基于TSAS-Kriging的替代框架，用于T型翼的多目标流体动力学优化

《Journal of Ocean Engineering and Science》：A TSAS-Kriging-Based Surrogate Framework for Multi-Objective Hydrodynamic Optimization of a T-Foil

　　五龙湖|永丰城|梦瑶星|飞龙
武汉理工大学三亚科教创新园，三亚572000，中国

摘要
本研究提出了一种新颖的优化框架，旨在克服T型翼水动力性能研究与优化中的精度-效率 trade-off 问题。虽然传统的基于替代模型的研究经常难以处理在不同条件下的非线性水动力响应，但该方法结合了拉丁超立方抽样（LHS）、高保真CFD和两阶段自适应抽样克里金（TSAS-Kriging）模型。与传统静态模型不同，这种自适应方法通过NSGA-II和TOPSIS决策制定，迭代地细化高不确定性区域，系统地研究了在不同攻角（α）、浸没深度（H）和速度（v）下的性能。结果表明，最佳升阻比出现在H=2.65C时。重要的是，TSAS-Kriging框架通过仅增加21个样本，就将升力和阻力系数的平均预测误差从14.92%和13.7%分别降低到0.51%和1.07%。基于这一高保真模型，多目标优化产生了三种不同的最优配置。高升力系数配置（α=13.5°, H=5.01C, v=19.52 m/s）实现了最大升力系数1.42，非常适合高负荷条件。升力系数为0.86、阻力系数为0.063、升阻比为13.6的TOPSIS平衡配置（α=7.6°, H=3.21C, v=17.5 m/s）适用于稳定巡航。最大效率配置（α=6.3°, H=2.65C, v=16.2 m/s）获得了最高的升阻比16.68，实现了最佳能源效率。所开发的框架为海洋水动力优化建立了一种高效且可推广的方法，为设计下一代高性能水翼系统提供了参考。

1. 引言
水翼是一种基于伯努利原理产生升力的高效水动力装置，使船体能够升出水面[1]。该装置显著减少了船舶的湿表面积和粘性阻力[2]，使其成为现代高性能船舶（如赛艇和电动渡轮）的核心技术。根据其结构配置，水翼可以分为几种类型，包括U型翼、V型翼和T型翼[3]。其中，T型翼是一种完全浸没的水翼，由水平翼和垂直支柱组成[4]。由于其优越的波浪阻力和升阻比特性，T型翼已成为主流设计，并已被Candela等公司成功应用于商业产品中[5]。然而，其水动力性能对操作条件非常敏感：由风、波浪和水流引起的攻角、浸没深度和船舶速度的变化会显著改变升力和阻力，可能影响效率和安全性[6,7]。因此，在这个多维操作范围内优化T型翼的性能是一个关键的工程挑战，但由于高保真CFD模拟的计算成本高昂，这一挑战受到了严重限制。
为了系统地研究复杂操作条件下水翼的水动力特性，研究人员开发了多种分析和数值方法，从势流理论到粘性流模拟[8,9]。早期的研究主要基于势流理论，使用边界元方法（BEM）来研究自由表面对水翼性能的影响[10]。特别是Giesing和Smith[11]率先应用BEM分析自由表面效应，为后续的线性化[12,13]和非线性[14,15]自由表面建模方法的发展奠定了基础。然而，势流方法在捕捉湍流、流动分离和波浪破碎等关键粘性现象方面存在固有局限性[16]。随着计算能力的提高，基于雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程的计算流体动力学（CFD）方法显示出明显优势。CFD能够准确预测流动分离和涡旋演变，并提供可靠的粘性阻力估计[17]。Xiao等人[18]使用拖曳试验和大涡模拟（LES）研究了攻角、雷诺数和浸没深度对T型翼性能的影响，强调了浅水深度下自由表面效应的影响。通过与经典实验的比较[19],[20],[21]，验证了CFD方法的准确性和可靠性，这些方法已成功应用于分析各种水翼截面的水动力性能，包括NACA 0015[22]、NACA 4412[23]、NACA 634-021[24,25]和H105[26]。
在T型翼的具体背景下，已经发展出一个综合研究框架，包括经验公式、实验分析和智能优化。基础工作可以追溯到Horner[27]，他提出了一个用于阻力预测的经验公式。随后，Bins[28,29]和Beaver[30]团队进行了系统的拖曳池实验，提供了关于低纵横比T型翼流动特性的深入见解。近年来，随着CFD技术的成熟，Liao[31]和Zhu[32]等学者利用CFD系统研究了几何参数（包括翼型和纵横比）的影响，并进一步探索了神经网络在性能预测和优化中的集成。除了直接性能预测外，CFD还与基于伴随的形状优化技术相结合，系统地修改船体形状；Nazemian和Ghadimi在 trimaran 船体上展示了这种方法，通过有限的优化循环实现了显著的阻力减少[33,34]。然而，尽管效率很高，基于伴随的优化本质上仍然是局部的。这些研究为理解T型翼的水动力行为奠定了坚实的基础，但也揭示了现有研究范式中的一个显著瓶颈。尽管高保真CFD模拟可以提供详细的流场信息，但其巨大的计算成本严重限制了在由攻角、浸没深度和速度定义的多维参数空间内进行系统探索和优化的可行性。因此，完全捕捉不同操作条件下T型翼的全局性能演变仍然具有挑战性。
为了克服传统CFD方法在探索多维参数空间时的计算效率瓶颈，结合替代模型和多目标算法的优化框架已成为主导的研究趋势。这一挑战在海军水动力学领域尤为明显，例如trimaran航行研究中的复杂流体-结构相互作用[35,36]和多体运动响应分析的计算复杂性[37]带来了重大困难。值得注意的是，Bonett等人[38]证明，多保真策略可以在多自由度船舶性能评估中有效平衡计算成本和预测精度，为水翼优化提供了宝贵的见解。在替代模型构建方面，现有研究主要使用克里金模型[39]和径向基函数神经网络（RBFNN）[40]来建立设计参数和性能响应之间的近似映射。基于高斯过程回归的替代框架在机翼优化中显示出有希望的结果[41]，而神经网络替代模型与遗传算法的集成在翼帆设计中取得了显著成功[42]。最近的工作改进了自适应抽样策略以提高效率。El-Alem等人开发了基于随机游走和模拟退火的替代优化方法，成功应用于海洋螺旋桨设计[43]。在此基础上，出现了结合高保真和低保真模拟的多保真方法。Pehlivan Solak等人比较了仅使用RANS和势流-RANS的多保真方法，表明混合保真水平可以在不牺牲优化性能的情况下降低计算成本[44]。然而，传统的替代模型在处理涉及复杂参数耦合的强非线性流场时仍表现出不足的预测精度。此外，缺乏自适应抽样策略阻碍了优化过程中全局探索和局部利用之间的有效平衡。
为了解决上述挑战，本研究提出了一种创新的集成优化框架，该框架以两阶段自适应抽样克里金（TSAS-Kriging）替代模型为中心。与依赖预定样本集的传统一次性实验设计（DoE）方法不同，TSAS-Kriging框架引入了一个两阶段自适应填充机制，逐步从全局探索过渡到局部细化。这使得替代模型能够主动学习水动力响应表面，策略性地将计算资源分配到高预测不确定性区域。该框架结合了拉丁超立方抽样进行初始空间填充，高保真CFD模拟生成训练数据，以及TSAS-Kriging模型进行高效准确的性能预测。随后，NSGA-II算法与TOPSIS决策方法结合，实现了设计空间内的系统多目标优化。本研究的主要贡献如下：(1) 开发了一种两阶段自适应抽样克里金（TSAS-Kriging）替代模型，显著提高了关键区域的预测精度和收敛效率。(2) 建立了一个集成的抽样、建模、优化和决策工作流程，有效平衡了计算成本和预测可靠性。(3) 一个可推广的框架，为高性能T型翼设计建立了坚实的基础，并可转移到其他复杂的水动力优化问题中。

2. 方法论概述
本研究开发了一个用于T型翼水动力性能多目标优化的集成计算框架。该方法系统地解决了探索多维和复杂设计空间的挑战，同时平衡了计算精度和效率。如图1所示，集成优化框架分为四个连续阶段，系统地探索T型翼设计空间。该过程首先定义设计变量（攻角、浸没深度和速度），确保其物理相关性。随后，通过拉丁超立方抽样（LHS）和高保真CFD模拟进行数据采集，使用体积流体（VOF）多相模型和分离涡模拟（DES）湍流模型来解决复杂的分离流动。该方法的核心是两阶段自适应抽样克里金（TSAS-Kriging）替代模型，它通过针对高不确定性区域迭代地细化预测精度，从而有效克服了静态实验设计（DoE）的局限性。框架以使用NSGA-II的多目标优化结束，随后通过基于TOPSIS的决策过程从得到的帕累托前沿中识别最优配置。

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图1. 研究方法框架。

2.1. 物理模型和边界条件
2.1.1. 几何配置和翼型选择
本研究中使用的T型翼配置包括一个水平主翼和一个垂直支柱，每个翼型都选择了满足不同水动力功能的翼型截面。水平翼采用FX60-100层流翼型，以其高升阻比和优异的抗空化性能而闻名，特别适合高性能水翼应用[45]。垂直支柱采用对称的NACA 0012翼型[46]，这是一种具有广泛实验数据的成熟基准翼型，为本研究中使用的数值方法提供了可靠的基础。T型翼组件的整体配置如图2所示，相应的翼型截面如图3所示。主要几何参数总结在表1中。

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图2. T型翼形状和参数。

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图3. 翼型截面图。

表1. T型翼的几何参数[47]。

参数 值
悬吊弦长 Cs 92mm
水平翼根弦长 Cr 107mm
水平翼尖弦长 Ct 44mm
水平翼平均弦长 C 55.5mm
翼展长度 b 417mm
悬吊高度 H 500mm

2.1.2. 计算域和边界条件
构建了一个矩形计算域，完全包含T型翼，坐标原点位于水平翼的前缘中心。该域在流向方向上延伸40米，宽度和高度均设为10米。这些尺寸足够大，以最小化边界干扰，并确保在到达出口之前完成尾流发展。边界条件定义如下：上游面指定为压力入口，下游面和顶面为压力出口，侧边界为对称平面以模拟无界横向流动，底面为无滑移壁。T型翼表面被建模为静止无滑移壁。计算域和边界条件的示意图如图4所示。

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图4. 计算域和边界条件。

2.2. 数值模型
2.2.1. 多相流模型
为了准确捕捉空气-水界面的变形，采用了体积流体（VOF）模型。VOF模型是一种欧拉-欧拉多相方法，通过求解每个相的体积分数的额外传输方程来捕捉不相溶流体之间的界面[48]。两种流体共享一组动量方程，而局部体积分数决定了每个计算单元内的有效材料属性。在这项研究中，空气被定义为主要相，水被定义为次要相。水体积分数αq的变化受到连续性方程的控制：(1)?αq?t+?·(αqv)=0，同时受到约束∑q=1nαq=1。单元平均密度和粘度计算如下：(2)ρ=∑q=1nαqρ，μ=∑q=1nαqμq。多相系统的共享动量方程表示为：(3)?(ρv)?t+?·(ρv2)=??p+?·[μ(?v+?vT)]+ρg+F，其中p是静压，ρg是重力体力，F是表面张力。该模型有效地捕捉了由T型翼片引起的复杂自由表面现象，如波浪破碎和喷雾生成，这对于评估其在近表面操作中的流体动力性能至关重要。

2.2.2. 湍流模型
为了准确解析T型翼片周围的复杂非稳态湍流结构，本研究采用了脱离涡模拟（DES）模型。DES是一种混合湍流建模方法，结合了雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）和大涡模拟（LES）方法的优点[49]。在靠近壁面的区域，DES以RANS模式运行，以高效捕捉附着的边界层；而在远离壁面的大尺度分离区域，它转换为LES模式，以更高精度解析非稳态涡流结构。这种混合策略有效地平衡了计算效率和预测精度。控制方程如下：
(4){?uˉi?xi=0
?uˉi?t+uˉj?uˉi?xj=?1ρ·?pˉ?xi+ν??xj
(?uˉi?xj)?1ρ·??xj
ρu′iu′j￣
(5){?u?i?xi=0
?u?i?t+u?j?u?i?xj=?1ρ?p??xi+ν??xj
(?u?i?xj)?τsgs
其中ui￣(i=1,2,3)表示速度分量的平均值；ui? (i=1,2,3)表示过滤后的速度分量；ρ表示流体密度；p￣表示压力的平均值；p?是过滤后的压力值；υ表示流体的运动粘度；u′iu′j￣表示雷诺应力；τsgs表示亚格子尺度应力。此处采用的DES公式基于SST k??ω模型，其中湍流动能（k）和特定耗散率（ω）的传输方程为：
(6){??t(ρk)+??xj(ρkuj￣)=??xj(Γk?k?xj)+Pk?Y
DESk??t(ρω)+??xj(ρωuj￣)=??xj(Γω?ω?xj)+Pω?Yω+Dω
在上述方程中，k表示湍流动能，ω表示特定耗散率。Γk和Γω分别是k和ω的有效扩散率。Pk和Pω对应于k和ω的产生项，而YkDES和Yω表示它们的耗散项。DES模型通过耗散项YkDES控制RANS和LES区域之间的转换，定义如下：
(7)YDESk=ρk3/2LDES
其中LDES = min (LRANS, CDES Δ)，LRANS是RANS湍流长度尺度，Δ是局部网格间距，CDES=0.61是一个经验常数。当LRANS
2.3. 拉丁超立方抽样（lhs）
为了构建一个准确的替代模型，在由攻角、速度和浸没深度定义的三维设计空间内进行高效初始抽样是必不可少的。本研究采用了拉丁超立方抽样（lhs）方法[50]来生成初始训练样本。lhs的关键原理是，对于包含d个变量和n个样本的d维设计空间，每个变量的范围被划分为n个等概率的、不重叠的区间。然后从每个区间随机选择一个样本值，这些值被随机组合形成n个不同的d维样本点。这个过程确保了样本集在每个维度上的均匀分布，有效减轻了传统蒙特卡洛抽样中常见的聚集效应。
对于范围为[ak,bk]的设计变量xk，第i个样本在k维度上的坐标xk(i)可以表示为：
(8)xk(i)=ak+(bk?ak)·πk(i)?u(i)n
其中πk(i)是整数1,2,…,n的随机排列，u(i)是在区间[0,1]内均匀分布的随机数。这种公式保证了每个子区间都被恰好采样一次，确保了对设计空间的全面和均匀覆盖。

2.4. 两阶段自适应采样克里金（tsas-kriging）替代模型
本研究采用克里金替代模型来构建设计参数与水翼性能之间的近似映射关系。克里金模型是一种基于高斯过程回归的空间插值技术，广泛用于建模确定性模拟数据[51]。克里金模型将未知函数视为一个随机过程。其核心思想是将系统响应y(x)分解为全局趋势模型f(x)和局部偏差z(x)：
(9)y(x)=f(x)+z(x)
其中，x表示设计变量（例如，攻角、速度、浸没深度）。全局趋势函数f(x)=f(x)tβ通常是一个多项式，用于捕捉响应值的整体趋势。局部偏差z(x)是一个均值为零、方差为σ2的平稳随机过程，其协方差定义为：
(10)cov[z(x(i)),z(x(j))]=σ2r(x(i),x(j))
其中，r(x(i),x(j))是描述样本点x(i)和x(j)之间空间相关性的相关函数。常用的高斯相关函数如下：
(11)r(x(i),x(j))=exp(?∑k=1dθk|xk(i)?xk(j)|2)
其中x是空间位置向量，d是设计变量的维度数，θk是第k方向上的相关参数，通过最大化似然估计来拟合。这个参数决定了该变量对响应值的影响程度。根据上述模型，对于未知点x*，克里金模型给出的最佳线性无偏预测器及其均方误差（mse）s^2如下：
(12)y^(x*)=f(x*)tβ^+r(x*)tr?1(y?fβ^)
(13)s^2(x*)=σ^2[1?r(x*)tr?1r(x*)+(1?1tr?1r(x*))2/tr?1
在这些方程中，r(x*)是未知点与所有已知样本点之间的相关向量，r是样本点之间的相关矩阵，f是样本点的趋势矩阵，y是观测到的响应向量，β^和σ^2分别是趋势模型系数和过程方差的最大似然估计。

升力和阻力系数对攻角、浸没深度和流速的变化表现出不同的非线性行为。强制它们共享相同的相关结构会降低其中一个或两个响应的预测精度。因此，在本研究中，分别构建了两个独立的单输出克里金模型，用于升力系数和阻力系数。
在高维优化问题中，仅依赖实验设计（doe）抽样通常需要大量的设计点来确保替代模型的准确性，这不可避免地与计算效率的追求相冲突。为了解决这个问题，本研究开发了一种基于预期改进（ei）准则的两阶段自适应采样克里金（tsas-kriging）替代模型。所提出方法的总体工作流程如图5所示。

在第一步填充中，使用遗传算法（ga）[52]来定位具有最大ei值的点，从而指导样本集的自适应丰富。预期改进定义为：
(14)ei(x)=(μ(x)?fmin)φ(z)+σ(x)?(z)
其中φ(·)和?(·)分别表示标准正态分布的累积分布函数（cdf）和概率密度函数（pdf）；μ(x)和σ(x)表示克里金模型的预测均值和标准差，fmin是当前最佳目标值。
对于每个候选点，分别使用它们的克里金模型计算cl和cd的单目标ei。然后通过加权最大值将这两个值结合起来：
(15)eicombined(x)=ωl·eil(x)+ωd·eid(x)
其中，ω表示权重（ωl=ωd=0.5）。
在第二步填充中，构建一个次要替代模型来识别高不确定性区域。再次应用ga来找到对应于最大均方误差（mse）的设计点，然后将其添加到训练数据集中以提高局部精度。次要模型表示为：
(16)?(r)=exp(?x2σ2)
(17)σ=max(s)(n·d)1/2
其中max?(s)表示现有设计点之间的最大间距，d是设计空间的维度数，n是设计点的数量。对于每个候选点，从两个模型计算预测方差sl2(x)和sd2(x)，并通过它们进行归一化，以获得组合不确定性分数：
(18)msecombined(x)=sl2(x)maxsl2+sd2(x)maxsd2
为了确保替代模型的准确性，本研究使用攻角、相对浸没深度（h/c）和雷诺数作为替代模型的输入，升力系数和阻力系数作为输出。循环的终止条件是最大预测误差小于5%，并将主要采样频率设置为25次。在每次自适应迭代中，根据组合准则选择一个候选点xnew，进行一次cfd模拟以获得真实的cl和cd值，并使用数据更新两个克里金模型。

2.5. 优化和决策方法
在建立高保真tsas-kriging替代模型之后，进行了多目标优化，以实现升力和阻力之间的最佳平衡。由于nsga-ii遗传算法在通过快速非支配排序和精英选择有效近似帕累托最优前沿的同时保持种群多样性方面的能力得到了证明[53]，因此采用了该算法。本文研究的多目标优化问题可以描述为：
(19){max(cl)=f1(α,h/c,re)
min(cd)=f2(α,h/c,re)
为了从帕累托集中识别单一最优配置，应用了基于与理想解相似性排序的技术（topsis）[54]。topsis根据候选方案与正理想解（pis）的接近程度和与负理想解（nis）的远离程度对其进行排名。topsis程序的主要步骤总结如下：
步骤1. 决策矩阵的标准化。
(20)rij=xij∑i=1mxij2
其中xij是第i个解决方案的第j个目标值，mis是帕累托解决方案的数量。
步骤2. 加权标准化。
(21)vij=wjrij
在本研究中，所有目标都被赋予了相同的权重。
步骤3. 计算pis (a+)和nis (a?)
(22)a+={max(vij)|j∈j1;min(vij)|j∈j2}
a?={min(vij)|j∈j1;max(vij)|j∈j2}
其中j1和j2分别表示要最大化和最小化的目标。
步骤4. 计算每个解决方案与pis/nis之间的欧几里得距离。
(23)di+=∑j=1n(vij?vj+)2,di?=∑j=1n(vij?vj?)2
步骤5. 评估相对接近度
每个解决方案与理想解的相对接近度表示为：
(24)ci=di?di++di?
解决方案根据ci降序排列，ci最高的解决方案被选为最终最优设计。通过将nsga-ii的全局搜索能力与topsis的理性决策机制相结合，该框架为t型翼片的多目标优化提供了一种稳健且计算效率高的策略，确保了在相互冲突的目标之间实现平衡的流体动力性能。

3. 网格独立性验证和模型验证
3.1. 网格划分和网格独立性验证
本研究的网格生成使用了fluent meshing软件，采用poly-hexcore拓扑结构以确保高网格质量。最小正交质量保持在0.2，符合ansys fluent文档中推荐的阈值。这些单元被策略性地限制在远场区域，敏感性测试确认它们对全局收敛性或流体动力预测的准确性没有不利影响。由于水平翼片的前缘和后缘以及高速条件下水平翼片与垂直翼片之间的连接区域具有复杂的流动特性，在这些关键区域应用了局部网格细化。此外，在自由表面附近生成了更细的网格，因为那里的波浪破碎和尾流相互作用显著。为了确保近壁区域的高分辨率，第一层y+≈1，全局最大值不超过10。t型翼片周围的整体网格拓扑和细化区域如图6所示。

为了平衡计算效率和数值精度，在攻角8°、速度10节（相当于雷诺数4.8×10?）和浸没深度0.279米的情况下进行了网格独立性研究。使用网格收敛指数（gci）方法[55,56]验证了网格独立性。为此，通过系统细化生成了三组具有相同拓扑结构的网格，单元数量分别为263万（粗糙）、537万（中等）和1216万（精细）。保持大约1.3的网格细化因子（r），满足gci分析的形式要求。所有数值案例都使用相同的物理模型、边界条件和求解器配置进行。网格独立性研究的综合结果总结在表2中。最细网格（1250万）的估计离散化误差gci21< 1%，满足精度要求。此外，还满足了渐近收敛准则（gci21 < gci32），表明数值解已达到稳定收敛。 2.3. 拉丁超立方抽样（lhs） 为了构建一个准确的替代模型，在由攻角、速度和浸没深度定义的三维设计空间内进行高效初始抽样是必不可少的。本研究采用了拉丁超立方抽样（lhs）方法[50]来生成初始训练样本。lhs的关键原理是，对于包含d个变量和n个样本的d维设计空间，每个变量的范围被划分为n个等概率的、不重叠的区间。然后从每个区间随机选择一个样本值，这些值被随机组合形成n个不同的d维样本点。这个过程确保了样本集在每个维度上的均匀分布，有效减轻了传统蒙特卡洛抽样中常见的聚集效应。 对于范围为[ak,bk]的设计变量xk，第i个样本在k维度上的坐标xk(i)可以表示为： (8)xk(i)=ak+(bk?ak)·πk(i)?U(i)n 其中πk(i)是整数1,2,…,n的随机排列，u(i)是在区间[0,1]内均匀分布的随机数。这种公式保证了每个子区间都被恰好采样一次，确保了对设计空间的全面和均匀覆盖。 2.4. 两阶段自适应采样克里金（tsas-kriging）替代模型 本研究采用克里金替代模型来构建设计参数与水翼性能之间的近似映射关系。克里金模型是一种基于高斯过程回归的空间插值技术，广泛用于建模确定性模拟数据[51]。克里金模型将未知函数视为一个随机过程。其核心思想是将系统响应y(x)分解为全局趋势模型f(x)和局部偏差z(x)： (9)y(x)=f(x)+Z(x) 其中，x表示设计变量（例如，攻角、速度、浸没深度）。全局趋势函数f(x)=f(x)Tβ通常是一个多项式，用于捕捉响应值的整体趋势。局部偏差Z(x)是一个均值为零、方差为σ2的平稳随机过程，其协方差定义为： (10)cov[z(x(i)),z(x(j))]=σ2R(x(i),x(j)) 其中，r(x(i),x(j))是描述样本点x(i)和x(j)之间空间相关性的相关函数。常用的高斯相关函数如下： (11)r(x(i),x(j))=exp(?∑k=1dθk|xk(i)?xk(j)|2) 其中x是空间位置向量，d是设计变量的维度数，θk是第k方向上的相关参数，通过最大化似然估计来拟合。这个参数决定了该变量对响应值的影响程度。根据上述模型，对于未知点x*，克里金模型给出的最佳线性无偏预测器及其均方误差（mse）s^2如下： (12)y^(x*)=f(x*)Tβ^+r(x*)TR?1(y?Fβ^) (13)s^2(x*)=σ^2[1?r(x*)TR?1r(x*)+(1?1TR?1r(x*))2/TR?1 在这些方程中，r(x*)是未知点与所有已知样本点之间的相关向量，r是样本点之间的相关矩阵，f是样本点的趋势矩阵，y是观测到的响应向量，β^和σ^2分别是趋势模型系数和过程方差的最大似然估计。 升力和阻力系数对攻角、浸没深度和流速的变化表现出不同的非线性行为。强制它们共享相同的相关结构会降低其中一个或两个响应的预测精度。因此，在本研究中，分别构建了两个独立的单输出克里金模型，用于升力系数和阻力系数。 在高维优化问题中，仅依赖实验设计（doe）抽样通常需要大量的设计点来确保替代模型的准确性，这不可避免地与计算效率的追求相冲突。为了解决这个问题，本研究开发了一种基于预期改进（ei）准则的两阶段自适应采样克里金（tsas-kriging）替代模型。所提出方法的总体工作流程如图5所示。 在第一步填充中，使用遗传算法（ga）[52]来定位具有最大ei值的点，从而指导样本集的自适应丰富。预期改进定义为： (14)ei(x)=(μ(x)?fmin)Φ(Z)+σ(x)?(Z) 其中φ(·)和?(·)分别表示标准正态分布的累积分布函数（cdf）和概率密度函数（pdf）；μ(x)和σ(x)表示克里金模型的预测均值和标准差，fmin是当前最佳目标值。 对于每个候选点，分别使用它们的克里金模型计算cl和cd的单目标ei。然后通过加权最大值将这两个值结合起来： (15)eicombined(x)=ωL·EIL(x)+ωD·EID(x) 其中，ω表示权重（ωl=ωD=0.5）。 在第二步填充中，构建一个次要替代模型来识别高不确定性区域。再次应用ga来找到对应于最大均方误差（mse）的设计点，然后将其添加到训练数据集中以提高局部精度。次要模型表示为： (16)?(r)=exp(?x2σ2) (17)σ=max(s)(n·d)1/2 其中max?(s)表示现有设计点之间的最大间距，d是设计空间的维度数，n是设计点的数量。对于每个候选点，从两个模型计算预测方差sl2(x)和sd2(x)，并通过它们进行归一化，以获得组合不确定性分数： (18)msecombined(x)=sL2(x)maxsL2+sD2(x)maxsD2 为了确保替代模型的准确性，本研究使用攻角、相对浸没深度（h c）和雷诺数作为替代模型的输入，升力系数和阻力系数作为输出。循环的终止条件是最大预测误差小于5%，并将主要采样频率设置为25次。在每次自适应迭代中，根据组合准则选择一个候选点xnew，进行一次cfd模拟以获得真实的cl和cd值，并使用数据更新两个克里金模型。 2.5. 优化和决策方法 在建立高保真tsas-kriging替代模型之后，进行了多目标优化，以实现升力和阻力之间的最佳平衡。由于nsga-ii遗传算法在通过快速非支配排序和精英选择有效近似帕累托最优前沿的同时保持种群多样性方面的能力得到了证明[53]，因此采用了该算法。本文研究的多目标优化问题可以描述为： (19){max(cl)=f1(α,H/C,Re) min(cd)=f2(α,H/C,Re) 为了从帕累托集中识别单一最优配置，应用了基于与理想解相似性排序的技术（topsis）[54]。topsis根据候选方案与正理想解（pis）的接近程度和与负理想解（nis）的远离程度对其进行排名。topsis程序的主要步骤总结如下： 步骤1. 决策矩阵的标准化。 (20)rij=xij∑i=1mxij2 其中xij是第i个解决方案的第j个目标值，mis是帕累托解决方案的数量。 步骤2. 加权标准化。 (21)vij=wjrij 在本研究中，所有目标都被赋予了相同的权重。 步骤3. 计算pis (a+)和nis (a?) (22)a+={max(vij)|j∈J1;min(vij)|j∈J2} a?={min(vij)|j∈J1;max(vij)|j∈J2} 其中j1和j2分别表示要最大化和最小化的目标。 步骤4. 计算每个解决方案与pis nis之间的欧几里得距离。 (23)di+=∑j=1n(vij?vj+)2,Di?=∑j=1n(vij?vj?)2 步骤5. 评估相对接近度 每个解决方案与理想解的相对接近度表示为： (24)ci=Di?Di++Di? 解决方案根据ci降序排列，ci最高的解决方案被选为最终最优设计。通过将nsga-ii的全局搜索能力与topsis的理性决策机制相结合，该框架为t型翼片的多目标优化提供了一种稳健且计算效率高的策略，确保了在相互冲突的目标之间实现平衡的流体动力性能。 3. 网格独立性验证和模型验证 3.1. 网格划分和网格独立性验证 本研究的网格生成使用了fluent meshing软件，采用poly-hexcore拓扑结构以确保高网格质量。最小正交质量保持在0.2，符合ansys fluent文档中推荐的阈值。这些单元被策略性地限制在远场区域，敏感性测试确认它们对全局收敛性或流体动力预测的准确性没有不利影响。由于水平翼片的前缘和后缘以及高速条件下水平翼片与垂直翼片之间的连接区域具有复杂的流动特性，在这些关键区域应用了局部网格细化。此外，在自由表面附近生成了更细的网格，因为那里的波浪破碎和尾流相互作用显著。为了确保近壁区域的高分辨率，第一层y+≈1，全局最大值不超过10。t型翼片周围的整体网格拓扑和细化区域如图6所示。 为了平衡计算效率和数值精度，在攻角8°、速度10节（相当于雷诺数4.8×10?）和浸没深度0.279米的情况下进行了网格独立性研究。使用网格收敛指数（gci）方法[55,56]验证了网格独立性。为此，通过系统细化生成了三组具有相同拓扑结构的网格，单元数量分别为263万（粗糙）、537万（中等）和1216万（精细）。保持大约1.3的网格细化因子（r），满足gci分析的形式要求。所有数值案例都使用相同的物理模型、边界条件和求解器配置进行。网格独立性研究的综合结果总结在表2中。最细网格（1250万）的估计离散化误差gci21< 1%，满足精度要求。此外，还满足了渐近收敛准则（gci21 <>
2.3. 拉丁超立方抽样（lhs）
为了构建一个准确的替代模型，在由攻角、速度和浸没深度定义的三维设计空间内进行高效初始抽样是必不可少的。本研究采用了拉丁超立方抽样（lhs）方法[50]来生成初始训练样本。lhs的关键原理是，对于包含d个变量和n个样本的d维设计空间，每个变量的范围被划分为n个等概率的、不重叠的区间。然后从每个区间随机选择一个样本值，这些值被随机组合形成n个不同的d维样本点。这个过程确保了样本集在每个维度上的均匀分布，有效减轻了传统蒙特卡洛抽样中常见的聚集效应。
对于范围为[ak,bk]的设计变量xk，第i个样本在k维度上的坐标xk(i)可以表示为：
(8)xk(i)=ak+(bk?ak)·πk(i)?u(i)n
其中πk(i)是整数1,2,…,n的随机排列，u(i)是在区间[0,1]内均匀分布的随机数。这种公式保证了每个子区间都被恰好采样一次，确保了对设计空间的全面和均匀覆盖。

2.4. 两阶段自适应采样克里金（tsas-kriging）替代模型
本研究采用克里金替代模型来构建设计参数与水翼性能之间的近似映射关系。克里金模型是一种基于高斯过程回归的空间插值技术，广泛用于建模确定性模拟数据[51]。克里金模型将未知函数视为一个随机过程。其核心思想是将系统响应y(x)分解为全局趋势模型f(x)和局部偏差z(x)：
(9)y(x)=f(x)+z(x)
其中，x表示设计变量（例如，攻角、速度、浸没深度）。全局趋势函数f(x)=f(x)tβ通常是一个多项式，用于捕捉响应值的整体趋势。局部偏差z(x)是一个均值为零、方差为σ2的平稳随机过程，其协方差定义为：
(10)cov[z(x(i)),z(x(j))]=σ2r(x(i),x(j))
其中，r(x(i),x(j))是描述样本点x(i)和x(j)之间空间相关性的相关函数。常用的高斯相关函数如下：
(11)r(x(i),x(j))=exp(?∑k=1dθk|xk(i)?xk(j)|2)
其中x是空间位置向量，d是设计变量的维度数，θk是第k方向上的相关参数，通过最大化似然估计来拟合。这个参数决定了该变量对响应值的影响程度。根据上述模型，对于未知点x*，克里金模型给出的最佳线性无偏预测器及其均方误差（mse）s^2如下：
(12)y^(x*)=f(x*)tβ^+r(x*)tr?1(y?fβ^)
(13)s^2(x*)=σ^2[1?r(x*)tr?1r(x*)+(1?1tr?1r(x*))2/tr?1
在这些方程中，r(x*)是未知点与所有已知样本点之间的相关向量，r是样本点之间的相关矩阵，f是样本点的趋势矩阵，y是观测到的响应向量，β^和σ^2分别是趋势模型系数和过程方差的最大似然估计。

升力和阻力系数对攻角、浸没深度和流速的变化表现出不同的非线性行为。强制它们共享相同的相关结构会降低其中一个或两个响应的预测精度。因此，在本研究中，分别构建了两个独立的单输出克里金模型，用于升力系数和阻力系数。
在高维优化问题中，仅依赖实验设计（doe）抽样通常需要大量的设计点来确保替代模型的准确性，这不可避免地与计算效率的追求相冲突。为了解决这个问题，本研究开发了一种基于预期改进（ei）准则的两阶段自适应采样克里金（tsas-kriging）替代模型。所提出方法的总体工作流程如图5所示。

在第一步填充中，使用遗传算法（ga）[52]来定位具有最大ei值的点，从而指导样本集的自适应丰富。预期改进定义为：
(14)ei(x)=(μ(x)?fmin)φ(z)+σ(x)?(z)
其中φ(·)和?(·)分别表示标准正态分布的累积分布函数（cdf）和概率密度函数（pdf）；μ(x)和σ(x)表示克里金模型的预测均值和标准差，fmin是当前最佳目标值。
对于每个候选点，分别使用它们的克里金模型计算cl和cd的单目标ei。然后通过加权最大值将这两个值结合起来：
(15)eicombined(x)=ωl·eil(x)+ωd·eid(x)
其中，ω表示权重（ωl=ωd=0.5）。
在第二步填充中，构建一个次要替代模型来识别高不确定性区域。再次应用ga来找到对应于最大均方误差（mse）的设计点，然后将其添加到训练数据集中以提高局部精度。次要模型表示为：
(16)?(r)=exp(?x2σ2)
(17)σ=max(s)(n·d)1/2
其中max?(s)表示现有设计点之间的最大间距，d是设计空间的维度数，n是设计点的数量。对于每个候选点，从两个模型计算预测方差sl2(x)和sd2(x)，并通过它们进行归一化，以获得组合不确定性分数：
(18)msecombined(x)=sl2(x)maxsl2+sd2(x)maxsd2
为了确保替代模型的准确性，本研究使用攻角、相对浸没深度（h/c）和雷诺数作为替代模型的输入，升力系数和阻力系数作为输出。循环的终止条件是最大预测误差小于5%，并将主要采样频率设置为25次。在每次自适应迭代中，根据组合准则选择一个候选点xnew，进行一次cfd模拟以获得真实的cl和cd值，并使用数据更新两个克里金模型。

2.5. 优化和决策方法
在建立高保真tsas-kriging替代模型之后，进行了多目标优化，以实现升力和阻力之间的最佳平衡。由于nsga-ii遗传算法在通过快速非支配排序和精英选择有效近似帕累托最优前沿的同时保持种群多样性方面的能力得到了证明[53]，因此采用了该算法。本文研究的多目标优化问题可以描述为：
(19){max(cl)=f1(α,h/c,re)
min(cd)=f2(α,h/c,re)
为了从帕累托集中识别单一最优配置，应用了基于与理想解相似性排序的技术（topsis）[54]。topsis根据候选方案与正理想解（pis）的接近程度和与负理想解（nis）的远离程度对其进行排名。topsis程序的主要步骤总结如下：
步骤1. 决策矩阵的标准化。
(20)rij=xij∑i=1mxij2
其中xij是第i个解决方案的第j个目标值，mis是帕累托解决方案的数量。
步骤2. 加权标准化。
(21)vij=wjrij
在本研究中，所有目标都被赋予了相同的权重。
步骤3. 计算pis (a+)和nis (a?)
(22)a+={max(vij)|j∈j1;min(vij)|j∈j2}
a?={min(vij)|j∈j1;max(vij)|j∈j2}
其中j1和j2分别表示要最大化和最小化的目标。
步骤4. 计算每个解决方案与pis/nis之间的欧几里得距离。
(23)di+=∑j=1n(vij?vj+)2,di?=∑j=1n(vij?vj?)2
步骤5. 评估相对接近度
每个解决方案与理想解的相对接近度表示为：
(24)ci=di?di++di?
解决方案根据ci降序排列，ci最高的解决方案被选为最终最优设计。通过将nsga-ii的全局搜索能力与topsis的理性决策机制相结合，该框架为t型翼片的多目标优化提供了一种稳健且计算效率高的策略，确保了在相互冲突的目标之间实现平衡的流体动力性能。

3. 网格独立性验证和模型验证
3.1. 网格划分和网格独立性验证
本研究的网格生成使用了fluent meshing软件，采用poly-hexcore拓扑结构以确保高网格质量。最小正交质量保持在0.2，符合ansys fluent文档中推荐的阈值。这些单元被策略性地限制在远场区域，敏感性测试确认它们对全局收敛性或流体动力预测的准确性没有不利影响。由于水平翼片的前缘和后缘以及高速条件下水平翼片与垂直翼片之间的连接区域具有复杂的流动特性，在这些关键区域应用了局部网格细化。此外，在自由表面附近生成了更细的网格，因为那里的波浪破碎和尾流相互作用显著。为了确保近壁区域的高分辨率，第一层y+≈1，全局最大值不超过10。t型翼片周围的整体网格拓扑和细化区域如图6所示。

为了平衡计算效率和数值精度，在攻角8°、速度10节（相当于雷诺数4.8×10?）和浸没深度0.279米的情况下进行了网格独立性研究。使用网格收敛指数（gci）方法[55,56]验证了网格独立性。为此，通过系统细化生成了三组具有相同拓扑结构的网格，单元数量分别为263万（粗糙）、537万（中等）和1216万（精细）。保持大约1.3的网格细化因子（r），满足gci分析的形式要求。所有数值案例都使用相同的物理模型、边界条件和求解器配置进行。网格独立性研究的综合结果总结在表2中。最细网格（1250万）的估计离散化误差gci21< 1%，满足精度要求。此外，还满足了渐近收敛准则（gci21 < gci32），表明数值解已达到稳定收敛。>因此，中等网格（537万个节点）的结果位于收敛平台上，其误差相对于外推的参考值是可以接受的。为了在计算精度和效率之间取得最佳平衡，最终选择了中等网格（537万个节点）进行所有后续的模拟。表2显示了基于GCI评估方法的网格离散化误差的评估结果。

参数
升力系数（CL）
阻力系数（CD）
N1, N2, N3
12163584, 5374323, 2634255
细化因子 r2
11.268
细化因子 r3
21.313
变量 ?1
0.890
0.081
变量 ?2
0.888
0.080
变量 ?3
0.869
0.077
表观阶数 p
8.268
4.034
相对误差 ea
210.22%
1.2%
GCI3
20.31%
2.4%
GCI2
10.033%
0.77%

3. 模型验证
为了进一步验证CFD模拟的准确性，分析了六个代表性的运行条件，包括三种流速（6 kn、8 kn和10 kn）和两个攻角（5°和8°）。模拟结果与相应的实验数据进行了比较，如表3所示。结果表明，数值值和实验值之间的最大偏差为6.67%，而平均偏差保持在4%以下，这证明了数值方法的可靠性和准确性。这些轻微的差异归因于DES和VOF模型中的数值近似以及固有的实验不确定性。这些发现为后续构建替代模型提供了坚实的基础。

4. 结果与讨论
4.1. T型翼流动场特性的分析
为了验证所开发数值模型的准确性并研究T型翼周围的流体动力特性，选择了一个代表性的运行条件：攻角为8°，巡航速度为10节，浸入深度为0.279米（H/C=3.7）[47]。在此条件下，详细分析了自由表面变形、表面压力分布和速度场特征。如图7所示，T型翼下游产生了一个明显的四极波模式。自由表面高度在0.246米到0.321米之间变化，最低点出现在翼尾附近。波系统在计算域内沿纵向完全发展，没有明显的边界反射或扭曲，这证实了选定的域大小足以准确捕捉由翼型引起的波浪传播。

4.2. 参数敏感性分析
4.2.1. 攻角对T型翼性能的影响
如图10所示，不同攻角下T型翼的升力和阻力系数的变化。阻力系数随着攻角的增加而呈稳定上升趋势，在超过13°时急剧上升，表明流动分离加剧，诱导阻力迅速增加。相比之下，升力系数首先增加然后减少。在低攻角下，较大的攻角增强了上下表面之间的压力差，从而提高了升力生成。然而，一旦攻角超过某个临界阈值，就会发生流动分离，限制甚至减少升力。具体来说，在13.5°的攻角下，升力系数达到最大值1.163，此时流动基本保持附着状态，翼型表现出优异的升力特性。

4.2.2. 浸入深度对T型翼性能的影响
图13显示了不同浸入深度对T型翼升力和阻力特性的影响。随着浸入深度的增加，升力系数显著增加，阻力系数也随之增加。当浸入深度超过0.302米（H/C=4）时，升力系数的增长逐渐趋于平稳，表明自由表面效应减弱，升力接近饱和值。阻力系数也随浸入深度增加而增加，主要是由于有效迎风面积增大和深水区尖端涡旋结构的增强，这两者都导致了整体阻力的增加。最佳升阻比在0.20米（H/C=2.65）时出现，代表了高升力和相对较低阻力之间的最佳平衡。尽管更大的浸入深度可以进一步提高升力，但随之而来的阻力增加更为显著，导致整体空气动力效率下降。

图14展示了不同攻角下T型翼表面压力分布的演变，揭示了其非单调流体动力性能背后的流动机制。在-5°到20°的宽攻角范围内，流动基本保持附着状态，表明流动稳定。在负攻角（-5°）下，翼型仍能产生一定的升力；然而，上表面的吸力区域显著减弱，下表面前缘附近出现局部低压区，导致升力显著下降，甚至出现负升力。在0°-10°的适中攻角范围内，上表面的压力分布平滑，并逐渐向尾缘恢复，表明流动保持附着状态，这与图10中观察到的稳定升力和最佳升阻比一致。当攻角增加到15°和20°时，流动发生明显分离，尽管整体压力差达到最大值（对应于攻角13.565°时的升力系数峰值），但上表面压力场变得高度不均匀，出现不规则的低压区和混沌的恢复区。这些现象直接证明了大尺度流动分离和涡旋脱落的存在，虽然暂时增强了升力，但最终导致升阻比急剧下降。

总之，数值模拟成功捕捉了选定条件下T型翼的代表性流动特征，并揭示了关键区域（如翼-支柱连接处和翼尖）的复杂流动现象，为未来的升力调节和结构优化提供了坚实的理论基础。在这个阶段，foil几乎在无界流场中运行，不受靠近自由表面所引起的压力释放效应的影响，否则这种效应会抑制升力的产生。因此，随后升阻比的下降主要是由于阻力的持续增加。该区域阻力的增长不再主要由波浪阻力主导，而是由于支柱的湿润面积增大以及尖端涡流的增强所致，随着深度的增加，自由表面的影响减弱，这些涡流的发展受到更少的限制。总体而言，在0.2米的浸入深度观察到的最佳升阻比代表了一个流体动力学平衡点。在这个深度，自由表面的干扰被充分减弱，从而能够有效地产生升力，而阻力成分尚未占据主导地位，确保了整体的优异性能。

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图14. 不同浸入深度下的自由表面高度分布。

4.2.3. 速度对T-foil性能的影响
图15展示了在不同流速（从0.5到20米/秒）下T-foil的升力系数、阻力系数和升阻比的变化。结果表明，随着速度的增加，升力系数在低速时迅速减小，然后逐渐上升，并最终稳定在大约0.909。在低速时，T-foil运行在低雷诺数区域，此时层流边界层倾向于提前分离，导致升力生成效率显著降低。随着速度的增加和雷诺数超过过渡阈值，增强的湍流附着改善了流体对foil表面的附着，从而逐渐恢复了升力。在更高的速度下，流场变得更加稳定，升力系数对速度变化的敏感性降低，表明向稳定的空气动力学状态趋近。相比之下，阻力系数随着速度的增加而持续且逐渐减小，最终稳定在大约0.0757。这种趋势可以归因于两个主要因素：首先，高雷诺数下边界层变薄，减少了粘性阻力的比例；其次，流体附着改善，抑制了流体分离并稳定了压力阻力。在低速条件下，升力的快速减小加上阻力的适度减小导致升阻比急剧下降。随着速度的增加，增强的湍流附着促进了升力的恢复，而阻力系数继续减小，产生了协同效应，提高了整体流体动力学效率。因此，升阻比逐渐增加，并最终稳定在大约12，这代表了高速度下的平衡和高效流动状态。

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图15. 不同速度下的升力、阻力系数和升阻比。

图16 展示了不同来流速度下T-foil的表面速度矢量场。在低速范围（1-3米/秒）内，最大表面速度明显低于来流速度，翼尖附近有弱的轴向流动，自由表面附近有向下或不规则的流动模式，表明粘性效应主导了流动行为。当速度增加到中等范围（5-10米/秒）时，表面速度显著上升，翼尖的轴向流动增强，伴随着尖端涡流的明显发展和自由表面飞溅的加剧。这些特征表明流体附着和升力恢复得到改善，而诱导阻力和波浪阻力的贡献变得越来越显著。在高速范围（15-20米/秒）内，表面速度几乎与来流速度成线性增长，流场表现出稳定且组织良好的矢量分布，表明已经进入了完全发展的湍流状态。升力和阻力系数都接近稳定值。同时，强烈的表面飞溅反映了随着流速增加波浪阻力的持续增长。

4.3. 代理模型预测结果分析
为了构建和验证代理模型，系统地对由三个关键参数（攻角、浸入深度和速度）定义的设计空间进行了采样。如表4所示，通过LHS生成了总共150个样本点作为训练集，确保了在指定参数范围内的均匀覆盖。另外独立生成了30个样本点作为模型验证的测试集。训练集和测试集的空间分布分别在图17中直观展示，确认了这些点在三维参数空间中的代表性和非聚集分布。

表4. 拉丁超立方采样操作参数。
参数 值 维度
d3 150 3
训练样本量 150 30
攻角 α -5～20 (°)
浸入深度 H 0.05～0.5 (m)
速度 v 0～20 (m/s)

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图17. LHS训练和测试数据集的空间分布。

提出的两阶段自适应采样克里金（TSAS-Kriging）模型的预测性能通过跟踪其预测误差随自适应添加训练样本数量的演变进行了定量评估。作为参考，仅基于150个LHS样本（即0个添加样本）构建的初始标准克里金模型表现出显著的预测误差。升力系数的预测平均误差为14.92%，最大误差为57.48%，均方根误差（RMSE）为0.172。同样，对于阻力系数，初始模型的平均误差为13.7%，最大误差为73.79%，RMSE为0.127。这些误差的收敛历史如图18所示，展示了TSAS-Kriging自适应采样策略的显著效果。随着算法迭代地向训练集中添加信息丰富的样本，重点关注模型不确定性较高或潜在最优的区域，升力和阻力系数的所有误差指标都单调且显著减小。这一趋势证实了自适应采样过程成功地引导模型精炼，提高了整个设计空间内的预测准确性。

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图18. 随着添加训练样本数量的TASA-kriging代理模型误差。

图19. 添加21个样本后，优化过程收敛。此时，TSAS-Kriging模型达到了高水平的预测保真度。升力系数的最终误差降低到平均0.512%，最大4.3%，RMSE为0.0229。对于阻力系数，最终误差达到平均1.069%，最大4.95%，RMSE为0.0167。至关重要的是，两个系数的最大预测误差都低于5%的阈值，表明该模型足够准确，可用于可靠的优化和设计探索。通过优先考虑全局准确性，该框架产生的代理模型不仅适用于多目标优化，还作为一种通用的预测工具，适用于快速性能评估、敏感性分析和实时控制应用。此外，其模块化的工作流程确保了鲁棒性，避免了局部偏差，并简化了验证过程，非常适合工程设计实践。训练好的克里金模型的超参数在表5中总结，其中相关长度以标准化值呈现。

表5. 克里金模型的超参数。
超参数 阻力系数模型 升力系数模型
相关长度（攻角） θ 0.45
相关长度（浸入深度） θH/C 0.11
相关长度（雷诺数） θRe 0.97
过程方差 σf 23.7
正则化 σn 20.05

表6. TSAS-Kriging算法自适应添加的21个样本点的战略分布提供了对模型精炼过程的关键洞察。如表6详细所示，这些补充样本的绝大多数集中在低速范围（0-5米/秒）内，少数样本位于20米/秒的上限附近。这种非均匀分布并非随意；这是自适应采样算法识别并针对设计空间内高预测不确定性区域的直接结果。在低速下，点的集中强烈表明，基于150个LHS样本构建的初始克里金模型在该特定区域的预测能力明显较差。低雷诺数下流体物理的固有强非线性，通常与大规模流动分离或层流分离泡等复杂现象相关，使得该区域特别适合代理建模，因此需要更高的样本密度以进行准确近似。

图20. 在30个测试集上对标准模型和增强模型的预测进行了比较分析，清楚地展示了两者之间的性能差距。TSAS-Kriging对升力和阻力系数的预测与CFD基准数据在整个测试集上几乎完美对齐。相比之下，标准克里金模型在几个测试点上表现出严重偏差。具体来说，升力系数预测在点7、19和29处出现显著误差，而阻力系数预测在点1、13、18、26和29处出现重大误差。将这些问题点与表6中的原始数据对照后，发现了一个明确的模式，即所有这些预测误差较大的点都具有低于5米/秒的流速。这一发现最终验证了从自适应样本分布得出的初步推断，并确定了低速范围是标准克里金模型不准确性的主要来源。

图21. 显示了CD和CL的预测误差细节，包括输入参数（攻角、浸入深度和速度）、高保真CFD数据以及模型预测，以及计算出的绝对误差和相对误差。图21表明，CD和CL的预测误差大多在0-1%范围内，平均值分别为1.07%和0.51%，最大误差分别为5%和4.3%。高保真模拟与模型预测之间的最小差异表明，后者可以作为可靠且计算效率高的代理模型。这种精度水平足以支持后续的多目标优化和实时性能估计。

表7. 独立测试样本的详细预测误差。
数字 攻角 浸入深度 速度 CFD（CD） CFD（CL） 预测（CD） 预测（CL） 绝对误差（CD） 绝对误差（CL） 相对误差（CD） 相对误差（CL）
1 3.75 0.39 7.0 0.03 10.03 0.03 6.0 E-05 4.0 E-05 6.5 E-04 1.1 E-03
2 -2.9 2.0 0.06 19.7 0.01 30.08 10.01 34.0 0.08 6.0 E+00 0.0 E+00 0.0 E+00 31.7 2.0 0.16 5.0 0.28 1.06 20.28 9.3 0.05 0.47 13.1 4.2 0.18 0.20 11.8 2.5 0.20 11.8 23.9 0.05 0.47 13.1 4.2 0.18 0.27 15.8 12.0 0.27 0.16 6.1 1.25 84.1 18.0 0.37 19.5 31.2 0.25 51.4 0.23 65.8 0.34 1.5 0.03 0.22 88.1 19.5 0.18 31.9 17.7 0.61 160.6 10.29 31.0 14.9 0.12 32.6 5.39 0.05 0.91 46.2 0.34 11.1 0.92 0.43 60.6 1.32 9.3 0.23 16.0 5.39 0.23 60.08 20.7 14.0 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.24 18.0 0.25 51.4 0.23 65.8 0.34 11.7 0.05 0.23 11.5 0.25 84.3 0.24 11.5 0.09 0.43 60.6 0.33 11.5 0.23 60.08 20.7 0.25 12.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.27 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.4 0.03 0.23 60.08 20.7 0.25 15.0 0.25 84.3 0.25 51.多目标优化结果分析
T型翼的多目标优化采用了NSGA-II算法进行，目标是同时最大化升力系数（CL）和最小化阻力系数（CD）。决策变量（攻角、浸没深度和速度）及其相应的范围与之前的采样阶段一致，如表9所示，并在图22中进行了说明，这证明了算法的有效性。阻力系数呈现出稳定的下降趋势，在大约200代后稳定在0.0108左右。相反，升力系数则持续增加，在大约100代后稳定在1.425左右。这种收敛行为证实了优化搜索过程的稳健性。

表9. NSGA-II运行参数
参数 值
种群规模 200
最大代数 300
交叉概率 0.8
变异概率 0.2
帕累托比例 0.35

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图22. 随优化代数变化的升力和阻力系数

图23中展示的帕累托前沿生动地反映了两个相互冲突目标之间的基本权衡。该前沿显示了一个特征分布：升力系数的任何改善都需要阻力系数的增加，反之亦然。基于升阻比的解决方案着色进一步揭示了最高效率出现在低阻力、中等升力的区域。通过TOPSIS方法选出的最终最优解以及最大升阻比解也被清晰标记出来。最大升力系数解位于右上角，而最大升阻比解位于左下角。代表平衡折中的TOPSIS解位于前沿的中央区域。

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图23. 帕累托前沿解分布

表10量化了这三个代表性解决方案的具体操作条件和相应的性能指标。随后进行了独立的高保真CFD评估以验证这些结果。所有误差均控制在5%的阈值范围内，证实了帕累托最优解能够被替代模型可靠预测。分析揭示了帕累托解中蕴含的不同设计理念：
a) 最大升力系数解（CL=1.4253, CL/CD=6.63）的特点是高攻角（13.5°）、高速度（19.52 m/s）和中等浸没深度（0.378 m）。这种配置适用于瞬态高负荷场景，如起飞、快速机动或在恶劣海况下操作，需要最大动态升力来保持稳定或避免碰撞。虽然其升阻比较低（6.63），但这里的优先级是瞬时升力生成而非巡航效率，因此非常适合海军舰艇或高性能船只在关键阶段的运行。
b) TOPSIS平衡解（CL=0.857, Cd=0.063, CL/CD=13.6）在中间攻角（7.6°）、中高速（17.5 m/s）和浅至中等浸没深度（0.242 m）下运行。这对应于船舶大部分运行时间的稳态巡航条件。该配置在保持足够升力的同时提供了稳健的流体动力效率，代表了适用于多种任务类型的“通用设计”理念，如客运渡轮或巡逻船，这些场合需要在不同条件下保持一致的性能。
c) 最大升阻比解（CL/CD=16.69）在低攻角（6.3°）、中等速度（16.2 m/s）和接近自由表面的浅浸没深度（0.2 m）下达到最佳效率。这种配置专为燃料敏感、长时间续航的任务设计，如海洋监视或环境监测。通过在接近自由表面的区域运行，它利用了有利的波浪相互作用效应来最小化阻力，从而延长航程并减少燃料消耗。

表10. 不同偏好解决方案的数据及高保真CFD结果
| 参数 | 最大升力系数解 | TOPSIS最优解 | 最优升阻比解 |
|------------------|------------------|------------------|------------------|
| 攻角（°） | 13.5 | 7.6 | 6.3 |
| 速度（m/s） | 19.52 | 17.5 | 16.2 |
| 雷诺数 | 1.94×10^7 | 1.74×10^7 | 1.61×10^7 |
| 相对浸没深度 H/C | 5.0 | 13.2 | 12.6 |
| 浸没深度（m） | 0.378 | 0.242 | 0.2 |
| 升力系数 CL | 1.425 | 0.857 | 0.621 |
| 阻力系数 CD | 0.215 | 0.063 | 0.037 |
| 升阻比 CL/CD | 6.629 | 3.136 | 16.688 |
| CFD升力系数（CL） | 1.418 | 0.852 | 0.618 |
| 升力系数误差（%） | 0.49 | 2.71 | 0.4 |
| 阻力系数误差（%） | 0.221 | 0.06 | 0.037 |

值得注意的是，所有优化参数均符合规定的约束条件，避免了失速、空化及过度造波等关键风险区域。这表明，由高保真TSAS-Kriging模型驱动的优化框架成功地 navigated 了复杂的设计空间，得出的解决方案不仅在流体动力学理论上合理，而且在实际工程上也具有很高的可行性。帕累托前沿为设计师提供了一套清晰且可量化的选择，以便根据具体任务要求选择最佳的T型翼配置。尽管该框架具有稳健性，但结论仍受数值建模约束和设计空间稀疏区域的替代模型插值限制的影响。因此，在此计算框架范围内，尤其是H/C=2.65的配置被视为高置信度的候选方案。需要注意的是，当前分析仅关注单相流体动力性能。虽然在设计空间的上限可能发生空化现象，但识别出的最优配置均处于中等攻角范围内（α≤13.5°），此时相变的风险较低。未来对该框架的扩展可以加入显式的空化起始约束，以进一步提高高速运行的可靠性。

5. 结论
本研究建立了一个集成且高效的优化框架，旨在弥合T型翼设计中高保真数值精度与计算经济性之间的差距。通过结合自适应替代建模与多目标决策，该框架提供了一种系统化的方法来应对复杂的流体动力设计空间。主要结论如下：
1. T型翼的关键攻角约为13.5°，超过该角度后，支柱-翼连接处的涡流系统变得不稳定，导致大规模流动分离并引发失速。在-3.2°的攻角下，升力系数接近零，为高速航行中的姿态控制提供了理论指导。
2. T型翼在H=2.65C的浸没深度下实现了最佳的升阻比，有效平衡了自由表面效应和诱导阻力。研究还发现性能演变分为三个阶段：低速区域以层流分离为主，中速区域湍流恢复升力，高速区域则表现为稳定高效的流动状态。
3. 使用NSGA-II算法的多目标优化成功实现了升力和阻力特性的同时改进。大约200代后，阻力系数稳定在0.0108，升力系数收敛至1.425。
4. 提出的两阶段自适应采样Kriging（TSAS-Kriging）替代模型通过仅增加21个样本，将升力和阻力系数的最大预测误差从57.48%和73.79%降低到5%以下，显示出显著的预测准确性。
5. 从帕累托前沿获得了三个代表性的最优运行配置：高升力系数配置（攻角=13.5°，浸没深度H=5.01C，速度=19.52 m/s）适用于高负荷条件；TOPSIS平衡配置（攻角=7.6°，浸没深度H=3.21C，速度=17.5 m/s）在升力生成和阻力减少之间取得了平衡，适合稳态巡航操作；最大升阻比配置（攻角=6.3°，浸没深度H=2.65C，速度=16.2 m/s）可实现最佳能源效率。

总之，所提出的框架通过提供样本效率高且物理上一致的架构，推进了当前的流体动力优化方法。自适应采样与多目标选择之间的协同作用确保了在高计算预算内有效利用高保真CFD，为复杂海洋升力表面的设计提供了一种稳健且通用的方法。除了优化之外，该框架还作为一种多功能的工程工具，可用于快速性能预测和控制导向的应用。当前研究尚未深入探讨空化问题，这一方面将在未来的工作中进一步研究。

CRedI作者贡献声明
胡武龙：撰写原始草稿、监督、概念化、资金获取、审阅与编辑。
程永峰：撰写原始草稿、方法论、调查、正式分析、数据管理、审阅与编辑。
邢梦瑶：审阅与编辑。
龙飞：项目管理；资源协调。