由任意速度移动的力在横向各向同性半空间中引起的表面瞬态波

《Soil Dynamics and Earthquake Engineering》：Surface transient waves induced by an arbitrary-speed moving force on a transversely isotropic half-space

　　阿里·塔赫拉法塔尔（Ali Taherraftar）| 莫尔特扎·埃斯坎达里-加迪（Morteza Eskandari-Ghadi）

**摘要**
本研究分析了一种在横向各向同性、固体弹性半空间中，当受到任意垂直点力作用时表面瞬态波的传播现象。该点力突然作用于坐标系的原点，并沿x轴以恒定速度移动。通过使用伽利略变换和势函数，将运动方程组简化为仅关于势函数的偏微分方程，作为该介质在一般笛卡尔坐标系中的控制方程，其中z轴与半空间的对称轴垂直。傅里叶-拉普拉斯变换有助于求解初始-边界值问题。随后应用卡尼阿德-德胡普（Cagniard–De Hoop）方法来反演傅里叶-拉普拉斯变换。这种方法能够分析初始-边界值问题，并探讨所有超音速、跨音速和亚音速点力速度的影响。数值研究涵盖了四种不同的材料，以评估材料各向异性对波行为的影响，并与各向同性材料的响应进行比较。通过对相应的各向同性情况（即零载荷速度情况（兰姆问题）和移动载荷情况）进行验证，确认了理论模型的有效性及数值评估的准确性。结果以垂直和水平表面位移的时间历史图形式呈现。这些发现有助于理解各向异性材料中的瞬态波相互作用，具有地球物理学、交通运输和材料科学的应用价值。

**引言**
在弹性半空间中的瞬态波传播在地震学和工程学中至关重要。了解移动力对弹性介质的影响对于提高地震安全性、深化地球物理洞察以及构建韧性基础设施具有重要意义。本文分析了一种在横向各向同性弹性半空间中，由任意速度移动的垂直载荷引起的波的现象，强调了其在该领域的重要性。兰姆（Lamb）的开创性研究[1]探讨了二维和三维介质中的时谐及瞬态垂直和水平力[2]。佩凯里斯（Pekeris）[3]、[4]、赵（Chao）[5]和约翰逊（Johnson）[6]对泊松材料进行了扩展研究，他们采用了新的方法分析了瞬态表面和内部响应。冯（Feng）和张（Zhang）[7]、[8]后来利用互易定理推导出了精确的封闭形式解，并在某些泊松比约束条件下有效[2]。埃马米（Emami）和埃斯坎达里-加迪（Eskandari-Ghadi）[9]使用势函数和改进的卡尼阿德-佩凯里斯方法（Cagniard–Pekeris method）为三维兰姆问题开发了一个通用的解析解，无需任何限制。在兰姆问题的各向异性扩展研究中，佩顿（Payton）[10]研究了非轴对称环境中的埋藏力，而拉贾帕克塞（Rajapakse）和王（Wang）[11]、[12]为二维正交各向异性和三维横向各向同性弹性介质在时谐载荷下的情况提供了解析解。埃斯坎达里-加迪（Eskandari-Ghadi）和萨塔尔（Sattar）[13]使用势函数、拉普拉斯-汉克尔变换（Laplace–Hankel transforms）和卡尼阿德-德胡普方法（Cagniard–De Hoop method）为横向各向同性半空间中的轴对称瞬态波开发了解析解[14]。早期研究主要集中在非移动点载荷上，后来扩展到了移动载荷的兰姆问题。在二维问题中，斯内登（Sneddon）[15]使用积分变换技术研究了各向同性弹性半空间对均匀移动的表面压力脉冲的响应，科尔（Cole）和赫斯（Huth）[16]将其扩展到更广泛的载荷速度范围，佩顿（Payton）[17]进一步将其推广到任意速度的瞬态情况。加肯海默（Gakenheimer）和米克洛维茨（Miklowitz）[18]在三维各向同性介质中进行了基础研究，他们研究了突然施加的恒速垂直点载荷在弹性半空间中引起的瞬态位移。利用拉普拉斯和傅里叶变换以及卡尼阿德-德胡普方法[14]，他们推导出了所有速度范围内的解，并描述了亚音速、跨音速和超音速情况下的波前行为。本研究基于他们的方法，将分析扩展到横向各向同性介质，以解决额外的波复杂性问题。

**问题陈述与控制方程**
问题域由一个水平无牵引力的表面界定，内部填充了均匀的横向各向同性弹性材料。定义了一个笛卡尔坐标系，其原点位于表面上，z轴向下，如图1所示，同时展示了兼容的圆柱坐标和球坐标。材料的对称轴与z轴对齐，使得x-y平面具有各向同性，即膨胀波和等体积波的性质相同。

**傅里叶-拉普拉斯域中粒子位移的通解**
为了解方程（21），应用了单边拉普拉斯变换和双边傅里叶变换[55]、[56]：
$$
f?(p) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-pt}dt, \quad f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma^{-i}^{\gamma+i}\infty} f?(p)e^{pt}dp,
$$
$$
f?(\xi_x, \xi_y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-i(\xi_x x + \xi_y)y dx dy,
$$
$$
f(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} f?(\xi_x, \xi_y)e^{i(\xi_x x + \xi_y)}d\xi x d\xi_y.
$$
在（30）中，$p$表示拉普拉斯变换参数，取为实数且大于0[55]；而在（31）中，$\xi_x$和$\xi_y$分别对应于空间坐标$x$和$y$的傅里叶变换参数，如表1所示。

**时间域中的位移分量及其拉普拉斯变换的反演**
时间域中的位移分量是通过反演第3节中推导出的傅里叶-拉普拉斯表示来获得的（见方程（39））。反演过程使用卡尼阿德-德胡普方法（Cagniard–De Hoop method）进行，具体步骤如下：
1. 将变换变量（$q, w$）的双重积分转换为可识别的拉普拉斯变换，通过将$q$-积分轮廓沿虚轴变形到卡尼阿德路径上实现。
2. 变形轮廓所包围的任何极点...

**跨音速和亚音速下的膨胀波及等体积波贡献**
在跨音速和亚音速范围内（$cs < c < cd$和$c < cs$），总体解题过程与第4节中描述的超音速情况类似。然而，对于$c < cd$，第1-d情况的条件不再适用。在第2-d情况中，$u?zd$的反演步骤相同，但几何形状和极点配置不同，如图3所示，可以重新表述为：
$$
Swd^{\pm} = -i\gamma\sin\theta^{\pm}\cos\theta\gamma^{-2}, \quad Sws^{\pm} = -i\gamma\sin\theta^{\pm}\cos\theta\gamma^{-2-l^2}, \quad PwR^{\pm} = -i\gamma\sin\theta^{\pm}\cos\theta\gamma^{-2-\gamma R^2}.
$$

**瑞利极点及其对总位移的贡献**
如第4.2节所述，还有来自极点$PqR$和$PwR$的额外贡献需要考虑。在$q$-平面中，这些贡献与图2中的弧CD和KL相关；在$w$-平面中，它们对应于图4中的弧DE。这些贡献被视为瑞利极点处的残差值。计算此类残差的程序已在$N?zd$的反演中解释过。

**位移的最终表达式**
在极限条件$z \to 0$下，时间域中所有位移分量的最终表达式可以通过方程（69）、（75）以及第6节讨论的瑞利极点贡献推导得出，具体如下：
$$
ui(x,t) = \sum_{j=1}^8 ui_j(x,t),
$$
其中：
$$
ui_1(x,t) = H(t - t_d)P \int_{0}^T \Re[F_i(d(q,d,w,\theta)) dq dd_t dw,
$$
$$
ui_2(x,t) = H(t - t_s)P \int_{0}^T \Re[F_i(s,q,s,\theta)) dq sd_t dw,
$$
$$
ui_3(x,t) = H(t - t_l)H(t - t_d c)H(x) \Re[F_i(r(w,d,\theta)) dw dd_t,
$$
$$
ui_4(x,t) = H(t - t_s c)H(t - t_l)H(x) \Re[F_i(r(w,s,\theta)) dw dt,
$$
$$
ui_5(x,t) = H(t - t_s c)H(t - t_l)H(x) \Re[F_i(r(w,s,\theta)) dw dt.
$$

**静止点载荷情况**
当$c=0$时，由于$Lci$中存在速度$c$（见方程（36），（B.2）），必须进行代数简化，从而得到方程（80）。当$c=0$时，答案的其他部分不需要任何更改，只需单独应用$c=0$即可。

**验证与数值结果**
如方程（77）所示，由任意移动的垂直点载荷在半空间内引起的位移通过积分和代数项的组合来表示。这些积分使用Mathematica中的GlobalAdaptive函数进行数值评估，而柯西主值积分则通过PrincipalValue函数处理。为了研究材料各向异性效应，考虑了五种具有不同弹性常数的材料。

**结论**
本文对由任意速度移动的垂直载荷突然施加在横向各向同性弹性半空间表面引起的瞬态波传播进行了全面的分析。通过使用势函数和卡尼阿德-德胡普方法有效解决了运动方程组，揭示了各向异性和载荷速度对波传播的影响。进行了详细的时间历史分析...

**作者贡献声明**
阿里·塔赫拉法塔尔（Ali Taherraftar）：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件开发、研究。
莫尔特扎·埃斯坎达里-加迪（Morteza Eskandari-Ghadi）：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督、方法论、研究、概念化。

**伦理合规性**
本研究不涉及人类参与者、动物实验对象或需要超出标准学术研究实践的伦理批准的实验数据。

**资金声明**
作者声明了以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：
莫尔特扎·埃斯坎达里-加迪（Morteza Eskandari-Ghadi）报告与德黑兰大学工程学院存在雇佣关系。如果还有其他作者，他们声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

**致谢**
感谢伊朗德黑兰大学在项目27840/1/09期间对莫尔特扎·埃斯坎达里-加迪（Morteza Eskandari-Ghadi）的部分支持。