用于分析Howarth波浪圆柱面上非稳态微极四混合纳米流体流动的热分层非均匀Buongiorno模型（考虑了运动微生物的影响）

《South African Journal of Chemical Engineering》：Thermally Stratified Non-Homogeneous Buongiorno Model for Unsteady Micropolar Tetra-Hybrid Nanofluid Flow Analysis Over Howarth’s Wavy Cylinder with Motile Microbes

　　萨迪亚·沙基尔（Sadia Shakir）| 赛玛·扎伊纳布（Saima Zainab）| 诺琳·谢尔·阿克巴尔（Noreen Sher Akbar）| 莎哈·阿尔穆泰里（Shahah Almutairi）| S. 萨利姆（S. Saleem）| 巴塞尔·赛夫·埃尔·丁（Bassel Seif El Dine）
巴基斯坦木尔坦市女子大学数学系，木尔坦60000

**摘要**
本研究探讨了在运动微生物和横向磁场存在的情况下，微极性四混合纳米流体在Howarth波状圆柱面上的非稳态三维停滞点流动现象。该四混合纳米流体由分散在血液中的Au?Ag?Cu?TiO2纳米颗粒组成，采用非均匀Buongiorno公式进行建模，以考虑布朗运动和热泳效应。BVP4c技术被巧妙地应用于求解流动方程。研究结果表明，增加磁参数可以增强轴向和横向速度，但由于磁阻效应会抑制微旋转。改善的微极性耦合效应导致线性速度降低，旋转行为发生显著变化。此外，涡旋粘度的提高增强了微粒的角运动。在没有微旋转参数“m”的情况下，靠近壁面的微粒不会旋转；但随着“m”的增加，这些微粒开始旋转。热分析显示，辐射和粘性耗散效应会提高温度；普朗特数（Prandtl number）的增加会减小热边界层的厚度。热泳和布朗运动效应会增加传热速率，而渗透性和非稳态效应对动量和微旋转有显著影响。随着生物对流刘易斯数（bio-convection Lewis number）的增加，质量传递速率会降低；相反，当活化能增加时，质量传递速率会增加。佩克莱特数（Peclet number）会降低微生物的密度。本研究揭示的传热速率比以往模型提高了约7.46%。

**1. 引言**
与Carreau或Maxwell流体等经典非牛顿模型不同，微极性流体模型通过引入微旋转和角动量方程来考虑微观结构效应。它引入了额外的材料参数（涡旋粘度和自旋梯度粘度），描述了微粒独立于整体运动的旋转情况。这使得微极性模型更适合用于血液、聚合物悬浮液和纳米结构流体等生物流体，因为在这些流体中，粒子旋转对传输行为有显著影响。Mahmood等人[1]研究了热生成或吸收以及质量吸力对水基三混合纳米流体在非线性伸缩板材上的MHD停滞点流动的影响，计算中考虑了Smoluchowski热上升和Maxwell速度滑移边界条件。该研究旨在了解流动行为，特别是热边界层和浓度边界层如何受到这些热和质量传递过程的影响。Yun等人[2]探讨了改变纳米材料体积比例对移动楔形体上非稳态磁流体动力（magnetohydrodynamic）流动中热对流的影响。他们研究了一种由氧化铝、氧化铜和铜颗粒悬浮在水中的三元纳米流体，重点关注粘性耗散和欧姆加热的影响。Amir等人[3]提出了一个分数磁流体动力学模型，用于研究Brinkman型三混合纳米流体中的热传输。Ali等人[4]分析了渗透性伸缩板材上三混合纳米流体的质量和能量传输，通过使用具有不同热和流变特性的纳米颗粒（包括银、钴铁氧体和氧化镁）来提高纳米流体的效率和稳定性。Naveed等人[5]研究了磁场对含有趋旋微生物的混合纳米流体在弯曲振荡表面上流动时热和质量传递的影响。Nandi等人[6]研究了Carreau三元混合纳米流体在加热表面上的层流停滞点流动，考虑了一阶滑移、欧姆耗散和洛伦兹力。Khan等人[7]提出了在两个无限长平行板之间的四混合纳米流体中自由移动尘埃颗粒的概念。Majeed等人[8]研究了热生成和活化能在磁化四混合纳米流体在血管流动中的影响，同时考虑了粘性耗散和热辐射。大量研究强调了三混合纳米流体流动在各种应用中的显著成果[[9], [10], [11], [12], [13]]。

多孔介质在增强热和质量传递方面起着重要作用，因为实际应用中流体在多孔介质中的流动受到控制。Meena等人[14]研究了四混合纳米流体在垂直延伸圆柱面上的停滞点流动，考虑了热分层、辐射和多孔组织结构。他们的研究还通过引入血液中的运动微生物来探讨了生物对流现象。Sohail等人[15]研究了扩展圆柱体中的热传递，强调了纳米颗粒、对流边界条件、热辐射和外部热源的作用。Daniel等人[16]关注了导电纳米流体在可渗透线性伸缩板材上的瞬态混合对流流动及其相关热传递。Kezzar等人[17]评估了在两个旋转伸缩盘之间的四混合纳米流体的非稳态磁流体动力（MHD）流动，使用血液作为基础流体，并考虑了二氧化锆、二硫化钼、多壁碳纳米管和二氧化铀纳米颗粒。Khan等人[18]研究了Soret-Dufour效应对非达西渗透扩展圆柱体内四混合纳米流体MHD非稳态流动的影响，包括化学反应、活化能和热生成，以优化化学反应器、太阳能集热器、冷却系统和医疗设备中的热和质量传递。Dolat等人[19]评估了流体的热传递特性，重点研究了Tiwari和Das四混合纳米流体模型对流动的影响，这些模型在理解各种物理现象方面具有潜在应用价值。此外，还有许多研究者[[20], [21], [22], [23]]对含有微生物的多孔介质中的四混合纳米流体进行了重要研究。

Zainal等人[24]进行了数值研究，以评估混合纳米流体在伸缩/收缩水平圆柱面上的非稳态停滞点流动行为。Dharmaiah等人[25]分析了通过半径呈正弦变化的圆柱体的纳米流体三维流动。Panda等人[26]使用统计方法优化了圆柱面上三维微极性纳米流体流动的热传递，分析了磁性和粘性耗散以及热辐射的影响。Shankar等人[27]研究了欧姆加热和化学反应对化学反应存在下MHD微极性流体在伸缩表面流动的影响。Abbas等人[28]研究了在具有正弦半径变化的圆柱面上MHD微极性纳米材料流体的停滞点流动，考虑了多孔介质中的速度跳跃滑移效应。Hosseinzadeh等人[29]研究了在磁场存在下，微极性纳米流体在正弦轮廓圆柱面上的流动。基础流体是含有Fe?O?和MoS?纳米颗粒的乙二醇-水混合物。Thumma等人[30]研究了半径呈正弦变化的圆柱面上纳米流体的稳态三维流动，将焦耳加热和粘性耗散纳入能量方程以分析纳米流体的热传递特性。Zehba等人[31]研究了含有运动微生物的混合纳米流体在半径呈正弦变化的圆柱面上的三维流动。这些纳米流体由银和氧化镁纳米颗粒组成，研究目的是优化能量和质量传递速率。Kamel等人[32]研究了新的三元纳米流体在正弦圆柱面上的热传递。作者分析了在对流热条件下的鞍点和节点停滞点的性能。

停滞点在流体动力学中具有重要地位，因为它决定了最大压力和最小速度，这对热传递和边界层至关重要。Kathyayani等人[33]强调了含有纳米颗粒的纳米流体在各种工业应用中的重要性，尤其是在热交换器和地热面板中。Elsaid等人[34]在三维正弦管道流动问题中使用了混合纳米流体。基础流体是水，其中含有铜纳米颗粒和少量氧化铝或铝纳米颗粒，以改善混合纳米流体的性能。Ahmad等人[35]使用Levenberg-Marquardt反向传播算法进行数值计算，分析了含有氧化镁（MgO）和金（Au）纳米颗粒的混合纳米流体悬浮液中的对流热传递问题。该研究通过数学建模分析了滑移和粘性耗散对混合纳米流体在停滞点节点和鞍点处流动的影响。Noureddine等人[36]在三维不可压缩流动的Carreau型纳米流体中使用了纳米颗粒，研究了扩展圆柱体中的流动。研究中的纳米颗粒包括Fe?O?、TiO?、Cu和Al?O?，尤其是在乙二醇的流变学中。Daniel等人[37]在利用电场、热辐射、粘性耗散和化学反应的渗透性收缩板材上研究了纳米流体的磁流体动力自然对流流动。

非稳态流动具有重要意义，因为它涵盖了时间依赖的流体流动行为，这对于分析和工程及自然流体流动问题中的瞬态流动行为至关重要。Abdullah等人[38]研究了微极性混合纳米流体在Darcy-Forchheimer介质中经过径向旋转圆盘时的非稳态三维流动，考虑了粘性耗散和磁场效应。Aarathi等人[39]研究了倾斜伸缩板材上微极性混合纳米流体的非稳态停滞点流动的热传递分析，考虑了热辐射和粘性耗散效应。Shafiq等人[40]研究了倾斜伸缩板材上微极性混合纳米流体的非稳态流动的热传递分析，考虑了热辐射和粘性耗散效应。Ali等人[41]研究了三元混合纳米流体的传输特性，探讨了其提高热性能的能力，这是该流体的独特特性，对其在热交换器中的应用引起了广泛关注。Alwawi等人[42]研究了微极性三混合流体在圆柱体流动中的对流特性，并将其与混合和单一纳米流体进行了性能比较。更多关于微极性流体流动问题的研究可以在文献[[43], [44], [45], [46], [47]]中找到。

Buongiorno模型在准确分析纳米流体中纳米颗粒传输机制方面具有重要意义。Awati等人[48]研究了对流边界条件对流体通过线性延伸直表面流动的边界层流动的影响。Daniel等人[49]基于Buongiorno模型，研究了渗透性伸缩板材上纳米流体的非稳态混合对流MHD流动和热传递。他们的研究考虑了横向电场和磁场、热辐射、热生成或吸收、粘性和欧姆耗散以及影响质量扩散的化学反应。Bilal等人[50]研究了混合纳米流体向伸缩圆盘的非稳态混合对流停滞点流动，考虑了对流边界条件、零质量通量和粘性耗散结果。Sabu等人[51]使用了两相改进的Buongiorno模型对纳米流体流动进行了建模，其中包括体积分数依赖的有效纳米流体特性以及布朗运动和热泳效应。Wakif等人[53]的目标是创建一个现实模型，以准确描述反应-辐射Maxwell纳米流体在横向磁场影响下沿层流前沿层稳定状态流动时的特性。Imran等人[54]研究了在弹性曲面上，磁化Carreau纳米流体的流动如何受到热泳和布朗扩散的影响。对于Buongiorno模型的进一步了解，感兴趣的读者可以参考文献[[55], [56], [57], [58], [59]]中列出的最新研究。尽管已经对圆柱形和波浪形几何形状下的混合和三混合纳米流体进行了广泛的研究，但还没有研究同时考虑在非均匀Buongiorno模型下，带有微生物运动的Howarth波浪形圆柱体上的微极性四混合纳米流体的非稳态三维停滞点流动。以往的研究主要集中在混合或三混合纳米流体、稳态流动，或者没有整合微旋转动力学和微生物传输机制的牛顿/非微极性框架上。此外，四混合系统中微旋转、磁场、多孔介质阻力以及生物对流的综合影响尚未被探索。因此，本研究通过开发一个综合模型来填补这一研究空白，该模型整合了微极性流变学、四混合纳米粒子（Au?Ag?Cu?TiO2）相互作用、运动微生物传输以及在非稳态MHD条件下的正弦几何效应。这项工作可以更好地理解先进的热管理系统和传输现象，特别是在生物医学环境中。本研究中考虑的波浪形曲面（Howarth型）在物理上具有重要意义，许多工程和生物医学应用都涉及非平面的曲面。波浪形起伏的表面具有更大的表面积，这改善了混合效果，并显著改变了边界层，从而直接影响质量和热的传输特性。这些几何形状常见于生物医学设备中，例如弯曲管道和人工血管、紧凑型热交换器、冷却通道和微流体技术。特别是，曲率和波浪性增强了微极性纳米流体中的剪切效应和旋转相互作用，使得这种几何形状适合研究真实的生物对流传输现象。因此，分析四混合纳米流体在波浪形曲面上的流动为改进热调节、纳米粒子传输效率和微生物辅助混合在先进的生物医学和工业应用中提供了实际见解。

1.1. 研究问题
- 四混合血液基纳米流体的加入如何影响多孔圆柱体周围流动的MHD行为？
- 微极性效应的加入如何影响正弦波形圆柱表面上Tetra-HNF流动的速度和微旋转剖面？
- 微旋转边界条件如何改变非稳态流动状态下的轴向和横向速度场？
- 波浪形表面几何形状和中心停滞点对流动结构、质量传输率以及多种纳米粒子类型存在时的微生物分布有何影响？
- 非稳态性如何影响热边界层的测量、线性和角速度稳定性？
- 布朗运动和热泳扩散在微极性效应和非稳态流动接近停滞点时如何单独和共同影响热边界层和浓度边界层？
- 化学反应速率和活化能如何影响非稳态微极性流体流动中的溶质浓度剖面？
- 浓度和微生物密度之间的耦合在多大程度上影响整体质量传输率和系统稳定性？

2. 数学问题
在本文中，我们进行了彻底的统计分析，研究了在Howarth波浪形圆柱体上涉及四混合纳米流体的非稳态三维停滞点流动中热传输率和质量传输率的改善情况。表1展示了基础流体和纳米粒子属性之间的数学关联，而表2列出了它们的热物理特性的数值。

表1. 纳米流体的热物理属性 [7]
- 动态粘度 $ \eta = \left(1-\phi_Au\right)\left(1-\phi_Ag\right)\left(1-\phi_Cu\right)\left(1-\phi_TiO_2\right)^2 $
- 密度 $ \rho_f = \left(1-\phi_TiO_2\right)\left[\left(1-\phi_Cu\right)\left(\phi_Au\right)\left(\rho_f\right)+\phi_Ag\left(\rho_f\right)\phi_Cu\left(\rho_f\right)+\phi_TiO_2\left(\rho_f\right)\rho_f\right]=\rho_{tehnf $
- 比热容 $ C_p = \left(1-\phi_TiO_2\right)\left[\left(1-\phi_Cu\right)\left(\phi_Ag\right)\left(\phi_Au\right)\left(\rho_c_p\right)\phi_Au\left(\rho_c_p\right)\phi_Ag\left(\rho_c_p\right)\phi_Cu\left(\rho_c_p\right)\phi_TiO_2\left(\rho_c_p\right)\rho_c_p\right]=\rho_{c_p}_{tehnf $
- 热导率 $ k_{bf} = k_f\left[k_Au+2k_f-2\phi_Au\left(k_f-k_Au\right)\right],\ k_{hnf} = k_{bf}\left[k_Ag+2k_f-2\phi_Ag\left(k_f-k_Ag\right)\right],\ k_{trhnf} = k_{hnf}\left[k_Cu+2k_{hnf-2\phi_Cu\right)\right],\ k_{tehnf} = k_{trhnf}\left[k_TiO_2+2k_{trhnf-2\phi_TiO_2\right)\right] $
- 电导率 $ \sigma_{bf} = \sigma_f\left[\sigma_Au+2\sigma_f-2\phi_Au\left(\sigma_f-\sigma_Au\right)\right],\ \sigma_{hnf} = \sigma_{bf}\left[\sigma_Ag+2\sigma_f-2\phi_Ag\left(\sigma_f-\sigma_Ag\right)\right],\ \sigma_{trhnf} = \sigma_{hnf}\left[\sigma_Cu+2\sigma_{hnf-2\phi_Cu\right)\right] $
- 表2. 金、银、铜、二氧化钛和血液的实验测量值 [8]

在当前分析中，考虑了一种四混合纳米流体，它将四种不同类型的纳米粒子——金（Au）、银（Ag）、铜（Cu）和二氧化钛（TiO2）分散在血液中作为基础流体。选择每种纳米粒子是因为它们具有独特的热物理和生物医学优势：
- Au纳米粒子具有优异的生物相容性、高热导率和化学稳定性，广泛应用于生物领域，其加入改善了热传输特性，并且与基于血液的系统的兼容性也得到了保持。
- Ag纳米粒子的抗菌特性显著，其电导率也较高，加入这些纳米粒子可以减轻微生物污染的影响，同时改善纳米流体的电学和热学特性。
- Cu纳米粒子的热导率比其他金属高得多，加入这些纳米粒子主要提高了四混合纳米流体的热导率，Nusselt数也得到了改善。
- 二氧化钛（TiO2）纳米粒子具有高热稳定性，还能提高悬浮液的稳定性，抑制纳米粒子的快速沉降，改善了辐射热吸收特性，这在辐射主导的热传递中非常重要。

图2显示了从单一纳米粒子到四混合配置的纳米流体的热物理属性，随着纳米粒子体积分数的变化。图2a显示左侧子图描述了四种纳米流体的动态粘度随体积分数的变化，表明随着纳米粒子类型的增加，粘度也随之增加。右侧子图显示了每种纳米流体类型的动态粘度随体积分数变化的条形图。图2b显示了每种纳米流体的密度变化随体积分数的变化，显示出每种纳米流体的连续变化。图2c和2d显示了四种纳米流体的热导率和电导率随体积分数的变化。随着每种纳米粒子体积分数的增加，基于基础流体和纳米粒子的组合，导率趋势显示出增加。图2c和2d还显示了每种纳米流体的热导率和电导率随体积分数变化的分组比较研究。

当前流动模型的指导原则和约束条件如下：
- 图1显示圆柱体的正弦波形半径向其中心点P收敛。
- 主（主要）方向沿x轴向上，纵向位置与y轴对齐，而z轴垂直于表面。
- 流动设计基于以下速度分量：$ u_e = ax(1-\lambda_t),\ v_e = by(1-\lambda_t),\ w_e = -(a+b)z(1-\lambda_t)$。这个线性关系包含速率常数a和b，满足条件$ |a| \geq |b|$，且$a>0$，以及常数$\lambda_t$（$\lambda_t<1, \lambda\geq0$）。具体来说，$ b=a$表示轴对称流动，而$b=0$表示平面停滞流动。点P、Q和R对应于流动中的停滞点。
- 外部流动中的流线表示为：$ (1) x_e = \omega_y\frac{1}{d}$，其中流动模式由参数$d=b/a$决定，$ d=0$表示平面流动，$ d\in(0,1]$表示节点停滞点，$ d\in(-1,0]$表示鞍点停滞点。
- 在[24,25]中，可以数学定义薄膜表面的温度、浓度和微生物密度：$ (2)\ {T_w(t)=T_{\infty}+(ΔT(1-\lambda_t)^2,\ C_w(t)=C_{\infty}+(ΔC(1-\lambda_t)^2,\ \chi_w(t)=\chi_{\infty}+(Δ\chi(1-\lambda_t)^2\}$，这些方程的有效性仅在$(1-\lambda_t)>0$时成立。
- 向纳米流体中引入少量微生物以抑制沉降并诱导生物对流效应。
- 沿z轴加入一个强度为$ B_0 $的磁场。

控制流动概念的数学方程[[25], [26], [27], [28], [29], [30]]包括：
- 连续性方程 $ \partial v_1/\partial x + \partial v_2/\partial y + \partial v_3/\partial z = 0 $，该方程确保了流体系统中的质量守恒。
- 动量方程 $ \partial v_1/\partial t + (v.\nabla v_1) = \partial u_e/\partial t + u_e\partial u_e/\partial x + (\mu_{tetra-hnf}+k\rho_{tetra-hnf)\partial^2 v_1/\partial z^2 + k\rho_{tetra-hnf}\partial^2 N_2/\partial z - \sigma_{tetra-hnf}B_0^2\rho_{tetra-hnf}(v_1-u_e) - \theta_{tetra-hnf}k_p*(v_1-u_e)$，其中$v=(v_1,v_2,v_3)$，左侧表示流动中的对流加速度项。右侧包括：
- 非稳态外部速度效应（$\partial u_e/\partial t, \partial u_e/\partial x$）
- 扩散项（$\mu_{tetra-hnf}+k\rho_{tetra-hnf}\partial^2 v_1/\partial z^2$）
- 微旋转耦合项（$ k\rho_{hnf}\partial^2 N_2/\partial z$）
- 磁洛伦兹力（$\sigma_{tetra-hnf}B_0^2\rho_{tetra-hnf}(v_1-u_e)$）
- 多孔介质阻力项（$\theta_{tetra-hnf}k_p*(v_1-u_e)$，考虑了多孔结构的阻力。
- 能量方程 $ \partial T/\partial t + (v.\nabla T) = [\sigma_{tetra-hnf}+1(\rho_c_p)\tetra-hnf]\frac{1}{6}\sigma*T_{\infty}^3\partial^2 T/\partial z^2 + \tau[DB\partial C/\partial z\partial T+\Delta T_{\infty}(\partial T/\partial z)^2]+(\mu_{hnf}+k(\rho_c_p)\tetra-hnf)[(\partial v_1/\partial z)^2+(\partial v_2/\partial z)^2]+\sigma_{tetra-hnf}B_0^2(\rho_c_p)\tetra-hnf(v_1^2+v_2^2)$。

现在，我们逐项解释这个方程及其物理意义：
- 非稳态项（$\partial T/\partial t$）表示温度随时间的变化速率。
- 对流（平流）项（$ v.\nabla T$）表示由于流体运动导致的热传输。
- 热传导项（$\sigma_{tetra-hnf}+1(\rho_c_p)\tetra-hfn]\frac{1}{6}\sigma*T_{\infty}^3\partial^2 T/\partial z^2$，表示由于纳米流体属性导致的热传导。
- 热泳和布朗运动项（$\tau(DB\partial C/\partial z\partial T+\Delta T_{\infty}(\partial T/\partial z)^2$），其中布朗运动贡献表示由于温度梯度引起的纳米粒子的随机运动，热泳效应描述了由温度梯度驱动的纳米粒子运动。
- 粘性耗散项（$\mu_{tetra-hnf}+k(\rho_c_p)\left(\partial v_1/\partial z\right)^2+(\partial v_2/\partial z\right)^2$），表示由于粘性耗散产生的热量。
- 焦耳加热项（$\sigma_{tetra-hnf}B_0^2(\rho_c_p)\tetra-hfn(v_1^2+v_2^2)$，表示由于施加的磁场和纳米流体接触产生的热量。

微旋转方程：
- $ \partial N_1/\partial t + (v.\nabla N_1) = (\mu_{tetra-hnf}+k_2\rho_{tetra-hnf)\partial^2 N_1/\partial z^2 - kj\rho_{tetra-hnf}\partial v_2/\partial z - 2kj\rho_{tetra-hfn}N_1$
- $ \partial N_2/\partial t + (v.\nabla N_2) = (\mu_{tetra-hnf}+k_2\rho_{tetra-hnf)\partial^2 N_2/\partial z^2 + kj\rho_{tetra-hnf}\partial v_1/\partial z - 2kj\rho_{tetra-hfn}N_2$

这些方程描述了流体中纳米粒子的微旋转（或角速度）。方程（5）和（6）的逐项解释如下：
- 时间导数项（$\partial N_1/\partial t$和$\partial N_2/\partial t$）表示纳米粒子微旋转随时间的变化率。
- 对流（平流）项（$ v.\nabla N_1$和$ v.\nabla N_2$）表示由于流体速度场导致的微旋转分量的对流传输。
- 粘性扩散项（$\mu_{tetra-hnf}+k_2\rho_{tetra-hnf}\partial^2 N_1/\partial z^2$和$\mu_{tetra-hfn}+k_2\rho_{tetra-hfn}\partial^2 N_2/\partial z^2$）表示微旋转分量$ N_1 $和$ N_2 $的粘性扩散。
- 速度梯度项（$ kj\rho_{tetra-hnf}\partial v_1/\partial z$和$ -kj\rho_{tetra-hfn}\partial v_2/\partial z$）表示流体速度与微旋转之间的相互作用，描述了剪切梯度（由于流体速度变化）如何影响纳米粒子的旋转方向（特别是在z方向上）。
- 非线性旋转效应（$ 2kj\rho_{tetra-hfn}N_1$和$ 2kj\rho_{tetra-hfn}N_2$）表示微旋转分量之间的相互作用，其中纳米粒子的旋转速度倾向于抵抗变化。

运动微生物是能够独立在流体中游动的微观生物（如某些藻类或细菌），由于鞭毛的作用，它们的集体运动常常产生生物对流模式。在流体流动建模中，包含它们有助于描述纳米粒子传输与微生物运动之间的相互作用，从而增强混合效果并稳定纳米粒子的悬浮，减少沉降。这种效应改善了质量传输，并提供了更真实的生物和生物启发式流体的表示。这些现象在生物医学工程、生物反应器、微生物燃料电池、药物输送系统和废水处理过程中有重要应用。

质量浓度方程：
$ \partial C/\partial t + v.\nabla C = DB\partial^2 C/\partial z^2 + \Delta T_{\infty}\partial^2 T/\partial z^2 - Kr^2(C-C_{\infty})(T_T^{\infty})n\exp(-E_{ak}T)$

这个方程描述了流体流动中物种的浓度。方程（5）的逐项解释如下：
- 时间导数项（$\partial C/\partial t$）表示质量浓度C随时间的变化率。
- 对流项（$ v.\nabla C$）表示由于流体流动导致的浓度传输。
- 质量扩散项（$ DB\partial^2 C/\partial z^2$）表示由于浓度梯度导致的物种分子扩散。$ DB $是布朗扩散系数，决定了物种在流体中的扩散速度。
- 热泳项（$\Delta T_{\infty}\partial^2 T/\partial z^2$）表示热泳扩散，其中物种根据温度梯度移动。
- 化学反应项（$ Kr^2(C-C_{\infty})(T_T^{\infty})n\exp(-E_{ak}T)$）表示影响物种浓度的化学反应速率。

微生物浓度方程：
$ \partial \chi/\partial t + v.\nabla \chi + bW_c(C_w-C_{\infty})[\partial\partial z(\chi\partial C/\partial z)] = DM\partial^2 \chi/\partial z^2$

这个方程描述了流体中微生物浓度$\chi$的空间和时间变化，受到对流、扩散和趋化性的影响。方程（8）的逐项解释如下：
- 时间导数项（$\partial \chi/\partial t$）表示微生物浓度$\chi$随时间的变化率。
- 对流项（$ v.\nabla \chi$）表示由于流体运动导致的微生物传输。
- 趋化项（$ bW_c(C_w-C_{\infty})[\partial\partial z(\chi\partial C/\partial z)]$）表示微生物由于化学浓度梯度而移动。
- 扩散项（$ DM\partial^2 \chi/\**m在轴向和横向方向上的物理解释**
- **m=0**：表示“强烈集中”的状态，完全抑制了旋转运动。
- **m=0.5**：表示“微弱集中”的状态，旋转效应被减弱。
- **m=1**：表示由于湍流作用而产生的最大旋转效应状态。

考虑以下相似性变换（参考[25]）：
$$
(10) \quad \zeta = z(avf(1 - \lambda t)), \quad v_1 = ax(1 - \lambda t)f'(\zeta), \quad v_2 = by(1 - \lambda t)g'(\zeta), \quad v_3 = -(avf(1 - \lambda t)(f + dg), \quad T = T_\infty + (\Delta T)(1 - \lambda t)^2\theta,
N_1 = by(avf(1 - \lambda t))h(\zeta), \quad N_2 = ax(avf(1 - \lambda t))\psi(\zeta), \quad C = C_\infty + (\Delta C)(1 - \lambda t)^2\phi, \quad \chi = \chi_\infty + (\Delta \chi)(1 - \lambda t)^2\gamma.
$$
使用这些变换可以完全得到方程（1），其余方程（2）-（9）以及边界条件也被转换为以下形式：

**轴向动量方程（11）**
$$
(A_1 + KA_2)f'''' + (f + dg)f'' - A(f' + \zeta^2f'' - 1) - (f')^2 + KA_2\psi' - A_3A_2M(f' - 1) - A_1A_2K_p(f' - 1) + 1 = 0
$$

**横向动量方程（12）**
$$
(A_1 + KA_2)g'''' + (f + dg)g'' - A(g' + \zeta^2g'' - 1) - d(g')^2 - KA_2h' - A_3A_2M(g' - 1) - A_1A_2K_p(g' - 1) + d = 0
$$

**能量方程（13）**
$$
(A_4A_5 + 1A_5^4R_3)^{\frac{1}{2}}\Pr\theta'' + (f + dg)\theta' - A(2\theta + \zeta^2\theta') + Nb\phi' \theta' + N_t(\theta')^2 + (A_1 + KA_5)(Ecx(f'')^2 + Ecy(g'')^2) + A_3A_2M(Ecx(f')^2 + Ecy(g')^2) = 0
$$

**轴向角动量方程（轴向方向）（14）**
$$
(A_1 + K_2A_2)h'' + (f + dg)h' - A(12h + \zeta^2h') - dhg' - KA_2g'' - 2KA_2h = 0
$$

**轴向角动量方程（横向方向）（15）**
$$
(A_1 + K_2A_2)\psi'' + (f + dg)\psi' - A(12\psi + \zeta^2\psi') - f' \psi + KA_2f'' - 2KA_2\psi = 0
$$

**质量浓度方程（16）**
$$
\phi'' + L_w(f + dg)\psi' - AL_w(2\phi + \zeta^2\psi') + N_tNb\theta'' - \delta*(1 + \psi_1\theta)n\exp(-E_1 + \psi_1\theta)\phi = 0
$$

**微生物浓度方程（17）**
$$
\gamma'' + S_b(f + dg)\gamma' - AS_b(2\gamma + \zeta^2\gamma') - Pe[\phi' \gamma' + (\gamma + \psi_2)\phi'] = 0
$$

**以及**
$$
(18) \quad \{f(\zeta) = 0, \quad f'(\zeta) = 0, \quad g(\zeta) = 0, \quad g'(\zeta) = 0, \quad \theta(\zeta) = 1, \quad h(\zeta) = mg''(\zeta), \quad \psi(\zeta) = -mf''(\zeta), \quad \phi(\zeta) = 1, \quad \gamma(\zeta) = 1\}
$$
当 $\zeta \to \infty$ 时。

引入的参数的无量纲形式定义如下：
- $A_1 = \frac{\mu h_n f}{\mu f}$
- $A_2 = \frac{\rho h_n f}{\rho f}$
- $A_3 = \frac{\sigma h_n f}{\rho f}$
- $A_4 = \frac{k h_n f}{k f}$
- $A_5 = (\rho C_p)h_n f(\rho C_p)f$
- $A = \lambda a$
- $M = \sigma fB_0^2\rho fa$
- $K = k\mu f$
- $K_p = v_f akp^*$
- $Pr = v_f(\rho C_p)f_kf$
- $R = 4\sigma*T_\infty^3kfk^*$
- $N_t = \tau(T_w - T_\infty)DT_vf/T_\infty$
- $Nb = \tau(C_w - C_\infty)DB_vf$
- $Ecx = u_e^2(C_p)f(T_w - T_\infty)$
- $Ecy = u_e^2(C_p)f(T_w - T_\infty)$
- $L_w = v_fDB$
- $\psi_1 = T_w - T_\infty/T_\infty$
- $E = E_aK_1T_\infty$
- $\sigma^* = kr^2a$
- $S_b = v_fD_m$
- $\psi_2 = \chi_w - \chi_\infty/\chi_\infty$
- $Pe = bW_cD_m$

**2.1 工程量**
工程量的数学表达式如下（参考[26]）：
$$
(19) \quad C_fx = \tau_x\rho f u_e^2, \quad C_fy = \tau_y\rho f u_e^2, \quad Nu = xq_wk f(T_w - T_\infty)
$$
剪切率系数 $\tau_x$ 和 $\tau_y$ 以及热流密度 $q_w$ 的表达式为：
$$
(20) \quad \tau_x = \left(\mu_t^{4\eta - h_n f + k\right)\frac{\partial v_1}{\partial z} + kN_2, \quad \tau_y = \left(\mu_t^{4\eta - h_n f + k\right)\frac{\partial v_2}{\partial z} + kN_1, \quad q_w = -\left(k_t^{4\eta - h_n f + 16\sigma*T_\infty^3\right)\frac{\partial T}{\partial z}
$$
结合方程（19）和相似性变换，我们得到：
$$
(21) \quad Re_{12}C_fx = (A_1 + K)f''(0) + K\psi(0), \quad (xy)Re_{12}C_fy = d(A_1 + K)g''(0) + Kh(0), \quad Re^{-12}Nu = -\left(A_4 + 4R_3\right)\theta'(0)
$$

**3. 数值方法**
在给定边界条件下，使用MATLAB的bvp4c求解器数值求解变换后的非线性常微分方程（ODE）。bvp4c基于四阶配置法并具有自适应网格细化功能。首先将高阶方程转换为了一阶方程系统，然后将其代入方程（11–18），得到以下系统：
$$
(22) \quad f = \Theta_1, \quad f' = \Theta_2, \quad f'' = \Theta_3, \quad f''' = \Theta_3' \quad \Theta_3' = 1(A_1 + KA_2)[-(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_3 + A(\Theta_2 + \zeta^2\Theta_3 - 1) + (\Theta_2)^2 - KA_2\psi' + A_3A_2M(\Theta_2 - 1) + A_1A_2K_p(\Theta_2 - 1) - 1],
(23) \quad g = \Theta_4, \quad g' = \Theta_5, \quad g'' = \Theta_6, \quad g''' = \Theta_6' \quad \Theta_6' = 1(A_1 + KA_2)[-(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_6 + A(\Theta_5 + \zeta^2\Theta_6 - 1) + d(\Theta_5)^2 + KA_2h' + A_3A_2M(\Theta_5 - 1) + A_1A_2K_p(\Theta_5 - 1) - d],
(24) \quad \theta = \Theta_7, \quad \theta' = \Theta_8, \quad \theta'' = \Theta_8' \quad \Theta_8' = 1(A_4A_5 + 1A_5^4R_3)^{\frac{1}{2}\Pr)[-(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_8 + A(2\Theta_7 + \zeta^2\Theta_8) - Nb\Theta_8\phi' - N_t(\Theta_8)^2 - (A_1 + KA_5)(Ecx(\Theta_3)^2 + Ecy(\Theta_6)^2 - A_3A_2M(Ecx(\Theta_2)^2 + Ecy(\Theta_5)^2)],
(25) \quad h = \Theta_9, \quad h' = \Theta_{10}, \quad h'' = \Theta_{10}' \quad \Theta_{10}' = 1(A_1 + K_2A_2)[-(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_{10} + A(12\Theta_9 + \zeta^2\Theta_{10}) + d\Theta_5\Theta_9 + KA_2\Theta_6 + 2KA_2\Theta_9],
(26) \quad \psi = \Theta_{11}, \quad \psi' = \Theta_{12}, \quad \psi'' = \Theta_{12}' \quad \Theta_{12}' = 1(A_1 + K_2A_2)[-(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_{12} + A(12\Theta_{11} + \zeta^2\Theta_{12}) + \Theta_2\Theta_{11} - KA_2\Theta_3 + 2KA_2\Theta_{11],
(27) \quad \phi = \Theta_{13}, \quad \phi' = \Theta_{14}, \quad \phi'' = \Theta_{14}' \quad \Theta_{14}' = -L_w(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_{14} + AL_w(2\Theta_{13} + \zeta^2\Theta_{14) - N_tNb\Theta_8' + \delta*(1 + \psi_1\theta)n\exp(-E_1 + \psi_1\theta)\Theta_{13],
(28) \quad \gamma = \Theta_{15}, \quad \gamma' = \Theta_{16}, \quad \gamma'' = \Theta_{16}' \quad \Theta_{16}' = -S_b(\Theta_1 + d\Theta_4)\Theta_{16} + AS_b(2\Theta_15 + \zeta^2\Theta_{16) + Pe[\Theta_{14}\Theta_{16} + (\Theta_{15} + \psi_2)\Theta_{14'},
(29) \quad \{ \Theta_{a1} = 0, \Theta_{a2} = 0, \Theta_{a4} = 0, \Theta_{a5} = 0, \Theta_{a7} - 1 = 0, \Theta_{a9} - m\Theta_{a6} = 0, \Theta_{a11} + m\Theta_{a3} = 0, \Theta_{a13} - 1 = 0, \Theta_{a15} - 1 = 0, \Theta_b^2 - 1 = 0, \Theta_b^5 - 1 = 0, \Theta_7 = 0, \Theta_b^9 = 0, \Theta_{b11} = 0, \Theta_{b13} = 0, \Theta_{b15} = 0
$$

为了确保数值稳定性，仔细构建了解的初始估计。在相似性变量 $\eta$ 中，计算域被截断为一个有限值（$\eta_\max = 4$），这是通过多次数值试验确定的，确认进一步增加 $\eta_\max$ 对物理量几乎没有影响（差异小于 $10^{-5}$）。为了控制精度，设置了相对和绝对容忍度：
$$
(30) \quad RelTol = 10^{-6}, \quad (31) \quad AbslTol = 10^{-8}
$$
通过以下方法验证数值方案的收敛性：
- 确保残差误差在规定的容忍度范围内。
- 通过改变网格密度进行网格独立性测试。
- 将当前结果与文献中的数据进行比较，显示出极好的一致性。

本研究使用MATLAB的bvp4c求解器进行数值求解，突出了其相对于其他技术的优势。与射击法不同，bvp4c直接处理边界值问题，并为刚性非线性系统提供稳定性。与有限差分方法相比，它使用四阶配置法和自适应网格细化，以提高精度和自动误差控制。此外，bvp4c不依赖于小参数或线性化，因此适用于强非线性耦合方程。其内置的容忍度控制确保了复杂系统的可靠收敛性和效率。

**4. 结果与讨论**
本研究探讨了在磁场作用下，不均匀Buongiorno模型中非稳态微极化四混合纳米流体在Howarth波浪圆柱体上的流动，其中包含运动微生物。表3列出了本研究中考虑的物理参数的具体范围。

**表3. 物理参数的范围**
| 符号 | 范围 | 物理意义 |
|----------------|--------------------------|---------------------------------------------|
| $M$ | $1, 3, 5, 7$ | 表示施加的磁场强度 |
| $K$ | $0.5, 1.0, 1.5, 2.0$ | 衡量流体中微旋转和耦合应力的影响 |
| $K_p$ | $1, 2, 3, 4$ | 表征多孔介质对流体运动的阻力 |
| $d$ | $0.1, 0.5, 1.0, 1.5$ | 控制表面波度强度 |
| $R$ | $0.1, 0.5, 1.1, 1.8$ | 衡量热辐射相对于导热传递的贡献 |
| $Pr$ | $2, 3, 4, 5$ | 动量扩散率与热扩散率的比率 |
| $N_t$ | $0.1, 0.2, 0.3, 0.4$ | 描述由温度引起的纳米粒子运动 |
| $Nb$ | $0.01, 0.02, 0.03, 0.04$ | 表示由于随机分子运动导致的纳米粒子扩散 |
| $Ecx$ | $0.1, 0.4, 0.8, 1.2$ | 衡量轴向方向的粘性耗散（动能转化为内能） |
| $Ecy$ | $0.1, 0.4, 0.8, 1.2$ | 表示横向方向的粘性耗散 |
| $A_1$ | $1, 2, 3, 4$ | 表示流动的时间依赖性 |
| $L_w$ | $1, 2, 3, 4$ | 相对质量扩散的热扩散率 |
| $E_0$ | $0.1, 0.4, 0.8, 1.2$ | 表示影响化学反应速率的能量障碍 |
| $Pe$ | $1, 2, 3, 4$ | 表示运动微生物的对流传输与扩散传输的比率 |
| $S_b$ | $1, 2, 3, 4$ | 表示动量扩散率与微生物扩散率的比率 |

这些范围与现有文献一致，可以清楚地观察每个参数对速度、温度、微旋转和微生物分布剖图6f显示，当A增加时，浓度剖面下降。从物理上讲，当A在Howarth型波浪圆柱上的流动中增加时，这表示一个更依赖于时间或快速变化的流场。这种时间变化减少了四元混合纳米颗粒在表面附近边界层中的停留时间。因此，由于浓度梯度的作用，这些纳米颗粒被运输走的速度比它们扩散回来的速度要快。这导致浓度边界层变薄，?(ζ)值减小，特别是在表面附近。本质上，流动的非稳态特性抑制了纳米颗粒的积累，降低了基于血液的微极纳米流体中的局部浓度水平。

4.5 微生物分布
图7a突出了Peclet数（Pe）对微生物密度分布（γ(ζ)）的影响。Peclet数表示微生物扩散与趋化性常数和微生物最大游动速度乘积的比率。随着Pe的增加，微生物的游动速度上升，导致微生物密度分布明显下降。这突显了Pe在理解流体环境中微生物行为中的关键作用。图7b展示了生物对流Schmidt数（Sb）对运动微生物密度的影响。图像显示，随着Sb的增加，微生物密度降低。Sb的较高值表明微生物扩散减少，从而降低了运动微生物的密度并使相关边界层变薄。这种关系强调了Sb与流体中微生物分布之间的反向联系。图7c显示，随着d的增加，流动在停滞区域附近集中，减少了运动微生物的扩散。图7d显示，随着A的增加，由于流体流动中的时间波动增加，微生物分布减少。这种增加的非稳态性降低了微生物在流动中保持其运动性和排列的能力。结果，它们的密度剖面下降，表明随着流动变得更加动态和非稳态，微生物的集中区域减少。

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表4比较了M对各种类型纳米流体剪切应力影响。随着M的增加，所有纳米流体的剪切应力都上升，其中四元混合纳米流体的剪切应力值最高。与纳米、混合和三元混合纳米流体相比，四元混合纳米流体的剪切应力增加更为显著，表明其在生物流体中的阻力更大。

表5表明，对于所有纳米流体类型，横向剪切应力随M的增加而增加，其中四元混合纳米流体的剪切应力值最高。这一结果揭示了更复杂的纳米流体在磁场强度增加时经历更高的横向阻力。

表6比较了M和R对不同纳米流体热传递率的影响。随着M的增加，所有纳米流体的热传递率都降低，其中四元混合纳米流体的热传递率最低。然而，随着R的增加，所有纳米流体的热传递率都增加，从而强调了生物纳米流体在较高辐射条件下的更好导热性。

表7展示了各种变量对轴向和横向方向上摩擦系数的影响。纳米流体中铜纳米颗粒浓度的增加增强了两个方向的摩擦系数，表明流体表面的阻力更大。M值的增加也增强了两个方向的摩擦；然而，由于磁场对流体流动的影响，这种增加在横向方向上更为显著。参数K和d对摩擦系数的影响因变量和条件而异。渗透性对摩擦系数的影响以复杂的方式变化，并相应地改变了流动阻力。与Panda等人[26]获得的结果相比，本研究在两个方向上都获得了更高的摩擦系数，特别是在横向方向上，表明摩擦效应和流体相互作用更好。

表8研究了各种参数对热传递率（用Nusselt数表示）的影响。

表4. 数值分析了M变化对从纳米到四元混合纳米流体剪切应力的影响。

表5. 数值比较了M对不同流体横向剪切应力的影响。

表6. 数值分析了M和R对不同流体热传递率的影响。

表7. 各种参数对轴向和横向方向上摩擦系数的影响。

表8. 各种元素对热传递率的影响，忽略了Nt和Nb效应。

表9表示了与Shankar等人[27]和Sad等人[26]报告的结果相似的趋势。尽管存在一些小的数值差异，但本研究的结果与上述作者报告的结果一致。所有结果都显示，由于磁场的增加，剪切率表现出相似的行为。本研究的结果与上述作者关于M对流体流动影响的研究结果一致。

结论
本研究研究了Howarth波浪圆柱上非稳态四元混合纳米流体的流动，特别关注热量和质量传递动态。主要结论如下：
- M的增加通过增强有序的动量传递来提高速度剖面，但通过加剧磁阻力来抑制微旋转速度。
- K的增加抑制了轴向和横向线速度，同时增强了横向微旋转并减少了轴向微旋转，这是由于更强的微观结构耦合和旋转阻力。
- 更高的渗透性增强了轴向和横向速度，同时增加了轴向微旋转并减少了横向微旋转，这是由于流动阻力和旋转扰动的减少。
- d的增加提高了轴向和横向速度，但增强了轴向微旋转并抑制了横向微旋转。
- A的增加提高了轴向/横向速度和轴向微旋转，同时减少了横向微旋转。
- Pr的增加导致热边界层变薄和温度剖面降低，因为热传导变慢。
- 参数Renhance通过增加粘性流体效应的热传导来提高热传递。
- 更高的Eckert数（Ecx和Ecy）增加了热传递。