Weibull分布能否可靠地描述地中海环境中的降雨动能和动量？

《Journal of Hydrology》：Is the Weibull distribution reliable to describe the rainfall kinetic power and momentum in Mediterranean environments?

　　F.G. Carollo | R. Caruso | V. Ferro | M.A. Serio
帕勒莫大学农业、食品与森林科学系，科学大道4号，90128帕勒莫，意大利

**摘要**
了解地表降雨滴径分布（DSD）的特性对于阐明影响土壤侵蚀过程的降水机制至关重要。本研究旨在将Weibull分布应用于在意大利帕勒莫和西班牙El Teularet实验站点检测到的47,000多个DSD数据，并推导出理论关系式，以估计已知参数下遵循Weibull分布的降雨动能和动量。研究证实，理论上的Weibull分布能够准确再现测量得到的DSD数据，使用矩方法（MM）估计其参数时拟合结果高度一致。结果表明，降雨动能和动量与DSD的特性密切相关。未发现Weibull分布的参数与降雨强度之间存在统计学上的显著相关性。此外，分析表明η参数与DSD的变异系数有关，而N0参数代表总滴数，这使得Weibull分布具有物理基础。进一步比较Weibull分布和Ulbrich分布后发现，尽管两种模型在描述降雨动能和动量方面的表现相似，但Weibull分布在参数估计方面具有优势。具体而言，其参数具有物理意义，而不仅仅是统计意义。研究结论认为，Weibull分布非常适合用于表征地中海地区两个实验站点的降雨动能和动量，而降雨强度无法全面反映降水的特性。

**引言**
在土壤侵蚀过程中，降水在土壤颗粒的脱落和传输中起着关键作用（Pampalone等人，2023年）。降雨强度和降雨深度是用于气候特征描述的最相关和最常用的变量。此外，滴径分布（DSD），即单位时间内到达单位水平面积的滴数频率分布，也被认为是表征降水的合适指标，尤其是在需要研究土壤侵蚀效应时（Waldvogel，1974年；Uijlenhoet和Stricker，1999年；Carollo等人，2016a年；Serio等人，2019a年）。多年来，在不同气候条件下进行的测量表明，降雨强度并不能完全代表降雨能量，因为DSD可以提供的其他降雨特征也在降雨侵蚀性中起作用（Parson和Gadian，2000年；Salles等人，2002年；Carollo等人，2016b年；Carollo等人，2018年；Serio等人，2019年）。

Serio等人（2019a年）和Carollo等人（2023年）在三个具有相似气候和地理条件、使用相同光学雨滴仪的站点上，测试了Wischmeier和Smith（1978年）提出的用于估计降雨动能（即单位时间和单位面积的动能Pn，单位J m-2h-1）的经验关系式，这是量化土壤侵蚀模型中降雨侵蚀性最常用的关系式。该关系式最初是根据密苏里州、爱荷华州和威斯康星州的数据推导出来的（Laflen和Moldenhauer，2003年），并在美国不同地点得到了验证（Wischmeier，1959年），其表达式为：
$$ P_n = \frac{11.9 + 8.73\log_I}{I < I_0} $$
$$ P_n = 11.9 + 8.73\log_I $$
其中I是降雨强度（mm/h），$ I_0 $是Wischmeier和Smith（1978年）确定的阈值，等于76 mm/h。方程（1）表明，代表单位体积降雨动能的比率$ P_n/I $在降雨强度小于$ I_0 $时增加，而在降雨强度大于或等于$ I_0 $时保持不变。Wischmeier和Smith（1978年）提出这个阈值的原因是，当降雨强度超过76 mm/h时，将DSD分为两个等体积部分的滴径中值直径$ D_0 $不再继续增大。一些作者（如Lim等人，2015年；Angulo-Martínez等人，2016年；Carollo等人，2016b年）通过对不同气候条件下检测到的DSD进行分析，证实了存在特定站点的降雨强度阈值。

Carollo等人（2023年）研究了西西里两个实验站点（帕勒莫和Sparacia）的DSD数据，发现对于固定的降雨强度（特别是$ I < 100 \, \text{mm/h} $），DSD和降雨动能$ P_n $（单位J m-2h-1）的值是不同的，并且$ P_n - I $关系式（如方程（1）所示）是站点依赖的（Carollo等人，2016a年；Serio等人，2019a年）。此外，与Van Dijk等人（2002年）、Salles等人（2002年）、Meshesha等人（2014年）的观点一致，最常用的$ P_n - I $关系式在应用于与其原始推导地点不同的地理区域时可能受到限制，通常需要基于特定数据集进行校准（Rosewell，1986年；Angulo-Martínez等人，2016年；Serio等人，2019年；Carollo等人，2023年）。目前尚无能够直接和准确测量降雨动能的设备。一些作者（Waldvogel，1974年；Uijlenhoet和Stricker，1999年；Cevasco等人，2015年；Meshesha等人，2019年；Carollo等人，2023年）认为，当需要研究土壤侵蚀效应时，DSD更适合用于表征降水。

**结论**
目前尚未完全理解DSD的形成机制，因为控制雨滴聚集和分散的物理现象具有随机性和复杂性（Falkovich等人，2002年）。Villermaux和Bossa（2009年）指出，落到地面的雨滴是碰撞雨滴破裂和聚合的结果，以及单个大滴破碎的结果。这种破碎现象是由于空气动力学不稳定性和表面张力导致的单个大滴的快速分裂。了解DSD有助于：
（i）理解降雨由不同大小的滴组成；
（ii）计算降雨动能$ P_n $（单位J m-2h-1）和动量$ M $（单位N m-2），以及降雨强度$ I $（单位mm/h），从而从能量角度表征降水；
（iii）理解气候强迫如何影响土壤封闭和侵蚀过程（Mualem和Assouline，1989年）。

多年来，提出了多种雨滴尺寸参数化的分析形式，如对数正态（Feingold和Levin，1986年）、Weibull（Sekine和Lind，1982年）、指数（Marshall和Palmer，1948年）和伽马（Ulbrich，1983年）分布。这些常用分布的比较仅用于气象研究（Abas等人，2014年；Assouline，2020年）、确定风险、不确定性和经济损失（Tao等人，2002年）以及最佳拟合年度降雨数据（Kumar和Jahangeer，2017年；Olivera和Heard，2019年）。然而，据我们所知，对于气象和土壤侵蚀研究而言，偏态伽马分布是最广泛应用于测量DSD的理论概率律，尽管概率分布的统计参数没有物理意义（Khrgian等人，1952年；Levin，1963年；Sulakvelidze，1969年；Sulakvelidze和Dadali，1971年；Ulbrich，1983年；Uijlenhoet和Stricker，1999年；Tokay等人，2001年；Salles等人，2002年；Bringi等人，2003年；Zhang等人，2003年；Carollo和Ferro，2015年；Carollo等人，2016a年；Seela等人，2018年；Serio等人，2019a年；Carollo等人，2023年）。伽马分布的广泛应用归因于其高度适应性，无论采用何种特定的参数估计技术。

Weibull分布最初由瑞典物理学家Weibull（1951年）提出，多年来已应用于许多不同的科学领域（如材料科学、工程学、物理学、医学、经济学和质量控制），也用于描述雨滴尺寸分布。对于气象研究，Sekine和Lind（1982年）首次以以下形式提出了Weibull分布：
$$ N_D = \frac{N_0\eta\sigma^D}{\sigma^{(\eta-1) \exp(-D/\sigma)} $$
其中$ N_D $是范围$ (D, D + dD) $内的滴数，$ N_0 $是Sekine和Lind（1982年）假设为常数1000 m-3的参数，$ \eta $是无量纲形状参数，$ \sigma $（cm）是Weibull分布的尺度参数。当$ \eta = 1 $时，Weibull分布与Marshall和Palmer（1948年）提出的指数分布相同（Sekine和Lind，1982年）；当$ \eta = 2 $时，Weibull分布简化为Rayleigh分布（Cohen，1965年）。换句话说，Weibull分布还能作为其他理论概率分布的特殊情况。方程（2）是本研究将发展的理论分析的科学基础，并将在本文的材料与方法部分中介绍。

考虑到Laws和Parsons（1943年）、Sander（1975年）以及Wickerts（1982年）和Sekine和Lind（1982年）检测到的雨滴尺寸分布，发现$ \eta $和$ \sigma $参数与降雨强度呈幂律关系，而$ N_0 $等于1000 m-3，但这些实证结果并未提供关于Weibull分布物理意义的任何信息。此外，这种分布随着降雨强度的增加而呈现峰值并向大滴径偏移（Jiang等人，1997年）。Liu和Hallett（1998年）指出，热力学和动力学参数（如温度和垂直速度）的变化会导致云滴尺寸分布的波动（Ackerman，1967年；Baumgardner等人，1993年）。这种变异性意味着这些分布具有多样性而非唯一性。在假设质量守恒的理想系统下，Liu和Hallett（1998年）推导出最大似然分布对应于Weibull分布。

迄今为止，Weibull分布主要应用于气象研究，很少用于水文学研究。例如，一些作者（Sekine等人，1987年；Sekine等人，1988年；Jiang等人，1996年；Jiang等人，1997年；Ishii等人，2010年；Kumar和Jahangeer，2017年）考虑将这种分布用于微波应用（如雨衰减），以及毛毛雨和阵雨的情况，并研究极端降雨事件（Olivera和Heard，2019年）。Jiang等人（1997年）使用东京的DSD测量数据比较了最常用的频率分布（指数、伽马和Weibull），并得出结论：对于低降雨强度值（$ I = 1.88 \, \text{mm/h} $），指数分布拟合实验数据更好；而对于高降雨强度值（$ I > 20 \, \text{mm/h} $），伽马（Ulbrich，1983年）和Weibull分布与实验数据的吻合度更高。Alonge和Afullo（2012年）使用RD-80雨滴仪在德班地区收集的DSD数据，通过动量方法的第三、第四和第六矩分析了Weibull参数，证实了Weibull分布的准确性，但这种准确性随着降雨强度的增加而降低，可能是因为样本量较小。

Assouline和Mualem（1989年）基于Weibull分布提出了一种新的方法，用于研究从云到地面过程中雨滴尺寸分布的形成机制，即通过聚合和破碎过程。作者指出，均匀随机雨滴破碎的假设导致测量到的DSD与Weibull分布相同，因为滴破裂的概率与其相对体积成正比，即Weibull分布具有物理基础。然后他们提出了一种新的概率分布函数，称为“通用分布”，该分布与降雨强度和降水发生地点无关（Assouline和Mualem，1989年）。Assouline和Mualem（1989年）以及Assouline（2009年）通过在不同实验区域进行的DSD测量（Hudson（1965年）在罗德西亚；Carter等人（1974年）在巴吞鲁日和霍利斯普林斯；Smith等人（2009年）在新泽西州普林斯顿））积极验证了这种方法的有效性。更近期的是，Carollo和Ferro（2015年）首次从理论上推导出了一种关系式，用于估算动能功率（详见“材料与方法”部分第2.3段），该关系式考虑了Ulbrich（1983年）提出的雨滴尺寸分布以及Ferro（2001年）提出的经验关系式来估算的雨滴最终下落速度V(D)（米/秒），根据这一关系式，对于自然降水情况，最终速度仅取决于雨滴直径。根据Carollo和Ferro（2015年）的关系式，单位体积降雨的动能功率仅是Ulbrich分布的形状和尺度参数的函数。Carollo等人（2016b、2018年）、Serio等人（2019a）以及Carollo等人（2023年）使用相同的光学雨滴测量仪在意大利巴勒莫、意大利斯帕拉西亚和西班牙埃尔特乌拉雷特进行的DSD测量，首次验证了Gamma分布的有效性。随后，由Ulbrich分布理论推导出的Pn关系式被证明能够可靠地估算地中海环境中的降雨动能功率，他们得出结论：为了对降水进行能量特征分析，只需了解降水的组成即可。据我们所知，目前尚未通过Weibull分布推导出用于估算Pn的封闭形式方程，只有某些理论分布可以与特定的雨滴最终速度关系相结合，从而得到估算Pn和M的封闭形式理论关系。此外，对于所研究的区域，通常通过应用将动能功率Pn与降雨强度I联系起来的经验关系式（如Wischmeier和Smith（1978年）、Van Dijk等人（2002年）的方程（1））来估算降雨侵蚀力。从实际角度来看，这些经验关系式具有场地特异性（Carollo等人，2016a；Serio等人，2019a），没有考虑DSD随降雨强度的变化，因此需要重新校准。此外，目前还没有可以直接测量Pn/I的设备。因此，为了获得准确的Pn/I估算值，必须知道DSD并确定其分布参数。在本文中，首先介绍了Weibull分布再现地中海盆地两个站点测量到的降雨DSD的可靠性。然后进行了理论分析，以证明Weibull定律是一个基于物理原理的分布，并在此基础上发展了降雨动能功率和动量的关系。最后，利用雨滴尺寸分布的测量数据来拟合Weibull分布和Ulbrich分布，并评估它们描述降雨动能功率和动量的可靠性。

实验地点和雨滴尺寸分布测量
雨滴尺寸分布的测量使用了相同的光学雨滴测量仪，在不同时间段内分别在巴勒莫和埃尔特乌拉雷特实验区域进行（图1）。具体而言，巴勒莫实验区域位于巴勒莫大学农业、食品和森林科学系，海拔40米（图1a），属于地中海温带气候（K?ppen分类Csa型），夏季干燥炎热，冬季温和多雨。年平均气温范围...

验证Weibull分布在地中海地区的可靠性
为了测试Weibull分布再现测量到的DSD的能力，考虑了在巴勒莫和埃尔特乌拉雷特检测到的雨滴尺寸分布。考虑到Weibull分布的积分函数F(D)（公式（2）为：
$$
FD = N_0 \exp\left(-\frac{D}{\sigma}\right)
$$
总滴数N可以按以下方式计算：
$$
N = \int_{0}^{\infty} N_0 \eta \sigma^{-1} \exp\left(-\frac{D}{\sigma}\right) dD = N_0
$$
公式（17）表明，与Sekine和Lind（1982年）的研究结果不同，N0不是一个常数参数，而具有物理意义...

结论
降雨侵蚀力可以通过降雨动能功率和动量来评估，这两者由DSD和雨滴最终速度决定。本文首先使用Weibull分布进行了理论分析，并推导出了估算动能功率和动量的新关系式。通过在地中海地区的两个站点进行降雨DSD测量，验证了这些新提出的理论关系的可靠性...

未引用的参考文献
Almalki和Nadarajah（2014年）。

作者贡献声明
F.G. Carollo：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，监督，方法论，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。
R. Caruso：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，监督，方法论，研究，形式分析，数据管理，概念化。
V. Ferro：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，监督，方法论。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢
所有作者共同参与了研究的设立、结果的分析与解释，并共同撰写了本文。本研究由“SiciliAn MicronanOTecH研究与创新中心”（SAMOTHRACE项目，MUR，PNRR-M4C2，ECS_00000022）以及巴勒莫大学“S2-COMMs - 智慧与可持续社区的微纳技术”项目资助。埃尔特乌拉雷特的DSD测量是在Maria Angela Serio博士访问瓦伦西亚大学期间，在其指导下进行的。