致。这表明，带有和不带统计参数不确定性的分析之间VQuf的大部分差异主要是由μquf的不确定性引起的。图12显示了带有和不带统计参数不确定性的柱型改进的Quf的样本累积分布函数（CDF）。对数正态分布的拟合优度使用K-S检验进行了评估。表5显示了K-S检验结果。所有情况下的D统计量都很小。对于500个样本量，5%显著性水平的临界值为0.0608。由于所有情况下的D值都小于临界值，因此不拒绝Quf的概率分布遵循对数正态分布的零假设。下载：下载高分辨率图像（412KB）下载：下载全尺寸图像图12. 柱型改进的整体抗压强度Quf的累积分布函数（CDF）：(a) 带有统计参数不确定性的RFEM（USP）用于水泥混合砂柱，(b) 带有USP的RFEM用于水泥混合粘土柱，(c) 不带USP的RFEM用于水泥混合砂柱，(d) 不带USP的RFEM用于水泥混合粘土柱。表5. 对数正态分布对柱型改进的Quf概率分布的Kolmogorov-Smirnov检验结果。改进类型土壤分析类型D值柱型砂带USP的RFEM0.0298柱型砂不带USP的RFEM（普通RFEM）0.0182柱型粘土带USP的RFEM0.0333柱型粘土不带USP的RFEM（普通RFEM）0.0348块型砂带USP的RFEM0.0310块型砂不带USP的RFEM（普通RFEM）0.0453块型粘土带USP的RFEM0.0310块型粘土不带USP的RFEM（普通RFEM）0.0287注：USP表示统计参数的不确定性。6.2. 块型改进图13显示了带有和不带统计参数不确定性的块型改进的Quf的样本CDF。表4列出了μQuf和VQuf。由于改进后的地基尺寸减小，块型改进的整体强度变异性降低（Toraldo等人，2018年），因此块型改进的VQuf小于柱型改进的VQuf。与柱型改进的结果类似，带有统计参数不确定性的分析中的VQuf明显大于没有统计参数不确定性的分析，而两种分析之间的μQuf差异很小。下载：下载高分辨率图像（399KB）下载：下载全尺寸图像图13. 块型改进的整体抗压强度Quf的累积分布函数（CDF）：(a) 带有统计参数不确定性的RFEM（USP）用于水泥混合砂块，(b) 带有USP的RFEM用于水泥混合粘土块，(c) 不带USP的RFEM用于水泥混合砂块，(d) 不带USP的RFEM用于水泥混合粘土块。在本研究中，假设块型改进中的四根柱子之间的强度没有空间相关性。同时，如果四根柱子之间存在强度空间相关性，则预计自相关距离会随着改进地基尺寸的增加而增加。在这种情况下，整体强度的变异性将大于本研究中获得的值。如果块型改进中的水泥混合柱之间存在强度空间相关性，则VQuf值预计将介于表4中显示的柱型和块型改进的VQuf值之间。图13中叠加了对数正态分布的CDF。对数正态分布对样本的拟合优度使用K-S检验进行了评估。表5中的K-S检验结果表明，块型改进的Quf概率分布不拒绝对数正态分布。7. 设计强度下的失效概率基于RFEM结果讨论了设计强度下的失效概率。失效概率定义为Quf小于假设均匀地基所设定的设计强度的概率。失效概率是根据方程（5）和考虑安全系数确定的允许强度计算的。允许强度qua定义为(9)qua=quckFs，其中Fs是安全系数。在日本当前的设计程序中（日本建筑中心（BCJ），1997年；海岸开发技术研究所（CDIT），2002年），在正常条件下Fs通常设定为3。7.1. 从带有统计参数不确定性的RFEM分析得到的CDF评估的失效概率带有统计参数不确定性的RFEM分析直接提供了设计强度下的失效概率。可以从图12、图13中的CDF确定任意值下的失效概率。方程（5）中λ = 0.5、K = 1.3和Vquf = 0.287时，设计强度quck = 0.627 MPa对于μqul = 2 MPa。图12、图13显示了quck的失效概率分别为2.0%和2.6%，适用于水泥混合砂柱和粘土柱。RFEM分析结果表明，柱型改进的失效概率约为2%。块型改进的失效概率在0.627 MPa时为2.2%和2.8%。图14显示了设计强度下的失效概率。块型改进的失效概率与柱型改进的失效概率相似。所提出的方法定量提供了设计强度下的失效概率，并将实验室强度与水泥混合地基的整体性能联系起来。下载：下载高分辨率图像（99KB）下载：下载全尺寸图像图14. 数值分析和全尺寸柱试验给出的设计强度下的失效概率：(a) 水泥混合砂柱，(b) 水泥混合粘土柱，(c) 水泥混合砂块，(d) 水泥混合粘土块。USP表示quf的统计参数不确定性，SP表示Quf的统计参数。方程（9）中quck = 0.627 MPa和Fs = 3得出允许强度qua = 0.209 MPa对于μqul = 2 MPa。在所有情况下，0.209 MPa下的失效概率都低于最低的Quf值。由于RFEM分析中的实现数量为500个，因此估计qua的失效概率小于0.2%。为了评估qua的失效概率，需要在RFEM分析中使用更多的实现数量。本研究不讨论qua的失效概率。7.2. 从带有统计参数不确定性的RFEM分析得到的整体强度统计参数评估的失效概率假设Quf遵循对数正态分布，可以根据μQuf和Quf的标准差σQuf计算设计强度下的失效概率。quck下的失效概率由(10)PfQuf≤quck=Φlnquck-μlnQufσlnQuf给出，其中Φ是标准正态累积分布函数，μlnQuf是ln Quf的平均值，σlnQuf是ln Quf的标准差。使用方程（7）从μQuf和σQuf计算了μlnQuf和σlnQuf。从带有统计参数不确定性的RFEM分析得到的μQuf和σQuf计算了quck = 0.627 MPa下的失效概率。图14显示了从μQuf和σQuf计算出的失效概率。从μQuf和σQuf计算出的失效概率与从Quf的CDF评估出的概率相当。图14显示，失效概率可以根据RFEM分析得出的μQuf和σQuf以及统计参数的不确定性来大致评估。7.3. 从整体强度的统计参数评估失效概率，这些统计参数是通过常规RFEM分析结果结合λ的不确定性获得的。在没有统计参数不确定性的情况下进行的RFEM分析（常规RFEM分析）使用了统计参数的恒定值；在常规RFEM分析中并未考虑统计参数的不确定性。表4显示，在常规RFEM分析中计算出的μQuf与在考虑统计参数不确定性的RFEM分析中计算出的μQuf相当吻合。因此，在使用公式（10）评估失效概率时，可以采用常规RFEM分析中计算出的μQuf作为Quf的平均值。表4中的分析结果表明，μquf的不确定性是导致考虑和不考虑统计参数不确定性时RFEM分析中计算出的VQuf值之间差异的主要原因。假设μquf的不确定性代表了考虑和不考虑统计参数不确定性时VQuf的差异，可以提出以下公式来描述在考虑quf的空间变异性和λ的不确定性时Quf的变异系数：(11)VQuf_c ? VQuf_NRFEM^2 + Vλ^2，其中VQuf_c是Quf的变异系数，VQuf_NRFEM是通过常规RFEM分析计算出的Quf的变异系数，Vλ是λ = μquf/μqul的变异系数。VQuf_NRFEM代表了由于quf的空间变异性而产生的Quf的变异性。Vλ包括在从μqul评估μquf时出现的转换变异系数Vtrans_λ和统计变异系数Vstat_λ。根据Phoon和Kulhawy（1999）提出的组合方法，Vλ可以表示为：(12)Vλ = Vtrans_λ^2 + Vstat_λ^2。Vtrans_λ和Vstat_λ的值是根据图2中显示的λ = μquf/μqul的数据计算得出的。Vtrans_λ的值列在表1中。假设ln λ遵循正态分布，ln λ的均值的标准误差代表统计不确定性。对于水泥混合砂和粘土，计算出的Vstat_λ值分别为0.0711和0.0431。使用公式（12），水泥混合砂和粘土的Vλ值分别为0.489和0.460。由公式（11）给出的VQuf_c显示在图11中。计算出的VQuf_c值与使用考虑统计参数不确定性的RFEM分析得到的结果相当吻合。这表明可以从常规RFEM分析结果和从μqul评估μquf时出现的不确定性中估计出合理的VQuf值。使用公式（10）和公式（11）给出的VQuf_c，计算了水泥混合柱和块体在quck = 0.627 MPa时的失效概率。图14显示了从常规RFEM分析结果和λ的不确定性计算出的失效概率与从考虑统计参数不确定性的RFEM分析得出的μQuf和VQuf计算出的失效概率相当吻合。这表明，在根据实验室强度估计水泥混合地基的失效概率时，可以将λ的不确定性与常规RFEM分析结果结合起来。7.4. 从全尺寸柱试验结果评估失效概率日本建筑中心（BCJ，1997）对直径1米、高度2.2米的全尺寸水泥混合柱进行了无侧限压缩试验。根据全尺寸柱试验结果估计了水泥混合柱的失效概率。图15显示了从全尺寸柱试验获得的μquf和Quf之间的关系。还绘制了考虑统计参数不确定性的RFEM分析计算出的水泥混合柱的μquf和Quf的值。假设Quf与μquf成正比，Quf可以表示为：(13)Quf = κμquf = κλμqul，其中k是Quf与μquf的比值。假设κ和λ是遵循对数正态分布的随机变量。μQuf对应于μqul和这些参数的均值之积。根据全尺寸柱试验结果，水泥混合砂和粘土的κ的均值分别为0.803和0.621。根据图2中的过去数据，水泥混合砂的λ的均值为1.27，水泥混合粘土的λ的均值为0.993。当μqul = 2.00 MPa时，水泥混合砂柱的μQuf值计算为2.04 MPa，水泥混合粘土柱的μQuf值计算为1.23 MPa。VQuf表示为：(14)VQuf = Vκ^2 + Vλ^2，其中Vκ是κ的变异系数。Vκ表示为：(15)Vκ = Vtrans_κ^2 + Vstat_κ^2，其中Vtrans_κ是κ的转换不确定性的变异系数，Vstat_κ是κ的统计不确定性的变异系数。这些不确定性是在从μquf评估Quf时出现的。图15中显示的全尺寸柱试验结果表明，水泥混合砂和粘土的Vtrans_κ分别为0.269和0.298。假设ln k遵循正态分布，ln κ的均值的标准误差代表统计不确定性。计算出的Vstat_κ值分别为水泥混合砂的0.115和粘土的0.127。然后分别计算出水泥混合砂和粘土柱的Vκ值为0.293和0.324。Vκ的值大于Vtrans_κ的值，表明在评估Vκ时不能忽略依赖于样本大小的统计不确定性。根据全尺寸柱试验结果计算的VQuf值分别为水泥混合砂柱的0.570和粘土柱的0.563。根据全尺寸柱试验结果得到的VQuf值高于表4中列出的RFEM分析结果。下载：下载高分辨率图像（249KB）下载：下载全尺寸图像图15. 给定统计参数不确定性的RFEM分析和全尺寸柱试验得出的原位强度均值μquf与整体抗压强度Quf之间的关系：(a) 水泥混合砂柱，(b) 水泥混合粘土柱。BCJ（1997）提供的全尺寸柱试验原始数据。使用公式（10）和从全尺寸柱试验结果评估的μQuf和VQuf，计算了quck = 0.627 MPa时的水泥混合柱的失效概率。图14显示了失效概率。从常规RFEM分析结果和λ的不确定性计算出的失效概率与从考虑统计参数不确定性的RFEM分析得出的μQuf和VQuf计算出的失效概率相当吻合。这表明，在根据实验室强度估计水泥混合地基的失效概率时，可以将λ的不确定性与常规RFEM分析结果结合起来。7.4. 从全尺寸柱试验结果评估失效概率日本建筑中心（BCJ，1997）对直径1米、高度2.2米的全尺寸水泥混合柱进行了无侧限压缩试验。根据全尺寸柱试验结果估计了水泥混合柱的失效概率。图15显示了从全尺寸柱试验获得的μquf和Quf之间的关系。还绘制了考虑统计参数不确定性的RFEM分析计算出的水泥混合柱的μquf和Quf的值。假设Quf与μquf成正比，Quf可以表示为：(13)Quf = κμquf = κλμqul，其中k是Quf与μquf的比值。假设κ和λ是遵循对数正态分布的随机变量。μQuf对应于μqul和这些参数的均值之积。根据全尺寸柱试验结果，水泥混合砂和粘土的κ的均值分别为0.803和0.621。根据图2中的过去数据，水泥混合砂的λ的均值为1.27，水泥混合粘土的λ的均值为0.993。当μqul = 2.00 MPa时，水泥混合砂柱的μQuf值计算为2.04 MPa，水泥混合粘土柱的μQuf值计算为1.23 MPa。VQuf表示为：(14)VQuf = Vκ^2 + Vλ^2，其中Vκ是κ的变异系数。Vκ表示为：(15)Vκ = Vtrans_κ^2 + Vstat_κ^2，其中Vtrans_κ是κ的转换不确定性的变异系数，Vstat_κ是κ的统计不确定性的变异系数。这些不确定性是在从μquf评估Quf时出现的。图15中的全尺寸柱试验结果表明，水泥混合砂和粘土的Vtrans_κ分别为0.269和0.298。假设ln k遵循正态分布，ln κ的均值的标准误差代表统计不确定性。计算出的Vstat_κ值分别为水泥混合砂的0.115和粘土的0.127。然后分别计算出水泥混合砂和粘土柱的Vκ值为0.293和0.324。Vκ的值大于Vtrans_κ的值，表明在评估Vκ时不能忽略依赖于样本大小的统计不确定性。根据全尺寸柱试验结果计算的VQuf值分别为水泥混合砂柱的0.570和粘土柱的0.563。根据全尺寸柱试验结果得到的VQuf值高于RFEM分析结果，如表4中所列。下载：下载高分辨率图像（249KB）下载：下载全尺寸图像图15. 给定统计参数不确定性的RFEM分析和全尺寸柱试验得出的原位强度均值μquf与整体抗压强度Quf之间的关系：(a) 水泥混合砂柱，(b) 水泥混合粘土柱。BCJ（1997）提供的全尺寸柱试验原始数据。使用公式（10）和从全尺寸柱试验结果评估的μQuf和VQuf，计算了quck = 0.627 MPa时的水泥混合柱的失效概率。图14显示了失效概率。对于水泥混合砂柱，从全尺寸柱试验结果计算出的失效概率与考虑统计参数不确定性的RFEM分析计算出的失效概率相当吻合。相反，对于水泥混合粘土柱，从全尺寸柱试验结果计算出的失效概率大约是从数值分析结果得到的失效概率的十倍。图15显示，从全尺寸柱试验获得的Quf与μquf的比值小于从RFEM分析得到的水泥混合粘土柱的比值。这种差异主要是导致从全尺寸柱试验结果和数值分析结果计算出的失效概率之间的差异的原因。在粘土层中混合水泥浆时，未混合的土壤会残留在水泥混合粘土柱中。这些未混合的土壤可能会降低水泥混合柱的整体强度。本研究中的RFEM分析没有考虑未混合土壤的影响。需要进一步研究来探讨未混合土壤对水泥混合地基整体行为的影响。此外，在全尺寸试验中，没有从用于无侧限压缩试验的全尺寸柱试样中取出芯样，因此测量的μquf可能与全尺寸试样的平均强度不同。如果是在试验前直接从全尺寸试样中取出芯样，取芯过程可能会影响Quf。相反，如果是在试验后取出芯样，它们来自未失效的部分，这可能导致μquf的高估。因此，很难准确比较Quf和μquf。在RFEM分析中定量评估模型不确定性，包括明确Quf和μquf之间的精确关系，仍然是未来研究的一个重要课题。8. 基于可靠性的特征值评估本节讨论了在基于可靠性设计中使用的特征值Xkquf。根据欧洲规范7（CEN，2004），Xkquf被定义为Quf概率分布的5%分位数。基于可靠性的Xkquf是根据RFEM分析结果确定的（Hicks等人，2019年；Tabarroki等人，2021年）。8.1. 从CDF评估的基于可靠性的特征值可以从RFEM分析计算的Quf的CDF直接确定基于可靠性的Xkquf。可以从图12和图13中的样本CDF评估5%分位数。图16显示了考虑统计参数不确定性的Xkquf与μqul的比值。在柱型改进中，考虑统计参数不确定性的Xkquf/μqul分别为水泥混合砂的0.426和粘土的0.366。在块型改进中，考虑统计参数不确定性的Xkquf/μqul分别为水泥混合砂的0.401和粘土的0.346。因此，对于水泥混合砂和粘土地基，基于可靠性的Xkquf大约是μqul的40%和35%。下载：下载高分辨率图像（220KB）下载：下载全尺寸图像图16. 数值分析和全尺寸柱试验得出的特征值Xkquf与实验室强度μqul = 2 MPa的比值：(a) 水泥混合砂柱，(b) 水泥混合粘土柱，(c) 水泥混合砂块，(d) 水泥混合粘土块。USP表示quf的统计参数不确定性，SP表示Quf的统计参数。图16还显示了在没有统计参数不确定性的情况下从RFEM分析结果评估的Xkquf/μqul。没有统计参数不确定性的Xkquf/μqul明显大于有统计参数不确定性的Xkquf/μqul。这种比较表明，在从μqul评估Xkquf时必须考虑统计参数的不确定性。8.2. 基于考虑统计参数不确定性的RFEM分析得出的整体强度的特征值假设Quf遵循对数正态分布，可以从Quf的统计参数计算基于可靠性的Xkquf。以下公式给出了Quf的5%分位数：(16)Xkquf = μQufexp(-1.64ln(1 + VQuf^2)/(1 + VQuf^2)，其中μQuf和VQuf是考虑适当不确定性后评估的Quf的均值和变异系数。当适当估计μQuf和VQuf的值时，可以使用公式（16）得到Xkquf。考虑统计参数不确定性的RFEM分析直接提供了公式（16）中的μQuf和VQuf的值。图16显示了Xkquf与μqul的比值。使用公式（16）计算的Xkquf值与从Quf的CDF得到的结果相当吻合。8.3. 结合λ的不确定性从常规RFEM分析结果得出的整体强度的特征值将常规RFEM分析结果与λ的不确定性结合起来时，VQuf的结合值由公式（11）描述。可以从常规RFEM分析结果获得μQuf。通过将μQuf和VQuf（=VQuf_c）代入公式（16）可以计算出Xkquf。公式（11）和（16）给出的Xkquf与μqul的比值显示在图16中。根据公式（11）和（16）得到的Xkquf值与从Quf的CDF得到的结果相当吻合。8.4. 基于全尺寸柱试验结果的特征值根据BCJ（1997）的全尺寸柱试验结果估计了Xkquf。从全尺寸柱试验结果计算出的μQuf和VQuf显示在图16中。基于全尺寸柱试验结果的Xkquf与数值分析得到的水泥混合砂柱的Xkquf大致吻合。相反，基于全尺寸柱试验结果的Xkquf小于数值分析得到的水泥混合粘土柱的Xkquf。如上所述，图15显示，从全尺寸柱试验获得的μκ小于RFEM分析计算出的水泥混合粘土柱的μκ。μκ在满载柱试验中的较小值导致了RFEM分析与满载试验结果之间Xkquf的差异。9. 结论 本研究提出了一种数值方法，用于根据实验室强度的平均值μqul来评估水泥混合地基的失效概率。μqul与原位强度μquf之间的差异所体现的不确定性被视为转换不确定性。在所提出的框架中，还考虑了确定变异系数Vquf和自相关距离θquf时的不确定性。在生成quf的随机场时，也考虑了quf的统计参数的不确定性。对生成的quf随机场进行了RFEM分析，以研究统计参数的不确定性对水泥混合地基整体性能的影响。同时，还进行了不考虑quf统计参数不确定性的常规RFEM分析以作对比。分析结果表明，μquf的不确定性显著影响了水泥混合地基整体强度Quf的变异性。从包含统计参数不确定性的RFEM分析结果来看，设计强度下的失效概率得到了准确的评估。根据当前设计程序计算的水泥混合砂土和粘土地基的设计强度下的失效概率约为2%。从常规RFEM分析结果以及λ = μquf/μqul的不确定性计算出的失效概率与从包含统计参数不确定性的RFEM分析结果计算出的失效概率相当吻合。这表明，通过结合常规RFEM分析结果和λ的不确定性，可以从实验室强度评估失效概率。此外，还根据满载柱试验结果估算了设计强度下的失效概率。从数值分析和满载柱试验结果得出的失效概率进行比较后发现，Quf与μquf的比值显著影响了预测的失效概率。特征值Xkquf定义为Quf概率分布的5%分位数，是根据RFEM分析结果得出的。对于水泥混合砂土和粘土地基，Xkquf值分别约为μqul的40%和35%。所提出的方法提供了关于指定分位数下的强度特征值以及指定强度下的失效概率的定量信息。在本研究中，分析了水泥混合柱和块体在压缩载荷作用下的失效行为。水泥混合地基的失效行为取决于载荷和边界条件。因此，在估算水泥混合地基的失效概率或特征值时，应在每次应用中考虑载荷和边界条件。带有统计参数不确定性的RFEM分析可用于评估不同边界条件下各种类型水泥混合地基的性能。

作者贡献声明：
Namikawa Tsutomu：撰写原始草稿、方法论、研究、形式分析、数据管理、概念化。