在具有滑移条件的流动中，利用人工神经网络分析热量和质量传递过程

《South African Journal of Chemical Engineering》：Artificial Neural Network analysis for heat and mass transfer in flow with slip conditions

　　**Tasawar Hayat | Saira Shukat | Aneeta Razaq**
**数学系，Quaid-I-Azam大学，45320，伊斯兰堡44000，巴基斯坦**

**摘要**
关于热传递和质量传递的研究对于技术和工业领域具有重要意义。本文关注了由同轴圆柱体引起的磁流体动力学（MHD）流动现象。其中一个圆柱体在伸长，而另一个圆柱体在旋转。同时考虑了热传递和质量传递的影响。对热滑移和浓度滑移条件下的情况进行了分析，并采用了正确的外圆柱体速度滑移条件。结果通过BVP4c LM-BNNs方法计算得出。这为基于特定场景的案例创建了一个参考数据集。对于LM-BNNs，通过训练、测试和验证阶段的验证，对近似解进行了解释。通过均方误差（MSE）、相关性指数、回归分析和误差直方图等性能指标评估了LM-BNNs的重要性。文中还分析了速度、温度和浓度。

**1. 引言**
污染物浓度指的是土壤、空气或水中的污染物含量，它可能对人类、动物和其他生物的健康产生显著影响（Albalawi等人，2024年）。估计污染物的确切运动和扩散过程通常很困难。一些初步研究观察到了外部污染源某些特征对污染物浓度的影响。确认污染物的流动和分布通常依赖于数值方法（如计算流体动力学）或实验现场观测。在有限空间内进行现场测量以确定空气和污染物浓度分布受到多采样和分析设备可用性的限制。Makinde和Chinyoka（Makinde和Chinyoka，2010年）研究了圆柱管道中流体运动对污染物扩散的影响。Nwaigwe（Nwaigwe，2020年）对Poiseuille流中污染物的传输进行了数值分析。最近的相关研究参见参考文献（Dai等人，2022年；Yaseen等人，2023年；Li等人，2024年）。

**2. 热传递的重要性**
最近，热传递在机械工程和能源领域得到了加强。热传递在工业各个领域有广泛的应用。工业设计师希望提高热系统的效率，因此一直在改进这一概念。Naseem等人（Naseem等人，2017年）分析了基于柔性表面的纳米流体中的热传递。Abdelsalam等人（Abdelsalam等人，2023年）研究了拉伸表面上的热传递。Hayat等人（Hayat等人，2013年）探讨了二级流体拉伸流动中的热传递。Alzahrani等人（Alzahrani等人，2022年）在考虑活化能的情况下研究了流体流动和热传输。Shafiq等人（Shafiq等人，2023年）讨论了基于乙二醇的纳米流体流动与Darcy-Forchheimer关系的重要性。一些与热传递相关的研究参见参考文献（Shoaib等人，2022年；Mahariq等人，2025年；Ullah等人，2024年；Amin等人，2024年；Shah等人，2024年；Mahariq等人，2025年；Zokri等人，2020年；Ullah等人，2025年；Ullah等人，2023年；Kouki等人，2025年）。

**3. 流体在移动物体附近的运动**
流体在移动物体附近的运动是一个核心主题，特别是在食品加工、石油勘探、化学和生物工程领域。工业中通常使用有限长度的环形管道，其中端部效应可能非常重要。圆柱体之间的流体流动通常有三种主要模式：轴向流动、旋转流动（其中一个或两个圆柱体没有运动）以及轴向流动和旋转流动的结合。Song等人（Song等人，2022年）研究了纳米流体通过可拉伸圆柱体和热源的流动。Shafiq等人（Shafiq等人，2024年）应用神经网络方法研究了圆柱体域中的流体流动。Gowda等人（Gowda等人，2021年）研究了纳米流体在圆柱体内的粘性耗散效应。Alhumade等人（Alhumade等人，2021年）应用数值技术计算了通过可拉伸圆柱体的流体流动。Turkyilmazoglu和Pop（Turkyilmazoglu和Pop，2023年）解释了两个同轴圆柱体之间的流体运动。Bilal等人（Bilal等人，2025年）数值研究了由同轴圆柱体引起的MHD流动及其速度滑移和耗散现象。

**4. 本研究的目的**
本研究旨在检验两个同轴圆柱体之间的MHD流动，其中一个圆柱体在伸长，另一个在旋转。首先分析研究中的热滑移和浓度滑移条件（Shah等人，2024年；Mahariq等人，2025年；Zokri等人，2020年；Ullah等人，2025年；Ullah等人，2023年；Kouki等人，2025年；Song等人，2022年；Shafiq等人，2024年；Gowda等人，2021年；Alhumade等人，2021年；Turkyilmazoglu和Pop，2023年；Bilal等人，2025年）。其次，在尝试中实施正确的速度滑移条件（Turkyilmazoglu和Pop，2023年）。第三，考虑外部圆柱体旋转和速度滑移条件（Albalawi等人，2024年）。第四，通过适当的变换建立局部相似公式。第五，提出人工神经网络（ANN）分析。在相关条件下，对简化方程进行了分析，并使用了Bvp4c和ANN算法。结果重点关注了速度、温度和浓度，并总结了重要点。

**5. 磁流体动力学（MHD）流动**
本文研究了两个同心圆柱体之间的MHD流动。内圆柱体具有伸长特性，其速度为u=az（a>0，表示伸长率）。外圆柱体以速度u=ΩkR旋转（Ω表示恒定角速度）。需要注意的是，r=R表示内圆柱体的半径，而外圆柱体的半径为r=κR（其中κ>1，为正整数）。考虑了污染物浓度扩散的影响（Albalawi等人，2024年）。施加了速度滑移、热滑移和浓度滑移条件。假设磁场强度为常数（B0），因此省略了感应磁场。图1展示了问题几何形状。控制方程满足（Albalawi等人，2024年；Bilal等人，2025年）：
(1) ?(rv)/?r + ?(ru)/?z = 0,
(2) (v?v)/?r + u?v/?z = ?1/ρ?p/?r + υ[1/r?v/?r + ?2v/?r2 ? vr2],
(3) (v?u)/?r + u?u/?z = υ[1/r?u/?r + ?2u/?r2] ? σBo2ρu,
(4) [v?T/?r + u?T/?z] = k(ρcp)[1/r?T/?r + ?2T/?r2] + μ(ρcp)(?u/?r)2,
(5) [v?C/?r + u?C/?z] = DB[1/r?C/?r + ?2C/?r2] + q1eb(C ? C∞)。

**6. 相关边界条件**
相关边界条件为：
(6) u(r,z) = az + Aν?u/?r,
v(r,z) = ?DB1 ? Cw(?C/?r),
T(r,z) = Tw + B2?T/?r,
C(r,z) = Cw + B3?C/?r,
(r=R),
(7) u(r,z) = ΩκR ? Aν?u/?r,
T(r,z) = T∞ ? B2?T/?r,
C(r,z) = C∞ + B3?C/?r,
(r=κR)。

**7. 变换**
引入变换（Hayat等人，2024年）：
(8) u = az?f(ξ,η)/?η,
v = ?Rr(νa)1/2(f(ξ,η) + ξ?f(ξ,η)/?ξ),
P = aR2ν(υR)2ρp(ξ,η),
θ(ξ,η) = T ? T∞Tw ? T∞,
?(ξ,η) = C ? C∞Cw ? C∞,
ξ = zl,
η = r2 ? R2/2R(aν)1/2。

上述控制方程可以简化为以下微分方程：
(9) (1 + 2Λη)?3f/?η3 + f(ξ,η)?2f/?η2 ? (?f/?η)2 + ξ?f/?ξ?2f/?η2 ? ξ?f/?η?2f/?η + 2Λ?2f/?η2 ? M?f/?η = 0,
(10) P + ?f(ξ,η)?η + f2(ξ,η)2(1 + 2Λη) ? P0 ? 2(1 + 2Λη)ξf(ξ,η)?f/?ξ + 1Λξf(ξ,η)?2f/?η?ξ ? 1(1 + 2Λη)ξ2(?f/?ξ)2 + 3Λξ?f/?ξ?f/?η + 1Λξ2?f/?ξ?2f/?η ? 4Λ(1 + 2Λη)ξ?f/?ξ + ξ?2f/?η?ξ + (1 + 2Λη)Λξ?3f/?η2 = 0,
(11) Pr(?ξ?f/?η?θ?ξ + f(ξ,η)?θ?η + ξ?f/?ξ?θ?η) + 2Λ?θ?η + (1 + 2Λη)?2θ/?η2 + PrEcξ2(1 + 2Λη)(?2f/?η2) = 0,
(12) Sc(?ξ?f/?η??/?ξ + f(ξ,η)??/?η + ξ?f/?ξ??/?η) + 2Λ??/?η + (1 + 2Λη)?2?/?η2 + ScQ1e(α?) = 0。

**8. 转换后的边界条件**
(13) ?f(ξ,0)/?η = 1 + λΛ?2f(ξ,0)?η2,
f(ξ,0) + ξ?f(ξ,0)?ξ = SbSc{??(ξ,0)?η},
θ(ξ,0) = 1 + β2?θ(ξ,0)?η,
?(ξ,0) = 1 + β3??(ξ,0)?η,
?f(ξ,ηo)/?η = ω ? λ′Λ?2f(ξ,ηo)?η2,
θ(ξ,ηo) = 1 ? β2?θ(ξ,ηo)?η,
?(ξ,ηo) = 1 ? β3??(ξ,ηo)?η。

**9. 局部相似性方法**
对于局部相似解，我们在方程(9-13)中设置?(.)?ξ = 0，并得到：
(14) (1 + 2Λη)?3f/?η3 + f(ξ,η)?2f/?η2 ? (?f/?η)2 + 2Λ?2f/?η2 ? M?f/?η = 0,
(15) P + ?f(ξ,η)?η + f2(ξ,η)2(1 + 2Λη) = P0,
(16) Pr(f(ξ,η)?θ?η) + 2Λ?θ?η + (1 + 2Λη)?2θ/?η2 + PrEcξ2(1 + 2Λη)(?2f/?η2) = 0,
(17) (1 + 2Λη)?2?/?η2 + Sc(f(ξ,η)??/?η) + 2Λ??/?η + ScQ1e(α?) = 0。

**10. 局部非相似性方法**
在方程(9)-(13)中设置?f/?ξ = q, ?2f/?ξ?η = ?q/?η, ?θ?ξ = h, ?2θ?ξ?η = ?h?η, ??/?ξ = s, ?2?/?ξ?η = ?s?η，得到：
(19) (1 + 2Λη)?3f/?η3 + f(ξ,η)?2f/?η2 ? (?f/?η)2 + ξq?2f/?η2 ? ξ?f/?η?q/?η + 2Λ?2f/?η2 ? M?f/?η = 0,
(20) P + ?f/?η + f2(1 + 2Λη) ? P0 ? 2(1 + 2Λη)ξf(ξ,η)q + 1Λξf(ξ,η)?q/?η ? 1(1 + 2Λη)ξ2(q)2 + 3Λξq?f/?η + 1Λξq2?q/?η + 1Λξq2?f/?η ? 4Λ(1 + 2Λη)ξq + ξ?q/?η + (1 + 2Λη)Λξ?2q/?η2 = 0,
(21) Pr(?ξ?f/?ηh + f(ξ,η)?θ?η + ξq?θ?η) + 2Λ?θ?η + (1 + 2Λη)?2θ/?η2 + PrEcξ2(1 + 2Λη)(?2f/?η2) = 0,
(22) Sc(?ξ?f/?ηs + f(ξ,η)??/?η + ξq??/?η) + 2Λ??/?η + (1 + 2Λη)?2?/?η2 + ScQ1e(α?) = 0。

**11. 解法**
**3.1. 局部相似性方法**
对于局部相似解，我们在方程(9-13)中设置?(.)?ξ = 0，并得到：
(14) (1 + 2Λη)?3f/?η3 + f(ξ,η)?2f/?η2 ? (?f/?η)2 + 2Λ?2f/?η2 ? M?f/?η = 0,
(15) P + ?f(ξ,η)?η + f2(ξ,η)2(1 + 2Λη) = P0,
(16) Pr(f(ξ,η)?θ?η) + 2Λ?θ?η + (1 + 2Λη)?2θ/?η2 + PrEcξ2(1 + 2Λη)(?2f/?η2) = 0,
(17) (1 + 2Λη)?2?/?η2 + Sc(f(ξ图8分析了速度与磁参数（M）之间的关系。洛伦兹力的产生会产生一种阻碍流体运动的阻力。由于洛伦兹力的作用，导电流体中还会出现额外的运动阻力，从而导致流体速度降低。图9展示了滑移参数λ对速度的影响，可以看出，随着滑移参数λ的增加，流体流量会减少。下载：下载高分辨率图片（147KB）下载：下载全尺寸图片
图7. f′(η)与Λ的关系。下载：下载高分辨率图片（175KB）下载：下载全尺寸图片
图8. f′(η)与M的关系。下载：下载高分辨率图片（149KB）下载：下载全尺寸图片
图9. f′(η)与λ的关系。
7.3 温度
图10显示了曲率参数（Λ）随温度的变化情况。显然，对于较高的曲率参数Λ，温度分布会增加。对于较高的埃克特数（Ec），热场θ(η)也会增强（见图11）。图12展示了磁参数（M）对温度的影响。从物理角度来看，洛伦兹力会产生阻力场，从而产生额外的热量，导致温度升高。图13显示了普朗特数（Pr）对热分布θ(η)的影响。较高的普朗特数（Pr）会导致温度和热层厚度的降低。图14展示了热滑移参数的影响，可以看出热分布随着β2的增加而减小。下载：下载高分辨率图片（174KB）下载：下载全尺寸图片
图10. θ(η)与Λ的关系。下载：下载高分辨率图片（185KB）下载：下载全尺寸图片
图11. θ(η)与Ec的关系。下载：下载高分辨率图片（170KB）下载：下载全尺寸图片
图12. θ(η)与M的关系。下载：下载高分辨率图片（187KB）下载：下载全尺寸图片
图13. θ(η)与Pr的关系。下载：下载高分辨率图片（185KB）下载：下载全尺寸图片
图14. θ(η)与β2的关系。
7.4 浓度
图15显示了通过污染物外部源参数（α）对浓度变化的影响。可以看出，随着α值的增加，浓度呈下降趋势。图16展示了污染物源强度参数（Q）对浓度的影响，对于较大的Q值，浓度会降低。图17显示了浓度滑移参数（β3）对浓度分布?(η)的影响，同样可以观察到浓度随着β3的增加而减少。下载：下载高分辨率图片（182KB）下载：下载全尺寸图片
图15. ?(η)与α的关系。下载：下载高分辨率图片（182KB）下载：下载全尺寸图片
图16. ?(η)与Q的关系。下载：下载高分辨率图片（185KB）下载：下载全尺寸图片
图17. ?(η)与β3的关系。
7.5 定量分析
表3包含了当普朗特数（Pr=7.0）且考虑不同圆柱曲率Λ时，流体流动和热传递量的定量数据。
a) 情况1：（Λ=0）（平面表面/无曲率）
表3. 不同η0值的数值
(a) f(η0)
η0=0.5 0.1444
η0=1 0.3987
η0=1.2 0.4978
η0=5 0.9501
η0→∞ 1.32
Pr=7.0 Λ=0 0.1444
(b) f(η0)
η0=0.5 0.3987
η0=1 0.4978
η0=1.2 0.9501
η0→∞ 1.32
Pr=7.0 Λ=0.05 1.0208
(c) f(η0)
η0=0.5 0.3987
η0=1 0.4978
η0=1.3 0.9501
η0→∞ 1.32
Pr=7.0 Λ=0.05 1.0953
(d) f′(0)
η0=0.5 2.1326
η0=1 3.1736
η0=1.2 2.0737
η0→∞ 1.670
(e) θ′(0)
η0=0.5 2.0737
η0=1 1.6226
η0→∞ 1.6036
从较大的η0值来看，函数f(η0)、?f′(0)和?θ′(0)趋于稳定。随着圆柱间距的增加，边界层变得更加稳定。函数f(η0)从0.144434增加到1.020832，而?f′(0)和?θ′(0)的值则随着圆柱间距的增加而减小。
b) 情况2：（Λ=0.051）（小曲率）
改变几何形状会导致速度和温度梯度的增加。当ηo=0.5时，壁面剪应力?f′(0)达到21.78532；由于曲率效应，?θ′(0)显示出较高的热传递值。
c) 情况3：（Λ=0.55）（大曲率）
这些数值比平面情况要高，但不如Λ=0.051时的变化明显。轻微的曲率会导致显著的变化，而较大的曲率则产生中等程度的影响。
8. 结论性评论
主要发现包括：
• 均方误差（MSE）的持续下降表明神经网络具有强大的泛化能力和学习能力。
• Levenberg-Backpropagation神经网络的训练动态显示了快速的学习过程，随后随着网络收敛以减少过拟合的风险，梯度逐渐减小。
• 神经网络产生的误差直方图（EHs）显示出较低的平均误差水平，证明了其出色的预测性能。
• Backpropagation神经网络能够成功完成回归任务，准确识别输出变量和目标变量之间的基本关联，并提供适当的方差解释和精确预测。
• 角速度的增加会导致流体流量的增加。
• 随着磁参数的增大，流体速度会下降，从而产生抑制流动的效果。
• 较高的滑移参数会导致流体速度降低。
• 当圆柱曲率增大时，流体速度和温度水平会降低。
• 埃克特数（Eckert number）从小到大变化会导致流体温度升高。
**作者贡献声明**
Tasawar Hayat：负责写作、审稿与编辑、验证、资源管理、方法论、数据整理、概念构建。
Saira Shukat：负责写作、原始草稿撰写、可视化、软件使用、资源管理、方法论、正式分析、数据整理、概念构建。
Aneeta Razaq：负责写作、审稿与编辑、可视化、资源管理、项目协调、方法论、数据整理、概念构建。