具有磁敏感性的深度学习技术，用于能带结构预测以及带有磁流变弹性体的可调谐超材料的逆向设计

《Materials Today Communications》：Magnetically aware deep learning for band structure prediction and inverse design of tunable metamaterial with magnetorheological elastomer

　　毛圆圆|王玉怀|邢健|倪红|朱晓静|宋马军
杭州师范大学工程学院，中国杭州310018

**摘要**
尽管具有磁流变弹性体（MREs）的可调谐超材料在应用方面展现出巨大潜力，但其发展受到传统方法在复杂多物理条件下效率低下和逆向设计能力有限的阻碍。为克服这些挑战，本文提出了一种集成磁场感知机制的深度学习协同设计框架。引入了一种基于结构梯度的、位置加权的磁场融合策略用于能带结构预测。开发了一种磁场条件下的注意力映射网络（MCAMNet）来模拟结构对磁场的局部响应敏感性。此外，通道-空间双注意力机制增强了磁场与几何信息之间耦合的表示能力，从而实现准确的能带预测。对于逆向设计，提出了一种高斯扰动驱动的非线性融合机制，结合多物理动态编码来模拟磁场在不同频带上的选择性调节。构建了一种带有注意力和Transformer的磁场条件GAN（MCGAT），以高效生成具有目标能带结构和磁场条件的结构。波导仿真验证了生成结构的可调谐波导特性。计算结果表明，MCAMNet的平均相对预测误差为1.87%，而MCGAT生成的结构中有98.4%通过了4连通性检查，证明了所提出模型在MRE超材料的结构设计和动态调节方面的准确性和鲁棒性。

**1. 引言**
近年来，超材料[1]作为一种由人工设计的微观结构单元组成的复合材料，在智能结构和新型功能设备的设计中成为热点，因为它们能够调节电磁波、声波和弹性波等物理场，超越了天然材料的性能[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。然而，一旦传统的超材料结构被设计和制造出来，它们的波响应特性就固定了，这使得它们难以适应多变的外部环境和复杂的工程需求。为了克服静态设计和被动服务的局限性，智能超材料引起了研究人员的广泛关注[7]。智能超材料的特点是通过外部场（如磁场、电场或温度场）的激励来动态调节参数或属性，从而实现波传播特性的可编程控制。这为它们在声学隐身、自适应振动抑制、智能能量收集和主动振动隔离[8]、[9]、[10]、[11]等应用提供了巨大潜力。
磁流变弹性体（MRE）是构建智能超材料的典型功能模块[12]。MRE是一种由聚合物基体和分散的微米级磁性颗粒组成的复合材料，具有快速响应、低能耗和良好的可逆性。当受到外加磁场的作用时，磁性颗粒的排列会导致弹性模量和阻尼特性的显著且可逆的变化。换句话说，通过精确调节激励磁场，可以动态编程MRE超材料的带隙特性。例如，Lin等人[13]提出了一种具有连续可编程特性的磁流变弹性体超材料板。实验验证了可以通过调节施加在MRE超材料上的磁场来动态编程带隙的位置和宽度。然而，MRE超材料的设计面临着正向预测缓慢和逆向生成困难的双重挑战。它们的带隙响应严重依赖于微观结构几何形状、材料分布和施加磁场之间的强非线性耦合。这导致高保真仿真的成本高昂，并使得传统优化方法难以高效探索高维设计空间。
在超材料的前向预测中，带隙预测涉及在给定特定几何配置、材料参数和单元格外部场条件的情况下，准确确定弹性波带隙的位置、宽度和存在性。传统方法主要依赖于高保真数值仿真，如有限元方法（FEM），并结合参数扫描或优化算法进行迭代探索[14]、[15]、[16]、[17]。例如，Liu等人[18]提出了一种基于区间B样条小波的小波FEM用于二维超材料的带隙计算。他们为单元格构建了一个平面弹性力学小波元素模型，并将其与Bloch定理和周期性边界条件相结合，将问题转化为依赖于波矢的特征值解。然而，这种方法仅适用于没有外部场激励的被动超材料，没有考虑磁弹性耦合。这使得它难以直接扩展到多物理智能超材料系统，如MRE超材料。在强耦合的磁弹性边界场景中，计算单个带隙需要反复解决大规模、稀疏的广义特征值问题，运行时间长达数十分钟，严重限制了设计效率和探索范围。
为了突破这一计算瓶颈，研究人员采用了数据驱动的替代建模策略[19]、[20]，利用机器学习方法构建结构参数和带隙性能之间的快速映射。例如，Tran等人[21]提出了一种端到端框架，结合卷积神经网络和条件变分自编码器来准确预测光子晶体带隙的中心频率和宽度。Farajollahi等人[22]比较了各种机器学习算法，包括随机森林、极端随机树、k最近邻和神经网络，用于构建圆柱形柱状声学超材料的带隙预测模型。他们将这些模型与元启发式优化算法（如遗传算法）相结合，以搜索最优的带隙特性和单元格结构。此外，El等人[23]提出了一种混合模型，结合了由自适应动态极坐标引导的鲸鱼优化算法和集成机器学习，以提高超材料天线的带宽和增益预测准确性。尽管上述数据驱动方法显著提高了预测超材料带隙的效率，但对于智能超材料（如MRE超材料）来说，它们并不准确。这些超材料的带隙特性对结构和激励场参数非常敏感，微小扰动容易导致带隙的移动或消失。然而，现有模型难以捕捉由激励场引起的非平滑、非线性映射关系，导致关键带隙的预测频率出现显著偏差。这限制了它们在预测智能超材料带隙方面的直接应用，并削弱了它们在工程设计、高精度逆向设计和不确定性量化方面的可靠性。
在超材料的逆向结构生成中，传统方法主要采用基于物理的拓扑优化策略[24]。2003年，Sigmund等人[25]首次提出了一种二元两相材料分布拓扑优化方法，通过数学编程最大化相对带隙，获得了能够在特定频率阻挡弹性波传播的声学超材料结构。Huang等人[26]提出了一种用于二维单元格中材料分布的设计方法，结合了FEM、Floquet-Bloch理论和基于梯度的拓扑优化，以最大化特定方向上的带隙宽度。Xu等人[27]研究了基于两阶段多目标遗传算法（NSGA-II）的二维超材料的多目标拓扑优化，以最大化相对和绝对带宽。关于MRE超材料，Wang等人[28]提出了一种基于顺序Kriging材料场级数展开方法的拓扑优化方法，用于生成在特定目标频率下具有可调带隙的单元格结构，从而验证了磁场对带隙特性的调节效果。Liang等人[29]采用基于梯度的拓扑优化方法设计了磁流变声子晶体。通过制定一个聚合目标函数，他们在10至80 mT的磁场范围内实现了带宽增加了42%的设计。虽然上述方法在基于拓扑优化的超材料逆向生成方面取得了显著进展，但它们通常计算效率低下、收敛缓慢，并且对初始结构依赖性强。这对于MRE超材料来说尤其具有挑战性，因为它们的属性对施加的磁场非常敏感，很难在多物理约束下同时满足设计效率和功能响应准确性的双重要求[30]、[31]、[32]、[33]。
最近，在使用深度学习进行传统超材料逆向设计方面取得了积极进展[34]、[35]。例如，Wan等人[36]提出了一种基于卷积自编码器和全连接深度神经网络的逆向设计方法，通过构建几何特征和带结构之间的复杂映射，有效设计了具有所需特性的超材料。这种方法打破了传统拓扑优化对对称性和规则性的依赖，使得逆向设计能够涵盖更广泛的结构类型。Chu等人[37]提出了一种用于声学超材料的逆向设计框架，结合了注意力机制和自编码器。通过引入注意力模块，模型可以更准确地捕捉结构和带隙之间的非线性映射。此外，解码器用于推断满足目标带隙的单元格微观结构，显示出强大的生成性能。此外，还采用了一种改进的自编码器来压缩高维色散曲线，有效减少了约13.5%的训练时间，同时保持了高预测精度。这种方法为高效超材料设计提供了强大的工具。然而，大多数现有工作关注的是没有外部场激励的被动超材料，未能将外部激励作为设计变量考虑进去。为了适应智能超材料，Chen等人[38]提出了一种基于物理的机器学习框架，用于具有非周期性负电容分布的主动压电超材料梁的逆向设计。首先，他们的方法训练了一个多层感知器（MLP）作为每个电路单元的替代模型来预测传递矩阵。然后，将这些模型组装成一个全局模型，用于快速的前向响应预测。对于逆向设计，该框架仍然依赖于将这个替代模型与外部优化器（如遗传算法）结合，以迭代搜索最优电容分布。因此，它仍然是一个包括建模和优化的两阶段过程，而不是一个端到端的生成解决方案。此外，训练好的全局网络作为一个高效的替代模型，并与遗传算法结合，用于识别实现目标波操纵功能的最优负电容空间分布。然而，这种方法难以直接应用于MRE超材料的逆向生成，因为该过程仍然涉及参数优化。到目前为止，我们尚未找到能够同时编码连续磁场激励和复杂微观结构的MRE超材料端到端深度生成模型的报告。没有这样的模型，就难以高效实现MRE超材料在磁场和目标带隙组合下的正向和逆向协同设计。
为了快速预测MRE超材料在不同磁场下的可调谐特性并高效生成结构，本文提出了一种具有磁场感知能力的双通道深度学习协同设计框架。对于前向预测，提出并构建了一种磁场条件下的注意力映射网络（MCAMNet），以明确模拟微观结构对外部磁场的局部响应敏感性。研究了基于结构梯度的磁场感知策略和通道-空间双注意力机制，以准确预测不同磁场下的带结构。对于逆向生成，提出了一种带有注意力和Transformer的磁场条件GAN（MCGAT），以实现目标带隙和磁场条件下的端到端结构生成。开发了一种高斯扰动驱动的谱磁场非线性融合机制和可学习的多物理编码，以模拟磁场在不同频带上的选择性调节行为。最后，通过在COMSOL中进行的M型和Z型波导仿真验证了生成的MRE超材料的磁可调带隙特性。这项研究为多物理智能超材料的工程应用提供了一种新的数据驱动范式，具有高精度、高效性和物理可解释性。

**2. 模型和方法**
为了便于理解数据驱动的二维MRE超材料设计的工作机制，本节详细阐述了数据集构建方法和基于磁场的深度学习框架。

**2.1. 数据集构建**
本研究研究的MRE超材料由周期性排列的单元格组成，这些单元格由磁可调MRE基体和钨颗粒组成。这里，钨作为一种具有高密度、高刚度和磁中性的相引入。其主要功能是通过与柔软且可磁调谐的MRE基体在材料属性上创造显著对比，从而增强阻抗失配，并促进弹性波带隙的形成和调节。此外，由于钨本身并不直接受到外部磁场的作用，因此场依赖性响应主要集中在MRE相中，这有助于将可调基体效应与被动掺杂效应区分开来，并提高带隙演变的物理可解释性。两种材料的主要参数列在表1中。MRE的泊松比取为0.47 [28]、[39]、[40]，这是基于弹性体MRE的常见假设，因为它们具有接近不可压缩的性质。这一选择也与之前关于MRE建模的研究一致，其中采用了接近0.5的泊松比来表示基体材料的准不可压缩机械响应。因此，在当前的有限元模拟中，使用这个值作为物理上合理的近似。

表1. MRE和钨的材料参数。

材料 | 质量密度（kg/m3） | 弹性模量（MPa） | 泊松比 |
| --- | --- | --- | --- |
| MRE | 349 | 2.26 | 0.47 |
| 钨 | 19,100 | 0.28 |

所使用的MRE的弹性模量与物理磁场强度之间的关系由方程（1）给出 [28]。

还需要注意的是，这里采用的方程（1）是一种现象学的场-刚度关系，用于数据集构建，而不是从基础自由能框架推导出的完全热力学一致的磁机械本构律。这种简化描述的目的是为了提供一个高效且物理上合理的映射，将施加的磁场转换为MRE的有效刚度变化，这是当前带结构预测和逆向设计任务中控制带位置变化的主要材料参数。虽然从统一的自由能或焓密度推导出的本构框架可以更全面地描述磁机械耦合，但这种方法需要广泛的材料校准和复杂的多物理计算环境。相比之下，本研究中使用的场依赖性有效刚度表示为当前学习框架提供了高效的映射。未来研究的一个优先事项是整合热力学一致的本构律，以进一步提高模型的预测准确性。

MRE弹性模量随磁场强度的非线性变化导致MRE超材料的带隙特性也呈非线性响应，从而增加了有效带隙预测和单元格结构逆向设计的复杂性和挑战性。在本研究中，磁激励被理想化为在规定的工作窗口内的空间均匀外部磁场。值得注意的是，考虑到MRE在0–150 mT磁场范围内模量的快速增加、高控制灵敏度和低能耗，因此选择这个范围作为本研究的磁激励工作窗口。将来工作将考虑将当前框架扩展到更真实的磁源条件，例如由永磁体、线圈或电磁铁产生的空间非均匀磁场 [39]、[41]。

为了保持一致性，物理磁场强度用（mT）表示，而作为网络输入的标准化对应值用表示。由于本研究的工作磁场窗口为0–150 mT，因此定义了如下标准化：

(2)

在整个工作中，以mT表示的磁场强度值指的是物理激励条件，而无量纲的表示在学习框架中用作输入的标准化磁场强度。

在本研究中，MRE的磁机械响应主要通过其场依赖性有效刚度来表征，如方程（1）所定义。采用这种建模方法是因为本研究的主要目标是预测和逆向设计带隙频率范围。尽管MRE的阻尼比显著影响波衰减的幅度和带边的平滑度，但自然频率和带隙的形成主要由有效模量的实部（刚度）控制。因此，通过优先考虑磁场与材料刚度之间的非线性映射，所提出的框架有效地捕捉了带隙可调性的主要物理机制。虽然一个包含频率依赖性阻尼的更复杂的本构模型可以提高传输分析的物理真实性，但在当前基于特征频率的学习任务中，场依赖性弹性模量在确定带隙边界方面起着更决定性的作用。因此，未来研究的一个优先事项是包括刚度和阻尼效应的全面处理，以进一步提高模型在实际振动传输场景中的预测准确性。

为了生成多样化的单元格同时确保结构对称性和可制造性，开发了一种针对MRE超材料的对称约束形态膨胀算法（图1）。这两种材料采用二进制编码，0代表MRE，1代表钨。初始设计区域包括单元格的一个三角形部分，大约包含313个像素。从一个全1矩阵开始，随机选择5-10个像素并将其设置为0以表示MRE。然后使用方形结构元素进行形态膨胀，逐步扩大和连接MRE像素。通过4连通性准则保证MRE区域的连续性。MRE像素的比例严格保持在40%到70%之间，以确保结构可比性和可制造性。然后将该三角形部分镜像以形成具有p4m平面四重旋转对称性的完整单元格。根据二进制编码分配材料，以生成适合增材制造的单元格几何形状。图2展示了结果的基础设计空间和相应的1/8三角形部分，其中黑色像素（0）代表连续的MRE，白色像素（1）代表钨。

为了高效地获得大量带隙特性的样本，使用MATLAB和COMSOL中的Solid Mechanics模块，在0到150 mT的磁场范围内自动提取了大量MRE超材料单元格的带结构，步长为10 mT。结果构建了一个包含76,858个样本的高质量数据集，涵盖了结构参数、磁场强度和带隙特性，为后续开发的磁场感知深度学习框架奠定了坚实的基础。相应的有限元设置如下所述。

周期性单元格的带结构是使用COMSOL Multiphysics 6.1中的Solid Mechanics模块实现的有限元模型通过特征频率研究计算的。在单元格的边界应用了Bloch-Floquet周期性边界条件，并在不可约布里渊区（IBZ）的高对称路径上对波矢进行了参数扫描。然后在每个采样波矢点解决相应的特征频率以获得带结构。有限元模型使用更细的元素尺寸的自由三角形网格离散化。

为了验证波导特性，将生成的单元格结构组装成一个有限周期阵列，并使用频率域研究模拟其波传输行为，在超材料结构的输入端施加外部单位位移激励。然后使用输出响应来验证不同磁场条件下设计结构的波导和带隙特性。同样，也使用自由三角形网格建立了有限元网格模型。

2.2. 磁场感知深度学习架构

单元格结构与带结构特性之间的双向映射是数据驱动MRE超材料设计的核心任务。正向预测旨在根据已知的几何配置和施加的磁场预测单元格的带曲线和带隙参数。相反，逆向设计旨在在指定目标带隙特性和相应磁场强度时推断出满足给定约束的微观结构设计。

本研究提出的用于MRE超材料设计的磁场感知深度学习框架如图3所示。它包括用于带预测的磁场条件注意力映射网络（MCAMNet，见图3(a)）和用于单元格结构生成的MCGAT，见图3(b)。下面详细阐述了这两个网络及其相关的改进策略。

2.3. 结构梯度磁感知（SGMA）

为了准确预测不同磁场下MRE超材料的带结构，必须将几何布局和施加的磁场作为联合输入。在磁场作用下，MRE的有效弹性模量随着局部诱导的磁致硬化而变化，而结构边界和几何不连续性（例如材料界面）是应力集中和波模式转换的关键位置，因此对磁场调节更为敏感。为了明确建模这些区域的敏感性，提出了一种具有双通道输入的结构梯度磁感知（SGMA）策略，以避免全局平均效应导致的预测模糊，从而提高模型的准确性、稳定性和泛化能力。

设为单位格的二进制结构掩码，其中和分别表示水平和垂直坐标。这里，表示刚性的钨材料，而表示MRE基体。设施加的磁场为一个标准化标量，其对MRE的调节强度由结构几何形状空间调制。然后，结构的边界敏感性映射可以由结构掩码的标准化梯度幅度表示如下：

(3)

其中，使用Sobel卷积运算符在结构掩码上获得的水平和垂直梯度分量分别表示为：

(4)

其中，用于卷积操作的水平和垂直Sobel核分别表示为：

(5)

为了明确编码只有MRE区域受施加磁场调节的物理先验，可以通过以下方式计算MRE基体敏感性掩码：

(6)

结合（3）和（6），可以确定融合的敏感性映射：

(7)

其中，权重系数和满足，平衡了边界敏感性项和MRE基体敏感性项的相对贡献。具体来说，表征了由几何不连续性引起的局部增强响应，而反映了整个MRE区域的基线磁响应。为了确定这两个组件之间的适当权衡，初步检查了从到之间的权重对，间隔为0.1，同时确保。通过比较每组权重对应的模型预测准确性，发现当本研究中采用的值分别为0.6和0.4时，预测准确性最高。这种设置略微增加了界面敏感性的重要性，同时保持了MRE基体的全局响应。

因此，磁场响应权重映射可以表示为：

(8)

其中表示在方程（2）中定义的标准化磁场输入。这样，融合的空间敏感性映射通过磁场条件进行调制，并转化为磁场感知的权重表示。

最后，双通道输入可以通过连接原始结构和中磁场响应权重映射来表示：

(9)

这种输入形式保留了几何布局信息，并明确注入了磁场调节的空间敏感性先验。这使得模型能够专注于具有明显物理效应的区域，从而实现带结构的高精度预测。

为了直观展示所提出的SGMA模型如何模拟MRE超材料的局部响应敏感性，图4展示了基于SGMA的可视化。图4(a)显示了原始单元格结构掩码，其中黑色表示MRE基体，白色表示刚性的钨材料。图4(b)显示了使用Sobel卷积算子计算的边界敏感性图，该图仅在不同材料（MRE和钨）的界面处显示出高响应值。这反映了由几何不连续性引起的应力集中效应。图4(c)显示了MRE矩阵敏感性掩模，它明确编码了“只有MRE区域可以被施加的磁场调节”的物理先验，从而赋予整个MRE区域基线敏感性。图4(d)显示了最终的融合敏感性图。图4中的颜色条表示局部响应敏感性，靠近红色的区域敏感性更强，靠近蓝色的区域敏感性较弱。在图4(d)中，由于几何不连续性和材料响应的叠加，边界区域显示出最强的敏感性（浅红色）。MRE的内部显示出中等敏感性（浅灰色），而刚性材料的内部则保持最低的敏感性（蓝色）。这种融合策略与MRE超材料在磁场激励下的实际物理行为一致，为后续的深度学习模型提供了高质量的信息输入。

图4. 基于SGMA的可视化。(a) 原始结构；(b) 边界敏感性；(c) MRE矩阵敏感性；(d) 融合敏感性。

2.4. 磁场条件注意力映射网络（MCAMNet）
图5展示了具有双通道输入的MCAMNet，用于能带结构预测。输入是一个特征张量，通过通道维度连接形成，目标输出是一个矩阵，包含沿着路径在11个非均匀采样波矢点处的前10个归一化自然频率，这些点完全覆盖了正方晶格的不可约布里渊区（IBZ）的边界。这种紧凑的表示基于三个主要考虑因素。首先，11个波矢点沿着路径被战略性地采样。这些点不是均匀分布的，而是在高对称点（X和M）附近有更高的采样密度，这些点通常是能带极值和带隙边缘出现的地方。这确保了能够准确捕捉到带隙的边界，同时为逆向设计框架保持了低维输入。其次，选择了前10个特征模式，因为所研究的MRE超材料的第一、第二和第三阶带隙完全包含在这个频率范围内，在所有考虑的磁场强度下都是如此。第三，通过关注这一关键的模式信息子集，有效地降低了映射空间的维度，显著提高了MCGAT模型的收敛稳定性和预测效率，而没有牺牲物理准确性。元素表示在第i个高对称波矢点处的第i个归一化特征频率，其中ω是角频率，a是晶格常数，v是横波速度。

MCAMNet建立在编码器-解码器架构上，并结合了通道-空间双重注意力机制（卷积块注意力模块，CBAM）来增强对磁场敏感特征的提取。在CBAM中，应用全局平均池化和最大池化来提取每个通道的全局信息，然后将两个池化后的描述符输入到具有共享全连接层的MLP中，以计算通道权重w，如公式（10）所示。

图5. MCAMNet结构。
MCAMNet基于编码器-解码器架构，并结合了通道-空间双重注意力机制（卷积块注意力模块，CBAM）来增强对磁场敏感特征的提取。在CBAM中，应用全局平均池化和最大池化来提取每个通道的全局信息，然后将两个池化后的描述符输入到具有共享全连接层的MLP中，以计算通道权重w，如公式（10）所示。

2.5. 基于高斯位移的非线性光谱扰动策略
在MRE超材料的逆向设计中，磁场与能带结构之间存在明显的非线性关系。传统方法试图通过等效模型来描述磁场的能带结构调节。例如，Wang等人[42]提出了一种基于MRE和分级谐振器的超材料板，采用等效刚度模型将施加的磁场映射到MRE的有效弹性模量的变化上，从而实现局部共振（LR）带隙的频率和带宽调节。随着磁场强度的增加，与第四个LR带隙相关的带曲线发生变形，这是频率选择性引起的非线性带变形的明显证据。虽然这种方法在一定程度上有效地揭示了磁场的可调带隙，但它本质上将磁场效应视为对整体模量的均匀调制。这使得难以准确捕捉磁场在不同频率带上的选择性、非均匀调节。图6显示了施加的磁场对MRE超材料能带结构的影响。特别是，磁场在中高阶模式中通常表现出更强的敏感性，而其他带则相对稳定。这种“局部增强但全局不均匀”的响应模式在传统的等效模型中经常被简化或忽略，这突显了开发更细致设计方法的需求。

为此，提出了一种基于高斯位移的非线性光谱扰动策略，以明确模拟磁场在不同频率带上的选择性调节。具体来说，最终的预测能带结构矩阵表示为基线光谱表示与场依赖的非线性扰动之和，如下所示：
(12)
其中ωi表示在零磁场下第i个波矢点和第i个带处的初始预测频率。非线性扰动项可以数学定义为受磁场强度调节的频率选择性高斯核：
(13)
其中Δωi表示扰动的幅度，ci表示主要受磁场影响的频带中心，ki控制第i个模式的影响范围。这些参数被设计为可学习的，并由MLP动态生成，该MLP接受归一化的磁场输入。公式（13）中的频率带选择性由高斯加权项控制。具体来说，当模式频率fi接近学习到的中心频率fc时，指数项接近其最大值，相应的自然频率受到更强的磁场诱导的扰动。这导致该频率带内的自然频率发生显著偏移，增强了该区域的频率敏感性。相比之下，当fi偏离fc时，该项迅速衰减，导致扰动减弱。这种机制确保了光谱调整集中在选定的共振频率区域，而不是在整个频谱上均匀分布。此外，ki控制扰动的幅度，lj确定其中心频率，lk确定受影响频率带的带宽。这些因素使模型能够实现精确的非线性光谱调制。这种策略将“局部选择性增强”的物理先验注入光谱输入，使网络能够专注于具有显著磁场调节的频率区域。这提高了结构生成的物理一致性和可调带隙预测的准确性。

此外，所提出的方法具有高度的可转移性。高斯扰动的思想也适用于MRE之外的多物理系统，例如由电场驱动的压电超材料，以及声学或光学超材料，在这些系统中，外部场对能带结构的调节是非均匀分布的，为复杂的外部场耦合问题提供了一个通用的建模框架。

2.6. 带有注意力和变换器的磁条件GAN（MCGAT）
图7展示了所提出的MCGAT网络。该网络建立在条件生成对抗网络（cGAN）框架之上，通过对抗训练共同优化生成器和鉴别器，同时采用U-Net架构来确保逐层提取和逐步恢复空间特征。编码器由四个卷积块组成，通过逐步下采样在不同尺度上提取几何特征，从而从局部到全局层面捕获结构信息。然而，传统的U-Net架构难以有效模拟有限周期MRE超材料的带隙以及相对较远距离内的能带之间的能量耦合和干扰，这是由于卷积核的感受野有限。

在高质量超材料的设计中，现有研究表明，共振峰通常由多个模式的联合耦合和抑制决定，且光谱响应对结构参数极为敏感。为了解决这个问题，Yin [43]开发了电磁响应Transformer，它利用多头自注意力来模拟全局光谱依赖性。这使得能够有效表征Fano共振与晶格模式之间的耦合，从而提高光谱预测的准确性和泛化能力。同样，在MRE超材料的逆向设计中，目标带隙的形成也源于不同阶模式之间的复杂相互作用，而磁场对不同频率带的选择性调节进一步加剧了这种非均匀性。为此，将Transformer模块集成到MCGAT网络中，以明确模拟光谱序列中的非局部依赖性。具体来说，给定一个输入特征序列，其中n是序列长度，d是嵌入维度，Transformer通过数据自适应加权聚合整个序列来更新每个特征令牌。输入令牌首先通过可学习的权重矩阵投影到查询（q）、键（k）和值（v）空间：
(14)
然后自注意力机制计算成对相关性，以量化每个频率令牌对其他每个令牌的相对贡献。这可以表示为：
(15)
其中β是用于稳定内积大小的缩放因子。上标^表示沿通道维度的操作。γ和δ分别是全局平均池化和最大池化的结果。α和β是具有共享权重的两层MLP的可学习参数，n是输入特征图中的通道数，ρ是降采样比率。σ是Sigmoid激活函数。该机制动态调整结构和磁场特征对通道的贡献，从而在磁场敏感区域和几何主导区域之间实现适应性区分。空间注意力模块沿通道维度聚合特征，生成空间权重ωv，优先考虑MRE分布密集的区域，如公式（11）所示：
(11)
其中，f′是通过通道注意力精炼的特征图，γ和δ分别是全局平均池化和最大池化的结果。σ是空间注意力中的卷积操作。这种机制有效地抑制了钨区域的噪声干扰，并提高了具有显著磁场效应区域的特征提取。

为了确保生成的结构满足全局物理属性，同时保持局部几何合理性，将生成对抗机制（GAN）集成到MCGAT框架中。GAN通过鉴别器对生成样本的评估来指导生成器的优化，使生成的结构在全局和局部特征上更接近真实结构。具体来说，生成器采用U-Net架构来捕获全局几何信息，而鉴别器采用光谱标准化的PatchGAN架构来评估局部几何特征的真实性。光谱标准化限制了权重矩阵的Lipschitz常数，如下所示：
(17)
其中W表示原始权重矩阵，σ表示光谱范数，ν表示光谱范数估计。这有效地缓解了梯度不稳定性。在训练过程中，生成器通过使用一个组合目标函数进行优化：(18)其中，和分别是对抗损失、拓扑损失和带匹配损失的权重系数。计算结果表明，在0-150 mT的磁场范围内，98.4%的生成的MRE超材料单元格结构通过了4连通性测试，并满足了增材制造的要求。3. 计算结果与分析为了验证所提出的基于磁场感知的深度学习架构的可行性和准确性，基于MCAMNet和MCGAT对MRE超材料的能带结构预测和单元格结构逆向生成进行了计算研究，并分析了相关性能。此外，还沿着两条不同的路径进行了波导仿真，以进一步验证MCGAT的有效性。计算是在配备单个NVIDIA GeForce RTX 3070 GPU的Windows 10系统上进行的。Python 3.11和CUDA 11.8被用作深度学习框架环境。COMSOL Multiphysics 6.1用于进行高保真有限元仿真，并为MRE超材料建立了一个包含16组、每组76,858个样本的单元格和能带结构的数据集，这些样本是在0-150 mT的磁场下获得的。3.1. 不同磁场下能带结构的前向预测性能为了确保能带间隙样本在不同频率带上的均衡分布，采用了一种分层采样策略将数据集分为训练集和测试集，比例为8:2。训练过程使用了10个子数据集（编号为0-9）来提高模型的泛化能力。每个模型使用SGD优化器进行了230个周期的训练，动量为0.9，权重衰减为1e-5。初始学习率设置为0.01，每100个周期应用一次衰减因子。在训练过程中，通过方程(19)计算了平均绝对误差和平均相对误差，并使用提前停止策略保存了用于测试集的最佳模型。(19)其中和分别表示真实值和预测值。图8显示了某个训练子集的平均绝对误差和相对误差。下载：下载高分辨率图像（95KB）下载：下载全尺寸图像图8. 训练误差曲线。如图8所示，平均绝对误差和相对误差最初随着训练周期的增加而迅速减小，然后逐渐稳定。这表明模型在训练的早期阶段表现出快速的学习能力。在整个训练过程中，绝对误差从初始的12.21%降低到最终的1.15%，减少了90.61%，而相对误差从3.64%降低到0.31%，减少了91.46%。两种误差都减少了90%以上，相对误差的减少幅度略大于绝对误差。这表明模型显著降低了所有幅度样本的预测误差，并且对较小值的相对精度改进更为敏感。可以得出结论，模型在处理不同幅度的数据时表现更为一致，整体预测精度有了显著提高。此外，可以观察到在第100个周期时，训练集的绝对误差和相对误差分别达到了稳定的1.5%和0.3%。经过230个周期的训练后，模型达到了低误差水平，证明了其强大的预测准确性。为了评估模型在测试集上的泛化性能，图9显示了模型的性能。图9(a)展示了预测-仿真与真实值的比较，决定系数为0.99，显著优于传统的参数化模型。这表明MCAMNet模型可以直接替代耗时的有限元求解器，用于高保真度的能带间隙特性预测。图9(b)显示，测试样本的预测误差呈单峰聚集分布，平均相对误差仅为1.87%。此外，95.3%的样本误差低于5%。这表明MCAMNet在测试集上具有高预测精度和良好的泛化稳定性。下载：下载高分辨率图像（186KB）下载：下载全尺寸图像图9. 模型的性能。(a) 预测-仿真与真实值的比较；(b) 测试样本的预测误差分布。使用构建的MCAMNet，预测了MRE超材料测试集中单元格的多阶（此处选择了10阶）特征频率，以形成完整的能带结构。为了验证模型的预测准确性，使用FEM仿真和MCAMNet在0 mT、55 mT、100 mT和150 mT的磁场强度下预测并比较了某个MRE超材料的单元格能带结构，如图10所示。值得注意的是，图10(a)中显示的单元格结构在模型训练期间并未使用，且55 mT的磁场强度并不典型用于构建数据集。下载：下载高分辨率图像（452KB）下载：下载全尺寸图像图10. 不同磁场强度下FEM仿真和MCAMNet预测的能带结构比较。(a) 输入单元格的结构；(b) 0 mT时模拟和MCAMNet预测的能带比较；(c) 55 mT；(d) 100 mT；(e) 150 mT。如图10所示，MCAMNet预测的能带与FEM模拟的能带在四种不同磁场强度下高度一致，验证了MCAMNet的有效性和泛化能力。此外，FEM计算需要240秒，而MCAMNet仅需30秒，从而提高了前向预测的效率。在55 mT的磁场强度下对图10(a)中结构的准确预测，这两种方法在训练期间均未遇到，进一步证明了模型对新设计和磁场条件的强泛化能力。为了直观评估预测的准确性和能带间隙的可调性，提取了不同磁场强度下模拟和预测的一阶和二阶能带间隙的范围和宽度，并列在表2中。表2. 不同磁场强度下模拟和预测的一阶和二阶能带间隙的范围和宽度。磁场模拟能带间隙预测能带间隙强度（mT）范围（Hz）宽度（Hz）范围（Hz）宽度（Hz）0563–923360557–888331935–98550930–1024945577–947370552–914362959–100849948–102072100588–965377585–943358977–102952972–106694150646–1059413640–10434031072–1129571069–116394表2展示了在不同磁场强度（0, 55, 100, 和150 mT）下，通过有限元仿真和MCAMNet预测得到的MRE超材料的能带间隙的频率范围和宽度。随着磁场强度的增加，能带间隙的下限和上限整体向更高频率移动，能带间隙宽度呈现单调递增的趋势，反映了由MRE的磁增强模量引起的可调能带间隙特性。可以观察到，在所有工作条件下，模型预测的能带间隙范围和宽度与仿真结果非常接近，仅在能带边缘有轻微偏差，表明所提出的MCAMNet在能带间隙定位和宽度预测方面实现了高精度，并且在多物理场耦合条件下具有良好的鲁棒性。特别是，由于密集模式和宽频率跨度，预测复杂性呈指数级增长。然而，由于通道-空间双重注意力机制的作用，整体相对误差仍控制在1.87%以内。通过动态加权关键区域（如钨/MRE界面）的梯度特征，该机制显著提高了几何边界处非线性响应的建模精度。MCAMNet在能带间隙边界定位、模态演化趋势和高频渐近行为方面表现出高度一致性，从而验证了网络对非线性场-材料耦合效应的精确捕捉。3.2. MCGAT在多物理场耦合下的逆向生成性能逆向设计的性能从三个角度进行评估：(i) 目标结构和生成结构之间的光谱一致性，(ii) 以制造为导向的连通性可行性，以及(iii) 在相同设计约束下可行解的重复性和多样性。为了验证所提出的MCGAT在MRE超材料逆向设计中的性能，从目标能带结构和磁场强度构建了一个多物理场输入张量。然后采用高斯偏移非线性光谱扰动策略动态调整目标能带结构，从而生成满足规定目标的单元格拓扑图。对于500个在0 mT、55 mT、100 mT和150 mT磁场强度下的测试样本，使用MCGAT生成了相应的单元格结构。为了验证MCGAT模型生成的单元格结构的可行性和物理一致性，以指定磁场下的真实单元格结构的能带结构作为生成约束。MCGAT随后生成了相应的单元格结构，并与真实结构进行了比较，如图11所示。值得注意的是，图11中所示的情况是一个代表性示例。鉴于逆向设计映射的固有非唯一性，所提出的框架可以在相同的目标准带间隙和磁场约束下生成多个结构上不同但功能相似的可行解。MCGAT模型可以准确生成与真实结构相似的几何图案。如图11所示，真实（绿色）和生成（蓝色）单元格结构的能带结构在频率值、整体趋势和局部特征方面表现出高度相似性。下载：下载高分辨率图像（586KB）下载：下载全尺寸图像图11. MCGAT生成的和真实单元格结构的比较，以及相应的能带结构。此外，使用FEM仿真验证了在给定100 mT磁场强度下生成和真实结构的能带分布特性。两条能带曲线在能带间隙的位置和宽度上几乎完全吻合，最大相对误差小于3.01%。结果表明，所提出的MCGAT能够有效重建给定磁场下的目标能带结构。这验证了MCGAT模型在多物理场耦合条件下的结构生成准确性和可行性。为了验证MCGAT在不同磁场下的结构生成和能带预测能力，使用0 mT、60 mT、100 mT和150 mT磁场强度下的MRE超材料的真实单元格的能带结构作为逆向设计的目标。然后使用MCGAT生成相应的结构，并与真实结构进行了比较。图12显示了目标能带结构和在不同磁场下MCGAT生成的单元格结构，以及相应的预测和模拟能带结构。如图12所示，生成的单元格的仿真结构与目标结构非常吻合，能带间隙的位置和宽度的偏差保持在非常小的范围内。这表明MCGAT能够在已知磁场条件下有效重建真实结构的特性，从而验证了模型在多物理场耦合场景下的结构生成能力。同时，500个测试样本中有98.4%通过了4连通性检查，满足了增材制造中的结构完整性要求。期望的、模拟的和预测的能带间隙之间的一致性表明，MCGAT生成的单元格结构能够在指定磁场下有效再现目标能带范围。这验证了模型在多物理场耦合下的结构重建能力。为了进一步评估重复性，使用不同的随机种子进行了多次独立训练，同时保持网络架构、优化设置和数据流程不变。结果4连通性通过率始终保持较高，平均为98.4%，标准差低于1%。这表明所提出的逆向设计框架表现出稳定的训练行为，而不受所用随机种子的影响。值得注意的是，尽管输入的目标能带和磁场条件保持不变，MCGAT仍然能够生成多个结构上不同但目标能带属性一致的解决方案。例如，MCGAT 为图 11 中显示的每个目标带至少生成了五个候选结构，从中选择了最具代表性的配置进行可视化，以确保清晰度。这种现象不应被解释为随机不稳定性，而是反映了逆向设计问题的非唯一性，即在相同的外部条件下，不同的拓扑结构可以产生相似的带特性。为了提供更深入的物理洞察，我们进一步分析了这些不同的候选结构，发现它们在规定的 40%–70% 范围内保持了一致的 MRE 填充比率，并且在带隙边界附近表现出高度相似的振动模式形状。这表明该模型有效地识别了在相同设计约束下产生相似带隙特性的等效质量-刚度分布。从工程角度来看，这种结构多样性是有利的，因为它提供了多个候选解决方案，可以根据额外的实际标准（如可制造性、几何简单性或特定应用约束）进行选择。

3.3. 波导模拟实验
为了验证在磁场作用下通过 MCGAT 逆向设计获得的单元格结构的带隙的实时可调性，对周期性 MRE 超材料进行了可调波导实验，如图 13 所示。在 0 mT 的磁场强度下，MCGAT 生成了两种 MRE 超材料的单元格结构（分别为图 13(a) 和 (c) 中显示的配置 1 和配置 2）。配置 1 来自图 12(a) 中显示的结构，在 0 mT 的磁场强度下，其带隙范围为 419–737 Hz。配置 2 是在 0 mT 的磁场强度下随机生成的结构，其带隙范围为 610–648 Hz。选择 440 Hz 和 644 Hz 作为配置 1 和配置 2 的入射波的代表性频率。将振幅为 1 mm 的入射振动波施加到 MRE 超材料的左激励端。通过在路径上的单元格施加 150 mT 的磁场强度，在路径外的单元格施加 0 mT 的磁场强度，设计了 M 型和 Z 型路径。图 13(b) 和 (d) 分别显示了具有设计路径的两种波导的模拟位移场。右侧的颜色条表示位移的幅度：颜色越红，幅度越大；颜色越蓝，幅度越小。

下载：下载高分辨率图像（1MB）
下载：下载全尺寸图像
图 13. 具有 M 型和 Z 型路径的波导实验。(a) 由 MCGAT 生成的单元格及其对应的 M 型波导的周期性阵列；(b) 440 Hz 时的 M 型波导；(c) 由 MCGAT 生成的单元格及其对应的 Z 型波导的周期性阵列；(d) 644 Hz 时的 Z 型波导。
如图 13 所示，在 440 Hz 的频率下，波沿设计的 M 型路径通过由配置 1 组成的 MRE 超材料传播，而路径外的振动显著减弱。在 644 Hz 的频率下，波沿设计的 Z 型路径从左向右通过由配置 2 组成的 MRE 超材料传播。设计路径上的位移幅度显著大于路径外的区域，表明这两种路径都表现出良好的波导性能。根本原因在于，在 0 mT 和 150 mT 的磁场强度下，配置 1 的带隙分别为 419–737 Hz 和 478–889 Hz。同时，入射波的频率为 440 Hz，正好位于 0 mT 对应的带隙范围内，而位于 150 mT 对应的带隙范围之外。因此，波可以沿 M 型路径传播，而路径外的传播被抑制。配置 2 的情况类似，只是在 0 mT 和 150 mT 的磁场强度下，其带隙分别为 610–648 Hz 和 692–727 Hz，入射波的频率为 644 Hz。这验证了所设计结构的带隙的实时、可编程可调性。

总之，波导实验的结果表明，由 MCGAT 生成的单元格结构可以有效地控制在外加磁场作用下的波导行为。这验证了所提出的 MCGAT 在 MRE 超材料逆向设计中的有效性。

4. 结论
本文提出了一种考虑磁场的深度学习框架，用于 MRE 超材料，该框架在多物理场耦合下统一了正向预测和逆向设计。正向模型 MCAMNet 具有结构梯度感知和通道-空间注意力机制，可以准确预测不同磁场下的可调带结构。与传统深度学习方法相比，它将平均相对误差降低了 2%，并在非线性调节场景中表现出更好的鲁棒性。逆向模型 MCGAT 基于 Transformer 架构和高斯扰动谱融合技术，可以准确生成具有目标带结构的单元格拓扑，同时平衡物理可行性和设计多样性。总体而言，所提出的框架为在外部场激励下设计智能超材料提供了可扩展的、数据驱动的方法，并可以扩展到多材料、三维和其他属性导向的设计。

未来的研究将重点改进模型在复杂操作条件下的可靠性，以提高其实际工程应用价值，特别是在噪声和干扰鲁棒性方面。

CRediT 作者贡献声明
毛媛媛：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，软件，方法论，概念化。
王宇怀：撰写 – 审稿与编辑，监督，资源，项目管理，方法论，资金获取，概念化。
邢健：调查，形式分析，数据管理。
倪红：可视化，验证，软件。
朱晓静：资源，调查。
宋马军：验证，方法论。